【统考】北京市通州区2024届高三下学期4月模拟考试数学试题

这是一份【统考】北京市通州区2024届高三下学期4月模拟考试数学试题，共12页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
2024年4月
本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，，则
A．B．C．D．
（2）在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则
A．B．C．D．
（3）在的展开式中，常数项为
A．60B．120C．180D．240
（4）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是
A．B．C．D．
（5）在梯形ABCD中，，，则
A．B．8C．12D．
（6）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则
A．B．C．D．
（7）已知圆心为C的圆与双曲线E：（）交于A，B两点，且，则双曲线E的渐近线方程为
A．B．C．D．
（8）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：月）的关系式为（，且），图象如图所示．则下列结论正确的个数为
①浮萍每个月增长的面积都相等；
②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；
③浮萍面积每个月的增长率均为50%；
④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是，，，则．
A．0B．1C．2D．3
（9）已知等差数列的前n项和为，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
（10）已知函数，，若关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是
A．B．C．D．
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）已知函数的定义域为．
（12）已知点为抛物线C：（）上一点，则点P到抛物线C的焦点的距离为．
（13）已知数列为等比数列，，则；数列的前4项和为．
（14）已知的数（），若的最小正周期为，的图象向左平移个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则；若在区间上有3个零点，则的一个取值为．
（15）如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧的中点，点H是圆弧上的动点，，给出下列四个结论：
①不存在点H，使得平面平面CEG；
②存在点H，使得平面CEG；
③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于；
④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为．
其中所有正确结论的序号是．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，几何体ABCDE中，，四边形ABDE是矩形，，点F为CE的中点，，．
（Ⅰ）求证：平面ADF；
（Ⅱ）求平面BCD与平面ADF所成角的余弦值．
（17）（本小题13分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，，D为BC边上的一点，再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABD的面积．
条件①；；
条件②：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题14分）
随着生活水平的不断提高，人们对于身体健康越来越重视．为了解人们的健康情况v某地区一体检机构统计了2023年20岁到100岁来体检的人数及年龄在，，，的体检人数的频率分布情况，如下表．该体检机构进一步分析体检数据发现：60岁到80岁（不含80岁）体检人群随着年龄的增长，所需面对的健康问题越多，具体统计情况如下图．
注：健康问题是指高血压、糖尿病、高血脂、肥胖、甲状腺结节等60余种常见健康问题．
（Ⅰ）根据上表，求从2023年该体检机构20岁到100岁体检人群中随机抽取1人，此人年龄不低于60岁的频率；
（Ⅱ）用频率估计概率，从2023年该地区20岁到100岁体检人群中随机抽取3人，其中不低于60岁的人数记为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）根据上图的统计结果，有人认为“该体检机构2023年60岁到80岁（不含80岁）体检人群健康问题个数平均值一定大于9.3个，且小于9.8个”．判断这种说法是否正确，并说明理由．
（19）（本小题15分）
已知函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围．
（20）（本小题15分）
已知椭圆E：（）的长轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于M，N两点（不与左右顶点重合），点在x轴正半轴上，直线TM交y轴于点P，直线TN交y轴于点Q，问是否存在t，使得为定值？若存在，求出t的值及定值；若不存在，请说明理由．
（21）（本小题15分）
从数列中选取第项，第项，…，第项（），若数列，，…，是递增数列或递减数列（规定时，该数列既是递增数列，也是递减数列），称，，…，为数列的长度为m的单调子列．已知有穷数列A：，，…，（），任意两项均不相同，现以A的每一项为首项选取长度最大的递增的单调子列，设其共有项，则，，…，构成一个新数列B．
（Ⅰ）当数列A分别为以下数列时，直接写出相应的数列B；
（ⅰ）1，3，5，7；
（ⅱ）4，1，2，6，3．
（Ⅱ）若数列A为等差数列，求证：数列B为等差数列；
（Ⅲ）若数列A共有（）项，求证：A必存在一个长度为的单调子列．
通州区2024年高三年级模拟考试
数学参考答案及评分标准
2024年4月
第一部分（选择题共40分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）
（12）3
（13）81；48
（14）或；6（答案不唯一）
（15）②③④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题13分）
解：
（Ⅰ）证明：连结BE交AD于G，连结FG．
因为四边形ABDE是矩形，
所以点G为BE的中点．
因为点F为CE的中点，
所以FG是△BCE的中位线．
所以．
因为平面ADF，平面ADF，
所以平面ADF．
（Ⅱ）因为四边形ABDE是矩形，
所以．
因为，，
所以平面ABC．
所以平面ABC．
所以以点A为原点，分别以AC，AE所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz．
所以，，，，．
所以，．
设平面ADF的法向量为，所以，．
所以，
令，得，．
所以．
因为平面ABC，
所以．
因为，，
所以平面BCD．
所以为平面BCD的一个法向量．
所以．
所以平面BCD与平面ADF所成角的余弦值为．
（17）（本小题13分）
解：
（Ⅰ）因为，
所以由正弦定理可得，即．
所以．
所以．
所以．
因为，所以．
所以．
因为，
所以．
（Ⅱ）若选条件①：．
所以D为BC中点．
所以．
因为，，，
所以由余弦定理得，即，
所以．
所以△ABC为直角三角形，
所以．
所以．
所以△ABD的面积为．
若选条件②：．
所以．
因为，，，
所以由余弦定理得，即．
所以．
所以△ABC为直角三角形．
所以．
所以．
所以．
所以△ABD的面积为．
（18）（本小题14分）
解：
（Ⅰ）从2023年该体检机构20岁到100岁体检人群中抽取1人，此人年龄不低于60岁的频率为．
（Ⅱ）用频率估计概率，从2023年该地区20岁到100岁体检人群中随机抽取1人，此人年龄不低于60岁的概率为．
依题意X的可能取值为0，1，2，3．
所以，，
，．
所以随机变量X的分布列为：
所以随机变量X的数学期望为．
（Ⅲ）不正确．
理由如下：若在60岁到80岁（不含80岁）中，、、、体检人群的频率分别为70%、10%、10%、10%，则60岁到80岁（不含80岁）体检人群健康问题平均值为个，所以该判断是不正确的．
（19）（本小题15分）
解：
（Ⅰ）因为，所以．
所以．
所以，．
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（Ⅱ）因为，定义域为R，
所以．
因为，令，即，
解得，．
所以．
当x变化时，，的变化情况如下表所示．
所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，，
所以在区间上单调递增在区间上单调递减．
因为对于任意，不等式成立，
所以，，．
所以，得，，得；
，得．
因为，
所以．
所以a的取值范围是．
（20）（本小题15分）
解：
（Ⅰ）因为椭圆E的长轴长为4，离心率为，
所以，．
所以，．
所以．
所以椭圆E的方程为．
（Ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，所以直线l的方程为，．
联立方程组，
消去y，化简得（．
设，，
所以，．
所以直线TM的方程为，直线TN的方程为．
所以，．
所以，，
所以
．
所以当时，为定值，即（负值舍）时，有定值3．
当时，若直线l斜率不存在，
不妨设，，
所以，．
所以．
综上，当时，有定值3．
（21）（本小题15分）
解：
（Ⅰ）（ⅰ）4，3，2，1；（ⅱ）2，3，2，1，1．
（Ⅱ）证明：设数列A的公差为d，因为，
当时，数列A为单调递减数列，
所以．
所以B为等差数列．
当时，数列A为单调递增数列，以A的每一项a，为首项选取长度最大的递增的单调子列为，，，…，．
所以（，2，3．…，n）．
所以B为等差数列．
综上，当数列A为等差数列时，数列B也为等差数列．
（Ⅲ）证明：
（1）若，，…，中有一个，那么数列A存在一个长为的递增子列．
所以A存在一个长度为的单调子列．
（2）若数列A不存在长度超过t的递增子列，即，，2，3，…，．
所以在，，…，中，至少有个数是相等的．
取其中项，不妨设为，其中．
下面证明当，且时，，
假设，将加到以为首项长度为b的递增子列前面，构成了以为首项长度为的递增子列，与为首项的最长递增子列的项数为b矛盾，假设不成立．
所以，
由此可知，．
所以，，…，，构成了一个长为的递减子列．
综上，A必存在一个长度为的单调子列．组别
年龄（岁）
频率
第一组
37%
第二组
43%
第三组
17%
第四组
3%
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
答案
B
A
D
B
C
B
A
B
C
A
X
0
1
2
3
P
x
2
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减