![[数学]湖南省2024届高三“一起考”大联考下学期模拟考试数学试题(四)01](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/15996395/0-1721440169945/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
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[数学]湖南省2024届高三“一起考”大联考下学期模拟考试数学试题(四)
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这是一份[数学]湖南省2024届高三“一起考”大联考下学期模拟考试数学试题(四)，共3页。试卷主要包含了填写答题卡的内容用2B铅笔填写，提前 xx 分钟收取答题卡等内容，欢迎下载使用。
考试时间：分钟 满分：分
姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)
1. 已知集合 ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
2. 已知复数满足 ， 且是纯虚数，则（ ）
A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
3. 已知 ， 平面向量 ， ， 则的最小值为（ ）
A . B . C . D .
4. 已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为 ， 则线段长度的最小值为（ ）
A . B . C . D . 1
5. 赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如下图，分别以 ， 为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与轴、轴均相切， ， 两点间的曲线可近似看成函数的图象，有导函数 ， 为了让雨水最快排出，需要满足螺旋线方程 ， 其中 ， 为常数，则（ ）
A . ， B . ， C . ， D . ，
6. 一种动物的后代数（单位：只）在一定范围内与温度（单位：℃）有关，测得一组数据（）可用模型拟合.利用变换得到的线性回归方程为 ， 若 ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
7. 已知 ， ， ， 则的最小值是（ ）
A . B . C . D .
8. 已知八面体由两个正四棱锥和组成.若该八面体的外接球半径为3，且平面平面 ， 则该八面体的体积为（ ）
A . 28 B . 32 C . 36 D . 40
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
9. 若随机变量服从标准正态分布， ， 则（ ）
A . B . C . D .
10. 已知 ， ， 则函数的单调区间有（ ）
A . B . C . D .
11. 已知函数的定义域为 ， 的图象关于对称，且为奇函数，则（ ）
A . B . C . D .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，(共3题；共15分)
12. 已知椭圆（）的上顶点、下顶点和两个焦点构成正方形，则该椭圆的离心率为____________________.
13. 在中， ， ， ， 则的面积为____________________.
14. 已知数列满足 ， 在和之间插入个1，构成数列 ， 则数列的前20项的和为____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共5题；共77分)
15. 已知单调递增的等比数列满足： ， 且是的等差中项，
（1） 求的值，并求数列的通项公式：
（2） 若 ， 求使成立的正整数n的最小值．
16. 如图，在三棱锥中，为中点.
（1） 证明：平面；
（2） 若点在棱上， ， 且 ， 求二面角的大小.
17. 已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线.
（1） 求双曲线的方程；
（2） 已知点 ， 点 ， 在双曲线的左支上，满足 ， 证明：直线过定点；
（3） 在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值.
18. 已知函数 ， ， 函数 ， 有两条不同的公切线（与 ， 均相切的直线） ， .
（1） 求实数的取值范围；
（2） 记 ， 在轴上的截距分别为 ， ， 证明：.
19. 五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.
（1） 若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为步，求的分布列和期望；
（2） 记为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求 ， 并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大；
（3） 该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的 ， 在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的 ， 有 题号
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第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)
1. 已知集合 ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
2. 已知复数满足 ， 且是纯虚数，则（ ）
A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
3. 已知 ， 平面向量 ， ， 则的最小值为（ ）
A . B . C . D .
4. 已知点是直线上一动点，过点作圆的一条切线，切点为 ， 则线段长度的最小值为（ ）
A . B . C . D . 1
5. 赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如下图，分别以 ， 为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与轴、轴均相切， ， 两点间的曲线可近似看成函数的图象，有导函数 ， 为了让雨水最快排出，需要满足螺旋线方程 ， 其中 ， 为常数，则（ ）
A . ， B . ， C . ， D . ，
6. 一种动物的后代数（单位：只）在一定范围内与温度（单位：℃）有关，测得一组数据（）可用模型拟合.利用变换得到的线性回归方程为 ， 若 ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
7. 已知 ， ， ， 则的最小值是（ ）
A . B . C . D .
8. 已知八面体由两个正四棱锥和组成.若该八面体的外接球半径为3，且平面平面 ， 则该八面体的体积为（ ）
A . 28 B . 32 C . 36 D . 40
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
9. 若随机变量服从标准正态分布， ， 则（ ）
A . B . C . D .
10. 已知 ， ， 则函数的单调区间有（ ）
A . B . C . D .
11. 已知函数的定义域为 ， 的图象关于对称，且为奇函数，则（ ）
A . B . C . D .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，(共3题；共15分)
12. 已知椭圆（）的上顶点、下顶点和两个焦点构成正方形，则该椭圆的离心率为____________________.
13. 在中， ， ， ， 则的面积为____________________.
14. 已知数列满足 ， 在和之间插入个1，构成数列 ， 则数列的前20项的和为____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共5题；共77分)
15. 已知单调递增的等比数列满足： ， 且是的等差中项，
（1） 求的值，并求数列的通项公式：
（2） 若 ， 求使成立的正整数n的最小值．
16. 如图，在三棱锥中，为中点.
（1） 证明：平面；
（2） 若点在棱上， ， 且 ， 求二面角的大小.
17. 已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线.
（1） 求双曲线的方程；
（2） 已知点 ， 点 ， 在双曲线的左支上，满足 ， 证明：直线过定点；
（3） 在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值.
18. 已知函数 ， ， 函数 ， 有两条不同的公切线（与 ， 均相切的直线） ， .
（1） 求实数的取值范围；
（2） 记 ， 在轴上的截距分别为 ， ， 证明：.
19. 五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.
（1） 若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为步，求的分布列和期望；
（2） 记为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求 ， 并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大；
（3） 该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的 ， 在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的 ， 有 题号
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