专题01 实数（原卷版讲义）

这是一份专题01 实数（原卷版讲义），共13页。试卷主要包含了定义，表示，平方根的性质，立方根的性质，02B．190等内容，欢迎下载使用。


知识点1：平方根
1.定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2.表示：一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
3.平方根的性质：
（1）正数a有两个平方根，它们互为相反数；
（2）0的平方根是0；
（3）负数没有平方根．
知识点2：算术平方根
1.定义：非负数的非负平方根叫做的算术平方根．
2.表示：非负数的算术平方根记作：.
3.算术平方根的性质：
（1）正数的算术平方根是一个正数；
（2）0的算术平方根是0；
负数没有算术平方根．
注意：具有双重非负性：①被开方数是非负数；②算术平方根本身是非负数．
知识点3：立方根
1.定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
2.表示：a的立方根记作（a为任意实数），读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数.正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3.开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方.
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
4.立方根的性质：
（1）正数的立方根是正数；
（2）负数的立方根是负数；
（3）0的立方根是0．
知识点4：无理数
1.定义：无限不循环小数叫做无理数．
注意：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
2.无理数与有理数的区别：
（1）把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562．
（2）所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
【规律方法】无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
知识点5：实数
1.实数的定义：有理数和无理数统称实数．
2.实数的分类：
实数： 或 实数：
3．实数的性质
（1）绝对值：在数轴上实数对应的点与原点的距离．
（2）倒数：乘积为1的两个实数互为倒数.注意的是0没有倒数．
（3）相反数：表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等.
4．实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
5．实数大小比较
（1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴比较大小：在数轴右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
6．估算无理数的大小：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
7．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
题型归纳
【题型1 平方根】

1．（2023秋•泗县期末）4的平方根是
A．2B．C．16D．
2．（2024春•瑶海区期中）0的平方根是 ．
3．（2024春•宣州区校级期中）的平方根是 ．
4．（2024春•黄山期中）解方程：．
【题型2算术平方根】
5．（2024春•金安区校级期中）的算术平方根是
A．4B．2C．D．
6．（2024春•安庆期中）的算术平方根是
A．B．C．D．
7．（2024春•太湖县期中）按如图所示程序框图计算，若输入的值为，则输出结果为
A．B．C．4D．
8．（2024春•合肥期中）“的平方根是”，下列各式表示正确的是
A．B．C．D．
9．（2024•瑶海区校级一模）计算： ．
10．（2024•萧县二模）观察下列各等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
（1）根据你发现的规律，请写出第4个等式： ．
（2）请写出你猜想的第个等式为正整数，用含的式子表示），并证明．
11．（2024•合肥模拟）【观察思考】
如图是由长度为和的两种线段拼成的正方形图案：
【规律发现】
请用含的式子表示：
（1）第个图案中需要长的线段的条数为 ；
（2）第个图案中需要长的线段的条数为 ；
【规律应用】
（3）若要组成一个面积为的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？
【题型3 非负数的性质:算术平方根】
12．（2024春•潘集区期中）已知，则的值等于
A．2B．C．4D．
13．（2024春•田家庵区校级期中）若，则 ．
14．（2024春•蜀山区期中）已知，满足等式，则 ．
15．（2024春•瑶海区期中）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式形式如下：．
（1）求所捂的多项式；
（2）若，满足：，请求出所捂的多项式的值．
【题型4立方根】
16．（2024•肥东县校级模拟）的立方根是 ．
17．（2024•合肥模拟）的立方根是 ．
18．（2024春•田家庵区校级期中）下列选项中正确的是
A．81的立方根是3B．的平方根是
C．立方根等于平方根的数是1D．4的算术平方根是2
19．（2024春•瑶海区期中）若，，则等于
A．19.02B．190.2C．40.98D．409.8
20．（2024春•无为市期中）求下列各式中的值：
（1）； （2）．
【题型5 无理数】
21．（2024春•庐江县期中）下面实数中，是无理数的是
A．B．C．3.1415D．
22．（2024春•蜀山区校级期中）下列四个数中，属于无理数的是
A．B．C．D．
23．（2024春•太湖县期中）下列各数中：，，，，3.14159，，无理数的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
24．（2024春•庐阳区校级期中）以下是无理数的是
A．B．C．D．1.010010001
25．（2024•淮北一模）下列实数为无理数的是
A．B．C．D．
【题型6 实数】
26．（2024春•大观区校级期中）下列实数：3.14，，，，0.121121112，中，有理数的个数为
A．1B．2C．3D．4
27．（2023秋•和县期末）下列实数3.1415，，，，（每两个0之间依次多一个中，有理数个数有
A．1B．2C．3D．4
28．（2023秋•包河区期末）下列说法正确的是
①正整数和负整数统称整数；
②平方等于9的数是3；
③是精确到千位；
④一定比大；
⑤是有理数，是无理数．
A．2个B．3个C．4个D．5个
29．（2024春•庐阳区校级期中）观察下列各式：
①
②
③
（1）直接写出第④个等式 ．
（2）请你将猜想到的规律用含自然数代数式表示出来，并说明理由．
【题型7 实数的性质】
30．（2024春•大观区校级期中）下列说法正确的是
A．与2互为相反数B．与互为倒数
C．D．是无理数
31．（2024春•蜀山区期中）下列各组数中互为相反数的是
A．与B．与C．与D．与
32．（2023春•长丰县期末）的绝对值是 ．
33．（2023•泗县校级模拟）的倒数是
A．B．C．D．
【实数8 实数与数轴】
34．（2023春•瑶海区期中）如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是
A．B．C．D．
35．（2023春•淮南期中）如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为
A．B．C．D．
36．（2023春•谯城区期末）如图，数轴上表示1，的对应点分别为，，，则点所表示的数是
A．B．C．D．
【实数9 实数大小比较】
37．（2024春•黄山期中）下列各式中，正确的是
A．B．C．D．
38．（2024春•黄山期中）实数，0，，中，最小的数是
A．B．0C．D．
39．（2024春•庐阳区校级期中）比较大小： ．（填“、、或”
40．（2023春•蒙城县校级期中）比较大小： ．（填“、、或”
【题型10 估算无理数的大小】
41．（2024春•芜湖期中）若整数满足，则的值是
A．8B．9C．10D．11
42．（2024春•庐阳区校级期中）已知，在两个相邻整数之间，则这两个整数是
A．2和3B．3和4C．4和5D．5和6
43．（2023春•和县校级期末）估计的值在
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
44．（2024春•黄山期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ．
【题型11 实数的运算】
45．（2023•安徽）计算： ．
46．（2024春•无为市期中）已知，、是有理数，且，则 ．
47．（2023春•怀宁县期末）圆的面积比原来增加倍，则它的半径是原来的 倍．
A．B．C．D．
48．（2024春•瑶海区期中）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中的较大值，如：，，，等等；按照这个规定，若，，则的值是
A．5B．5或C．或D．5或
49．（2023春•青阳县期末）如图，实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ．
50．（2024春•田家庵区校级期中）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式： ；
（2）请利用上述规律计算（仿照上式写出过程）；
（3）请利用你发现的规律，计算：
．
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1．（2023春•霍山县校级期中）9的算术平方根是
A．3B．C．D．
2．（2023春•贵池区期中）9的平方根是
A．B．3C．D．
3．（2023春•长丰县期末）的平方根是
A．3B．C．D．
4．（2023春•庐阳区校级期末）的立方根是
A．8B．C．4D．
5．（2023春•裕安区校级期末）的算术平方根是 ．
6．（2024春•庐阳区校级期中）计算： ．
7．（2023春•淮南期中）若实数的位置如图所示，则、、、，的大小关系是 （用号连接）
8．（2024春•黄山期中）已知，则 ．
9．（2023春•天长市校级期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
10．（2024春•黄山期中）计算：．
11．（2022春•宣州区校级期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为，
（1）求的值．
（2）求的值．
12．（2024春•田家庵区校级期中）已知的平方根是，的立方根是3．
（1）求的平方根；
（2）若的算术平方根是4，求的立方根．
满分技法
一个正数的平方根有两个，同学们往往容易遗漏负的平方根.做题时一定要核对是否正负的平方根都有.
满分技法
(1)求一个数的算术平方根和求一个数的平方根的方法一样，但要注意算术平方根是非负数.
（2）对于带分数，要先化成假分数，再求它的算术平方根.
关于几个非负数的和为0的问题的求解方法：
目前学习过的非负数有三种:①;②;③.求解几个非负数的和为0的问题时,要先根据非负数的性质得到方程组，求得方程组的解，再代入求值。
满分技法
任何一个数都可以开立方.(2)开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号。
两个与立方根有关的常用公式：
,该式成立的依据是立方与开立方互为逆运算，应用时能去掉根号，起到化简的作用.
(ii),可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数.
（3）解立方根方程破题思路:先利用等式的性质将所给式子化为的形式,再利用开立方运算求出的值,
满分技法
(1)对于无理数，要抓住“无限”“不循环”“小数”三个特征,缺一不可.
(2)用根号形式表示的数并不都是无理数,如,.
(3)无理数不能化成分数.
满分技法
实数分类要注意的两点：
(1)0既不是正实数，也不是负实数.
(2)对于实数的分类,不能只看表面形式，还要注意对于可以化简的实数,要先对其进行化简，再分类.
满分技法
(1)任何一个实数都有相反数.
(2)只有非零实数才有倒数.
(3)正实数的绝对值等于它本身，负实数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0.
满分技法
数轴上的点与实数是一一对应的，但与有理数不是一一对应的，即有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数.
满分技法
实数比较大小的常用方法：
实数性质法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数;两个正数，绝对值大的数较大;两个负数，绝对值大的数反而小；
数形结合法：数轴上右边的点表示的数总是大于左边的点表示的数；
估算法：利用估算来确定某一实数的大致范围，从而比较大小；
平方法:把两个含根号的无理数同时平方，根据平方数来比较大小；
作差法:对于实数,可求出a与b的差,若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a作商法:对于实数，若则；若则；若则.
满分技法
在计算中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法“夹逼法”；
对于形如的无理数,常有估计它介于哪两个整数之间、比较实数的大小、表示这个数的整数部分和小数部分等考查形式.
满分技法
（1）在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用.实数混合运算的顺序:先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的；
（2）去绝对值符号时，一定要先判断式子的正负，再去掉绝对值符号.