高中高考数学一轮复习综合检测AB卷不等式综合测试卷B含解析答案

这是一份高中高考数学一轮复习综合检测AB卷不等式综合测试卷B含解析答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，其导函数为，集合，，若A B，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
6．故宫博物院收藏着一幅《梧桐双兔图》.该绢本设色画纵约，横约，挂在墙上最低点离地面，小兰身高(头顶距眼睛的距离为.为使观测视角最大，小兰离墙距离应为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．9B．12C．14D．16
8．记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知位于第一象限的点在曲线上，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知集合，集合，若有且仅有3个不同元素，则实数的值可以为（ ）
A．0B．1C．2D．3
11．已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知实数，，则的最大值为 .
13．已知，均为锐角，且满足，则的最大值为 .
14．已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知集合，．
(1)若，求；
(2)求实数的取值范围，使成立．
16．设，
(1)解不等式：
(2)设的最大值为，已知正数和满足，令，求的最小值.
17．已知函数.
(1)若的单调递减区间是，求a的值.
(2)若关于x的不等式的解集为，求不等式的解集；
(3)若，求关于x的不等式的解集.
18．养鱼是现在非常热门的养殖项目，为了提高养殖效益，养鱼户们会在市场上购买优质的鱼苗，分种类、分区域进行集中养殖．如图，某养鱼户承包了一个边长为100米的菱形鱼塘（记为菱形）进行鱼类养殖，为了方便计算，将该鱼塘的所有区域的深度统一视为2米．某养鱼户计划购买草鱼苗、鲤鱼苗和鲫鱼苗这三种鱼苗进行分区域养殖，用不锈钢网将该鱼塘隔离成，，三块区域，图中是不锈钢网露出水面的分界网边，E在鱼塘岸边上（点E与D，C均不重合），F在鱼塘岸边．上（点F与B，C均不重合）．其中△的面积与四边形的面积相等，△为等边三角形．

(1)若测得EC的长为80米，求的长．
(2)已知不锈钢网每平方米的价格是20元，为了节约成本，试问点E，F应如何设置，才能使得购买不锈钢网所需的花费最少？最少约为多少元？（安装费忽略不计，取）
19．函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师Jhan Jensen在1905年提出来的．其中对于凸函数的定义如下：设连续函数的定义域为（或开区间或，或都可以），若对于区间上任意两个数，均有成立，则称为区间上的凸函数．容易证明譬如都是凸函数．Jhan Jensen在1906年将上述不等式推广到了个变量的情形，即著名的Jensen不等式：若函数为其定义域上的凸函数，则对其定义域内任意个数，均有成立，当且仅当时等号成立．
(1)若函数为上的凸函数，求的取值范围：
(2)在中，求的最小值；
(3)若连续函数的定义域和值域都是，且对于任意均满足下述两个不等式：，证明：函数为上的凸函数．（注：）
参考答案：
1．A
【分析】根据绝对值的定义和分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，所以，解得，
又由，可得，解得，
因为是的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．C
【分析】解分式不等式得集合A，解根式不等式得集合B，由集合交集及补集运算可得结果.
【详解】由题意知，，
则，所以．
故选：C．
3．D
【分析】参变分离，转化为求的最小值问题，变形为，利用对勾函数性质求解可得.
【详解】分离参数得，
要使对任意，不等式恒成立，只需.
又因为，令，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
所以，所以.
故选：D
4．A
【分析】先求，算出集合、，再根据，只需满足即可.
【详解】，解得，故，
又，且A B，
所以，解得.
故选：A.
5．C
【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解.
【详解】因为，，
所以，即，
所以
，当且仅当，即时等号成立，
故.
故选：C
6．C
【分析】由题意只需最大，设小兰眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，求出，，设，则，求出，，代入，利用基本不等式求解即可.
【详解】由题意可得为锐角，故要使最大，只需最大，
设小兰眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，如图，
则依题意可得（cm），（cm），，
设，则，且，
，
故
所以，当且仅当即时等号成立，
故使观赏视角最大，小兰离墙距离应为cm.
故选：C.
7．D
【分析】根据题意结合导数的几何意义分析可得，再结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意可得：的导数为，
设切点为，切线斜率，
则在该点的切线方程为，
即，
由题意可得，整理得，
则，
当且仅当时取等号，
故的最小值为16.
故选：D.
8．A
【分析】根据题意可得，，所以，即，解不等式即可得到答案.
【详解】因为，所以，，所以，
所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为．
故选：A
9．BCD
【分析】对A：计算后代换即可得；对B、C：借助基本不等式即可得；对D：借助消元法用b表示a后，借助二次函数的性质即可得.
【详解】由题意可得，且，，
对A：由，即，故，故A错误；
对B：由，得，
当且仅当时，等号成立，即；
由，得，
当且仅当时，等号成立，即，故B正确；
对C：，
当且仅当即时，等号成立，故C正确；
对D：由，故，故，
，故D正确.
故选：BCD.
10．AB
【分析】解一元二次不等式可得，结合指数函数性质可解出，结合交集性质即可得解.
【详解】由，解得，
故，
由，可得，
，
要使有且仅有3个不同元素，则，解得，
故选：AB．
11．BC
【分析】将恒成立，转化为恒成立，再利用基本不等式得到，转化为恒成立，逐项判断.
【详解】解：因为正实数，且为自然数，
所以，
则恒成立，即恒成立，
两边同乘，则，
而，
，
当且仅当，即时，等号成立，
若恒成立，则恒成立，
A.当时，，不成立；
B.当时，，成立；
C.当时，，成立；
D.当时，，不成立，
故选：BC
12．2
【分析】利用分离常数法，把分子降为一次式，再可以利用基本不等式结合条件即得.
【详解】因为，
又因为，，所以可由平方均值不等式得：，
取等号条件是，即，
所以上式可变为：，
取等号条件是：，即，结合，
可得取到最大值的条件是：.
故答案为：2
13．/
【分析】根据已知等式利用两角差的正弦公式和同角三角函数的商数关系化简得，结合基本不等式可得，由正切函数的单调性可得的最大值.
【详解】由，均为锐角，，得，
即，化简得，
则，
所以，
由为锐角，，则有，
当且仅当，即时等号成立，
则，
由，函数在上单调递增，
所以的最大值为.
故答案为：
14．.
【分析】根据题意，分，，和，四种情况讨论，结合一次、二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】解：（1）当时，可得，
若对于恒成立，即在恒成立，
即在恒成立，
即对任意恒成立，
①当时，不等式在区间上恒成立，符合题意；
②当时，要使得对任意恒成立，
则满足且，解得；
③当时，可得，二次函数开口向下，
所以对任意不能恒成立，不符合题意；
（2）当时，函数恒成立，而此时开口向下，
当时，，所以对任意不能恒成立，不符合题意，
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由对数不等式和二次不等式的解法，化简集合A，B，再由并集的定义可得所求集合
（2）求得A的补集，由交集的定义可得所求取值范围.
【详解】（1）集合，，
所以
（2）由于，，可得，解得，
所以的取值范围为.
16．(1)
(2)4
【分析】（1）利用偶函数的对称性，只需要先研究的部分，然后再分段讨论去绝对值即可分析与研究不等式解集；
（2）利用（1）的分段函数，可求得每一段函数的值域，再求它们的并集即可以得到最大值，再利用代换1思想和均值不等式思想来求出最小值.
【详解】（1）因为，
所以是偶函数，即只需先分析时的值域，
当，， ，舍去，
当，， ，
当， ， ，
综上可得当时，不等式的解集为，
即根据偶函数的对称性可知，不等式的解集为 .
（2）由（1）可知，当，的值域为，当，的值域为,
当，的值域为,时，的值域为,
的最大值为2，，由，
则 ，
①当且仅当时等号成立，
又 ， ， ，
②当且仅当时等号成立.
①+ ②得的最小值为4，当且仅当时等号成立.
17．(1)1；
(2)；
(3)答案见详解.
【分析】（1）分，讨论，根据二次函数单调性可得；
（2）利用韦达定理求出，然后可解；
（3）根据二次系数是否为0、二次函数的开口方向、以及两根的大小关系分类求解即可.
【详解】（1）当时，的单调递减区间为R，不满足题意；
当时，由的单调递减区间是可得，解得.
综上，a的值为1.
（2）若关于x的不等式的解集为，
则和3是方程的两根，且，
由韦达定理得，解得，
所以不等式，
解得或，
所以不等式的解集为.
（3）若，则，
1）当时，由解得；
2）当时，方程的两根为，
当时，，解不等式得；
当时，，解不等式得或；
当时，，解不等式得或；
当时，由得.
综上，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
18．(1)62.5米
(2)E，F分别在DC，DB上距离C点70.7米，6828元．
【分析】（1）由，结合三角形的面积公式求解即可.
（2）设米，米，，．由余弦定理和三角形的面积公式可求出，再由基本不等式求解即可.
【详解】（1）依题意得平方米，
由米，得平方米，
解得米，即CF的长为62.5米，
（2）设米，米，，．
在△ECF中，由余弦定理可得，
因为平方米，所以米，
所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故当E，F分别在DC，DB上距离C点70.7米时，EF最短，此时购买的不锈钢网面积最小，花费最小．
当时，不锈钢网的面积为平方米，
所需的花费最少为元．
19．(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据凸函数的定义列出不等式，求解不等式即可；
（2）利用基本不等式得出，结合Jensen不等式可得答案；
（3）利用条件和凸函数的定义，证明出即可.
【详解】（1）由凸函数的定义有
故．
（2）由基本不等式有
，
当且仅当时取等号．
由Jensen不等式有，
从而有，即，
当且仅当时取等号．
故的最小值为．
（3）证明：
，
从而，进而有，
所以函数为上的凸函数．
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是理解凸函数的定义，抓住凸函数的核心特征来进行证明；二是理解Jensen不等式的结构特点.