高中高考数学一轮复习综合检测AB卷平面向量与复数综合测试卷B含解析答案

这是一份高中高考数学一轮复习综合检测AB卷平面向量与复数综合测试卷B含解析答案，共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设向量，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知两个非零向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C． D．
3．已知平行四边形中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
5．记，，设为平面向量，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．D．
7．如图，已知正六边形的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．设，对满足条件的点的值与无关，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．8B．6C．D．
10．已知复数，的共轭复数为，则（ ）
A．B．
C．D．
11．定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12．若复数的实部为4，则点的轨迹是（ ）
A．短轴长为4的椭圆B．实轴长为4的双曲线
C．长轴长为4的椭圆D．虚轴长为4的双曲线
13．已知集合，则的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
14．若复数，满足，，则的最大值是（ ）
A．B．C．7D．8
15．“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．记为虚数单位，为正整数，若位于复平面的第四象限，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
17．已知是两个单位向量，若，，则（ ）
A．三点共线B．
C．D．
18．已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的最大值为6
C．D．若，
E．满足的点有一个
19．中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，O为其重心，，，分别是边a，b，c上的高．若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．是钝角三角形
20．在复平面内，设为坐标原点，复数对应的点分别为，，若，则可能是（ ）
A．B．C．D．
21．已知，方程有一个虚根为，为虚数单位，另一个虚根为，则（ ）
A．B．该方程的实数根为1
C．D．
22．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．若在复数范围内关于的方程的两根为，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．复数对应的点位于第二象限
D．复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
三、填空题
23．已知向量，若向量在上的投影向量为，且与不共线，请写出一个符合条件的向量的坐标 .
24．如图，在中，分别是边AB，AC上的点，，且，点是线段DE的中点，且，则 .
25．某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成，在四边形ABCO中，，，，，点P是八边形ABCDEFGH内（不含边界）一点，则的取值范围是 ．
26．在复数范围内，方程的解集为 .
27．已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
28．已知复数，且，则的最小值是 ．
四、解答题
29．已知向量，其中，若函数的最小正周期为.
(1)求的单调增区间；
(2)在中，若，求的值.
30．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，BE与AC，AF分别相交于M，N两点.

(1)若，求λ；
(2)若，求.
31．在等腰梯形中，CD的中点为O，以O为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知．
(1)求；
(2)若点F在线段CD上，，求．
32．如图，点是重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．
(1)设，将用、、表示；
(2)设，，问：是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，记与的面积分别为、，求的取值范围．
33．我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对表示．平面向量又称为二维向量．一般地，n元有序实数组称为n维向量，它是二维向量的推广．类似二维向量，对于n维向量，也可定义两个向量的数量积、向量的长度（模）等：设，，则；．已知向量满足，向量满足．
(1)求的值；
(2)若，其中，当且时，证明：．
34．已知复数，，其中是虚数单位，．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若，求的取值范围．
35．已知关于的二次方程．
(1)当为何值时，这个方程有一个实根？
(2)是否存在，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．
36．设是虚数，
(1)求证为实数的充要条件为；
(2)若，推测为实数的充要条件；
(3)由上结论，求满足条件，及实部与虚部均为整数的复数．
37．已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数.
(1)若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求；
(3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
38．欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
(1)将复数表示成（，为虚数单位）的形式；
(2)求的最大值；
(3)若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值．
参考答案：
1．A
【分析】根据，得到，化简得，代入即可.
【详解】向量满足 ，
,即,
,
,
故选：A.
2．B
【分析】由两边平方可得，结合投影向量的定义计算即可求解.
【详解】由，得，
即，整理可得，
所以在方向上的投影向量为.
故选：B.
3．B
【分析】用向量表示向量，再结合数量积的运算律计算即得.
【详解】平行四边形中，由，得，
由，得，
因此，
整理得，即，所以.
故选：B

4．C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
5．D
【分析】根据给定条件，举例说明判断ABC；利用数量积的运算律、数量积的定义计算判断D.
【详解】对于A，取，，A错误；
对于B，取是非零的相等向量，则，B错误；
对于C，取是非零的相等向量，则，C错误；
对于D，当中有零向量时，，
当中没有零向量时，，，
当时，，
当时，，
因此，D正确．
故选：D
6．D
【分析】由，化简得到，两边平方化简可得：，由化简即可得到答案.
【详解】
，
所以，
所以，即，
解得.
.
故选：D
7．C
【分析】根据给定的图形，利用数量积的运算律及定义求解即得.
【详解】连接，，设，依题意，，，，
则，
由，得，所以.
故选：C
8．B
【分析】先根据平面向量的坐标表示得出C点轨迹，结合直线与圆的位置关系计算即可.
【详解】易知，所以，
即C点轨迹为为圆心，为半径的圆，
易知到直线的距离为，
即该圆与直线相切，
若的值与无关，
则该圆在两平行直线之间，
所以到直线的距离为，

由图可知.
故选：B
9．A
【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求解即可.
【详解】因为，
解得，即，
所以，
故选：A
10．A
【分析】根据共轭复数的概念和复数的四则运算即可求解.
【详解】因为，是复数的共轭复数，所以，
则，
∴
故选：A.
11．B
【分析】由已知运算和复数的运算化简即可.
【详解】由题意可得，
即，
所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限，
故选：B.
12．C
【分析】根据复数乘法运算化简，再由实部为4得出轨迹方程，根据方程判断轨迹即可.
【详解】因为，
所以，即，
所以点的轨迹是长轴长为4的椭圆.
故选：C
13．C
【分析】根据复数的四则运算求出复数z，得出复数的周期性，即可判断集合中的元素个数.
【详解】当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
，可知以上四种情况循环，故集合，的元素个数为3.
故选：C
14．D
【分析】设，，复数在复平面内对应的点为，，，复数在复平面内对应的点为，依题意可得、的轨迹方程，最后根据复数模的几何意义计算可得的最大值.
【详解】设，，，，
因为，，
所以，，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
又表示点与的距离，
所以的最大值是，
故选：D.
15．B
【分析】求出复数在复平面内对应的点位于第四象限的等价条件，利用集合的包含关系及充分条件、必要条件求解.
【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，
而成立推不出成立，，
所以是复数在复平面内对应的点位于第四象限的必要不充分条件，
故选：B
16．C
【分析】逐个计算，结合复数的几何意义可得出结论.
【详解】因为，
即复数在复平面内对应的点位于第二象限，
，
即复数在复平面内对应的点位于第二象限，
，
即复数在复平面内对应的点位于第三象限，
，
即复数在复平面内对应的点位于第三象限，
，
即复数在复平面内对应的点位于第四象限，
故的最小值为.
故选：C.
17．ABD
【分析】利用平面向量共线的性质判断A，利用向量模的性质判断B，用定义计算向量积判断C，D即可.
【详解】对于选项A：，，所以，
于是三点共线，故A正确.
选项B：设的夹角为，则，，，，所以，
故，同理，
所以，故，因此，故B正确.
选项C：易知，所以，，，
因为的值不确定，所以无法比较大小，故C不正确.
选项D：，，，显然，故D正确.
故选：ABD
18．BCD
【分析】根据题意建立适当的平面直角坐标系，设，分别写出，，，，的坐标，利用向量数量积的坐标表示可判断A；利用向量数量积的坐标表示转化为求三角函数的值域可判断B；先写出的坐标，再将向量的模转化为求三角函数的值域可判断C；根据得到可判断D；令，得到可判断E.
【详解】
由题意，以为原点，以平行于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，设，，
则，，，，
，
对于A，，故A错误；
对于B，，
，，，
的最大值为6，故B正确；
对于C，
，，，故C正确；
对于D，若，
则，
，故D正确；
对于E，当时，即，解得，
，或，即符合条件的点有两个，故E错误.
故选：BCD.
19．BCD
【分析】由点为的重心，得到，求得，进而得到，可判定A错误；再结合面积公式，余弦定理求得的值，可判定B、C、D正确.
【详解】由点为的重心，可得，
因为，可得，
可得，即，
由正弦定理可得，所以A错误；
因为，，分别是边上的高，
可得面积满足，可得，
所以，所以B正确；
不妨设，
由余弦定理得，所以C正确；
由，
因为，可得，所以为钝角三角形，所以D正确.
故选：BCD.
20．ACD
【分析】设，根据复数的四则运算以及几何意义可得，再结合向量垂直的坐标表示分析求解.
【详解】设，则，
可知，即，
若，则，
整理得所以或，
对比选项可知ACD正确，B错误.
故选：ACD．
21．BD
【分析】将代入方程中，结合复数相等的充要条件，即可求解，进而结合选项即可逐一求解.
【详解】由是方程的根，得，
整理得，而，因此，解得，
对于A，，A错误；
对于BC，方程，变形为，
显然此方程还有一个实根1，另一个虚根，B正确，C错误；
对于D，，D正确.
故选：BD
22．ACD
【分析】利用欧拉公式与复数的关系，就可把任意复数的指数形式转化为复数三角形式，然后利用复数进行运算就可以判断各选项.
【详解】对于A，因为，且是的一个复数根，
由实系数一元二次方程的两虚根是共轭虚数，所以，A正确；
对于B，由韦达定理得：，
所以
所以，即，B错误；
对于C，因为，而，即，，
则复数对应的点位于第二象限，C正确；
对于D，因为，，
所以复数（）在复平面内对应的点的轨迹是半径为1的半圆，D正确；
故选：ACD．
23．（答案不唯一）
【分析】根据题意，得到，求得，进而可写出一个向量，得到答案.
【详解】由向量，可得向量，
因为向量在上的投影向量为，可得，可得，
设，可得，取，
此时向量与向量不共线，故.
故答案为：（答案不唯一）.
24．
【分析】先用余弦定理可得，然后由向量的数量积计算可得，进而由平面向量的线性运算可得，从而由平面向量的基本定理可得的值，进而可得结论.
【详解】由中，，
得，则.
由，且得，则，即.
由是的中点，所以,
所以，
又，
所以，
化简可得，
又，所以，则.
故答案为：.
25．
【分析】过D，H分别作直线OA的垂线，垂足分别为N，M，过P作于Q，根据给定图形，求出在方向上的投影向量长的范围即可计算作答.
【详解】在四边形中，，，，
则，且，
过D，H分别作直线OA的垂线，垂足分别为N，M，如图，
依题意，，，
因此，，
对任意点P，过P作于Q，
而点P是八边形内（不含边界）一点，
当点P在四边形和四边形内时，，
当点P在四边形和四边形内时，，
显然，则，
而，则，
当点P在四边形内时，，则，
当点P在四边形内时，，则，
当点P在四边形内时，，则，
当点P在四边形内时，，则，
所以的取值范围是.
故答案为：.
26．
【分析】先移项，再进行因式分解，在复数范围内求解，把看作，即可求得方程的解.
【详解】由，得，得或，则或.
故答案为：.
27．2
【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【详解】设，且.
则，
，，解得，
故答案为：2.
28．1
【分析】由，得，，则，所以，变形后利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为复数，且，
所以，所以，得，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即或（舍去）时取等号，
所以的最小值是1.
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查基本不等式的应用，解题的关键是化简，考查数学转化思想，属于较难题.
29．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数化简，再由函数周期即可求得，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果；
（2）根据题意，由（1）中函数的解析式可得，再由正弦定理可得，再结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
的最小正周期为.
故，
令，解得，
故函数的单调增区间为
（2）设中角所对的边分别是.
，即，解得.
，
，
.
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意以为基底向量，根据平面向量基本定理运算求解；
（2）由（1）可得，根据几何性质可得，进而结合数量积的定义以及运算律运算求解.
【详解】（1）以为基底向量，则，
因为，
所以，
又因为∥，则存在唯一实数，使得，
即，
可得，解得，
所以实数的值为.
（2）由（1）可得
因为∥，则，
可得，
由题意可得：，
则
，
所以.
31．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，再利用数量积的坐标表示计算即得.
（2）设出点的坐标，利用给定的数量积求出点的坐标，再利用向量夹角公式计算即得.
【详解】（1）依题意，y轴是等腰梯形的对称轴，则，由，
得，，
所以.
（2）设，则，
，解得，即，，而，
所以.
32．(1)
(2)是定值，
(3)
【分析】（1）在中，利用向量的加法法则知，再根据，计算即可；
（2）根据（1）结合，可知，再根据点是重心，，即可求解；
（3）根据三角形的面积公式，，由（2）知，所以，通过，的取值范围和函数的单调性即可求解.
【详解】（1），
（2），理由如下：
由（1）可知，又，，
所以，
因为点是重心，
所以，
而，不共线，所以，解得，
所以；
（3），
由（2）知，
所以，
由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线，
所以，，则，
设，则，，
因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
当时，即，，有最小值，最小值为，
时，即，，，当时，即，，，
所以的最大值为，
所以.
33．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题写出的展开式，利用错位相减法求和即得；
（2）根据的表达式结构，考虑构造函数，利用其单调性得，，从而将表达式两次放缩，最后利用裂项相消法即可推理得到.
【详解】（1）依题，，，
则 ①
②
①－②，得
即
所以.
（2）因为，，
所以，
先证：，，
设，，则，
所以在上单调递增，即当时，，
即，
故，.
因为，
所以
，
.
综上可得，当且时，.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的放缩法证明不等式，解题的关键在于，在求得之后，必须通过构造函数，判断其单调性，赋值得到，将解析式缩小，再设法将其缩小为可以运用裂项相消法求和的式子，化简即得.
34．(1)
(2)
【分析】（1）z1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；
（2）由z1＝z2，实部、虚部分别相等，求得关于的函数表达式，根据的范围求得参数取值范围.
【详解】（1）由z1为纯虚数，
则，解得m＝－2.
（2）由，得
∴
∵，
∴当时，，当时，，
∴实数的取值范围是.
35．(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）设方程的一个实根为，带入方程，化简成标准形式，再由复数相等的意义即可求得；
（2）设方程有纯虚数根（，且），代入原方程，再复数相等意义得出，此方程无解，即可判定不存在.
【详解】（1）设是方程的一个实根，则
即
根据复数相等的意义知
解得：．
所以，当时，原方程有一实根．
（2）假定方程有纯虚数根（，且），代入原方程得
即
由复数相等意义知
但方程即无实数解，即实数不存在．
所以，对任何实数，原方程不可能有纯虚数根．
36．(1)证明见解析
(2)
(3)或．
【分析】（1）（必要性）设，带入中，化简为标准形式，再由实数的定义即可得到；（充分性）由，得出，带入中即可得到为实数.
（2）设带入中，再由实数的定义可知虚部为零，得到，即可知为实数的充要条件是.
（3）由题设知，为虚数，由（2）知，设，带入中，可得由题意即可求得的取值范围，进而求得实部与虚部均为整数的复数.
【详解】（1）（必要性）设，知
为实数，则，即易得．
（充分性）反之，若，
∴为实数．
（2）设为实数．
易得，即．
反之，由得为实数．
∴为实数的充要条件是．
（3）由题设知，为虚数，否则不等式不成立，且为实数．
由（2）知，，
设，则由
知．取或2或3，及，易得相应的．
∴或．
37．(1)
(2)答案见解析
(3)，
【分析】（1）由为纯虚数，求得，再由，且在复平面内对应点在第一象限，可求得结果，
（2）将分别代入计算化简即可，
（3）法一：将代入化简，再利用复数相等的条件可求得实数m，n的值，法二：由题意可得和为方程的根，然后利用根与系数的关系可求得结果.
【详解】（1）因为复数，，所以，
又为纯虚数，所以，
又，所以，
又因为复数z在复平面内对应点在第一象限，
所以，故.
（2）由（1）可知
当时，，
当时，.
（3）法一：由（1）可知是关于x的方程的一个根，
所以把，代入得，
化简得，
即，解得：，
法二：由（1）可知是关于x的方程的一个根，
所以此方程的另一根为：，则，
解得：，
38．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据欧拉公式直接可得解；
（2）由欧拉公式可证明，并得到，这即得结果；
（3）根据单位根的概念，代入化简即可.
【详解】（1）由欧拉公式有
.
（2）由于，，故，
而当时，有.
故的最大值是.
（3）由于，故，而，所以.
故
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）.
所以.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对欧拉公式的使用和复数四则运算法则的熟练运用.