山东省泰安市2024年中考数学试卷【附真题答案】

这是一份山东省泰安市2024年中考数学试卷【附真题答案】，共12页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分)
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下面图形中，中心对称图形的个数有 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长，剧新了历年游客是最高纪是.数据860万用科学记数法表示为 （ ）
A．B．C．D．8.
5．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，则∠A的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若，试向买甜果苦果各几个?
若设买甜果个，买苦果个，可列出符合题意的二元一次方程组：根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为 （ ）
A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
9．如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线MN分别与BC，AC交于点和点；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧、两弧交于点，作射线AP.若射线AP恰好经过点，则下列四个结论：①；
②AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④.
其中，正确结论的个数有 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合.若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
11．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2.则下列结论：①2a+b=0；②方程一定有一个根在-2和-1之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④.其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．如图，菱形ABCD中，，点是AB边上的点，，点是BC上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结AG.当点在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（ ）
A．2B．C．D．4
二、填空题(本大题共6小题、满分24分.只要求填写最后结果,每小题填对得4分)
13．单项式的次数是 .
14．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动.小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颖准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 .
15．在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机.如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米(图中点A，B，C，P在同一平面内).那么大汶河此河段的宽AB为 米.(参考数据：)
16．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米.
17．如图，AB是的直径，AH是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连结BD交AC于点，延长BD与AH相交于点.若，则AE的长为 .
18．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”.
按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍.
三、解答题(本大题共7小题,满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
19．
（1）计算：；
（2）化简：.
20．某超市打算购进一批苹果.现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径(单位：)，并制作统计图如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）
则 ， ，b= .
（2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断， 供应商供应的苹果大小更为整齐。(填“甲”或“乙”)
（3）超市规定直径(含)以上的苹果为大果.超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个?
21．直线与反比例函数的图像相交于点，与轴交于点.
（1）求直线的表达式；
（2）若，请直接写出满足条件的的取值范围；
（3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积.
22．随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间.某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品.已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍.求甲、乙两组各有多少名工人?
23．综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动.
（1）【探索发现】
同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连结BG.EF与BG相交于点H.同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由.
（2）【拓展延伸】
同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF.将纸片展平，连结EG，FH，FG.同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，即.请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由.
24．如图1，在等腰Rt中，，点D，E分别在AB，CB上，、连结AE，CD，取AE中点，连结BF.
（1）求证：CD=2BF，CD⊥BF；
（2）将△DBE绕点顺时针旋转到图2的位置.
①请直接写出BF与CD的位置关系；
②求证：.
25．如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点，点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）将拋物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线，求拋物线的表达式，并判断点是否在拋物线上；
（3）在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】D
10．【答案】A
11．【答案】B
12．【答案】C
13．【答案】3
14．【答案】
15．【答案】74
16．【答案】450
17．【答案】
18．【答案】12
19．【答案】（1）解：
=7
（2）解：
20．【答案】（1）80；79.5；83
（2）甲
（3）解：2000×=600（个）
答：大约有600个.
21．【答案】（1）解：∵ 点A（-2，m），点B（n，-1）在反比例函数的图象上
∴-2m=-8，-n=-8
∴ m=4，n=8
∴ 点A（-2，4），点B（8，-1）
∵ 点A（-2，4），点B（8，-1）在直线 上
∴
解得：k=，b=3
∴ 直线
（2）解：∵ 直线与反比例函数的图象交于 点A（-2，4），点B（8，-1）
∴ x＜-2， ；
0＜x＜8 ，
∴， 满足条件的的取值范围是x＜-2或0＜x＜8
（3）解：∵ 直线
∴ x=0，y=3
∴ 点C（0，3）
∵ 过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点
∴ D的纵坐标为3，横坐标为
∴ CD=
∴ S△ACD=
∴的面积是.
22．【答案】解：设甲组有x名工人，乙组有（35-x）名工人.根据题意得：
解得：x=20
经检验，x=20是分式方程的解.
则35-x=15
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人.
23．【答案】（1）解：同学们的发现正确.
如图，过点E作EP⊥BC于P，则∠EPF=90°，∠PEF+∠EFP=90°
∵ 四边形ABCD为矩形
∴ ∠ABC=∠C=90°，四边形ABPE为矩形
∴ ∠EPF=∠C，∠CBG+∠BGC=90°，AB=EP
∵ 把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，
∴ EF垂直平分BG
∴ ∠BHF=90°
∴ ∠CBG+∠EFP=90°
∴ ∠EFP=∠BGC
∴
∴
∴​​​​​​​
（2）解：正确
由折叠知：AB=BG，∠1=∠2
∵ 平行四边形ABCD
∴ CD=AB=BG
∵ FG∥CD
∴，∠2=∠3
∴ ∠1=∠3
∴ GF=GD
∴
∴.
则点恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，
24．【答案】（1）证明：∵ AB=CB，∠ABE=∠CBD=90°，EB=DB
∴，∠ABF+∠FBE=90°
∴ AE=CD，∠BAE=∠BCD
∵ F为AE的中点
∴ AE=2BF，AF=BF
∴ CD=2BF ，
∠BAE=∠ABF
∴ ∠BCD+∠FBE=90°
∴ CD⊥BF
（2）解： ① BF⊥CD
②如图，延长BF到M，使BF=FM，连接AM，则BM=2BF
∵ F为AE中点
∴ EF=AF
∵ ∠EFB=∠AFM
∴
∴ EB=AM ，∠MAF=∠BEF
∴ AM∥BE
∴ ∠MAB+∠ABE=180°
∵ ∠ABE+∠DBC=180°
∴ ∠MAB=∠DBC
∵ BE=BD
∴ AM=BD
∵ AB=BC
∴
∴ BM=CD
∴ CD=2BF
25．【答案】（1）解：∵ 抛物线的图象经过点
∴ a+-4=-1
解得a=
∴ 抛物线的表达式为
（2）解：点D在拋物线上；
=
将抛物线C1 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线，
∴ 拋物线的表达式为y=
∴ x=1，y==-1
∴ 点D（1，-1）在拋物线上.
（3）解：存在点P，使是等腰直角三角形
①当∠P1BD=90°，P1B=BD，如图所示，过点B作直线l∥y轴，过点P1作P1E⊥l于E，过点D作DF⊥l于F，则∠EP1B+∠EBP1=90°
∴ ∠P1EB=∠BFD=90°，∠EBP1+∠FDB=90°，
∴ ∠EP1B=∠FDB
∴
∴ EP1=FB=1，EB=FD=3
∴ 点P1的横坐标为-1，点P1的纵坐标为3，
∴ 把-1代入拋物线的表达式y=得y=3=EB，则P1在抛物线C2上
∴ 点P1存在，坐标为（-1，3）.
②当∠P2DB=90°，P2D=BD，如图所示，过点D作直线l∥x轴，过点P2作P1F⊥l于F，过点B作BE⊥l于E，
同理可证
∴ FD=EB=1，P2F=DE=3
∴ 点P1的横坐标为2，点P2的纵坐标为P2F-BE=3-1=2
∴ 把2代入拋物线的表达式y=得y=2，则P2在抛物线C2上
∴ 点P2存在，坐标为（2，2）.
③当∠BP3D=90°，P3D=P3B，如图所示，过点P3作直线l∥x轴，过点B作BE⊥l于E，过点D作DF⊥l于F，
同理可证
∴ BE=P3F=1，EP3=FD
设点P3（m，n）
∴ m+2=n+1，1-m=1
解得：m=0，n=1
∴ P3（0，1）
则m=0时，y=≠1
则P3不存在
综上，在轴上方的抛物线上，存在点， 使是等腰直角三角形，点P的坐标为 P1（-1，3）或P2（2，2） .统计量
供应商
平均数
中位数
众数
甲
80
80
b
乙
m
a
76