北京市第一○一中学2024届高三下学期三模数学试题（原卷及解析版）

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（）
A. B.
C. D.
2. 已知复数满足，则的值为（）
AB. 2C. D.
3. 下列函数中，满足对任意的，都有的是（）
A. B. C. D.
4. 若等差数列满足，，则其前n项和的最小值为（）
A. B. C. D.
5. 设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
6. 若△ABC为钝角三角形，且，，则边c的长度可以为（）
A. 2.5B. 3C. 4D.
7. 已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
9. 已知，其中，则“存在使”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 平面内相距的A，B两点各放置一个传感器，物体在该平面内做匀速直线运动，两个传感器分别实时记录下两点与的距离，并绘制出“距离---时间”图象，分别如图中曲线所示.已知曲线经过点，，，曲线经过点，且若的运动轨迹与线段相交，则的运动轨迹与直线所成夹角的正弦值以及分别为（）
A. B. C. D.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在的展开式中，的系数为______．
12. 已知角，的终边关于原点O对称，则______．
13. 若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
14. 已知函数，当时，有极小值．写出符合上述要求一组a，b的值为a= _______，b=_______．
15. 已知函数其中表示不超过x的最大整数.例如：给出以下四个结论：
①
②集合的元素个数为;
③存在，对任意的，有;
④对任意都成立，则实数的取值范围是
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 在中，
（1）求证为等腰三角形;
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求b的值.
条件①：条件②：的面积为条件③：边上的高为3.
17. 如图，在正方体中，分别是棱的中点.
（1）求证: 四点共面;
（2）求与平面所成角的正弦值;
18. 自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示.
表1
选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”.
表2
假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立.
（1）从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率；
（2）若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F 这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望E（X）；
（3）在本赛季中，从四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称.
19. 已知椭圆的离心率为，其长轴的两个端点分别为，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为椭圆上除，外的任意一点，直线交直线于点，点为坐标原点：过点且与直线垂直的直线记为，直线交轴于点，交直线于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
20. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行.
（i）求a的值；
（ii）证明：函数在区间内有唯一极值点；
（2）当时，证明：对任意，.
21. 设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”:
①；
②；
③，且中的最小元素大于中的最小元素；
④，必有.
（1）若，判断否是“无和划分”，并说明理由.
（2）已知是“无和划分”（）.
①证明:对于任意，都有；
②若存在，使得，记,证明：中的所有奇数都属于.跳跃动作
4T
4S
4F
4Lz
基础分
9.5
9.7
11.0
115
4T
12.04
11.22
4.75
9.06
9.97
11.63
10.98
4S
10.98
10.57
11.32
485
9.51
12.07
4F
13.69
5.50
14.02
12.92
4Lz
13.54
14.23
11.21
8.38
11.87