专题02 一元一次不等式（组）（解析版讲义）

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知识点1：不等式的定义
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
知识点2：不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
知识点3：不等式的解集
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
知识点4：在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
知识点5：一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
知识点6：解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
知识点7：一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
题型归纳
【题型1 不等式的定义】
1．（2023春•埇桥区期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，你认为其中是不等式的有
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】
【分析】根据不等式的定义逐个判断即可得到答案．
【解答】解：①是不等式；②是不等式；③是不等式；④是整式；⑤是方程；⑥是不等式；
题中共有4个不等式，
故选：．
【点评】本题考查不等式定义，熟记由不等号表示大小关系的式子叫不等式是解决问题的关键．
2．（2023春•埇桥区校级期中）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】
【分析】根据不等式的定义进行判断即可．
【解答】解：①③⑤是不等式，②④不是不等式，
则不等式有3个，
故选：．
【点评】本题考查不等式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（2023春•亳州期末）八年级（1）班生物兴趣小组在恒温箱中培养甲，乙两种菌种，甲种菌种生长的温度在之间，乙种菌种的生长温度在之间，那么恒温箱的温度应该设定在范围
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由题意得出的取值范围即可．
【解答】解：甲种菌种生长的温度在之间，乙种菌种的生长温度在之间，
，
即恒温箱的温度应该设定在范围之内，
故选：．
【点评】本题考查不等式的定义，理解题意后求得的范围是解题的关键．
4．（2023春•庐阳区校级期中）老师和同学们玩猜数游戏．老师在心里想一个100以内的数字，同学们可以提问，老师只能点头或者摇头回应对错．甲问：“小于50吗？”老师摇头．乙问：“不大于75吗？”老师点头．丙问：“不小于60吗？”老师点头．老师心里想的数字所在的范围为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】解：甲问：“小于50吗？”老师摇头，
①；
乙问：“不大于75吗？”老师点头，
②；
丙问：“不小于60吗？”老师点头，
③，
①②③联立可得，．
故选：．
【点评】本题考查的是不等式的定义，根据题意得出各不等式是解题的关键．
5．（2023春•宣城期中）据气象台预报，2021年6月某日我区最高气温，最低气温，则当天气温的变化范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据2021年6月某日我区最高气温和最低气温得出答案即可．
【解答】解：年6月某日我区最高气温，最低气温，
当天气温的变化范围是，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的定义，注意：的范围包括和．
【题型2 不等式的性质】
6．（2023春•泗县期末）如果，那么下列各式中一定正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可得解．
【解答】解：．不等式两边同时减5，不等号方向不变，即，故本选项错误；
．不等式两边同时乘以，不等号方向不变，即，故本选项错误；
．当，时，，，，故本选项错误；
．不等式两边同时乘以，不等号方向改变，即，故本选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题，严格按照三条基本性质进行判断即可得到正确答案．
7．（2023春•砀山县校级期中）下列不等式一定成立的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可．
【解答】解：、当时，，故本选项不合题意；
、因为不等式的两边同加（减同一个数（式子），不等号的方向不变，所以一定成立，故本选项符合题意；
、当时，，故本选项不合题意；
、当时，，故本选项不合题意；
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
8．（2023春•花山区校级期中）若，则下列式子中正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据不等式的性质进行判断．
【解答】解：、不等式的两边同时除以2，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意；
、不等式的两边同时减去3，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意；
、不等式的两边同时乘，不等式仍成立，即，故本选项符合题意；
、不等式的两边同时减去，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
9．（2024春•庐阳区校级期中）若，则下列不等式一定成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据不等式性质逐项判断即可．
【解答】解：，
，故错误，不符合题意；
当，时，满足，但，故错误，不符合题意；
，
，
，故正确，符合题意；
当时，，故错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握在不等式两边同时乘除一个负数，不等号的方向改变．
10．（2024春•庐江县校级期中）已知实数，满足，，则下列结论不正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据不等式的性质进行计算和推理，即可求解．
【解答】解：，，
，
，项正确，不符合题意；
由，得，
，项正确，不符合题意；
由，得，
代入，得，
，
，
，，
，项错误，符合题意；
，，
，，，
，项正确，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是关键．
11．（2024春•瑶海区校级期中）若，则下列不等式正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：若，两边同时加上2得，则不符合题意；
若，两边同时乘以得，则不符合题意；
若，则，则符合题意；
若，两边同时乘以得，则不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查不等式性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【题型3 不等式的解集】
12．（2023春•桐城市期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据不等式的解集为，判断出，并求出的值，进而求出不等式的解集即可．
【解答】解：，
，
不等式的解集为，
，且，
，且，
，
，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了不等式的性质的应用，以及不等式的解集的求法，解答此题的关键是判断出的正负，并求出的值．
13．（2023春•界首市期末）下列各数，是不等式的解的是
A．B．C．1D．3
【答案】
【分析】应用不等式解的定义进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
．即3是不等式的解．
故选．
【点评】本题主要考查了不等式的解，熟练掌握不等式的解的定义进行求解是解决本题的关键．
14．（2023春•庐江县期末）若不等式组无解，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据大大小小找不到易得．
【解答】解：因为不等式组无解，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
15．（2023春•金安区校级期中）若不等式组的解集为，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用同大取大得到的取值范围．
【解答】解：不等式组的解集为，
．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解集．
16．（2023春•萧县期中）一元一次不等式组的解集是，则的取值范围是．
【答案】．
【分析】根据判断不等式解集的口诀”同大取大“和不等式的解集判断的取值范围，列出关于的不等式，解不等式即可．
【解答】解：一元一次不等式组的解集是，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了不等式的解集，解题关键是熟练掌握判断不等式解集的口诀．
17．（2023春•埇桥区校级期中）若不等式的解集是，则的取值范围是 ．
【分析】根据不等式基本性质3两边都除以，由解集可得，可得的范围．
【解答】解：不等式两边都除以，得其解集为，
，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质3，不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变是关键．
18．（2023春•砀山县校级期中）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于2的实数，则称这三个代数式构成“礼让不等式”．例如：三个代数式，，有：当时的解集为，则称，，，构成“礼让不等式”．
（1），1，可以构成“礼让不等式”吗？请说明理由；
（2）若，，构成“礼让不等式”，求的值．
【答案】（1），1，可以构成“礼让不等式”，理由见解析；
（2）或．
【分析】（1）根据新定义，解不等式，即可得出结论；
（2）分类讨论，分别解不等式，，，，根据解集大于2，求得的值，即可求解．
【解答】解：（1），1，可以构成“礼让不等式”．
理由：，即的解集为，
，1，可以构成“礼让不等式”．
（2）①若，．
，，构成“礼让不等式”，
，解得．
②若，即．
，，构成“礼让不等式”，
，解得．
③若，即，无法保证是大于2的实数（舍去）．
综上所述，或．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，理解新定义并列出不等式是解题的关键．
【题型4 在数轴上表示不等式的解集】
19．（2023春•芜湖期末）如图，在数轴上表示的的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可．
【解答】解：如图，
在数轴上表示的的取值范围为，
故选：．
【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提．
20．（2023春•淮南期末）不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式的解是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得出结论．
【解答】解：处是空心圆点，且折线向右，
．
故选：．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
21．（2024春•太湖县期中）不等式组的解集在数轴上表示为
A．B．
C．D．
【分析】直接把各不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示为：
．
故选：．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知：“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
22．（2024春•蜀山区期中）如图所示，在数轴上表示为，它的解集是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据利用数轴表示不等式的解集的方法，向右表示大于，向左表示小于，有等号用实心圆点，没有等号用空心圆圈表示，写出不等式的解集即可．
【解答】解：观察图形可知，它的解集是．
故选：．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法是解题的关键．
23．（2023春•天长市校级期中）定义运算：，例如：，若不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是 0 ．
【答案】0．
【分析】由新定义的运算可得，进而求出关于的不等式的解集，结合不等式解集在数轴上的表示，得出，再求出即可．
【解答】解：由新运算的定义可得，，
所以，
解得，
由数轴上表示的解集可知，，
解得．
故答案为：0．
【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的前提．
24．（2023春•阜南县校级期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为 ．
【答案】．
【分析】根据不等式解集的特点，直接表示解集即可．
【解答】解：根据数轴可知，
不等式的解集为，
故答案为：．
【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上点的特点，不等式解集的特点是解题的关键．
【题型5 一元一次不等式的定义】
25．（2024春•埇桥区期中）下列各式中，是一元一次不等式的是
A．B．C．D．
【分析】根据一元一次不等式的定义进行选择即可．
【解答】解：、不含有未知数，错误；
、不是不等式，错误；
、符合一元一次不等式的定义，正确；
、分母含有未知数，是分式，错误．
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式的识别，注意理解一元一次不等式的三个特点：
①不等式的两边都是整式；
②只含1个未知数；
③未知数的最高次数为1次．
【题型6 解一元一次不等式】
26．（2024春•埇桥区期中）关于的方程的解是正数，那么的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】解方程得，由方程的解为正数得出关于的不等式，解之可得．
【解答】解：解方程，得：，
方程的解为正数，
，
解得，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式和一元一次方程的能力．
27．（2024春•蜀山区校级期中）不等式的解集是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：，
，
，
则，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
28．（2024春•金安区校级期中）解不等式：．
【答案】．
【分析】根据解一元一次不等式的方法可以解答本题．
【解答】解：，
去分母，得：，
移项及合并同类项，得：．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
29．（2024春•庐阳区校级期中）解不等式：．
【答案】．
【分析】根据解一元一次不等式的方法求解即可．
【解答】解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
30．（2024春•蜀山区校级期中）定义一种新运算“※”：当时，※；当时，※．例如：3※，※．
（1）填空：2※ 1 ；
（2）若是一个负数，且满足※，求的取值范围．
【答案】（1）1；
（2）．
【分析】（1）根据时，※列式计算即可；
（2）由判断，由※得，解之即可得出答案．
【解答】解：（1）2※
；
故答案为：1；
（2），
，，
则，
由※得，
则，
，
，
．
．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
31．（2024春•埇桥区校级期中）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】．
【分析】首先去括号、移项合并同类项，最后把的系数化为1得到不等式的解集，然后利用数轴表示其解集．
【解答】解：，
则，
，
解得：．
不等式组的解集如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式：先去括号，然后移项、合并，最后把未知数的系数化为1即可．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
【题型7 一元一次不等式的特殊解】
32．（2023春•庐阳区校级期末）不等式的非负整数解有 3 个．
【答案】3．
【分析】不等式移项后，将系数化为1求出解集，找出解集中的非负整数解即可．
【解答】解：，
，
．
非负整数有0，1，2共3个，
故答案为：3．
【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
33．（2023春•蜀山区校级期中）不等式的正整数解有 2 个．
【答案】2．
【分析】求出不等式的解集，即可得到满足条件的正整数解．
【解答】解：两边同时乘以6得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
把未知数系数化为1得：，
不等式的正整数解有1，2，共2个，
故答案为：2．
【点评】本题考查解一元一次不等式和求满足条件的正整数，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．
34．（2023春•瑶海区期末）若关于的不等式恰有3个正整数解，则的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】根据已知不等式恰有3个正整数解，确定出的范围即可．
【解答】解：，
，
关于的不等式恰有3个正整数解，
，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
35．（2024春•长丰县期中）已知关于的方程的解是不等式的最小整数解，求的算术平方根．
【答案】2．
【分析】先求出不等式的解集，再根据关于的方程的解是不等式的最小整数解，即可得到的值，然后将的值代入方程求出的值，最后求的算术平方根即可．
【解答】解：由可得，，
关于的方程的解是不等式的最小整数解，
，
，
解得，
，
即的算术平方根是2．
【点评】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解、算术平方根，解答本题的关键是求出的值．
36．（2023春•潜山市期中）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值．
【答案】2023．
【分析】求出不等式的解集，在解集中找出最小的整数解，将最小的整数解代入方程中，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，将的值代入所求代数式中计算，即可求出值．
【解答】解：不等式，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
则不等式最小的整数解为，
又不等式最小整数解是方程的解，
将代入方程得：，
解得：，
则．
【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，代数式的求值，以及一元一次方程的解，找出不等式的最小整数解是解本题的关键．
37．（2024春•太湖县期中）计算：
（1）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围；
（2）若关于的不等式的最小整数解为2，求的取值范围．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）将看作已知数求出方程组的解，即可得到关于的不等式，解不等式求出的范围即可．
（2）先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围．
【解答】解：（1），
①②，得，
解得．
将代入②，得，
解得．
，
，
解得．
故的取值范围是．
（2）解不等式，得：，
不等式有最小整数解2，
，
解得：，
故的取值范围是．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
【题型8 由实际问题抽象出一元一次不等式】
38．（2024春•太湖县期中）一件商品的成本价是50元，如果按原价的八五折销售，至少可获得的利润，若设该商品的原价是元，则列式正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据原价乘以0.85减去本价等于利润列不等式即可得到答案．
【解答】解：商品获利为元，
至少可获得的利润，
，即，
故选：．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解利润售价减去进价是解题的关键．
39．（2023春•宣州区校级期中）某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打几折？如果将该商品打折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是
A．B．
C．D．
【分析】直接利用打折与利润的计算方法得出不等关系进而得出答案．
【解答】解：根据题意可得：
．
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．
40．（2024春•长丰县期中）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在礼花弹燃放前转移到以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为，则导火线的长（单位：应满足的不等式为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为，从而可以列出相应的方程．
【解答】解：人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过以外的安全区域，
，
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
41．（2023春•霍邱县期中）语句“的与的差不超过3”可以表示为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】的即，不超过3是小于或等于3的数，按语言叙述列出式子即可．
【解答】解：“的与的差不超过3”，用不等式表示为．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
42．（2023春•宣城期中）北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品件，则能够得到的不等式是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】设购买冰墩墩礼品件，则购买雪容融礼品件，根据“冰墩墩单价冰墩墩个数雪容融单价雪容融个数”可得不等式．
【解答】解：设购买冰墩墩礼品件，则购买雪容融礼品件，
根据题意，得：，
故选：．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系．
43．（2024春•安庆期中）“的3倍与2的差不小于9”列出的不等式是 ．
【答案】．
【分析】不小于9就是大于等于9，根据的3倍与2的差不小于9可列出不等式．
【解答】解：的3倍与2的差不小于9，列出的不等式是
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意是解题的关键．
44．（2023春•安庆期末）“与2的差大于”用不等式表示为 ．
【答案】．
【分析】“与2的差大于”可以表示为，本题得以解决．
【解答】解：与2的差大于”用不等式表示为，
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
【题型9 一元一次不等式的应用】
45．（2024春•大观区校级期中）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打 8.8 折．
【分析】利润率不能少于，意思是利润率大于或等于，相应的关系式为：（打折后的销售价进价）进价，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设这种商品可以按折销售，
则售价为，那么利润为，
所以相应的关系式为，
解得：．
答：该商品最多可以打8.8折，
故答案为：8.8．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能低于”用数学符号表示为“”；利润率是利润与进价的比值．
46．（2023春•埇桥区校级期中）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀分或85分以上），则小明至少答对了 18 道题．
【答案】18．
【分析】设小明答对了道题，则答错或不答道题，利用得分答对题目数答错题目数，结合得分不少于85分，可列出关于的一元一次不等式，解之可求出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
【解答】解：设小明答对了道题，则答错或不答道题，
根据题意得：，
解得：，
又为非负整数，
的最小值为18，
小明至少答对了18道题．
故答案为：18．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
47．（2023春•蜀山区校级期中）小明打算周末与同学一起徒步大蜀山，计划上午8点出发，到最远处后休息，下午5点以前必须回到出发点．如果他们去时的平均速度是，回来时的平均速度是，他们最远能到的距离为 12 （表示出发点到山顶的路程）．
【答案】12．
【分析】设他们能到达的距离为，利用时间路程速度，结合下午5点以前必须回到出发点，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：设他们能到达的距离为，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为12，即他们最远能到的距离为．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
48．（2024春•太湖县期中）科幻电影《流浪地球》的成功标志着中国电影工业化迈向了新的台阶．某企业眼光独到，准备生产一批乐高模型投放市场，计划生产“笨笨”、“ ”两种产品共100件，需购买价格为30元千克的种材料和价格为20元千克的种材料．通过调研，获得以下信息：
信息1：生产一件“笨笨”需种材料4千克，种材料1千克；
信息2：生产一件“”需种材料3千克，种材料4千克．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）现工厂用于购买、两种材料的资金不能超过15000元，且生产“”不少于30件，请问有哪几种符合条件的生产方案？
（2）在（1）的条件下，若生产一件“笨笨”需加工费60元，生产一件“”需加工费80元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？
【答案】（1）甲：20、乙：30；甲：19、乙：31；甲：18、乙：32；甲：17、乙：33；
（2）选择甲：80、乙：30这种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低．
【分析】（1）设生产“” 件，生产“笨笨” 件．由题意得，解不等式可得出，则可得出答案；
（2）由（1）中方案可计算生产这批产品的成本得出答案．
【解答】解：（1）设生产乙产品件，生产甲产品件．由题意得，
，
解得，
又生产乙产品不少于30件，
，
为整数，
，31，32，33．
符合条件的生产方案有甲：80、乙：30；甲：69、乙：31；甲：68、乙：32；甲：67、乙：33；
（2）方案一总共需成本费为：（元，
方案二总共需成本费为：（元，
方案三总共需成本费为：（元，
方案四总共需成本费为：（元，
应选择甲：80、乙：30这种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
49．（2024春•埇桥区期中）哈美佳外校为迎接“2023年元旦雪地足球赛”，计划购买品牌、品牌两种品牌号的足球．已知品牌足球比品牌足球单价多10元，若购买20个品牌足球和15个品牌足球需用3350元．
（1）求每个品牌足球和每个品牌足球各多少元；
（2）哈美佳外校决定购买品牌足球和品牌足球共50个，总费用不超过4650元，那么最多可以购买多少个品牌足球？
【答案】（1）每个品牌足球100元，每个品牌足球90元；
（2）15个．
【分析】（1）根据题意设未知数列方程解方程即可；
（2）根据题意列出不等式解不等式得出结果．
【解答】解：（1）设每个品牌足球单价为元，则每个品牌足球为元，
根据题意可得：，
解得：，，
答：每个品牌足球100元，每个品牌足球90元；
（2）设购买个品牌足球，则购买个品牌足球，
依题意得：，
解得：，
答：最多可以购买15个品牌足球．
【点评】本考查的是实际问题与一元一次方程，实际问题与一元一次不等式，审清题意找出数量关系是解题的关键．
50．（2024春•庐阳区校级期中）在七年级进行的“知识问答”竞赛预赛中共有20道题．规定每答对一道题得10分，答错或者不答倒扣5分，总得分不少于85分者通过预赛．小李同学通过了预赛，问他至少答对了几道题？
【答案】他至少答对了11道题．
【分析】设答对道，根据总得分不少于80分，列出不等式，解之即可．
【解答】解：设答对道，则答错或不答的题目就有道，
由题意可得：，
解得：，
他至少答对了11道题．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的运用，解答本题的关键是根据题意列出不等式．
51．（2024春•蜀山区校级期中）为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，我校计划从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务训练，经多方调研，现决定购买品牌篮球和品牌足球共50个，要求采购总费用不超过1.21万元．若甲、乙两商店销售这两种商品的零售价相同，其中篮球每个零售价300元，足球每个零售价200元．
（1）若按照商场零售价直接购买，至多可以买篮球多少个？
（2）为促进消费，盘活库存，甲、乙两商店均开展“大订单超值购”活动，推出不同的优惠方案：甲店篮球按零售价格打8折销售，足球按照零售价格原价销售；乙店按照购买篮球和足球的零售总价格打9折销售；若学校至少采购篮球18个，请你运用所学知识，帮采购人员算一算：我校从哪家商店购买篮球和足球更合算？说说你的理由（按照采购规定，篮球和足球只能从同一家商店购买）．
【答案】（1）至多可以买篮球21个；
（2）当购买篮球18个或19个，到乙店划算；购买篮球20个，到两店都一样；购买篮球多余20个，到甲店划算．
【分析】（1）设购买篮球个，根据采购总费用不超过1.21万元得：，故，即得至多可以买篮球21个；
（2）设购买篮球个，甲店购买总费用为，乙店购买总费用为，可得：，，再分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）设购买篮球个，则购买足球个，
根据题意得：，
解得，
至多可以买篮球21个；
（2）设购买篮球个，甲店购买总费用为，乙店购买总费用为，则购买足球个，
根据题意得：，，
当时，到乙店划算，解得，
学校至少采购篮球18个，
时，到乙店划算；
当时，到两店都一样，解得，
当时，解得，
综上所述，当购买篮球18个或19个，到乙店划算；购买篮球20个，到两店都一样；购买篮球多余20个，到甲店划算．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
【题型10 解一元一次不等式组】
52．（2024春•庐阳区校级期中）解不等式组．
【答案】．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
53．（2024春•瑶海区校级期中）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式组的解集是，
【分析】先求出每一个不等式的解集，然后利用数轴找出两个解集的公共部分即可．
【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集是，
在数轴上表示如下：
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意是否取得到，若取得到则在该点是实心的．反之在该点是空心的．
54．（2024春•安庆期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式组的解集是．
【分析】先求出每一个不等式的解集，然后利用数轴找出两个解集的公共部分即可．
【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集是，
在数轴上表示如下：
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意是否取得到，若取得到则在该点是实心的．反之在该点是空心的．
55．（2024春•蜀山区校级期中）解不等式组，并把解集在数轴上标出来．
【答案】不等式组的解集为．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：由得：；
由得：，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
不等式组的解集为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
56．（2024春•蜀山区校级期中）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．
【答案】，在数轴表示解集见解答．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
在数轴表示如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【题型11 一元一次不等式组的特殊解】
57．（2021春•马鞍山期末）解不等式组，并写出它的正整数解．
【答案】1，2．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集，然后再确定它的正整数解．
【解答】解：，
由①得，
由②得，
不等式组的解集为，
则它的正整数解为1，2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
58．（2024春•瑶海区期中）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．
【答案】不等式组的解集为．不等式组的所有非负整数解为0，1，2．
【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解即可．
【解答】解：解不等式①，得．
解不等式②，得．
不等式组的解集为．
不等式组的所有非负整数解为0，1，2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集，难度适中．
59．（2023春•怀宁县期中）解不等式组：，并写出此不等式组的整数解．
【答案】；整数解为．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得整数解．
【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集为，则不等式组的整数解为．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
60．（2023春•庐阳区校级期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ①② ；（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围；
（3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围．
【答案】（1）①②；
（2）；
（3）的取值范围是．
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于的不等式组，进行计算即可；
（3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出，即可得出．
【解答】解：（1）①，
解得：，
②，
解得：，
③，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
不等式组的“关联方程”是：①②，
故答案为：①②；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
，
解得：，
关于的方程是不等式组的“关联方程”，
，
解得：；
（3）关于的方程，
解得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
不等式组有4个整数解，
整数的值为1，2，3，4，
，
，
关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，
，
解得：．
的取值范围是．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键．
过关检测
1．（2024春•蜀山区校级期中）已知，根据不等式的性质，下列式子不成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：已知，两边同时减去2得，则不符合题意；
已知，两边同时加上1得，则不符合题意；
已知，两边同时除以3得，则符合题意；
已知，两边同时乘以得，则不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查不等式性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（2024春•瑶海区校级期中）已知三个实数，，满足，，则
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】依据题意，由得，，结合，可得，再将代入可以得解．
【解答】解：，
，，
，
．
．
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题时要熟练掌握并理解．
3．（2024春•蜀山区校级期中）如图表示的是关于的不等式的解集，则的值是
A．0B．C．D．3
【答案】
【分析】解不等式得出，结合数轴知，据此可得关于的方程，解之可得答案．
【解答】解：，
，
则，
由数轴知，
，
解得，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
4．（2024春•蜀山区校级期中）某超市每千克4元的价格购进一批蔬菜，销售过程中有的蔬菜正常损耗，则超市售价定为不低于 元才能避免亏本．
A．4.5B．4.8C．5D．6
【答案】
【分析】首先设超市售价定为元，由题意得：定价进价4元，然后列出不等式，再解即可．
【解答】解：设超市售价定为元，由题意得：
，
解得：，
故选：．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，设出未知数，列出不等式．
5．（2024春•大观区校级期中）已知不等式组的解集为，则的值为 1
【答案】1．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，，即可求出，的值，最后再代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集为，
，，
，，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查了根据不等式组的解集求参数，解答本题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
6．（2023春•大观区校级期末）若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】分别对于不等式组进行求解，然后根据题意确定实数所满足的条件，求解即可．
【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
原不等式组恰有3个整数解，
，解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于的不等式组是解答此题的关键．
7．（2023春•芜湖期末）将若干只鸡放入若干个笼内，若每个笼里放4只，则有1只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有1笼无鸡可放，另有1笼没有放满，那么最多有 41 只鸡．
【答案】41．
【分析】设有个笼子，则共有只鸡，根据“若每个笼里放5只，则有1笼无鸡可放，另有1笼没有放满”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再将其中的最大值代入中，即可得出结论．
【解答】解：设有个笼子，则共有只鸡，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为10，此时，
即最多有41只鸡．
故答案为：41．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
8．（2023春•凤台县期末）如图，某同学设计了一种计算流程图，据图完成下列问题：
（1）任意写出一个实数，使得该值经过一次运行就能输出结果，则该数为 3（答案不唯一） ；
（2）如果要使开始输入的的值经过两次运行才能输出结果，那么的整数值为 ．
【分析】（1）根据输入的数值经过一次运行就能输出结果，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其内的任意一值，即可得出结论；
（2）根据输入的数值经过两次运行才能输出结果，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再取其内的所有整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：，
的值可以为3．
故答案为：3（答案不唯一）；
（2）根据题意得：，
解得：，
为整数，
或2，
的整数值为1或2．
故答案为：1或2．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（组是解题的关键．
9．（2022春•田家庵区期末）肺炎疫情期间，口罩成了家家户户必备的防疫物品．在某超市购买2只普通医用口罩和3只口罩的费用是22元；购买5只普通医用口罩和2只口罩的费用也是22元．
（1）求该超市普通医用口罩和口罩的单价；
（2）若准备在该超市购买两种口罩共50只，且口罩不少于总数的，试通过计算说明，在预算不超过190元的情况下有哪些购买方案．
【分析】（1）设普通医用口罩的单价为元，口罩单价为元，根据题意列方程组解答即可；
（2）设购买普通医用口罩个，则购买口罩个，根据口罩不少于总数的；预算不超过190元；列出不等式组解答即可．
【解答】解：（1）设普通医用口罩的单价为元，口罩单价为元，依题意有
，
解得．
故普通医用口罩的单价为2元，口罩单价为6元；
（2）设购买普通医用口罩个，则购买口罩个，依题意有
，
解得．
购买方案：①购买普通医用口罩28个，购买口罩22个；②购买普通医用口罩29个，购买口罩21个；③购买普通医用口罩30个，购买口罩20个．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出等量关系和不等式关系式即可求解．
10．（2023春•谯城区校级期末）2020年4月，随着蔚来中国总部落户合肥，全国新能源汽车之都已成为合肥新的代名词．某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元．
（1）问型，型新能源汽车的单价分别是多少万元？
（2）若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，费用不超过365万元，且型新能源汽车的数量少于型新能源汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】（1）型新能源汽车的单价为15万元，型新能源汽车的单价为20万元；
（2）费用最省的方案为购进9辆型新能源汽车，11辆型新能源汽车，该方案所需费用为355万元．
【分析】（1）设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元，根据“购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，根据“购进型新能源汽车的数量少于型新能源汽车的数量，且购买费用不超过365万元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各进货方案，再利于总价单价数量，可分别求出各购进方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元，
依题意得：，
解得：．
答：型新能源汽车的单价为15万元，型新能源汽车的单价为20万元．
（2）设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，
依题意得：，
解得：．
又为整数，
可以取7，8，9，
共有3个进货方案，
方案1：购进7辆型新能源汽车，13辆型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）；
方案2：购进8辆型新能源汽车，12辆型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）；
方案3：购进9辆型新能源汽车，11辆型新能源汽车，该方案所需费用为（万元）．
，
费用最省的方案为购进9辆型新能源汽车，11辆型新能源汽车，该方案所需费用为355万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
11．（2023春•定远县期中）为了提高同学们互助学习的能力，数学老师准备把班里的同学分成几个学习小组．已知班级学生数为奇数，如果每个小组分5人，那么余4人；如果每个小组分6人，那么最后一个小组有人但分到的人数不足3人，求班里共有多少名学生．
【答案】49名．
【分析】设准备分成个小组，则班里共有个学生，根据题意列不等式组，求解得到，再根据为正整数和班级学生数为奇数进行讨论，即可得到答案．
【解答】解：设准备分成个小组，则班里共有个学生，
根据题意，得，
解得：，
为正整数，
或，
当时，（名，
当时，名），
班级学生数为奇数，
班里共在49名学生．
【点评】本题主要考查了不等式组的实际应用，理解题意，正确列不等式组是解题关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/11 0:20:49；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231
满分技法
判断一个式子是否为不等式的关键是看连接的符号，若连接的符号不是不等号，则式子一定不是不等式.
满分技法
运用不等式的性质3对不等式进行变形时，一定要注意不等号方向要改变.
满分技法
不等式解集的两个特征(1)解集中每一个数值都能使不等式成立;(2)使不等式成立的每一个数值都在不等式的解集中.
不等式的解集一般是一个范围，如果这个范围不包括所有使不等式成立的未知数的值，或者这个范围内存在使不等式不成立的值，那么它就不是不等式的解集.
满分技法
在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，在数轴上表示不等式时，要牢记:①大于向右画，小于向左画;②有等号的端点画实心圆点，无等号的端点画空心圆圈.
在数轴上表示不等式的解集或根据不等式的解集在数轴上的表示来写不等式时，要特别注意两点:(1)准确确定方向和边界点;(2)准确使用不等号.
满分技法
判断一个式子是否为一元一次不等式，要做到两点:
(1)式子需要化简的,先进行化简;
(2)判断是否具备一元一次不等式的三个条件.
只有同时满足上面要求的，才是一元一次不等式.
满分技法
解不等式时的注意事项：
(1)去分母时,每一项都要乘以各分母的最小公倍数，尤其不要漏乘常数项.
(2)去括号时，若括号前面有负号,则括号里的每一项都要变号.
(3)移项时,不要忘记变号.
(4)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,不等号的方向改变。
满分技法
求不等式的特殊解的两种方法方法 ：
方法1:先求出不等式的解集,再在解集中确定符合要求的特殊解.
方法2:运用数形结合思想，把不等式的解集在数轴上表示出来,这样更易于确定不等式的特殊解.
满分技法
解决此类题的关键是从实际问题中获取有用的信息，找出相等和不等关系，把实际问题转化为数学问题，
满分技法
利用不等式解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答.
满分技法
抓住三个关键点,正确解一元一次不等式组：
(1)准确地解出各一元一次不等式;
(2)准确地把各不等式的解集表示在数轴上;
(3)准确地找出各不等式解集在数轴上的公共部分.
满分技法
求不等式组的特殊解的方法：
求不等式组的特殊解时，先求不等式组中各不等式的解集，再求出不等式组的解集,然后在不等式组的解集中找出符合条件的特殊解(如正整数解、最小整数解等).为了直观明了，可以借助数轴来找特殊解.