吉林省吉林市八校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份吉林省吉林市八校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第九章，选择性必修第一册第一章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知某校有3000名男学生，2400名女学生，为了了解该校学生的体重情况，按男､女分层抽样的方法随机抽取180名学生进行调查，则被抽取到的女学生人数是（ ）
A.60 B.80 C.100 D.120
3.已知向量，且，则（ ）
A.-5 B.5 C.-7 D.7
4.在正方体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若.则
6.在平静的湖面上，小船甲从处沿北偏西的方向匀速行驶，同时，在的正东方向，且相距千米的处，小船乙沿北偏西的方向行驶，经过2小时后，这两艘小船在处相遇，则小船甲的速度是（ ）
A.千米/时 B.千米/时 C.10千米/时 D.20千米/时
7.在边长为2的正中，，点在线段上，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则（ ）
A.10 B. C. D.5
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数为的共轭复数，若，下列结论正确的是（ ）
A.在复平面内对应的点位于轴上
B.的实部为0
C.的虚部为-1
D.
10.已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论正确的是（ ）
A.三棱锥的体积不变
B.平面
C.
D.平面平面
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知直线的方向向是为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角是__________.
13.在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器.已知该园台形容器的上底面圆的直径是1.2米，下底面圆的直径是2.4米，母线长为1米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是__________立方米.
14.在中，角的对边分别是是内角的角平分线，和的面积分别是，且，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
某水产养殖户对其养殖的一批鱼的重量（单位：）进行统计，所得数据都在内，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值；
（2）估计该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数；
（3）若这批鱼有1000条，估计这批鱼中重量在内的数量.
16.（15分）
如图，四棱锥的底面是正方形，是的中点.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面平面.
17.（15分）
记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求的周长.
18.（17分）
如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，分别是棱的中点，，平面平面.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的正弦值.
19.（17分）
在复数域中，对于正整数满足的所有复数称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次的本原单位根，例如当时，存在四个4次单位根，因为，因此只有两个4次本原单位根.
（1）直接写出复数的3次单位根，并指出那些是复数的3次本原单位根（无需证明）.
（2）①若是复数的8次本原单位根，证明：.
②若是复数的次本原单位根，证明：.
高一数学试卷参考答案
1.B 由，得，即，解得，所以.
2.B 由题意可知被抽取到的女学生人数是.
3.C 因为，所以，解得.
4.C 如图，以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，从而，故，即异面直线与所成角的余弦值是.
5.D 若，则或，故A错误.若，则或相交，故B错误.若，则或或，故C错误.若，则，故D正确.
6.C 由题意可得千米，，则.在中，由正弦定理可得，则千米，故小船甲的速度是千米/时.
7.A 如图，依题意可得点在线段（不含端点）上，点在线段（不含端点）上，，设，则.因为为正三角形，所以为正三角形，所以，所以，因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.
8.A 因为这组数据的平均数为48，方差为7，所以整理得设，则，因为50，所以，即，则.
9.BCD 因为，所以，则在复平面内对应的点位于轴上，的实部与虚部分别为0和错误，B，C，D正确.
10.BCD 对于A选项，令，则，解得即，共面，故A不符合题意.对于B选项，设，则
此方程组无解，即不共面，故B符合题意.对于C选项，设，则此方程组无解，即不共面，故C符合题意.对于D选项，设，则不共面，故D符合题意.
11.ABD 由正方体的性质可知，则平面，则点到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积不变，则A正确.由正方体的性质易证平面平面.因为平面，所以平面，则B正确.当为的中点时，，当不是的中点时，与不垂直，则C错误.由正方体的性质易证平面.因为平面，所以平面平面，则D正确.
12. 设直线与平面所成的角为，则，故.
13. 由题意可得该圆台形容器的高为米，则该圆台形容器的容积是立方米.
14. 分别作，垂足分别为（图略）.因为是内角的角平分线，所以，所以和的面积之比为.因为，所以，即.因为，所以，所以，所以，所以.由余弦定理可得，则，即，故.
15.解：（1）由频率分布直方图可得，解得
（2）设该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为，
因为，所以，
则，解得，
即该水产养殖户养殖的这批鱼的重量的中位数为.
（3）由频率分布直方图可知这批鱼中重量在内的频率是，
则这批鱼中重量在内的数量是条.
16.证明：（1）记，连接.
因为四边形是正方形，所以是的中点.
因为是的中点，所以.
因为平面平面，所以平面.
（2）连接.
因为四边形是正方形，所以是的中点.
因为，所以.
因为四边形是正方形，所以.
因为平面，且，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
17.解：（1）因为，所以.
又，所以，则，
因为，所以.
（2）因为，所以.
由余弦定理，得.
整理得，解得或（舍去）.
当时，的周长为；
故的周长为.
18.（1）证明：连接.
因为是的中点，所以.
因为，所以四边形是菱形，
则.
因为是的中点，所以.
因为平面平面，且平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为平面，且，所以平面.
（2）解：取的中点，连接，易证两两垂直，故以为原点，以，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题中数据可得，
则.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
设二面角为，则，
故，即二面角的正弦值为.
19.（1）解：由题意可得的解为，
则复数的3次单位根为，
故复数的3次本原单位根为.
（2）证明：①因为是复数的8次本原单位根，所以.
因为，所以，
所以，
则.
②因为是复数的次本原单位根，所以，
设，则.
因为，所以，所以，
所以.
因为，所以，即，
则，即.