专题06特殊平行四边形（原卷版讲义）

这是一份专题06特殊平行四边形（原卷版讲义），共36页。

知识点1：菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
知识点2：菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
知识点3：菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）
（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
知识点4：矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质：
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
知识点5：矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）方法：
①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
知识点6：矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
知识点7：正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质：
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
知识点8：正方形的判定
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
知识点8：正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
题型归纳
【题型1 矩形性质理解】

1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）下列四边形：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形．对角线一定相等的是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②D．②③
2．（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）已知：如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则等于（ ）

A．6B．5C．D．
3．（22-23八年级下·安徽淮南·期中）如图，已知以的三边在的同一侧分别作三个等边三角形，即、、．试判断下列结论：
①四边形是平行四边形；
②若四边形是矩形，则；
③若四边形是菱形，则；
④当时，四边形不存在．
其中正确的结论有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为 ．
【题型2 利用矩形的性质求角度】
5．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，若正五边形和矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．

7．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图，、是矩形边上的两点，．

(1)若，则______°；
(2)求证：．
【题型3 根据矩形的性质求线段长】
8．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，在矩形中，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
9．（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，将两张长为，宽为的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形．
(1)证明：四边形是菱形：
(2)求菱形的面积．
11．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为．
(1)求当t为何值时，四边形是正方形；
(2)求当t为何值时，；
(3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值．
【题型4 利用矩形的性质证明】
12．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）已知在矩形中，，．在上取一点，，点是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点落在边上，点落在矩形内或其边上．若，的面积为．
(1)如图1，当四边形是正方形时，求的值；
(2)如图2，当四边形是菱形时，求与的函数关系式；
(3)求当为多少时，最大；当为多少时，最小．
13．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知：如图，点P为矩形内一点，且，求证：．
14．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，O是四边形两条对角线和的中点，E为四边形外一点，连接，四边形是矩形．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若矩形的面积为12，周长为，求四边形的周长．
【题型5 矩形与折叠问题】
15．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，将矩形沿对角线折叠，点B落在点E处，若，平分，则的长是（ ）
A．B．C．D．
16．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在矩形纸片中，，点E在AB上，若点B关于直线CE的对称点落在AD上时，．则：
（1） °；
（2）BE的长为 ．
17．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，把长方形沿对折后点落在边的点处，，，求：
(1)的长；
(2)的长．
18．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）（1）如图1，在矩形中，、分别是、上的点，将矩形沿直线翻折，点恰好落在点处，点落在点处．
①求证：．
②若，，求折痕的长．
（2）如图2，将矩形沿直线翻折，点、分别落在点、处，，，，连接，当点为的三等分点时，直接写出的值．
【题型6 斜边的中线等于斜边的一半】
19．（2024八年级下·安徽·专题练习）在中，，为边上的中线，若以为斜边作，连接，则下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
20．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）在下列定理中，逆命题错误的是（ ）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．等腰三角形的底角相等
C．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等
D．全等三角形的面积相等
21．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，点D，E分别为边，的中点，点F在延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的周长．
22．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，，求四边形的周长．
【题型7 矩形的判定定理理解】
23．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）下列命题，其中是真命题的为（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
24．（22-23八年级下·安徽亳州·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线垂直的四边形是菱形
C．有三个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形
25．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）下列说法中，不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的矩形是正方形B．有一个角为直角的平行四边形是矩形
C．相邻两角都互补的四边形是平行四边形D．两边相等的平行四边形是菱形
26．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．四个角都相等的菱形是正方形
D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
【题型8 证明四边形是矩形】
27．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（ ）
A．B．
C．D．
28．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，设，，，给出下面四个结论：①；②；③ ；④；上述结论中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
29．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）如图，过四边形的四个顶点分别作对角线、的平行线，围成四边形．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当四边形满足______时，四边形是菱形（不用证明）；
(3)当四边形满足______时，四边形是矩形，请予以证明．
30．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，是对角线．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当平分时，判断四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由．
【题型9 根据矩形的性质与判定求线段长】
31．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，作，垂足为，作，垂足为，连接．
（1）当是的中点时，线段的长度是 ．
（2）线段长度的最小值是 ．
32．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，是以为斜边的直角三角形，，，为上一动点，且于，于，则线段长度的最小值是 ．
33．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图，这是某城市部分街道示意图，，，，，甲、乙两人同时从F站乘车到B站．
甲乘1路车：路线是．
乙乘2路车：路线是．
假设两车速度相同，途中耽搁时间相同，那么甲、乙两人谁先到达B站？请判断并说明理由．

34．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在等腰直角三角形中，．点D在三角形内部，，．

(1)求证：；
(2)若，，，求的长度；
(3)在（2）的条件下，求的值．
【题型10 利用菱形的性质求角度】
35．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）如图，菱形的边长为4，（不与A，D重合），点F是边上一动点，且．
①的度数为 ；
②面积的最小值为 ．

36．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在菱形中，过点A作于点E，交对角线于点F，点G为的中点．若，则 °．
37．（22-23八年级下·安徽黄山·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“特殊四边形”为主题展开数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折菱形纸片，使点与点重合，得到对角线折痕，把纸片展平；
操作二：在上任选一点，连接，并在延长线上取一点，使．
根据以上操作：在图中找出一个与相等的角 ；
(2)特例探究
探索当为多少度时，菱形为正方形？请说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片中，线段，时，求出正方形的边长．
【题型11 利用菱形的性质求线段长】
38．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
39．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，以，为边作矩形，已知菱形的面积为，则（ ）
A．1B．2C．D．
40．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，在菱形中，，，连接，过点作，交的延长线于点，则线段的长为 ．
41．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在菱形中，O为坐标原点，点A的坐标为， ．动点P从点A出发，沿着射线以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，沿着射线以每秒1个单位长度的速度运动．点 P，Q同时出发，设运动时间为秒．
(1)求点C的坐标．
(2)当时，求的面积．
(3)试探究在点 P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出此时t的值与点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型12 利用菱形的性质求面积】
42．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在菱形中，O为对角线的交点， ，则菱形的面积为（ ）
A．B．C．D．
43．（23-24八年级下·安徽黄山·期中）如图，菱形中，，，则边上的高 ．

44．（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于．，．

(1)求菱形的面积；
(2)求的长．
45．（22-23八年级下·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度．

(1)请在所给的网格内画出以线段、为边的菱形，并写出点的坐标________；
(2)菱形的面积为________．
【题型13 利用菱形的性质证明】
46．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在菱形中，，、分别是、的中点，、相交于点，连接、．给出以下结论，其中不正确的有（ ）
A．B．C．D．
47．（22-23八年级下·安徽池州·期末）下图，在菱形中，，垂足为，为边的中点，．

(1)直接写出结果：_________；
(2)求证：．
48．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，将菱形沿着，折叠后，点，重合于对角线上一点，求证：四边形是平行四边形．

49．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图所示，在菱形中，，点为边上一个动点，，过点作交于点，直线与相交于点，点到直线的距离为．

(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：；
(3)试探求线段的数量关系，并证明你的结论．
【题型14 证明四边形是菱形】
50．（23-24八年级下·安徽黄山·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．对角线相等的四边形是正方形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．菱形的对角线互相垂直平分
51．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图．在矩形中，E，F，G，H 为矩形四边的中点，依次连接点 E，F，G，H．
（1）四边形 的形状是 ．
（2）若，则四边形的周长是 ．
52．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）在中，M是斜边的中点，点D在直线外，，连接，．

(1)如图1，求的大小；
(2)如图2，已知点D和边上的点E满足，，连接．
（ⅰ）判断四边形的形状并证明；
（ⅱ）求证：．
53．（23-24八年级下·安徽黄山·期中）在中，M是斜边的中点，点D在直线外，且，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，E是边上一点，且，，求证：四边形是菱形．
【题型15 根据菱形的性质与判定求角度】
54．（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．，B．
C．，D．
55．（22-23八年级下·安徽淮南·期中）请认真完成下列数学活动
如图，在中，，，D是的中点，过点A作直线，过点D的直线交的延长线于点E，交直线l于点F，连接，．

●分析发现
（1）试说明：①；②．
●深究思考
（2）若，试判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论；
●拓展延伸
（3）若，则_____________，能使四边形为正方形．
56．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在菱形中，四条边的垂直平分线、、、交于M、N、P、Q四点．

(1)连接，求证：点M在的垂直平分线上；
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
57．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，在平行四边形中，，平分，于点E，连接．

(1)求证：
(2)求的值
(3)求证：
【题型16 根据菱形的性质与判定求线段长】
58．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）图，矩形的对角线于相交于点，将沿折叠，点落在点处，交于点，连接、．

（1）线段与的位置关系是 ；
（2）若，，则四边形的周长为 ．
59．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
60．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)过点作，交的延长线于点，连接若，，求的长．
【题型17 根据正方形的性质求线段长】
61．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，将矩形分成2个长方形与2个正方形，其中正方形③的边长是2，正方形④的边长是3，记长方形①的周长为，长方形②的周长为，则与的大小为（ ）
A．B．C．D．不确定
62．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
63．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图等边与正方形的顶点B、C、D三点共线，动点P沿着由C向A运动．连接、，与交于点G．其中，．
（1）若点P为中点，则 ．
（2）点P沿着运动过程中，的最小值是 ．
【题型18 正方形的面积】
64．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．该图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，被称为“赵爽弦图”．若平分，的面积是，正方形的面积是，则大正方形的面积是（ ）
A．B．C．D．
65．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在直线上依次摆放着四个正方形和三个等腰直角三角形，已知这三个等腰直角三角形的直角边长从左到右依次为1，2，3，四个正方形的面积从左到右依次是、、、，则的值为（ ）

A．10B．8C．6D．4
66．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，正方形的边长为，点E，F同时从点B出发，分别沿着和的方向运动到点D，已知点E，F的运动速度均为.

(1)当运动时间为多少秒时，的长为?
(2)当运动时间为多少秒时，的面积为?
【题型19 正方形折叠问题】
67．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）如图，将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作的平行线与交于点H，则EH的长为（ ）．
A．3B．C．D．
68．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）综合与实践课，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，并延长交于点Q，连接，．
根据以上操作

（1） °；
（2）若正方形纸片的边长为，当时， ．
69．（22-23八年级下·安徽滁州·期末）如图1，正方形的边长为3，E为边上一点（不与端点重合）．将沿对折至，延长交边于点G，连接．

（1） ；
（2）如图2，若E为的中点，则 ．
【题型20 根据正方形的性质证明】
70．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，点O为正方形的中心，平分交于点E，延长到点F．使，连接交的延长线于点H，连接交于点G，连接，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
71．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在四边形中，四边形为正方形，，，，则 ．
72．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在正方形中，E是边上一动点（E不与C、D重合），连接交对角线于点F，连接，过点P作交在边于点G．
(1)求证：；
(2)连接，求出的度数；
(3)若，，请直接写出的长．
73．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图，E是正方形对角线上一点，，，垂足分别是M，N．
(1)求证：；
(2)若，，求正方形的边长．
【题型21 证明四边形是正方形】
74．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，已知中，对角线，相交于点，下列判断中错误的是（ ）

A．若，则为菱形
B．若，则为矩形
C．若平分，则为菱形
D．若，则为正方形
75．（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）下列说法，不正确的是（ ）
A．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
76．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在矩形中，，，点与点同时出发，点从点出发向点运动，运动到点停止，点从点出发向点运动，运动到点停止，点，的速度都是，连接，设点，的运动的时间为．
(1)求当t为何值时，四边形是正方形；
(2)求当t为何值时，；
(3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值．
【题型22 根据正方形的性质与判定证明】
77．（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）如图，点为正方形内一动点，．过点作，且，连接，．

(1)求证：；
(2)延长交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，若点在运动过程中，存在四边形为平行四边形，试探究此时、满足的数量关系．
78．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）如图，在四边形中，，，连接，过点A作的垂线交于点，交于点，与交于点．

(1)若，求的长；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
79．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）如图1，点是正方形的对角线上的一动点（不与点，重合），以为直角边作等腰直角三角形，连接．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)已知正方形的边长为8，若取最小值，连接，在备用图上画出符合条件的图形，并求此时的长．
【题型22 四边形其他综合问题】
80．（22-23八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，正方形的边长为9，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中不正确的是（ ）

A．矩形是正方形B．
C．平分D．
81．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点．

(1)如图1，连接，，求证：四边形是平行四边形；
(2)图2，若，，过点作，垂足为，与，分别交于点，．
①当，时，求的长；
②探究与的数量关系，并说明理由．
82．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，是四边形两条对角线和的中点，为四边形外一点，连接，，四边形是矩形．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若矩形的面积为12，周长为14，求四边形的周长．
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一、单选题
83．（22-23八年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，，，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．2B．3C．4D．5
84．（2024八年级下·安徽·专题练习）从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形是菱形，则这个条件是（ ）
A．B．C．D．
85．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）关于的叙述，正确的是（ ）
A．若，则是菱形
B．若，则是菱形
C．若，则是正方形
D．若，则是矩形
86．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）菱形的周长为，若对角线，则此菱形的面积等于（ ）
A．8B．C．D．
87．（2024八年级下·安徽·专题练习）用一种正多边形铺设地面时，不能铺满地面的是（ ）
A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形
二、填空题
88．（22-23八年级下·安徽六安·期末）若矩形的对角线长为，一条边长为，则此矩形的面积为 ．
89．（22-23八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 ．

90．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F，若，，则的长为 ．
91．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E， 于点F．在点G的运动过程中，的值为 ．
三、解答题
92．（23-24八年级下·安徽淮南·期中）如图，将平行四边形的边延长至点E，使，连接，，交于点O，，
求证：四边形是矩形．
93．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在正方形网格中作出以A，B，C，D为顶点的正方形，其中格点（网格线的交点）A，B已给出．（要求：画出2个不同的正方形）
94．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，在正方形中，点分别是边的中点，相交于点，连接．
（1）若，则的度数是 ；
（2）连接，则与之间的位置关系是 ．
满分技法
(1)矩形必须满足两个条件:
①是平行四边形,②有一个角是直角，二者缺一不可.
(2)矩形的定义既是矩形的性质，又是矩形的基本判定方法.
满分技法
利用矩形的性质求角度，既要会灵活运用平行四边形的性质和矩形的特殊性质，也要结合题目实际情况运用多边形的内外角和、角平分线、平行线的性质等底.
满分技法
矩形中求线段长度的锦囊妙计
(1)把所要求解的线段放在直角三角形中，使其成为某条边，利用勾股定理或含特殊角(30°,45°)的直角三角形的三边关系求解.
(2)利用矩形的性质(四个角都是直角,对角线相等且互相平分)寻找所需条件.另外，还可借助全等三角形、线段的和差倍分关系等求矩形中线段的长度.
满分技法
注意:矩形的性质可归纳如下：
(1)对边平行且相等;(2)四个角都是直角;(3)对角线相等且互相平分;(4)它是轴对称图形，对称轴是两条分别过对边中点的直线.
这些性质是今后证明线段相等、垂直和角相等的重要依据.
满分技法
抓住三点,轻松突破矩形中的折叠问题：
(1)折叠前后的图形全等,即对应边相等,对应角相等.
(2)在矩形折叠问题中求线段长时,常常综合应用勾股定理和方程思想，
(3)矩形中存在一些特殊的角和线段之间的数量关系,如四个直角、对角线相等等.
满分技法
斜边的中线等于斜边的一半是直角三角形的一个重要性质，这个性质在解题时非常有用。
首先，需要识别题目中给出的图形是否为直角三角形。这通常可以通过观察图形中的角度（是否有90°角）或边长关系（是否满足勾股定理）来判断。
然后，确定应用性质.一旦确认是直角三角形，就可以应用斜边的中线等于斜边的一半这个性质。这个性质告诉我们，直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。
其次是建立方程或不等式
根据题目要求，利用斜边中线的性质建立方程或不等式。例如，如果题目要求求解某个未知量，可以将斜边中线长度设为未知数，然后利用性质建立方程。
满分技法
(1)用定理1判定一个四边形是矩形时，必须满足两个条件:
①是平行四边形;②对角线相等.也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.
(2)因为四边形的内角和是360°,所以在四边形中有三个角是直角的前提下，第四个角也是直角，因此定理 2的条件中只要求有三个角是直角即可.
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形，根据定理1可以得出矩形的另一种判定方法:对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
满分技法
判定一个四边形为矩形时，一定要分清是在平行四边形的基础上，还是在一般四边形的基础上进行判定，二者所需的条件不同.
满分技法
矩形性质、判定一起考,互逆关系勿混淆
几何证明有时需要综合应用矩形的判定和性质，“已知四边形的边角关系，证明四边形是矩形’是判定;反之，“已知一个四边形是矩形，证明线段或角的关系”是性质.解题时要看清条件，弄清是应用矩形的判定还是性质。
满分技法
根据菱形的性质，可以利用等边对等角，或者全等三角形、直角三角形、角平分线等综合得出角的关系.
满分技法
利用菱形的性质求线段的长的一般方法在菱形中求线段长时，往往是根据菱形的相关性质，将问题转化到三角形(如直角三角形、等腰三角形)中，利用勾股定理、等腰三角形的性质等进行求解.
满分技法
“菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半”，也可以按照平行四边形的面积公式逆推其他边的长度，有的时候需要用到直角三角形斜边中线等于斜边一半，做题时要仔细思考.
满分技法
先利用平行四边形的性质得到边、角的等量关系,如果有全等三角形，可以再由三角形全等证明线段、角相等.
满分技法
萎形判定的思路：
四边形四条边都相等→菱形
平行四边形一组邻边相等→菱形
平行四边形对角线互相垂直→菱形
满分技法
菱形性质、判定综合用，互逆关系要分清，解决此类问题时，要先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质进行求角度，要注意菱形性质和判定的联系和区别.
满分技法
菱形性质、判定综合用，互逆关系要分清，解决此类问题时，要先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质进行求线段长，要注意菱形性质和判定的联系和区别.
满分技法
正方形被两条对角线分成多个等腰直角三角形。因此，在正方形中解决问题时，常用到等腰三角形、直角三角形的性质及勾股定理等相关知识解决线段长问题。
满分技法
（1）正方形的面积等于边长的平方，也等于一条对角线长的平方的一半.
（2）要证面积相等，可以通过计算来说明，也可以通过旋转或拼接来说明.
满分技法
抓住三点,轻松突破正方形中的折叠问题：
(1)折叠前后的图形全等,即对应边相等,对应角相等.
(2)在矩形折叠问题中求线段长时，常常综合应用折叠性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理和方程思想.
(3)正方形中存在一些特殊的角和线段之间的数量关系，如四个直角、45°、对角线垂直且相等等.
满分技法
(1)正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质还具有其自身特有的性质，要熟练记忆，避免混淆。(2)正方形被两条对角线分成多个等腰直角三角形:因此，在正方形中解决问题时，常用到等腰三角形、直角三角形的性质及勾股定理等相关知识，
满分技法
判定一个四边形为正方形的常用方法：
(1)根据定义,先判定它为平行四边形,再证明它有一组邻边相等，且有一个角是直角.
(2)先判定它是矩形,再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直.
(3)先判定它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等.
满分技法
如果已知条件中垂直关系比较多，可选择先证四边形是矩形,再证四边形是正方形.
要证两线段相等,可证两线段所在的两个三角形全等.
若要证明三角形全等，可以由正方形性质得到边、角的等量关系证明两个三角形全等.
满分技法
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质和判定主要从边、角、对角线这三个方面进行总结，它们各自特有的性质可以为证明有关线段相等、角相等、直线平行与垂直等问题提供新的方法和思路.