初中数学北师大版九年级下册第三章 圆3 垂径定理学案

这是一份初中数学北师大版九年级下册第三章 圆3 垂径定理学案，共10页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；
2. 运用垂径定理及其逆定理解决问题．
学习策略
1. 经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，领会数学的严谨性和探索精神，培养学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．
学习过程
一.复习回顾：
1.等腰三角形是轴对称图形吗？
2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？
3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半
径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？

二.新课学习：
1.如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？
（3）你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）

证明：连接OA，OB，则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合,
eq \(\s\up1(⌒),\s\d5(AC)) 和 eq \(\s\up1(⌒),\s\d5(BC)) 重合， eq \(\s\up1(⌒),\s\d5(AD)) 和 eq \(\s\up1(⌒),\s\d5(BD)) 重合.
∴ eq \(\s\up1(⌒),\s\d5(AC)) = eq \(\s\up1(⌒),\s\d5(BC)) ， eq \(\s\up1(⌒),\s\d5(AD)) = eq \(\s\up1(⌒),\s\d5(BD)) .
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2. 如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
（3）你能模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理吗？
（4）你能正确表述逆定理的内容吗？

（5）“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
条件：① CD是直径；② AM=BM
结论（等量关系）：③CD⊥AB；
④ eq \(\s\up1(⌒),\s\d5(AC)) = eq \(\s\up1(⌒),\s\d5(BC)) ；⑤ eq \(\s\up1(⌒),\s\d5(AD)) = eq \(\s\up1(⌒),\s\d5(BD)) .
垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
3.精读75页例题思考如下问题：
（1）如何利用所学定理添加辅助线？
（2）这样添加辅助线的目的是什么？
（3）你想利用直角三角形的什么知识来解决问题？
（4）大家能合作完成求解过程吗？
解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m．
∵OE⊥CD
根据勾股定理，得
OC²=CF² +OF²
即 R²=300²+(R-90)².
解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545m.
三.尝试应用：
1. (毕节中考)如图，在⊙O中，弦AB的长为8，OC⊥AB，垂足为C，且OC＝3，则⊙O的半径为( )
A．5 B．10 C．8 D．6
2. 如图，在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝eq \r(3)，则弦CD的长为____________．
3. 1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到0.1米）．
四.自主总结：
1. 垂径定理：垂直于弦的 平分这条 ，并且平分弦所对的两条 ．
2.垂径定理逆定理：平分弦（ ）的直径 于弦,并且 弦所对的两条弧.
五.达标测试
一、选择题
1. 如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若OE=3，则AB的长是（ ）
A．4B．6C．8D．10
2. 如图，圆O过点A、B，圆心O在正△ABC的内部，AB=2，OC=1，则圆O的半径为（ ）
A．B．2C．D．
3.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5
二、填空题
4.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB= cm．
5.如图，MN是⊙O的直径，矩形ABCD的顶点A、D在MN上，顶点B、C在⊙O上，若⊙O的半径为5，AB=4，则AD边的长为 ．
6. 如图所示，⊙O内有折线OABC，其中OA=2，AB=4，∠A=∠B=60°，则BC的长为 ．
三、解答题
7．如图，⊙O的半径为2，弦AB=2，点C在弦AB上，AC=AB，求OC的长．
8. 如图，⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．
9．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少？
10．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．（选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸）．
3.3垂径定理达标测试答案
一、选择题
1．【解析】连接OA，根据勾股定理求出AE的长，进而可得出结论．
【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，OA=5，OE=3，∴AE===4，
∴AB=2AE=8．故选C．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
2．【解析】延长CO交AB于点D，连接OA，根据勾股定理可求得CD的长，再在直角三角形AOD中，求得OA即可．
【解答】解：延长CO交AB于点D，连接OA，
∵△ABC为正三角，∴CD⊥AB，
∵AB=2，∴AD=，
∴CD=3，
∵OC=1，∴OD=2，
∴OA==，故选D．
【点评】本题考查了垂径定理、等边三角形的性质以及勾股定理，考查了这几个知识点的综合运用．
3. 【解析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．
【解答】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，
∵⊙O的直径为10，∴半径为5，
∴OM的最大值为5，
∵OM⊥AB于M，∴AM=BM，
∵AB=6，∴AM=3，
在Rt△AOM中，OM====4；
此时OM最短，
当OM是半径时最长，OM=5．
所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．
故选B．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
二、填空题
4．【解析】连接AC、BC．利用圆周角定理知∠D=∠B，然后根据已知条件“CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H”，利用垂径定理知BH=AB；最后再由直角三角形CHB的正切函数求得BH的长度，从而求得AB的长度．
【解答】解：连接AC、BC．
∵∠D=∠B（同弧所对的圆周角相等），∠D=30°，
∴∠B=30°；
又∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，
∴BH=AB；
在Rt△CHB中，∠B=30°，CH=1cm，
∴BH=，即BH=；
∴AB=2cm．
故答案是：2．
【点评】本题考查了垂径定理和直角三角形的性质，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
5．【解析】连接OB，根据矩形性质得出AB=CD=4，∠BAO=∠CDO=90°，根据勾股定理求出AO、DO，即可得出答案．
【解答】解：
连接OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，∠BAO=∠CDO=90°，
∵OB=5，
∴AO==3，
同理DO=3，
∴AD=3+3=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了矩形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出AO和DO的长，题目比较典型，难度不大．
6．【解析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．
【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，
∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD=AD=AB=4，
∴OD=2，又∵∠ADB=60°，
∴DE=OD=1，
∴BE=3，
∴BC=2BE=6，
故答案为6．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用，构建合适的辅助线，数形结合，找出有关线段的关系，是解答此题的关键．
三、解答题
7．【解析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH=AB=，再在Rt△BOH中，根据勾股定理得OH=1，由AC=AB得AC=，则CH=AH﹣AC=，然后根据勾股定理可计算出OC的长．
【解答】解：作OH⊥AB于H，如图，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH，
∴AH=BH=AB=×2=，
在Rt△BOH中，OB=2，BH=，
∴OH==1，
∵AC=AB=×2=，
∴CH=AH﹣AC=﹣=，
在Rt△OHC中，OC==．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
8．【解析】过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC；由于AB∥CD，则OF⊥CD，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离．
【解答】解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB=30cm，CD=16cm，
∴AE=AB=×16=8cm，CF=CD=×12=6cm，
在Rt△AOE中，
OE===6cm，
在Rt△OCF中，
OF===8cm，
∴EF=OF﹣OE=8﹣6=2cm．
答：AB和CD的距离为2cm．
【点评】本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9．【解析】先过点O作OA垂直直尺与点A，连接OB，再设OB=r，利用勾股定理求出r的值即可得出答案．
【解答】解：过点O作OA垂直直尺与点A，连接OB，设OB=r，
∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，
∴AB=4，
∵刻度尺宽2cm，
∴OA=r﹣2，
在Rt△OAB中，
OA2+AB2=OB2，即（r﹣2）2+42=r2，
解得r=5，
则该光盘的直径是10cm．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理及切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10．【解析】先根据垂径定理求出AD的长，然后在Rt△AOD中，运用勾股定理将圆的半径求出，进而可求出直径CE的长．
【解答】解：本题用现在的数学语言表述是：“如图所示，CE为⊙O的直径，CE⊥AB，垂足为D，CD=1寸，AB=1尺，求直径CE长是多少寸？”
设直径CE的长为2x寸，则半径OC=x寸．
∵CE为⊙O的直径，弦AB⊥CE于D，AB=10寸，
∴AD=BD=AB=5寸，
连接OA，则OA=x寸，
根据勾股定理得x2=52+（x﹣1）2，
解得x=13，
CE=2x=2×13=26（寸）．
故所求直径为26寸．
【点评】此题是一道古代问题，考查了垂径定理和勾股定理的应用．通过此题，可知我国古代的数学已发展到很高的水平．