高中高考数学一轮复习综合检测AB卷平面向量与复数综合测试卷A含解析答案

这是一份高中高考数学一轮复习综合检测AB卷平面向量与复数综合测试卷A含解析答案，共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知向量，，则正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若非零向量与满足，且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
3．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则是锐角三角形B．若，则是钝角三角形
C．若，则是锐角三角形D．若，则是钝角三角形
5．在中，，是边上任意一点（与不重合），且，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
6．已知是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，，E是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（ ）
A．10B．4C．7D．13
8．已知集合，若对于任意实数对 ，存在 ，使得 成立，则称集合 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①；②；③；④．其中是“垂直对点集”的序号是（ ）
A．①②④B．②③C．③④D．①③④
9．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．复数的共轭复数为（ ）
A．B．1C．D．
11．若，其中是实数，是虚数单位，则（ ）
A．1B．C．D．2
12．已知复数在复平面内所对应的点分别为，则（ ）
A．B．1C．D．2
13．若复数为纯虚数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
14．复数满足条件，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
15．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．
C．D．
16．任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题
17．如图是一个正六边形，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
18．半圆形量角器在第一象限内，且与两坐标轴分别相切于，两点．设量角器的直径，圆心为，点为坐标平面内一点．下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．当点与点重合时，与的夹角为
D．的面积为2
19．已知O为坐标原点，点，其中为锐角，则（ ）
A．为定值B．的最大值为3
C．的最小值为D．的最小值为
20．下列各式的运算结果是实数的是（ ）
A．B．
C．D．
21．已知、都是复数，下列正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．
22．已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是圆
B．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支
D．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是抛物线
三、填空题
23．已知向量，向量，则的最大值是 ．
24．若为坐标原点，过点的直线与函数的图象交于两点，则 ．
25．如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为1，设，则 ；是平面图形边上的动点，则的取值范围是 .
26．为虚数单位，则 ．
27．向量对应的复数为，把绕点按逆时针方向旋转，得到，则对应的复数为 （用代数形式表示）．
28．若复数满足，则的最小值为 .
四、解答题
29．如图，在平面直角坐标系中，角和的终边与单位圆分别交于，两点.
(1)若，求的值；
(2)若，，求的值.
30．如图，在中，，M，N分别为的中点．
(1)若，求．
(2)若，求的大小．
31．设向量，．
(1)若且，求的值；
(2)设函数，求的单调递增区间．
32．如图，中，是的中点，与交于点.

(1)用表示；
(2)设，求的值；
(3)若，求的最大值.
33．如图所示，在中，在线段BC上，满足，O是线段的中点.

(1)当时，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，
①求的最小值；
②设的面积为，的面积为，求的最小值.
(2)若的面积为，，且，，，，，是线段BC的n等分点，其中，n、，，求的最小值.
34．已知是复数，和都是实数，
（1）求复数；
（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.
35．在复平面内，已知对应的复数，对应的复数.
(1)判断：是否成立？并说明理由；
(2)若对应的复数为z，且，求点P所在区域的面积.
36．设是虚数，且满足.
(1)求的值及的实部的取值范围；
(2)设，求证：为纯虚数；
(3)求的最小值.
37．已知函数，且.
(1)求的最大值；
(2)从①②中任选一个作答.若选择多个分别作答.按第一个解答计分.
①为函数图象与轴的交点，点，为函数图象的最高点或者最低点，求面积的最小值.
②为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为，，求面积的取值范围.
38．设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点．
(1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标；
(2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由；
(3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件．
参考答案：
1．D
【分析】根据平面向量数量积、模的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，
所以，，故A错误
因为，所以与不共线，故B错误；
，所以与不垂直，故C错误
又，所以，
所以，故D正确.
故选：D
2．D
【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断.
【详解】因为分别为与同向的单位向量，
因为，可知的角平分线与BC垂直，则，
又因为，即，
且，则，所以是等边三角形.
故选：D.
3．C
【分析】将两边平方求出，然后由投影向量公式可得.
【详解】因为，，
所以，得，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故选：C
4．D
【分析】根据题中条件利用向量的数量积运算可求得，分情况考查的正负情况，转化为的正负情况，进一步分析即可.
【详解】因为，
即,
又时，三角形一定不是直角三角形，
则有，
，
若，则，为锐角，但是不能判断的大小，
故A,B错误；
当时，则，中必有一个钝角，
故此时是钝角三角形，C错误，D正确，
故选：D.
5．C
【分析】，利用向量的线性运算，化简得，可知是以为顶角的等腰三角形，可求的大小.
【详解】因为，所以，
则，即，
所以，即，
可知中，边上的中线与边垂直，
所以是以为顶角的等腰三角形，所以.
故选：C．
6．D
【分析】由题意得，然后利用数量积的运算律和计算公式计算即可.
【详解】如图所示

由图像可知，与夹角的范围为，
所以,
所以.
故选：D.
7．D
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以，，
，
当且仅当，即时取等.
故选：D.
8．B
【分析】根据“垂直对点集”的定义、平面向量数量积的坐标表示及函数的基本性质与图象一一判定选项即可.
【详解】对于①，若，，易知，，
且同号或异号，显然不成立，即①不符合题意；
不妨设，，则，
对于②，如图所示，显然对于上任意一点A，在上总存在点B，
满足，即②符合题意；
对于③，如图所示，显然对于上任意一点A，在上总存在点B，
满足，即③符合题意；
对于④，注意到对于上点，此时与垂直的过原点的直线为轴，
轴与无交点，即上不存在点B，满足，即④不符合题意.
故选：B
9．D
【分析】根据题意，得到，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由，可得，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
10．D
【分析】根据复数的乘方与乘法运算化简运算得复数，再根据共轭复数的概念求解即可.
【详解】因为，
所以共轭复数.
故选：D.
11．B
【分析】利用复数相等求解，然后利用复数模的运算公式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：B
12．A
【分析】由复数的几何意义和复数的模长公式求解即可.
【详解】由复数的几何意义可得，
所以.
故选：A.
13．C
【分析】根据复数的类型求出，再根据复数代数形式的四则运算法则计算即可得.
【详解】因为复数为纯虚数，
所以，解得，
所以.
故选：C.
14．C
【分析】根据复数的模整理得到，再利用基本不等式计算可得.
【详解】由且，得，
∴，整理得，
∴，
当且仅当，即，时，取得最小值.
故选：C
15．C
【分析】利用复数模的坐标表示即可得解.
【详解】因为z在复平面内对应的点为，
所以，则，
又，所以，即.
故选：C．
16．B
【分析】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案.
【详解】由题意可得，
故，
所以
.
故选：B
17．ABD
【分析】利用平面向量的加法减法法则和数乘运算即可判断A，B正确，C错误；利用投影向量的定义即可判断D正确.
【详解】
对A， ，故A正确；
对B，由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法则有，与共线且同方向．易知，均为含角的直角三角形，故，则，而，故，故，故B正确；
对C，因为， ，故C错误；
对D，，则在上的投影向量为，故D正确．
故选：ABD．
18．ABD
【分析】利用平面向量的线性运算结合直线与方程知识逐个分析即可.
【详解】由题，有
对于A，因为，A正确
对于B，因为，，所以，，两式相加得，所以，B正确
对于，当点与点重合时，与的夹角为，错误
对于D，易知该半圆形量角器的轨迹方程是，
当时，，当时，，故，，
由两点间距离公式得，方程为，
设点到直线距离为，故，，
故的面积为2，D正确，
故选：ABD
19．ACD
【分析】由向量数量积、模长的坐标表示写出各项关于对应的表达式，应用三角恒等变换、基本不等式“1”的代换、导数求对应最值判断各项正误.
【详解】由为锐角，故，
A：为定值，对；
B：，
所以，当且仅当时等号成立，故最小值为3，错；
C：，而，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最小值为，对；
D：，且，
，
所以，当且仅当，即时等号成立；（法一）
令，则，
令，即，且，则，
当，，即递减；当，，即递增；
所以，此时，（法二），对.
故选：ACD
20．AC
【分析】根据复数加减乘除运算法则逐一计算即可求解.
【详解】A项中，，故A正确；
B项中，，故B错误；
C项中，，故C正确；
D项中，，故D错误.
故选：AC.
21．BD
【分析】利用特殊值判断A、C，根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断B、D.
【详解】对于A：令、，则，显然不满足，故A错误；
对于C：令、，则，，
所以，但是，故C错误；
设，，
所以，
则
，
又，
所以，故B正确；
，又，
所以，故D正确.
故选：BD
22．AC
【分析】根据复数模的几何意义，及椭圆、双曲线的定义逐项分析即可.
【详解】由复数模的几何意义知，
表示复平面内点与点之间的距离为定值2，
则在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确；
由复数模的几何意义知，
表示复平面内点到点和的距离之和为，
又，不满足椭圆的定义，故B不正确；
由复数模的几何意义知，
表示复平面内点到点和的距离之差为1，
又，满足双曲线的定义，故C正确；
对于D，可化为，
表示复平面内点到点和的距离相等，轨迹是直线，
故D不正确，
故选：AC.
23．4
【分析】根据向量的坐标运算求出，然后利用向量求模的计算和三角函数的性质即可求解.
【详解】因为向量，向量，
所以，
则
，
所以当时，即时，取最大值，
故答案为：.
24．4
【分析】首先得出是函数图象的对称中心，所以，然后由数量积的坐标运算公式计算即可.
【详解】因为，
所以是函数图象的对称中心，则为线段的中点，
可得，则．
故答案为：4.
25． 1
【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，根据三点共线，得到，设，求得，令，转化为求该直线在轴上截距的取值范围，得到目标函数的最优解，代入即可求解.
【详解】以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
因为三点共线，且，所以，
由正六边形的内角均为，且边长为，可得，
设，可得，
则，
令，则，
当该直线经过点时，截距最大，对应的最大，此时最大值为，
当该直线经过点时，截距最小，对应的最小，此时的最小值为，
所以.
故答案为：；.
26．
【分析】利用的指数幂的周期可计算得出所求代数式的值.
【详解】，
故答案为：.
27．
【分析】依题意可得，设角的终边过点，即可求出，再求出，，即可求出旋转后对应的，即可求出对应的复数.
【详解】因为向量对应的复数为，则在复平面内复数对应的点为，
设角的终边过点，则，，
所以，
由，所以，
，
将把绕点按逆时针方向旋转得到，则，
所以对应的复数为.
故答案为：
28．
【分析】根据题设条件确定复数对应点在以为焦点，长轴长为10的椭圆上，结合椭圆性质及的几何意义确定最小值.
【详解】设且，又，
所以，
即点到两定点的距离之和为，
所以点在以为焦点，长轴长为10的椭圆上，
由表示椭圆上点到原点距离，故其最小值为短半轴.
故答案为：
29．(1)
(2)
【分析】（1）先表示出向量的坐标，利用和差角公式可求答案；
（2）根据求出，根据倍角公式可得答案.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，
两式平方相加，得，
解得.
（2）因为，
所以.
因为，所以.
所以
.
30．(1)12
(2)
【分析】(1)通过几何分析得到 再根据数量积公式求得再用余弦定理即可求解； (2)根据向量的数量积公式求出即可求解.
【详解】（1）由得，为直角三角形，
又因为M，N分别为的中点，
所以
所以
所以
因为，
所以
所以，
所以.
（2）由(1)知，,所以,
同理,,
所以,
所以,所以,
所以.
31．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的模长公式，可得方程，由特殊角三角函数值，可得答案；
（2）由向量数量积的坐标公式，利用二倍角公式与降幂公式，结合辅助角公式，整理单角三角函数，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，可得答案.
【详解】（1），，，
由得，，又，所以，.
（2），
令，得，
所以的单调递增区间为.
32．(1)
(2)
(3).
【分析】（1）根据题意，由平面向量的减法运算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得，再由三点共线定理，即可得到结果；
（3）根据题意，由平面向量的夹角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）.
（2）因为三点共线，所以，解得.
（3），由（1）可知，
所以，得，
则，
所以
所以的最大值为.
33．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1可得的关系，再利用基本不等式即可得解；
②利用三角形的面积公式结合条件可得，然后利用基本不等式求解即可；
（2）设D为BC的中点，从而可得，则，再结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）①因为，所以，
又，
因为E，O，F三点共线，所以，
所以，
当且仅当取等号，
所以的最小值为；
②，
又由①知，
所以
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为；
（2）设D为BC的中点，则，
所以，
所以，
又，
，
所以，
所以，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为.
【点睛】关键点点睛：将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1得出的关系，是解决本题的关键.
34．（1）；（2）.
【分析】（1）设，根据复数代数形式的除法、加法运算法则化简和，若为实数，则虚部为零，即可得到方程组，解得即可；
（2）设，根据复数代数形式的运算法则化简方程，即可得到方程组，解得即可.
【详解】（1）设，则，
因为和都是实数，则，解得，，
所以.
（2）设，则方程为，即，若方程有实数根，则，解得，，
所以纯虚数.
35．(1)不成立，理由见解析
(2)
【分析】（1）先求出，则可求出，的坐标，然后计算判断即可，
（2）根据题意求出对应的复数，再由可求出的范围，从而可求得结果.
【详解】（1）因为，所以，
，
所以，，
因为，
所以不成立，
（2）因为，
因为，所以，
所以点P所在区域的面积为.
36．(1)，
(2)证明见解析
(3)1
【分析】（1）根据复数的除法可得，根据其为实数可得，从而的实部的取值范围；
（2）根据复数的除法可得，从而可证为纯虚数；
（3）根据基本不等式可求最小值.
【详解】（1）设，，，
则，
∵，∴是实数，又，∴，即，
∴，，，∴的实部的取值范围是；
（2），
∵，，∴为纯虚数；
（3），
∵，∴，故，
当，即时，取得最小值.
37．(1)
(2)①；②．
【分析】（1）由已知可得，当时函数取到最值，列方程解出，代入，进而可得的最大值；
（2）若选①：分，对应的同为最大值或最小值和，对应的一个为最大值，另一个为最小值两种情况讨论，分别利用三角形的面积公式求解，可得面积的最小值；若选②：由复数的几何意义，得出，，再由三角形的面积公式结合正弦函数的性质求解．
【详解】（1），即当时函数取到最值，
又，其中，
，代入得，
即，解得，，
，
当，即时，取到最大值；
（2）由（1）可得：，
选①：可得，
当，对应的同为最大值或最小值时，
得；
当，对应的一个为最大值，另一个为最小值时，
得；
综上：面积的最小值为
选②：由复数的几何意义知：，，
，
当，即时，有最大值；
当，即时，有最小值；
.
38．(1)
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据题中的新定义求解即可；
（2）由题意可得，进而由条件得出关于的方程组，求解即可；
（3）满足条件的一个有序实数对为，即，，结合复数模的求法及复数的运算证明即可.
【详解】（1）由知，则，故；
设，则，
由知，则，即.
（2）直线l上的任意一点“对应”到点，
，且，
，即，
由题意，点仍在直线上，则，又，
则，
展开整理得，
则，解得，
所以，所求的有序实数对为.
（3）满足条件的一个有序实数对为，即，，证明如下：
设，则，，
∵，∴，
，即，满足条件①；
设，且，即，得，
由得，
则
，
则，满足条件②，
综上，满足条件的一个有序实数对为.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．