北京市西城区2024届高三下学期4月统一测试数学试卷（原卷及解析版）

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2024.4
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知全集，集合，则（）
AB. C. D.
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
3. 的展开式中，常数项为
A. B.
C. D.
4. 已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是（）
A. B.
C. D.
5. 设，其中，则（）
A. B.
C. D.
6. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（）
A. B. 1C. D. 7
7. 已知函数，若存在最小值，则的最大值为（）
A. B. C. D.
8. 在等比数列中，．则“”是“”的（）
A充分不必要条件B. 必要不充分条件
C充要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 关于函数，给出下列三个命题：
①是周期函数；
②曲线关于直线对称；
③在区间上恰有3个零点．
其中真命题的个数为（）
A. 0B. 1C. 2D. 3
10. 德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（）（参考数据：）
A. 2小时B. 0.8小时C. 0.5小时D. 0.2小时
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若复数z满足，则______
12. 已知．使成立的一组的值为__________；__________．
13. 双曲线的渐近线方程为__________；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则__________．
14. 在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为______，的最小值为______.
15. 如图，正方形和矩形所在平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：
①存在点，使；
②存在点，使；
③到直线和的距离相等的点有无数个；
④若，则四面体体积的最大值为．
其中所有正确结论的序号是__________．
三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
17. 在中，．
（1）求的大小；
（2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．
条件①：边上中线的长为；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲､乙､丙的资格赛成绩如下：
假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的射击成绩相互独立．
（1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；
（2）若甲､乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；
（3）甲､乙､丙各射击10次，用分别表示甲､乙､丙的10次射击中大于环的次数，其中．写出一个的值，使．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点．直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线分别与直线交于点．求证：．
20. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处切线的斜率；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）若集合有且只有一个元素，求的值．
21. 对正整数，设数列.是行列的数阵，表示中第行第列的数，，且同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同．记集合或中元素的个数为．
（1）若，求值；
（2）若对任意中都恰有行满足第列和第列的数均为1．
①能否满足？说明理由；
②证明：．环数
6环
7环
8环
9环
10环
甲的射出频数
1
1
10
24
24
乙的射出频数
3
2
10
30
15
丙的射出频数
2
4
10
18
26