[数学][期中]湖南省长沙市浏阳市重点校联考2023-2024学年高一(下)期中数学试卷

这是一份[数学][期中]湖南省长沙市浏阳市重点校联考2023-2024学年高一(下)期中数学试卷，共4页。试卷主要包含了填写答题卡的内容用2B铅笔填写，提前 xx 分钟收取答题卡等内容，欢迎下载使用。

考试时间：分钟 满分：分
姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 已知集合 ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
2. 已知复数 ， 则的虚部是( )
A . B . C . D .
3. 已知角的终边上有一点 ， 则的值为( )
A . B . C . D .
4. 设 ， 是两条直线， ， 是两个平面，则的一个充分条件是( )
A . ， ， B . ， ， C . ， ， D . ， ，
5. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则( )

A . B . C . D .
6. 已知圆柱的轴截面为正方形，为上底面圆弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A . B . C . D .
7. 已知 ， ， 均为单位向量， ， 则的值为( )
A . B . C . D .
8. 如图为函数的图象， ， ， 为图象与轴的三个交点，为函数图象在轴右侧部分上的第一个最大值点，则的值为( )
A . B . C . D .
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。(共4题；共20分)
9. 以下结论正确的有( )
A . 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B . 等底面积、等高的两个柱体，体积相等 C . 经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大 D . 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
10. 以下命题正确的是( )
A . B . C . 若复数满足 ， 则对应的点在第四象限 D . 是复数为纯虚数的必要不充分条件
11. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 则下列命题正确的有( )
A . 若 ， 则 B . 若 ， ， ， 则有一解 C . 已知的外接圆的圆心为 ， ， ， 为上一点，且有 ， D . 若为斜三角形，则
12. 如图，在正方体中，点是的中点，点是直线上的动点，则下列说法正确的是( )
A . 是直角三角形 B . 异面直线与所成的角为 C . 当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值 D . 平面平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。(共4题；共20分)
13. 已知向量与的夹角为 ， ， ， 则____________________．
14. 已知向量 ， 则向量在向量的方向上的投影向量为____________________结果用坐标表示
15. 已知函数 ， 若 ， 恒成立，则实数的取值范围是____________________．
16. 如图，有一圆柱形的开口容器下表面密封 ， 其轴截面是边长为的正方形，是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(共6题；共70分)
17. 在中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 且 ．
（1） 求；
（2） 若 ， 的面积为 ， 求 ．
18. 已知向量 ， ．
（1） 若向量 ， 且 ， 求的坐标；
（2） 若向量与互相垂直，求实数的值．
19. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为 .
（1） 求圆锥的底面积；
（2） 在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.
20. 如图，有一直径为米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是 ， 点 ， 的直径上，且 ．
（1） 若 ， 求的长；
（2） 设 ， 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
21. 已知函数是定义域为的奇函数．
（1） 求的值；
（2） 若对 ， 不等式恒成立，求实数的取值范围．
22. 如图，在三棱台中， ， ， ， ．
（1） 求证：平面平面；
（2） 若直线与平面所成角为 ， 求平面和平面所成角的正切值． 题号
一
二
三
四
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