第20讲 相似三角形的性质（解析版讲义）

这是一份第20讲 相似三角形的性质（解析版讲义），共29页。学案主要包含了相似三角形的性质，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3. 相似三角形周长的比等于相似比.
∽，则
由比例性质可得：

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
∽，则分别作出与的高和，则
要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
考点一：利用相似三角形对应角相等求角
例1．（2023九年级上·广东茂名·竞赛）若，，，则 ．
【答案】/30度
【分析】此题主要考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理等知识，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据相似三角形的性质求出答案即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【变式1-1】（23-24九年级上·贵州毕节·期末）两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是、，那么另一个三角形的最大内角是 度．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题的关键是熟记相似三角形的对应角相等．利用三角形的内角和求出另外一个内角，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：一个三角形的两个内角是、，
另一个内角为：，
两个三角形相似，
另一个三角形的最大角是，
故答案为：．
【变式1-2】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知，相似比为，若△ABC中的最大角是，则中的最大角为 °．
【答案】110
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等确定答案即可．
【详解】解：∵，相似比为，中的最大角是，
∴中的最大角为，
故答案为：110．
【变式1-3】（2024·重庆大渡口·一模）如图，，若，，则的大小为 ．
【答案】/40度
【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的性质，由三角形内角和定理得到，由相似三角形的性质即可得到，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
考点二：利用相似三角形对应边成比例求边
例2.（2023·甘肃天水·模拟预测）已知，，若，则 ．
【答案】
【分析】此题主要考查相似三角形的性质，直接根据相似三角形的对应边成比例即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
，
∴，
．
故答案为：．
【变式2-1】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，，且，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，证明，得，从而即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
解得，
故答案为：．
【变式2-2】（23-24九年级上·江苏连云港·期末）已知的三条边分别为、、，若的最短边为3，则最长边为 ．
【答案】5
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：设最长边为x，
的三条边分别为、、，最短边为3，
，
解得，
即最长边为5，
故答案为：5．
【变式2-3】（23-24九年级上·四川达州·期中）已知中，，点D是线段的中点，点E在线段上且，则 .
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边的比相等．根据相似三角形对应边的比相等列式即可求解．
【详解】解：∵点D是线段的中点，
∴
∵
∴，
即，
解得．
故答案为．
考点三：利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例
例3. （2024九年级·全国·竞赛）如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应中线的比为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．据此求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴这两个三角形对应中线的比为．
故答案为：．
【变式3-1】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知，和是它们的对应高线．若，，则与的相似比是 ．
【答案】/
【分析】本题考查相似三角形的性质，直接根据相似三角形对应高的比等于相似比即可解答，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
【详解】∵，，
∴,
∵，和是它们的对应高线，
∴与的相似比是，
故答案为：．
【变式3-2】（23-24九年级上·山东菏泽·期中）已知两个相似三角形对应角平分线的比为，那么这两个三角形对应高的比是 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，两个相似三角形对应角平分线的比等于相似比，两个相似三角形对应高的比也等于相似比，据此即可求解．
【详解】解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为，
∴ 相似比为
故这两个三角形对应高的比是，
故答案为：
【变式3-3】（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，已知点分别是边上的点，且，相似比为交于点，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要查了相似三角形的性质．根据，可得，从而得到，进而得到，再由相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵相似比为，
∴，
故答案为：
考点四：利用相似三角形对应周长的比成比例
例4. （2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为，则它们的周长的比为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为，
∴它们的周长的比为，
故答案为：．
【变式4-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，且与的相似比为，则与周长的比为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”是解本题的关键．
【详解】解：∵，相似比为，
∴与△的周长比等于相似比．
故答案为：．
【变式4-2】（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知两个相似三角形的相似比是，如果较小的三角形的周长为9，那么较大的三角形的周长为 ．
【答案】15
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解．
【详解】解：设较大的三角形的周长为x，
由题意得：，解得，
∴较大的三角形的周长为15；
故答案为：15．
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
【变式4-3】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的周长比为 ．
【答案】/
【分析】根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可．
【详解】解：两个相似三角形对应边上的高的比为，
这两个三角形的相似比为，
两个相似三角形的周长比为；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
考点五：利用相似三角形对应面积的比成比例
例5. （2024九年级下·江苏·专题练习）若两个相似三角形的相似比为，则面积比为 ；若两个相似多边形的面积比为，则相似比为 ．
【答案】 / /
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似多边形的性质，直接利用相似多边形的面积比等于相似比的平方可得答案.
【详解】解：若两个相似三角形的相似比为，则面积比为；
若两个相似多边形的面积比为，则相似比为．
故答案为：；．
【变式5-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，与的面积比为，则与的周长比为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质即可求解，解题的关键是熟记相似三角形对应边之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方．
【详解】∵，与的面积比为，
∴与的周长比为，
故答案为：．
【变式5-2】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知两个相似三角形的相似比为，其中一个三角形的面积为20，那么另一个三角形的面积为 ．
【答案】45或
【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是：由两个相似三角形的相似比为，可得它们的面积面积比为：，然后分别从若小三角形的面积为20与若大三角形的面积为20去分析求解即可求得答案．
【详解】解：两个相似三角形的相似比为，
它们的面积面积比为：，
其中一个三角形的面积为20，
若小三角形的面积为20，则另一个三角形的面积为45；
若大三角形的面积为20，则另一个三角形的面积为．
另一个三角形的面积为45或．
故答案为：45或．
【变式5-3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）若，且与的面积比是，则与对应角平分线之比为 ．
【答案】/
【分析】根据相似三角形的性质可得，求得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴与对应角平分线之比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
考点六：相似三角形的性质与判定综合问题
例6. （2024·福建福州·模拟预测）已知，它们的面积比为，是的角平分线，是的角平分线．
(1)求证：；
(2)求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键．
（1）根据，得到，再根据是的角平分线，是的角平分线，得到，即可证明；
（2）根据相似三角形性质先求出相似比，然后进一步即可得出对应角平分线之比；
【详解】（1）证明：如图，是的角平分线，是的角平分线，
则是的角平分线，是的角平分线，
，
，
，
，
；
（2）解：，且，
，
，
．
【变式6-1】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，为边上一点，为边上一点，且．

(1)求的值．
(2)求与四边形的面积比．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及相似三角形的判定与性质，先由题意，根据相似三角形的判定得到，再利用相似三角形的性质即可得到答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由题中条件，利用两个三角形相似的判定与性质即可得到答案；
（2）由相似三角形的性质得到，从而即可得到答案．
【详解】（1）解：且，
，
；
（2）解：由（1）中可得，
．
【变式6-2】（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为．
(1)求证：；
(2)若，，直接写出，的周长；
(3)在（2）的条件下，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)14，10
(3)
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明结论；
（2）有已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，，最后根据三角形周长的定义即可解答；
（3）根据相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】（1）证明：∵等边三角形
∴
∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处
∴
∵，
∴
∵
∴．
（2）∵，
∴
∵等边三角形
∴
∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处
∴，
∴的周长为：
的周长为：．
（3）∵．
又∵的周长为：14，的周长为：10
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式6-3】（23-24九年级下·江苏连云港·期中）【实践探究】
（1）如图1，矩形中，交于点E，则的值是______；
【变式探究】
（2）如图2，中，为边上一点，连接，交于点E，若，求的长；
【灵活应用】
（3）如图3，在矩形中，，点E，F分别在上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作交于点N，若，设的面积为的面积为的面积为，若，则的值为_______．

【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由同角的余角相等可得，再由矩形性质和垂直定义可得，可证得，即可求得答经；
（2）过点作于点，先证得，可求得，再证得，即可求得答案；
（3）设与交于点，过点作交于点，由，可求得，再证得，可得，则，再证得，可得，再运用三角形面积公式可求得：，代入，解方程求得，由，可得，再利用平行四边形性质可得，即可求得答案．
【详解】解：（1）如图1，

∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答答为：；
（2）如图2，过点作于点，

则，
在中，，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（3）如图3，设与交于点，过点作交于点，
由对称性可知，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
设，
则，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是平行四边形，
，
，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
一、单选题
1．（23-24九年级下·北京丰台·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．B．8C．10D．16
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
首先由，得相似三角形，即可求得，根据的长进而求得的长；由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得的长．
【详解】解：，，
∴，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
故选C．
2．（2024·重庆·一模）如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、对应高（中线、角平分线）的比等于相似比是解题的关键.由相似三角形的面积比等于相似比的平方先求得相似比，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可得答案.
【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为，
∴相似比是，
又∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴对应边上高的比为，
故选：B．
3．（2024·云南玉溪·三模）如果，与的面积分別是25和16，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（ ）
A．16B．25C．5D．4
【答案】D
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行计算即可解答．本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：，与的面积分別是25和16
与的相似比为：，
的最短边的长度是5，
的最短边的长度是4，
故选：D．
4．（2024·内蒙古赤峰·一模）如图，已知中，为边上一点，为边上一点，，， ，当的长度为 时， 和相似( )
A．9B．6C．4或9D．6或9
【答案】C
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，分别根据当时，当时，求出的长即可．
【详解】解：当时，
，
，
解得：，
当时，
，
，
解得：，
当的长度为或时，和相似．
故选C．
5．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则和的面积的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解作答即可．
【详解】解：∵，和分别是和的高，
∴，
∴和的面积的比为，
故选：A．
二、填空题
6．（23-24九年级上·广东清远·期中）若，且面积之比为，则相似比为 ．
【答案】/
【分析】考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：，且面积之比为，则相似比为，
故答案为：．
7．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点、分别在的边、上，连接，，若，，那么的度数为 ．

【答案】/75度
【分析】此题考查了三角形内角和定理和相似三角形的性质，首先根据三角形内角和定理得到，然后利用相似三角形的性质得到．
解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理（三角形内角和为）和相似三角形的性质（相似三角形对应边成比例，对应角相等）．
【详解】∵，，
∴
∵
∴
故答案为：．
8．（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是 ；（2）的周长是 ．
【答案】
【分析】根据等面积法得出即可求解；延长交于点，过点作，即可得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，延长交于点，过点作，
∵平分，则到的距离相等，
设到的距离为，到的距离为，
∴，
∴；
故答案为：．
∵平分，
∴，，
又∵
∴
∴，
∵
设
∴
∴
∴
∴
∴
由（1）可得
设，则，，则
∵，，
∴
∵
∴
∵，
∴，
又
∴
∴
∴
解得：
∴的周长是
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
9．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知在中，，如果与相似，且两条边的长分别为4和，那么第三条边的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解题即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∵与相似，
∴，即，
∴．
故答案为：．
10．（23-24九年级上·四川达州·期末）已知三角形纸片（）中，，，将三角形纸片按照如图所示的方式折叠，使点B落在直线上，记为点，折痕为．若以点，F，C为顶点的三角形与相似，则的长是 ．

【答案】4或
【分析】本题考查了相似三角形的性质、折叠的性质，设，根据折叠的性质得，分类讨论：当时和当时，利用相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相关的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：设，
是由沿折叠得到，
，
当时，
，，
，
，即，
解得：，
当时，
，，
，
，即，
解得：，
综上所述，的长为4或，
故答案为：4或．
三、解答题
11．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，
(1)求证：；
(2)若，求线段长．
【答案】(1)见解析
(2)线段长为5
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义、角的和差可得，再结合即可证明结论；
（2）由线段的和差可得，再根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据即可解答．
【详解】（1）证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：∵ ，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴线段长为5．
12．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，在和中，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据，可证；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴．
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴．
13．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，点，分别在边，上，且．
(1)求证：；
(2)若，且的周长为12，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)32
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形周长比等于相似比，是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得出，即可求证；
（2）根据，得出，再根据相似三角形的性质得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵的周长为12，
∴的周长为32．
14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，于点是上一点，连结，已知．
(1)求证：．
(2)若的面积为15，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂线、余角以及平行线的判定，
（1）由于点，可得出，结合，利用等角的余角相等，可得出，则可得出；
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出的面积．
【详解】（1），
．
，
．
，
．
（2）由（1）
∴
∴
∴，
的面积为15，
．
15．（22-23九年级上·陕西西安·期中）探究题：
(1)问题提出：数学课本上有这样一道题目：如图①，一块材料的形状是锐角，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？
(2)初步探究：李华同学通过探究发现，如果要把按照图②加工成三个相同大小的正方形零件，的边与高需要满足一定的数量关系，则这一数量关系是： （直接写出结论，不用说明理由）
(3)深入探究：若可以按照图③加工成四个大小相同的正方形，且，试探究的边与边之间满足的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)正方形零件的边长为
(2)
(3)．理由见解析
【分析】（1）设正方形零件的边长为，则，，根据，得到，根据三角形的性质得到比例式，解方程即可；
（2），如图2已知条件得：，通过，得到，根据得到比例式，证得，即可得到，再由，得到，即可得到结论；
（3）如图3，过点A作于，分别交、于点、，设每个正方形的边长为，根据，推出，即有，列方程即可得出结论
【详解】（1）解：如图，设与交于点，
设正方形零件的边长为，则，，
，
，
，
，
，
解得．
答：正方形零件的边长为；
（2）解：，理由如下：
如图2，由已知条件得：，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：；
（3）解：．理由如下：
如图3，过点A作于，分别交、于点、，
设每个正方形的边长为，
，
，
，
，
解得，，
．
，，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；
2．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；
3．掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用。