第17讲 平行线分线段成比例（原卷版讲义）

这是一份第17讲 平行线分线段成比例（原卷版讲义），共15页。试卷主要包含了平行线截线段成比例，把已知线段AB五等分.，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、平行线截线段成比例
基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例
已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立.
要点：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示：
等等.
（2）有推论可以得出以下结论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.
二、把已知线段AB五等分.
已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分.
作法:
1.以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.
2.连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点.
依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式
∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，
∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,
∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分.
要点：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.
考点一：A型平行线分线段成比例
例1．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ．

【变式1-1】（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知直线，下列结论中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，，若，，，则的长等于 ．
考点二：X型平行线分线段成比例
例2.（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，已知直线、、分别交直线于点、、，交直线于点、、，且，如果，，那么 ．

【变式2-1】（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，，则的长为 ．

【变式2-2】（22-23九年级上·福建泉州·期中）如图，已知直线，直线m与直线、、分别交于点A、D、F，直线n与直线、、分别交于点B、C、E．若，则 ．

【变式2-3】（22-23九年级上·上海徐汇·期中）如图，已知直线，直线分别与直线、、相交于点、、．直线分别与直线、、相交于点、、，直线与交于点．如果，，那么的长为 ．
考点三：A字三角形
例3. （23-24九年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，，则的长 ．
【变式3-1】（2024·辽宁营口·一模）在中，点在直线上，过点作，交直线于点，若，，则的值是 ．
【变式3-2】（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，两个小朋友在水平地面坐跷跷板．支点O是跷跷板的中点，若支柱．当跷跷板的一端B完全着地时，跷跷板的另一端A离地面的高度为 ．
【变式3-3】（2024·广东广州·一模）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是 ．
考点四：X字三角形
例4.（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，与相交于点，且，如果，，，那么 ．

【变式4-1】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知，分别在直线，上，且，若，则的值是 ．
【变式4-2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，、相交于点，，，，则的长 ．

【变式4-3】如图，、相交于点，，若，，则 ．
考点五：类A字三角形
例5. （2024·甘肃武威·二模）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ．
【变式5-1】（2024·山东临沂·一模）如图，在中，分别交于点D，E．交于点F，，，则的长为 ．

【变式5-2】（2024·山西大同·一模）如图，点为上靠近点的三等分点，交于点，点为上一点，连接交于点，点为的中点，则 ．
【变式5-3】（23-24九年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，的角平分线与中线相交于点，若，，，则的长为 ．

考点六：类X字三角形
例6. （23-24九年级上·上海·期中）如图，，，，那么 ．
【变式6-1】（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ．
【变式6-2】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，点D，E，F为各边的中点，交于点O，且，则 cm．

【变式6-3】（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在中，，分别是，边上一点，连接，交于点，若，，则 ．

考点七：由平行截线求相关线段的常或比值之解答题
例7. （23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，相交于点E，在一条直线上．．
(1)求的值；
(2)求的长．
【变式7-1】（23-24九年级上·广西崇左·期中）如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若．
(1)如果，求的长；
(2)在（1）的条件下，如果，求的长．
【变式7-2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设D，E，F依次是的三边及其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线交的边于点D，交边于点E，交边的延长线于点F．过点C作交于点G，
则，（依据）
∴．
∴，
即．
情况②：如图2，直线分别交的边的延长线于点D，E，F…
(1)情况①中的依据指：_______．
(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明．
(3)如图3，D、E分别是的边上的点，且，连接并延长，交的延长线于点F，那么______．
【变式7-3】（23-24九年级上·四川内江·期中）阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
材料：三角形的内角平分线定理：
如图1，在中，平分，交于点，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过作，交的延长线于点．
(1)【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长；
(3)【拓展延伸】如图4，中，平分，的延长线交外角角平分线于点．
①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明；
②若，，求的长．
一、单选题
1．（23-24九年级下·云南·阶段练习）如图，在中，，若，，则的长为（ ）

A．4B．6C．8D．10
2．（2024·陕西西安·一模）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，一条直线上的三个点都在五线谱的线上，若的长为3，则的长为（ ）
A．3B．6C．9D．12
3．（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，D、E分别为、边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（ ）

A．B．C．D．
4．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知直线，直线和直线分别交、、于点，，，，，，直线和直线交于点．若，，，若：：，则( )
A．4B．5C．7D．6
5．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为（ ）
A．11B．12C．13D．14
二、填空题
6．（2024九年级下·云南·专题练习）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ．
7．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，点、分别为、的中点，点为中点，连接并延长交于点，则 ．
8．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，已知四边形是的内接正方形，于H，且，则 ．
9．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为 .
10．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）在所在平面内，，且分别交直线于D，E，，，则 ．
三、解答题
11．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，在中，．若，，求的长．
12．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，若直线，它们依次交直线于点和点．
(1)如果，求的长；
(2)如果，求的长．
13．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，，于点D，，交于点P，．若，求的长．
14．（2024八年级·全国·竞赛）如图1，在中，截线交于点，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若截线经过的重心点，如图2，利用（1）中的结论，求证：．
15．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是的中线．
(1)若为的中点，射线交于点，求；
(2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．平行线分线段成比例及其推论；
2．平行线分线段成比例及其推论的应用。