2025年高考数学一轮复习讲义（新高考版） 第4章　§4.8　正弦定理、余弦定理

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义（新高考版） 第4章　§4.8　正弦定理、余弦定理，文件包含第4章§48正弦定理余弦定理docx、2025年高考数学一轮复习讲义新高考版第4章§48正弦定理余弦定理docx等2份学案配套教学资源，其中学案共30页， 欢迎下载使用。

知识梳理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2．三角形解的判断
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cs Asin B，则A>B.( √ )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( × )
教材改编题
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 C
解析 在△ABC中，
设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，
由余弦定理得cs∠BAC＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(9＋25－49,30)＝－eq \f(1,2)，
因为∠BAC为△ABC的内角，
所以∠BAC＝eq \f(2π,3).
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a＝2，B＝30°，则c等于( )
A．8B．4
C．eq \f(8\r(3),3)D．eq \f(4\r(3),3)
答案 A
解析 由S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×2c×eq \f(1,2)＝4，得c＝8.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝eq \r(2)，c＝2，则C＝ .
答案 45°或135°
解析 由正弦定理得sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(2sin 30°,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
因为c>b，B＝30°，
所以C＝45°或C＝135°.
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 (12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq \f(cs A,1＋sin A)＝eq \f(sin 2B,1＋cs 2B).
(1)若C＝eq \f(2π,3)，求B；[切入点：二倍角公式化简]
(2)求eq \f(a2＋b2,c2)的最小值．[关键点：找到角B与角C，A的关系]
思维升华 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
跟踪训练1 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cs A＝eq \f(25,31)，求△ABC的周长．
(1)证明 方法一
由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acs B－sin Ccs Asin B
＝sin Bsin Ccs A－sin Bcs Csin A，
结合正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
可得accs B－bccs A＝bccs A－abcs C，
即accs B＋abcs C＝2bccs A(*)．
由余弦定理可得
accs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2)，
abcs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2)，
2bccs A＝b2＋c2－a2，
将上述三式代入(*)式整理，
得2a2＝b2＋c2.
方法二 因为A＋B＋C＝π，
所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)
＝sin2Acs2B－cs2Asin2B
＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B
＝sin2A－sin2B，
同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.
又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，
即2sin2A＝sin2B＋sin2C，
故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
(2)解 由(1)及a2＝b2＋c2－2bccs A得，a2＝2bccs A，所以2bc＝31.
因为b2＋c2＝2a2＝50，
所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，
得b＋c＝9，
所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形的形状判断
例2 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acs B＝(2a－b)cs A，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案 D
解析 因为c－acs B＝(2a－b)cs A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得sin C－sin Acs B
＝2sin Acs A－sin Bcs A，
所以sin Acs B＋cs Asin B－sin Acs B
＝2sin Acs A－sin Bcs A，
所以cs A(sin B－sin A)＝0，
所以cs A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝eq \f(π,2)或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，eq \f(c－a,2c)＝sin2eq \f(B,2)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 A
解析 由cs B＝1－2sin2eq \f(B,2)，
得sin2eq \f(B,2)＝eq \f(1－cs B,2)，所以eq \f(c－a,2c)＝eq \f(1－cs B,2)，
即cs B＝eq \f(a,c).
方法一 由余弦定理得eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a,c)，
即a2＋c2－b2＝2a2，
所以a2＋b2＝c2.
所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．
方法二 由正弦定理得cs B＝eq \f(sin A,sin C)，
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C，
所以cs Bsin C＝sin Bcs C＋cs Bsin C，
即sin Bcs C＝0，又sin B≠0，
所以cs C＝0，又角C为△ABC的内角，
所以C＝eq \f(π,2)，所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．
延伸探究 将本例(2)中的条件“eq \f(c－a,2c)＝sin2eq \f(B,2)”改为“eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．
解 因为eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，所以由正弦定理得eq \f(a,b)＝eq \f(a,c)，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).
因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)，
所以△ABC是等边三角形．
思维升华 判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
命题点2 三角形的面积
例3 (2022·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
已知4a＝eq \r(5)c，cs C＝eq \f(3,5).
(1)求sin A的值；
(2)若b＝11，求△ABC的面积．
解 (1)由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
得sin A＝eq \f(a·sin C,c).
因为cs C＝eq \f(3,5)，所以sin C＝eq \f(4,5)，
又eq \f(a,c)＝eq \f(\r(5),4)，所以sin A＝eq \f(\r(5)sin C,4)＝eq \f(\r(5),5).
(2)由(1)知sin A＝eq \f(\r(5),5)，
因为a＝eq \f(\r(5)c,4)