辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．( )
A.B.C.D.
2．已知i为虚数单位,复数z满足,则( )
A.B.C.D.
3．已知,,则的终边与以原点为圆心,5为半径的圆的交点的坐标为( )
A.B.C.D.
4．已知l,m为两条不同的直线,,为两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若,,,则
B.若,,则
C.若,,,,则
D.若,,则
5．如图,一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2,且圆台的母线与底面所成的角为,圆锥的底面是圆台的上底面,顶点在圆台的下底面上,则该工业部件的体积为( )
A.B.C.D.
6．已知在中,的角平分线AD与边BC相交于点D,且,,,则AD的长为( )
A.B.C.D.
7．将函数的图像先向左平移个单位长度,再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图像,若函数在上单调递增,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知O为的外心,,,,则的面积为( )
A.5B.C.6D.
二、多项选择题
9．设复数,则下列命题中正确的是( )
A.z的虛部是
B.
C.z在复平面内对应的点在第四象限
D.若z是关于x的实系数方程的一个根,则,
10．关于函数有下述四个结论,其中正确的是( )
A.是偶函数
B.在区间上单调递增
C.的最大值为2
D.在有4047个零点
11．棱长为2的正方体中,点E,F,G分别是棱,,的中点.则下列说法正确的有( )
A.平面
B.与所成的角为60°
C.点P在平面内运动,且平面BEF,则BP的最小值为
D.平面EFG截正方体的截面形状是五边形
三、填空题
12．已知向量,6,若,则t的值为___________.
13．已知,,则的值为____________.
14．在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则的取值范围是___________.
四、解答题
15．已知向量,的夹角为,,.
（1）求在上的投影的数量;
（2）求的值;
（3）求2的值.
16．如图,在正三棱柱中,D,E分别是BC,的中点,若,.
（1）证明：平面;
（2）求到平面的距离：
（3）求二面角的大小.
17．已知函数,且.
（1）求函数的解析式;
（2）求函数的最小正周期和单调递增区间;
（3）若函数在区间上恰有3个零点,,求a的取值范围和的值.
18．如图,在三棱锥V-ABC中,和均是边长为4的等边三角形,.
（1）证明：;
（2）已知平面满足,,且平面平面,求直线l与平面ABC所成角的正弦值.
19．如图,在平面四边形ABCD中,已知,,为等边三角形.记.
（1）若,求的面积：
（2）若,求的面积的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：
2．答案：C
解析：由题意得,
所以
故选：C.
3．答案：D
解析：设交点坐标为 ,
则由三角函数的定义可知,,
所以,,所以交点坐标为.
4．答案：D
解析：
5．答案：B
解析：
6．答案：C
解析：
7．答案：B
解析：
8．答案：D
解析：取中点D, 因为O是 的外心,则,
由于 ,
所以,
又,
则
解得,所以,
则,
故选:：D.
9．答案：BCD
解析：
10．答案：AC
解析：
11．答案：AD
解析：
12．答案：
解析：因为,所以 ,即 ,解得.
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：（1）1
（2）-1
（3）
解析：（1）在上的投影的数量为：
（2）因为向量,的夹角为,且,,
所以.
所以.
（3）,
所以.
16．答案：（1）见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明：连接,交于点O,连接0D,
因为四边形为平行四边形,所以O为中点,又D为BC中点,
所以,
又平面,平面,
所以平面.
（2）设到平面的距离为d,
因为,,所以,又O为中点,所以,
因为为等边三角形,所以,
所以,所以,
,
因为,
所以,所以,即,
解得,
即到平面的距离为.
（3）由己知正三棱柱中,D,E分别是BC,中点,
所以面ABC,所以,,又,
所以面,C,所以,,
所以为二面角的平面角.
连接,在中,
在中,
由（2）知,所以.
所以,
所以二面角的大小为.
17．答案：（1）
（2）,
（3）a的取值范围为,的值为
解析：（1）
由知,的图像关于点对称,
所以,,得,.
因为,所以,
即函数.
（2）因为,所以
由,得,
所以函数的单调递增区间是,.
（3）,
当时,.
函数在区间上恰有3个零点,
令,则在上有3个不相等的根.
即与在的图像上恰有3个交点,
作出与的图像,如图所示,
由图可知,,
且,
所以.
故a的取值范围为,的值为.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：如图,设AB的中点为D,连结DV,DC,
因为和均为等边三角形,
所以,,
又因为,
平面VCD,平面VCD,所以AB⊥平面VCD,
又因为平面VCD,所以.
（2）因为平面,平面,平面VAC,平面VAC,
且,
所以平面平面VAC,
又平面平面,平面平面,
所以,
所以直线l与平面ABC所成角等于直线VC与平面ABC所成的角.
在平面VCD内作于O,
由（1）知,平面VCD,
又平面VCD,所以.
又因为,平面ABC,平面ABC,
所以平面ABC,
所以是直线VC与平面ABC所成的角.
因为△VAB和△ABC均是边长为4的等边三角形,所以,
又因为,在等腰中,,
所以,
所以直线l与平面ABC所成角的正弦值为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,由余弦定理有：
,
所以,所以,所以,
又因为为等边三角形,
所以,且,
所以
（2）不妨设.
在中,由余弦定理,
得
.
在中,由正弦定理,,即,
所以.
所以
又因为,所以,
所以,
即的面积的取值范围为.