第07讲 比例线段（解析版讲义）

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知识点一 相似图形的定义
定义:我们把形状相同的图形叫做相似图形
提示
(1)两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到
(2)全等图形可以看成是一种特殊的相似图形,即不仅形状相同而且大小也相等
(3)判断两个图形是否相似，只要看两个图形的形状是否相同即可，跟图形的大小、位置没有关系.
【例1】下列图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个菱形
C．两个矩形D．两个直角三角形
【答案】A
【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴两个等边三角形一定是相似形，
又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
【变式1-1】观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可．
【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；
B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；
C、两个图形形状相同，相似，符合题意．
D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．
知识点二 相似多边形
1.相似多边形的相关定义
两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形对应边的比叫做相似比
2.相似多边形的性质
对应角相等,对应边成比例
注意
判定两个多边形相似，必须同时具备三个条件:(1)边数相同;(2)对应角分别相等:(3)对应边成比例
3.相似多边形与全等多边形的边、角特征:
【例2】下列【例2】命题中，正确的是（ ）
A．两个等腰三角形一定相似B．两个等腰梯形一定相似
C．两个菱形一定相似D．两个正方形一定相似
【答案】D
【分析】根据相似图形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意；
B、两个等腰梯形的形状不唯一，则两个等腰梯形不一定相似，故本选项不符合题意；
C、两个菱形的形状不唯一，则两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意；
D、两个正方形一定相似，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】此题主要考查相似图形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键．
【变式1-1】如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．
【答案】x=24，y=28，α=75°
【分析】已知题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题．
【详解】∵两个四边形相似，
∴20：5=x：6=y：7，
解得：x=24，y=28，
∵四边形内角和等于360°，
∴α= 360°−70°−85°−130°=75°，
∴x=24，y=28，α=75°．
【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键．
知识点三 比和比例
1.比
（1）比的意义：两个数与相除叫做两个数的比，记作，若的比值为，则；
（2）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或同时除以相同的数（0除外），比值不变.
2.比例
（1）比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例，(或），那么就说成比例，这个比例式可变形为等积式，还可变形为比例式
（2）比例中项：如果比例的两个内项相等
（3）比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积.
【例3】已知点C是线段AB上的一个点，且BC是AC和AB的比例中项，则下列式子成立的是（ ）
A．BCAB=5−12B．BCAC=5−12C．ACAB=5−12D．ACBC=5+12
【答案】A
【分析】设AB=1，BC=x，则AC=1−x，由比例中项得出BC2=AC·AB，代入解一元二次方程即可解答．
【详解】解：设AB=1，BC=x，则AC=1−x，
∵BC是AC和AB的比例中项，
∴BC2=AC·AB，即x2=1−x，
∴x2+x−1=0，
解得：x1=5−12，x2=−5−12（舍去），即BC=5−12，
∴AC=1−5−12=3−52，
∴ BCAB=5−12，故A符合题意；
BCAC=5−12÷3−52=5+12，故B不符合题意；
ACAB=3−52，故C不符合题意；
ACBC=5−12，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键．
【变式3-1】下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm、2cm、3cm、4cmB．2cm、3cm、4cm、5cm
C．3cm、4cm、6cm、9cmD．2cm、3cm、4cm、6cm
【答案】D
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、∵1×4≠2×3，
∴四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵2×5≠3×4，
∴四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵3×9≠4×6，
∴四条线段成比例，不符合题意；
D、∵2×6=3×4，
∴四条线段成比例，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
知识点四 线段的比
两条线段长度的比叫做两条线段的比.
【例4】已知线段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm．
（1）求线段a与线段b的比．
（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．
（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？
【答案】（1）a：b＝1：2；（2）d＝240cm；（3）是，理由见解析.
【分析】（1）根据a=0.3m=30cm；b=60cm，即可求得a：b的值；
（2）根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得ab=cd，再根据c=12dm=120cm，即可得出线段d的长；
（3）根据b2=3600，ac=30×120=3600，可得b2=ac，进而得出b是a和c的比例中项．
【详解】（1）∵a＝0.3m＝30cm；b＝60cm，
∴a：b＝30：60＝1：2；
（2）∵线段 a、b、c、d 是成比例线段，
∴ab=cd，
∵c＝12dm＝120cm，
∴12=120d，
∴d＝240cm；
（3）是，理由：
b2＝3600，ac＝30×120＝3600，
∴b2＝ac，
∴b是a和c的比例中项．
【点睛】本题主要考查了成比例线段，判段四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可；求线段之比时，要先统一线段的长度单位．
【变式4-1】已知点P是线段AB上的一点，且AP2=AB⋅PB，如果AB=2，那么AP= ．
【答案】5−1/−1+5
【分析】设AP=x,则PB=2−x,再利用AP2=AB⋅PB，建立方程，解方程并检验即可得到答案.
【详解】解：设AP=x,点P是线段AB上的一点，AB=2，
∴PB=2−x,
∵ AP2=AB⋅PB，
∴x2=22−x,
整理得：x2+2x−4=0,
∴△=4−4×1×−4=20＞0,
∴x=−2±252=−1±5,
∵x＞0,
∴AP=x=5−1.
故答案为：5−1
【点睛】本题考查的是成比例的线段，一元二次方程的解法，掌握“利用公式法解一元二次方程”是解题的关键.
知识点五 比例线段
1.线段成比例的定义
对于四条线段,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如(即)，我们就说这四条线段成比例.
比例的相关性质
(1)比例的基本性质
当时,则；(两内项之积等于两外项之积)
若(),则，简记为“前:后=后:前”.
比例的其他性质
①合比性质:若,则或(,均不为0)
②分比性质:若,则或(,均不为0)
③更比性质:若,则或(均不为0)
④等比性质:若,则=()
【例5】已知：x2=y3=z4，2x−3y+4z=33，求代数式3x−2y+z的值．
【答案】12
【分析】设比值为k，用k表示出x、y、z，然后代入等式求出k，从而得到x、y、z，再代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：设x2=y3=z4=k，则x=2k，y=3k，z=4k，
∵2x−3y+4z=33，
∴4k−9k+16k=33，
解得：k=3，
∴x=6，y=9，z=12，
∴3x−2y+z=3×6−2×9+12=18−18+12=12．
【点睛】本题考查了比例的性质，代数式求值．利用“设k法”表示出x、y、z求解更简便．
【变式5-1】已知：x3=y4=z5，且2x−3y+z=−2，求x+y−z的值．
【答案】4
【分析】设x3=y4=z5=k，则x=3k,y=4k,z=5k，再根据2x−3y+z=−2求出k的值，然后得出x，y，z的值，从而得出x+y−z的值．
【详解】解：设x3=y4=z5=k，则x=3k,y=4k,z=5k，
代入2x−3y+z=−2，得2⋅3k−3⋅4k+5k=−2，
解得k=2，
∴x=6,y=8,z=10，
∴x+y−z=6+8−10=4．
【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是设x3=y4=z5=k，得出k的值．
知识点六 黄金分割
如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数．
【例6】如果点C是线段AB的黄金分割点(且BC>AC)，那么下列结论错误的为（ ）
A．BCAB=5−12B．BC是AC和AB的比例中项
C．ABAC=5−12D．BCAC=5+12
【答案】C
【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点(且BC>AC)，
∴BC是AC和AB的比例中项，BCAB=ACBC=5−12，
∴BCAC=25−1=5+12，
故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
【变式6-1】已知点C在线段AB上，且满足AC2=AB•BC．
(1)若AB=1，求AC的长；
(2)若AC比BC大2，求AB的长．
【答案】(1)5−12；
(2)25+4
【分析】（1）根据已知可得点C是线段AB的黄金分割点，从而可得AC=5−12AB，然后进行计算即可解答；
（2）根据已知可设AC=x,则BC=x-2，从而可得AB=2x-2，然后根据AC2=AB•BC，可得x2=(2x−2)(x−2)，从而进行计算即可解答．
【详解】（1）∵点C在线段AB上，且满足AC2=AB•BC，
∴点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC=5−12AB=5−12，
∴AC的长为5−12；
（2）∵AC比BC大2，
∴设AC=x,则BC=x-2，
∴AB=AC+BC=2x-2，
∵AC2=AB•BC，
∴x2=(2x−2)(x−2)，
解得：x1=3+5,x2=3−5（舍去），
∴AB=2x-2=25+4，
∴AB的长为25+4．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
知识点七 线段比与面积比
三角形的中位线
三角形的中位线是联结两边中点的线段,中位线所在的直线与
第三边所在的直线平行.
结论1：,
结论2：.
线段比与面积比
同高(或等高)的两个三角形的面积之比与对应底边的比相等.
【例7】 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC，若四边形DFCE的面积恰好是△ADE面积的一半，则AD:DB= ．
【答案】4:1/4
【分析】连接DC，由已知推出△ADE的面积是△DEC的面积的4倍，得到△ADE的面积:△DEC的面积=AE:EC=4:1，即可求解．
【详解】解：连接DC，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC，EC=DF，
∵DC=CD，
∴△DEC≌△CFDSSS，
∴S△DEC=S△CFD，
∵四边形DFCE的面积恰好是△ADE面积的一半，
∴△ADE的面积是△DEC的面积的4倍，
∴ △ADE的面积:△DEC的面积=AE:EC=4:1，
∴AD:DB=AE:EC=4:1，
故答案为：4:1．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，三角形的面积，平行四边形的性质，解题的关键是连接DC得到△ADE的面积是△DEC的面积的4倍．
知识点八 三角形一边的平行线性质定理与推论
三角形一边的平行线性质定理
(1)平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例.
(2)两种常见类型：
“A ”型 “X ”型
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
【例8】如图，已知AB∥CD∥EF，AD:AF=3:5，BE=24，那么BC的长等于（ ）
A．4B．485C．725D．8
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例得到BCBE=ADAF=35，即可求出BC．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴BCBE=ADAF=35，
∵BE=24，
∴BC24=35，
解得：BC=725．
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键．
知识点九 三角形的重心
（1）三角形的三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
（2）三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍.
【例9】如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，若EF＝2，那么BC长为 ．
【答案】12
【分析】由三角形的重心及GF∥AB可知AGGE=BFEF=2，然后可得BF=4，则有BE=6，进而问题可求解．
【详解】解：∵点G是△ABC的重心，GF∥AB，
∴AGGE=BFEF=2，
∵EF＝2，
∴BF=4，
∴BE=6，
∵AE是BC边上的中线，
∴BC=2BE=12，
故答案为12．
【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键．
知识点十 ⑩三角形一边的平行线判定定理与推论
1.三角形一边的平行线判定定理
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.
2.三角形一边的平行线判定定理推论
如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.
【例10】如图，AB∥CD∥EF，如果AD=2，DF=1，BE=5，那么CE= ．

【答案】53/123
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ADDF=BCCE，
∵AD=2，DF=1，BE=5，
∴21=5−CECE，解得CE=53，
经检验，CE=53满足所列方程，
故答案为：53．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、解分式方程，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意比例线段要对应．
知识点十一 ⑪平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理
两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例.
2.推论
两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等.
【例11】如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB=3cm，BC=5cm，EF=4cm．
(1)求DE、DF的长；
(2)如果AD=40cm，CF=80cm，求BE的长．
【答案】(1)DE=125cm，DF=325cm
(2)BE=55cm
【分析】（1）根据平行线间线段成比例即可求出答案；
（2）如图，先将DF平移经过A点，把线段BE分成BH和HE两部分求解即可．
【详解】（1）∵直线l1∥l2∥l3，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=3cm，BC=5cm，EF=4cm，
∴DE=125cm，
∴DF=DE+EF=125+4=325cm．
∴DE长为125cm，DF长为325cm．
（2）如图，将直线DF向左平移到直线AG交l1于H点，交l2于G点，
∵l1∥l2∥l3，DF∥AG，AD=40cm，
∴HE=GF=AD=40cm，
又CF=80cm，
∴CG=CF−GF=80−40=40cm，
∴ABAC=BHCG，
∵AB=3cm，BC=5cm，
∴38=BH40,
∴BH=15cm，
∴BE=BH+HE=15+40=55cm，
∴BE的长为55cm．
【点睛】本题考查平行线间线段成比例定理，熟练掌握线段中的比例关系是解题关键．
考点一：比例的性质
例1．（2024·安徽合肥·一模）已知，且，求的值．
【答案】22
【分析】设，，，确定，计算即可，本题考查了比的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解:∵，
∴设，，，
∵，
∴，
解得，
∴，，，
∴．
【变式1-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若（x、y、z均不为零），求的值．
【答案】3
【分析】本题考查了比例的性质，掌握等比的性质是解题关键．
根据等比性质，求解即可．
【详解】解：设，
则，，．
∴．
【变式1-2】（22-23九年级上·安徽安庆·期末）已知线段a，b的长度满足，且，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长度．
【答案】
【分析】本题主要考查了比例的基本性质，比例中项的定义．根据题意可得，，可求出，，再由比例中项的定义，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵线段a，b的长度满足，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵线段c是线段a，b的比例中项，
∴，
即．
【变式1-3】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了比例的性质．熟练掌握比例的性质是解题的关键．
由题意得，，则，然后求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴．
【变式1-4】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知，，满足且，试求，，的值．
【答案】，，
【分析】本题主要考查了比例的性质，设，得出，，，根据，求出，即可得到答案，利用比例的性质设未知数是解题关键．
【详解】解：设，
则，，，
∴，
解得：，
∴，，．
考点二：比例线段
例2. （23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（ ）
A．B．500:1C．1:50D．50:1
【答案】D
【分析】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算．
【详解】解：厘米毫米，
：：，
这张图纸的比例尺是：．
故选：D．
【变式2-1】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）比例尺为的地图上，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段的比，设两地间的实际距离为，由题意得：，求解即可得出答案，熟练掌握线段比的意义是解决问题的关键．
【详解】解：设两地间的实际距离为，
由题意得：，
解得：，
两地间的实际距离为，
故选：C．
【变式2-2】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）2023年11月24日，“中国名酒，黄鹤楼”——涡阳首届群星演唱会．雪峰蜜桔节文艺表演舞台长为36米，主持人站在的黄金分割点C处自然得体．已知，则（ ）米．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：点是的黄金分割点，且，米，
米，
故选：D．
【变式2-3】（23-24九年级上·安徽六安·期中）若线段，，则（ ）
A．B．5C．D．2
【答案】B
【分析】本题考查的是线段比例问题，解题的关键是要统一单位再代入求值．
【详解】解：，
，
故选：B．
【变式2-4】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在比例尺为的地图上，测得 A、B 两地间的图上距离为3厘米，则其实际距离为 米．
【答案】
【分析】根据比例尺的定义，即可解答．
【详解】解：设实际距离为x米，
3厘米米，
，
解得：，
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了比例尺的定义，解题的关键是掌握比例尺是图上距离与实际距离之比，注意单位的统一．
考点三：成比例线段
例3. （2024·安徽芜湖·一模）已知四个数a，b，c，d成比例，且，，，那么d的值为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，利用成比例线段的定义得到，然后根据比例的性质求d的值．
【详解】解：根据题意得，
即，
解得．
故选：D．
【变式3-1】 （23-24九年级上·安徽宣城·期末）下列四个数，不能组成比例的是（ ）
A．2，6，4，12B．，2，3，
C．0.2，，2.5，1.2D．4.5，2.5，5，9
【答案】C
【分析】此题考查了比例的性质．找出四个数字中的最大数与最小数，求出乘积，剩下两数也求出乘积，比较判断即可．
【详解】解：A、，能组成比例，不符合题意；
B、，能组成比例，不符合题意；
C、，不能组成比例，符合题意；
D、，能组成比例，不符合题意．
故选：C．
【变式3-2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足，且．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键．
（1）设，，，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长．
【详解】（1）解：设，，，
∴，即，
解得：，
∴，，；
（2）由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
【变式3-3】 （23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知线段、、，满足．且，求的值．
【答案】
【分析】本题考查比例线段及比例的性质，代数式求值．设，则，，，构建方程即可解决问题．
【详解】解：设，
，，，
，
，解得，
．
【变式3-4】 （23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知 ，，是a，b的比例中项，求c的值；
【答案】4
【分析】本题考查了比例线段，比例中项的定义，掌握若，则b是a、c比例中项是解决问题的关键．
利用比例中项的定义得到，然后求出16的算术平方根即可．
【详解】解：∵c是a，b的比例中项，
∴，
而，，
∴，
而，
∴．
考点四：由平行判断成比例的线段
例4. （23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论．
【详解】解：∵，
∴，故①正确；
，故②错误；
，故③正确；
，故④正确，
正确的个数3个，
故选：C．
【变式4-1】 （22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，据此求解即可．
【详解】∵直线，
∴，，，
∴选项A、C、D是正确的，
故选：B．
【变式4-2】（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点作交于点，且是的中点．若，，则的长为 ．

【答案】
【分析】作交于点，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长．
【详解】解：作交于点，
，．
是的中点，
，
，
．
，
．
平分，
．
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，证明是解答本题的关键．
【变式4-3】（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图1，等腰直角和等腰直角的直角顶点C重合，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，过A作，且（点B，点F在同侧），连接，求的值；
(3)如图3，M是的中点，的延长线与交于点N，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）证明，即可得到；
（2）作于G，得到四边形为矩形，在中，由勾股定理可得，据此求解即可；
（3）过A作，与的延长线交于P，利用平行线分线段成比例求得，证明，求得，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图1，作于G，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即点G是的中点，
在中，由勾股定理可得，
∴；
（3）证明：如图2，过A作，与的延长线交于P，
∵M为的中点，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理等，正确引出辅助线解决问题是解题的关键
【变式4-4】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明，得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理进行证明即可．
【详解】（1）证明：由菱形可得，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合．
【变式4-5】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，．
(1)若，，求的长；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．
（1）由平行分线段成比例得出，再代入数值计算；
（2）由平行线分线段成比例的性质得出，再代入计算．
【详解】（1），
，
，，，
，
解得；
（2），，
.
，
，
解得．
考点五：由平行截线求相关线段的长或比值
例5. （2024·安徽·一模）如图，已知直线被一组平行线所截，交点分别为和，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，即，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【变式5-1】（2024·安徽芜湖·一模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，
根据题意，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【变式5-2】 （2024·安徽合肥·二模）已知，点是正方形边上一点，连接，延长至， 使， 连接交于点．

（1）若， 则 ° ；
（2）连接，，与交于，若， 则 ．
【答案】 /
【分析】（1）由正方形的性质，结合，可推出，得到，由可得，再根据角的和差即可求解；
（2）作交于点，则，证明，得到，，推出，根据勾股定理可推出，由可得得出，根据得出，即可求解．
【详解】解： (1)在正方形 中，，
∵，
，
，
，
，
，
；
(2)作交于点，则，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
∴
，
，
，
∴
；
故答案为：、．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
【变式5-3】 （2024·安徽宿州·二模）如图，在四边形中，，对角线，相交于点．若，，．

（1） ；
（2）的长为 ．
【答案】 12
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，理解等腰三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例是解决问题的关键．
（1）过点作于点，根据等腰三角形的性质得，由勾股定理求出，即可由三角形的面积公式求解；
（2）延长，交于点，先证明，再用勾股定理求出，然后根据平行线分线段成比例，即可求得的长．
【详解】解：（1）如图，过点作于点，

则，
，，
，
，
；
故答案为：12；
（2）延长，交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
解得．
故答案为：．
【变式5-4】（2024·安徽合肥·一模）四边形的两条对角线，相交于点O，．
(1)如图1，已知．
①求证：；
②若，求的值；
(2)如图2，若，，，求的值．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）过作于，交于，①根据平行线的判定得出和平行，再根据等腰三角形的性质即可求解；②根据平行线分线段成比例，求出和的比，再根据中位线定理得出和的关系，从而得解；
（2）延长到，使得，连接，根据三角形全等得出，从而求得和的关系，再根据勾股定理求出和的关系，从而得解．
【详解】（1）解：过作于，交于，如图：
①证明：设，
，
，
，，
，
，
；
②解：，为中点，
，
，
，
；
（2）解：延长至，使得，连接，如图：
，，
，
，
，
又，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，即，，
，
，
．
在直角中．，
．
【点睛】本题主要考查了相似形综合题，合理运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的判定与性质是本题解题的关键．
考点六 黄金分割
例6. （2024·安徽·二模）黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为，则短边长的值最接近的是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】本题考查了黄金分割，根据短边长与长边长的比为，长边的长为，估算短边长的值，选择最接近的选项即可，熟记“黄金分割率”、正确计算是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴选项中最接近的数是5，
故选：B．
【变式6-1】（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：春晚主持人在舞台上主持春晚节目时，总是站在黄金分割点处，这样观众看上去，感觉最好．苦春晚舞台长28米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得出，整理即可得出答案，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
，
故选：B．
【变式6-2】 （23-24九年级上·安徽宿州·期中）已知点P是线段的黄金分割点，那么的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短比长等于长比全，等于，则这个点叫做线段的黄金分割点，据此进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选C．
【变式6-3】 （23-24九年级上·安徽池州·期末）大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义得到，进而可求出的长．
【详解】解： P为的黄金分割点，，
，
．
故选D．
【变式6-4】（2024·安徽合肥·一模）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把二胡的弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长为 （保留根号）．

【答案】
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键．
【详解】解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
故答案为：．
【例1】已知线段则_________.
解析 因为所以
答案
易错攻克
求线段的比时，要先统一单位，一般把较大单位化为较小单位，再求线段的比.
【例2】已知四条线段,.判断它们是不是成比例线段.
解 显然 因为所以所以它们是成比例线段.
易错攻克
判断四条线段是否为成比例线段时，一般先按长度大小排序，再分别计算前两条线段的比和后两条线段的比，最后作出判断.
【例3】已知求的值.
解 当时，由等比性质可得
所以
当时，得，
所以
综上可得,的值为或.
易错攻克
应用等比性质时，应对分母进行分类讨论.易忽略分母不等于0的前提条件而没有分类讨论导致出现错误.
【例4】已知点为线段的黄金分割点，线段，则约为 或 ．
分析 根据黄金分割点的定义，知可能是较长线段，也可能是较短线段；则或．
解答 由于为线段的黄金分割点，
则
或．
点评 理解黄金分割点的概念．特别注意这里的可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值进行计算．
易错攻克
题中没有明确 AC与 BC 的大小关系,故应当分两种情况考虑,避免漏解。
1．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如果，则下列各式不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例性质，前项加（或减）后项等式成立，则可对A、B、C进行判断；利用后项都乘以2可对D进行判断．
【详解】解：A、如果，则，所以A选项的等式不成立，符合题意；
B、如果，则，所以B选项的等式成立，不符合题意；
C、如果，则，所以C选项的等式成立，不符合题意；
D、如果，则，所以D选项的等式成立，不符合题意；
故选：A．
2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点在线段上，若，则等于（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查比例的性质，掌握运用表示和的长是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴,
故选D．
3．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．3B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解并掌握相关知识是解题关键．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．根据平行线分线段成比例定理可得，进而解得，然后由求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，，
∴，解得，
∴．
故选：B．
4．如图，是矩形的一边延长线上一点，是上一动点，连接与矩形的边交于点，连接，，若，，的面积为，设，则下列图象能反映与之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用分类讨论的方法分点在上和点在上两种情形解答，分别求得与的函数关系式，利用对应的函数图象即可得出结论．本题主要考查了动点问题的函数的图象，利用分类讨论的方法求得不同条件下的函数解析式是解题的关键．
【详解】解：当点与点重合时，如图，
四边形是矩形，
，
，
，
．
．
①当时，点在上，
过点作于点，如图，
则，
，
，
，
此时对应的函数图象是一条以和为端点的线段；
②当时，此时点在线段上，如图，
四边形是矩形，
，
，
．
，
此时对应的函数的图象为一条以和为端点的线段，
综上，下列图象能反映与之间函数关系的是，
故选：B．
5．（2024·安徽滁州·模拟预测）若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查比例性质及解一元一次方程，根据题意，得到，转化成一元一次方程求解即可得到答案，熟记比例性质及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键．
【详解】解：，
，即，则，解得，
故答案为：．
6．（23-24九年级下·安徽合肥·开学考试）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查比例的性质，根据比例设，然后代入约分即可解题．
【详解】解：设，
∴，
故答案为：．
7．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求解即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
8．（23-24九年级下·安徽池州·开学考试）如图，已知，若，．则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，带入即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
．
故答案为：．
9．（2024·安徽滁州·三模）如图，O 为坐标原点，点A是抛物线（）上一点，轴于点 B，，交x轴于点 C．

（1）若点A 的坐标为，则直线对应的一次函数解析式为 ．
（2）若线段与抛物线的交点为 D，则 ．
【答案】
【分析】（1）设的解析式为，把点A 的坐标为，代入求得，根据，故将直线向左平移1个单位长度即可得到对应的一次函数解析式．
（2）根据抛物线，设点，根据题意，得，得，（舍去），过点D作轴于点G，则，根据平行线分线段成比例定理，得，解答即可．
本题考查了平移思想，待定系数法，交点坐标计算，平行线分线段成比例定理，熟练掌握待定系数法和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】解：（1）设的解析式为，把点A 的坐标为，得，
故直线的解析式为，
∵，
故将直线向左平移1个单位长度即可得到对应的一次函数解析式，
∴，
故答案为：．
（2）根据抛物线，设点，则直线解析式为，
，且轴，
，
则直线解析式为，
根据题意，得，解得，（舍去），
过点D作轴于点G，
则，
根据平行线分线段成比例定理，得，
故答案为：．

10．（2024·安徽六安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，B两点，与轴交于点，P在第二象限内的抛物线上，与交于点Q，与轴交于点D．
(1)求，的值；
(2)若，求点Q的横坐标；
(3)记，是否有最大值，若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)有，
【分析】（1）将点和点代入二次函数表达式，解方程即可；
（2）先求得点的坐标，设点的坐标为，通过两点坐标公式表示出和的长度，求得点坐标，从而求得直线的表达式，再求得直线的表达式，联立直线和，求得点的横坐标；
（3）设点的坐标为，从而求得直线的表达式，联立直线和，求得点的横坐标，过点作交于点，作交于点，通过求得的最大值．
【详解】（1）将，代入
得到，解得
，；
（2）由（1）可知，
将代入，，解得，
的坐标为
设点的坐标为
设直线的表达式为，代入，
得到，解得
所以直线的表达式为
设直线的表达式为，代入，
得到，解得
所以直线的表达式为
联立直线和
，解得
点坐标为
点横坐标为；
（3）有最大值；
设点的坐标为，直线的表达式为
代入，
得到，解得
所以直线的表达式为
联立直线和
，解得
点坐标为，
过点作交于点，作交于点，如图所示
点坐标为，点坐标为
，
时，的最大值为
的最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，两点之间的距离，解二元一次方程组，平行线分线段成比例，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
11．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，，
(1)的值为________；
(2)求的值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先根据相似三角形的判定和性质求出，再证明从而得出，
（2）求出长度后再通过勾股定理求出长度．
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
又∵；
∴
解得：
故
在和中
∴（）
∴
∴
故答案为：1
（2）由（1）可知：
∴
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理和全等三角形性质和判断，勾股定理，掌握这些是解本题关键．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1、知道两条线段比的意义；
2、理解比例线段及其有关概念；
3、知道比例线段的性质，能运用比例线段的性质对进行简单的变形。
4、会运用“同高或等高的两个三角形的面积的比等于对应底边的比”进行三角形的面积比与线段比的转化；
相似多边形
全等多边形
对应边
成比例
相等
对应角
相等
相等