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苏科版八年级上册3.1 勾股定理课后测评
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这是一份苏科版八年级上册3.1 勾股定理课后测评，共85页。
1、掌握勾股定理的内容；
2、会用面积法证明勾股定理，能利用勾股定理求出边长；
【题型目录】
亮题一：用勾股定理解三角形
亮题二：利用勾股定理求面积
亮题三：勾股定理与折叠问题
亮题四：用勾股定理构造图形解决问题
【知识亮解】
知识点一 勾股定理的概念
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。
注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。
（2）在应用勾股定理时要注意它的训练：
（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。
（4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。
知识点二 勾股定理的验证
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
亮题一：用勾股定理解三角形
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，若BC＝8，BD＝5，则AC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．13
2．在中，，垂直平分交于点，交于点，若，，则的长是（ ）
A．8B．10C．12D．1
3．在RtABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D是AB的中点，连接CD，则线段CD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．10cm
4．如图在Rt△ABC中，，AB=8，AC=10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（ ）
A．B．C．2D．
5．在中，，若，，则＝______．
6．小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小东经测量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，BC＝12m，∠ABC＝150°．小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度为 _____．
7．如图，∠MON＝90°．△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，点A、B分别在边OM，ON上．当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，△ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为 _____．
8．如图，在一个直角三角形ABC纸片中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，将其折叠，恰使边AB落在斜边AC上，点B落在点E处，折痕交边BC于点F，则BF的长为________cm．
9．为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人体头顶离测温仪的距离AD等于___米．
10．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________米
11．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，则直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比的值是______．
12．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长?”．根据题意求出绳索的长为______尺．
亮题二：利用勾股定理求面积
1．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1＋S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（ ）
A．12.5B．13C．14D．15
3．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
4．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是26，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值为（ ）．
A．28B．50C．26D．169
5．如图，两个正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为_____．
6．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个正方形的面积的和是10cm2，则图中正方形A的面积为_________cm2．
7．用三张正方形纸片，按如图所示的方式构成图案，已知围成阴影部分的三角形是直角三角形，S1＝8，S3＝17，则正方形S2的面积为 _____．
8．如图是“勾股树”的部分图，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_____．
9．定义：如图①．如果点D在的边上且满足．那么称点D为的“理根点”，如图②，在中，，如果点D是的的“理根点”，如图②，在中，，如果点D是的“理想点”，连接．求的长．
10．甲同学在拼图探索活动中发现；用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为，a，b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2.的一个等式．
（1）请你写出这一结论： ，并给出验证过程；
（2）试用上述结论解决问题：如图2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积．
亮题三：勾股定理与折叠问题
1．如图有一块直角三角形纸片，，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（ ）
A．B．1.5C．D．3
2．在中，，，，点、分别是直角边和斜边上的点，把沿着直线折叠，点恰好落在边的中点上，则线段的长度为（ ）
A．B．C．3D．4
3．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．如图，折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，折痕为．若，，则的长是______．
6．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是________．
7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为______．
8．如图，在中，．将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的周长为__________．
9．如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．
(1)BC＝______；
(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．
10．如图直角三角形纸片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿点B的直线折叠这个三角形，使点C在AB边上的点E处，折痕为BD．
（1）求△ADE的周长；
（2）求DE的长．
亮题四：用勾股定理构造图形解决问题
1．两只蚂蚁在水平地面上从同一地点出发，一只以每分钟12cm的速度朝正东方向爬行，一只以每分钟16cm的速度朝正南方向爬行，10分钟之后两只蚂蚁相距（ ）
A．120cmB．160cmC．200cmD．280cm
2．（九章算术）是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记我的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高几何？“题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺．则折断处离地面的高度为（ ）
A．4.1B．4.2C．4.5D．4.8
3．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为尺，将它向前水平推送尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙．使木杆之上端与墙平齐．牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．间木杆长是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）（ ）
A．5尺5寸B．1丈1尺C．5丈5寸D．5丈5尺
5．为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人体头顶离测温仪的距离AD等于___米．
6．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________米
7．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，则直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比的值是______．
8．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长?”．根据题意求出绳索的长为______尺．
9．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直至算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”诗的意思是：当秋千静止时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步，这里的每一步合五尺，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态的，求这个秋千的绳索有多长．
40．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米），这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题．
【亮点训练】
训练一：勾股定理基本计算
【训练1】★在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，则c＝__________；
【训练2】★若已知一个直角三角形的周长为30 cm，其中一个直角边长为12 cm，则它的斜边为__________cm．
【训练3】★在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠A＋∠C＝90°，则下列等式中成立的是()
A．a2＋b2＝c2 B．a2＋c2＝b2
C．b2＋c2＝a2 D．c2－a2＝b2
【训练4】★一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（ ）
A. 4 B. C. 4或 D. 2
【训练5】★一个直角三角形，两直角边长分别为3和2，则三角形的周长为________．
训练二：利用勾股定理求面积
【训练1】★★如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形的边长为10，则四个正方形，，，的面积之和为
A．24B．56C．121D．100
【训练2】★★如图，中，，以、为直径作半圆和，且，则的长为
A．16B．8C．4D．2
【训练3】★如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若，，，和分别代表相应的正方形的面积，且，，，，则等于
A．25B．31C．32D．40
训练三：利用勾股定理求长度
【训练1】★★在等腰中，已知，于．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【训练2】★★如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长．
【训练3】★★★如图，在中，，，正方形的面积为，于点，求的长．
【训练4】★★如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建立在距A多远外？
【培优检测】
一、单选题
1．（2022·山东济宁·八年级期中）下列各组数中，是勾股数的一组是( )
A．6，7，8B．0.6，0.8，1C．5，12，13D．2，4，5
2．（2022·新疆阿克苏·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则的长为（ ）
A．5B．10C．6D．8
3．（2022·广东·深圳外国语学校七年级期末）在Rt△ABC中，，．则＝（ ）
A．8B．16或64C．4D．4或16
4．（2022·广东·陆河县河城中学八年级阶段练习）在中，，，，则的值为（ ）
A．50B．35C．34D．25
5．（2022·江西赣州·八年级期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
6．（2021·云南曲靖·八年级期中）下列各组数中，是勾股数的是( )
A．B．3，4，7C．6，8，10D．1，，2
7．（2022·湖北孝感·八年级阶段练习）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么的值为（ ）
A．25B．16C．14D．12
8．（2022·湖北宜昌·八年级期中）如图，各小方格的边长为1，△ABC的各顶点都在个点上，则BC边上的高等于（ ）
A．2.5B．2.6C．1.7D．1.6
9．（2022·广西柳州·八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点处，则线段的长为（ ）
A．B．C．1D．
二、填空题
11．（2022·福建福州·八年级期中）如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则的度数为______°．
12．（2022·陕西西安·八年级期中）中，，若，则_______．
13．（2022·湖南·株洲县教学研究室八年级期末）在中，，AD平分交BC于点D．若，，，则点D到AB的距离是_________．
14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）如图，在ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E在AC边上，EF⊥AB于点F，连接EB，AF＝3，EFB的周长为12，则EB的长为____．
15．（2022·广西·南宁二中八年级期末）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是，整个图形连同空白部分的面积是，则大正方形的边长是______．
16．（2022·宁夏吴忠·八年级期末）在中，，若，则__________．
17．（2022·重庆一中七年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是边AC上一点，将△BCD沿BD翻折，使点C恰好落在AB边上的点E处，线段BD上有一动点P，则△PAE周长的最小值为______．
18．（2022·四川宜宾·八年级期末）在△ABC中，AB=BC，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF交AB于E，交BC于F，若AB的长为4，则四边形BFDE的面积为___．
19．（2022·河北·秦皇岛市第七中学八年级期末）如图，在中，，，，将折叠，使点A落在边上，对应点为D，若折痕与边交于点E、与边交于点F，则的取值范围是________．
20．（2021·陕西·西北大学附中七年级期末）如图，已知、、、都是等腰直角三角形．若阴影部分的面积是20cm2，则、的面积之和是______cm2．
三、解答题
21．（2022·山东济南·七年级期末）已知：如图，在中，于点D，E为AC上一点，且，．
(1)求证：；
(2)已知，，求AF的长．
22．（2021·福建龙岩·八年级阶段练习）如图，英西中学有一块三角形形状的花圃，现在测量到∠A＝45°，BC＝5m，AC上的高为4m，请你求出这块花圃的面积？
23．（2022·江苏·八年级专题练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法，证法如下：
把两个全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如图1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于点F，点E在边AB上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB＝b、BA＝a，斜边长为AC＝c，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理
(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；
(2)如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为多少千米．
24．（2022·广东潮州·八年级期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC=6，BC=8，CD=3．
(1)求AB和DE的长；
(2)求△ADB的面积．
25．（2022·福建福州·八年级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ；
(2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系．
26．（2021·江苏镇江·八年级期中）已知，如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，DE为边BC的垂直平分线，与边BC、AB分别交于D、E两点．求AC和AE的长．
27．（2020·江西景德镇·八年级期中）如图是某隧道入口的截面示意图，其上方是一个半圆，下方是一个长方形，现有一辆满载货物的卡车，宽3米，高4米，请判断这辆卡车能否通过该隧道．
28．（2022·陕西西安·八年级期中）如图，在中，，，于．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
29．（2022·湖北孝感·八年级期中）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算、与、，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
(2)根据（1）的规律，用n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且）的代数式来表示他们的股和弦．
30．（2022·福建·泉州七中八年级期末）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题．
(1)根据图中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式________；
(2)如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长都为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的全等的小长方形，且．
①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________；
②若阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．
(3)若，请你构造合适的图形，直接写出的最小值是_________．
专题3.1 勾股定理
【教学目标】
1、掌握勾股定理的内容；
2、会用面积法证明勾股定理，能利用勾股定理求出边长；
【题型目录】
亮题一：用勾股定理解三角形
亮题二：利用勾股定理求面积
亮题三：勾股定理与折叠问题
亮题四：用勾股定理构造图形解决问题
【知识亮解】
知识点一 勾股定理的概念
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。
注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。
（2）在应用勾股定理时要注意它的训练：
（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。
（4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。
知识点二 勾股定理的验证
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
亮题一：用勾股定理解三角形
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，若BC＝8，BD＝5，则AC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．13
【答案】B
【分析】由线段垂直平分线的性质求出AD=BD=5，又因CD=BC-BD=8-5=3，即可由勾股定理求解．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=5，
又∵CD=BC-BD=8-5=3，∠C＝90°，
∴AC==4,
故选：B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
2．在中，，垂直平分交于点，交于点，若，，则的长是（ ）
A．8B．10C．12D．1
【答案】C
【分析】由垂直平分线可以得到BE=AE，再由勾股定理可以得到答案．
【详解】解：由题意可得，
∵垂直平分交于点，
∴BE=AE=13，
又∵，且，
∴在Rt中，
AC==12，
故选C．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和勾股定理得应用，解决此题的关键是读懂题意并学会正确解答．
3．在RtABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D是AB的中点，连接CD，则线段CD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．10cm
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出AB的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴，
∵∠C=90°，D是斜边AB的中点，
∴CD=AB=5cm，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理和直角三角形斜边中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
4．如图在Rt△ABC中，，AB=8，AC=10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出BC=6，根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=8-x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可解答．
【详解】解：∵，AB=8，AC=10，
∴BC=6，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴AB=BD+AD=BD+CD=8，
设CD=x，则BD=8-x，
在Rt△BCD中，，
即，
解得．
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理和线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
5．在中，，若，，则＝______．
【答案】17
【分析】根据直角三角形中，勾股定理：，即可求出的值．
【详解】解：如图可知，所对应的边为直角三角形的斜边
∵，
∴
∴
∴
故答案为：17．
【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的运用是解题的关键．
6．小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小东经测量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，BC＝12m，∠ABC＝150°．小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度为 _____．
【答案】13米
【分析】直接利用等边三角形的判定方法得出△ABD是等边三角形，再利用勾股定理得出答案．
【详解】解：连接BD，
∵AB＝AD＝5m，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝5m，∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝90°，
∵BC＝12m，BD＝5m，
∴DC13（m），
答：CD的长度为13m，
故答案为：13m．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定，正确得出△ABD是等边三角形是解题关键．
7．如图，∠MON＝90°．△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，点A、B分别在边OM，ON上．当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，△ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为 _____．
【答案】14
【分析】作CD⊥AB于D，连接OD，如图，根据等腰三角形的性质得AD=BD=AB=6，再利用勾股定理计算出CD=8，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得OD=AB=6，则利用三角形三边的关系得到OCCD+OD（当点C、O、D共线时取等号），从而得到OC的最大值．
【详解】作CD⊥AB于D，连接OD，如图，
∵AB＝12，
∴AD=BD=AB=6，
在Rt△BCD中，CD===8，
∵OCCD+OD(当点C． O、D共线时取等号)，
∴当O，C，D共线时，OD=BD=6，
∴OC的最大值为8+6=14．
故答案为14．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识；熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
8．如图，在一个直角三角形ABC纸片中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，将其折叠，恰使边AB落在斜边AC上，点B落在点E处，折痕交边BC于点F，则BF的长为________cm．
【答案】
【分析】先由勾股定理计算AC=10cm，设BF=x cm，根据折叠的性质表示EF=BF=x cm，再由勾股定理列方程可得答案．
【详解】解：∵∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，
∴cm，
设BF=x，则CF=6-x，
根据折叠可知：EF=BF=x cm，AE=AB=8cm，∠AEF=∠B=90°，
∴EC=AC-AE=10-8=2（cm），
∴∠CEF=180°-90°=90°，
∴根据勾股定理得： （6-x）2=x2+22，
解得：，
∴BF=cm，
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换以及勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．
9．为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人体头顶离测温仪的距离AD等于___米．
【答案】1.5
【分析】过点D作，则AE=0.9米，在中，根据勾股定理即可得．
【详解】解：过点D作，
∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，
∴（米），
在中，根据勾股定理得，
，
故答案为：1.5．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．
10．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________米
【答案】8
【分析】先设水深x米，则AB=x，则有BD=AD+AB=x+2，由题条件有BD=BC=x+2，又根据芦节直立水面可知BD⊥AC，则在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出x．
【详解】解：设水深x米，则AB=x，
则有：BD=AD+AB=x+2，
即有：BD=BC=x+2，
根据芦节直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，
则在直角△ABC中：，
即：，
解得x=8，
即水深8米，
故答案为8．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，从现实图形中抽象出勾股定理这一模型是解答本题的关键．
11．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，则直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比的值是______．
【答案】
【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到的值，然后根据即可求得的值；则可求出答案．
【详解】解：大正方形的面积是，设边长为，
，
，
直角三角形的面积是，
又直角三角形的面积是，
，
，
．
小正方形的面积为，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和，之间的关系．
12．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长?”．根据题意求出绳索的长为______尺．
【答案】14.5
【分析】设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．
【详解】解：延长到地面于，过作地面于，如图所示：
设绳索有x尺长，
根据题意及所作辅助线，四边形是矩形，则，
在中，，，，则102＋（x＋1−5）2＝x2，解得：x＝14.5，即绳索长14.5尺，
故答案为：14.5．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
亮题二：利用勾股定理求面积
1．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正方形的面积和勾股定理逐项判断即可．
【详解】解：根据题意，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的边长的平方，
A、由勾股定理得：S=5+15=20，故选项A不符合题意；
B、由勾股定理得：S=8+6=14，故选项B不符合题意；
C、由勾股定理得：S=8－6=2，故选项C不符合题意；
D、由勾股定理得：S=15－5=10，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的面积和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答的关键．
2．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1＋S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（ ）
A．12.5B．13C．14D．15
【答案】C
【分析】根据勾股定理得到，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
【详解】解：根据题意得：，
∵S1＋S2＝7，
∴，
∴，
∴，
∴或-8（舍去），
∴△ABC的周长是．
故选：C
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟练掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么是解题的关键．
3．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】C
【分析】根据题目可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是2×1=2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1=3，探究规律求出“生长”2022次后形成图形中所有正方形的面积之和即可．
【详解】解：由勾股定理知：
图①中生长出的两个正方形面积和等于原来正方形的面积，所有正方形的面积和为2；
同样图②中生长出的四个正方形面积和等于图①中生长出的两个正方形的面积之和，所有正方形的面积和为3；
……，
经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是n+1；
经过2022次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2023．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
4．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是26，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值为（ ）．
A．28B．50C．26D．169
【答案】B
【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到的值，然后根据即可求解．
【详解】根据勾股定理可得，
四个直角三角形的面积是：，即，
则．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方式，正确根据图形的关系求得和的值是关键．
5．如图，两个正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为_____．
【答案】5
【分析】设斜边长为，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设斜边长为，根据题意可得，
，
解得（负值已舍），
故答案为：5．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
6．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个正方形的面积的和是10cm2，则图中正方形A的面积为_________cm2．
【答案】10
【分析】先把各个正方形都标上代号，再根据勾股定理有，，，等量代换即可求最大的正方形面积．
【详解】解：如下图所示：
根据勾股定理可知，
∵，
，
，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
7．用三张正方形纸片，按如图所示的方式构成图案，已知围成阴影部分的三角形是直角三角形，S1＝8，S3＝17，则正方形S2的面积为 _____．
【答案】9
【分析】由题意可得，三个正方形的边长恰好凑成一个直角三角形，利用勾股定理可得，两个较小正方形的面积之和等于最大的正方形的面积．即S1+S2=S3．据此可求S2．
【详解】解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
∵所围成的三角形是直角三角形，
∴斜边对应的正方形的面积=两直角边对应的正方形的面积和，
又∵S1=8，S3=17，
∴正方形S2的面积=17-8=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是明确正方形的面积等于边长的平方．
8．如图是“勾股树”的部分图，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_____．
【答案】49
【分析】设正方形A，B，C，D，E，F的边长分别为：a、b、c、d、e、f，则正方形A，B，C，D的面积之和为：，由勾股定理可得：，，，进一步可得：．
【详解】解：如图，
设正方形A，B，C，D，E，F的边长分别为：a、b、c、d、e、f，
则：正方形A，B，C，D的面积之和为：，
由勾股定理可得：，，，
∴．
故答案为：49
【点睛】本题考查勾股定理以及和弦图有关的计算题，解题的关键是掌握勾股定理，得到．
9．定义：如图①．如果点D在的边上且满足．那么称点D为的“理根点”，如图②，在中，，如果点D是的的“理根点”，如图②，在中，，如果点D是的“理想点”，连接．求的长．
【答案】.
【分析】只要证明CD⊥AB即可解决问题．
【详解】解：如图②中，
∵点D是△ABC的“理想点”，
∴∠ACD=∠B，
∵，
∴，
∴，
，
在Rt△ABC中，
，
∴BC= ，
∵,
．
【点睛】本解考查了直角三角形判定和性质，理解新定义是解本题的关键．
10．甲同学在拼图探索活动中发现；用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为，a，b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2.的一个等式．
（1）请你写出这一结论： ，并给出验证过程；
（2）试用上述结论解决问题：如图2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积．
【答案】（1）；（2）29．
【分析】（1）用不同的方法表示阴影部分的面积，即可得到关于，，的一个等式．
（2）由（1）得，，进而根据正方形面积得出等量关系求出“丁”的面积．
【详解】解：（1）结论：．
验证：阴影部分的面积，
阴影部分的面积=，
，
即．
故答案为：．
（2）如图，连接AC，
∵∠B＝∠D＝90°
∴，，
又∵，，，，
∴，
又∵甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及面积法的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
亮题三：勾股定理与折叠问题
1．如图有一块直角三角形纸片，，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（ ）
A．B．1.5C．D．3
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出AB的长，利用翻折得到AE=AB=5，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到，列得，求出BD．
【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴，
由翻折得AE=AB=5，DE=BD，
∴CE=AE-AC=1，
在Rt△CED中，，
∴，
解得BD=，
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，翻折的性质，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
2．在中，，，，点、分别是直角边和斜边上的点，把沿着直线折叠，点恰好落在边的中点上，则线段的长度为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】B
【分析】由折叠的性质可得AE＝DE，则DE＝8－BE，在Rt△BDE中，利用勾股定理构建方程求出BE即可．
【详解】解：由折叠的性质可得AE＝DE，
∵，，，点是边的中点，
∴DE＝AE＝8－BE，BD＝，
在Rt△BDE中，BD2＋BE2＝DE2，即，
解得：BE＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理得出关于BE的方程是解题的关键．
3．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故选A
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
4．如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】由折叠的性质得到，，根据勾股定理求出BF的长即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知：，，
在中，，，
由勾股定理可得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和折叠的性质，理解折叠的性质是解答关键．
5．如图，折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，折痕为．若，，则的长是______．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：∵折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，
∴，
又∵，，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理．理解和掌握勾股定理是解题的关键．
6．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是________．
【答案】
【分析】根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．
【详解】解：ABCD是长方形纸片，
∴AB=CD=3，
∵，
∴BF=4，
∴AF=，
∴AF=AD=BC=5，CF=1，
设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，
由勾股定理得：，
解得：x=，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．
7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为______．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可得AE=BE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：AE=BE，
∵ AC=8，
∴BE+CE=8，
设CE=x，则BE=8-x，
在中，，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
8．如图，在中，．将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的周长为__________．
【答案】6
【分析】首先利用勾股定理求出AC=5，根据折叠得到B’C=2，求出三角形的周长．
【详解】解：Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC= ,
由折叠知AB’=AB=3，
∴B’C=AC-AB’=5-3=2，
∴△B’EC的周长为B’C+EC+B’E=B’C+EC+BE=B’C+CB=2+4=6，
故答案为6．
【点睛】本题考查折叠的性质以及勾股定理，解决问题的关键是分清折叠前后的对应的关系．
9．如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．
(1)BC＝______；
(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．
【答案】(1)16
(2)36
【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；
（2）根据折叠的性质得出，设CD＝x，则，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面积公式求解即可．
（1）∵在中，，，，∴，故答案为：16；
（2）由折叠可知，∵AC＝12，∴设CD＝x，则在中，，∴解得x＝6，∴．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握运用勾股定理及折叠的性质是解题关键．
10．如图直角三角形纸片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿点B的直线折叠这个三角形，使点C在AB边上的点E处，折痕为BD．
（1）求△ADE的周长；
（2）求DE的长．
【答案】（1）8；（2）
【分析】（1）根据折叠的性质可得BE=BC=8，DE=CD，则AE=AB-BE=2，即可得到△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DE+AE=AC+AE=8；
（2）设CD=DE=x，则AD=AC-CD=6-x，由折叠的性质可知∠DEB=∠C=90°，则∠DEA=90°，即可得到，则，由此求解即可．
【详解】解：（1）由折叠的性质可知，BE=BC=8，DE=CD，
∴AE=AB-BE=2，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DE+AE=AC+AE=8；
（2）设CD=DE=x，则AD=AC-CD=6-x，
由折叠的性质可知∠DEB=∠C=90°，
∴∠DEA=90°，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质．
亮题四：用勾股定理构造图形解决问题
1．两只蚂蚁在水平地面上从同一地点出发，一只以每分钟12cm的速度朝正东方向爬行，一只以每分钟16cm的速度朝正南方向爬行，10分钟之后两只蚂蚁相距（ ）
A．120cmB．160cmC．200cmD．280cm
【答案】C
【分析】根据题意，画出图形，可知两只蚂蚁爬行的路程和两只蚂蚁的距离构成了一个直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】12×10=120（cm），16×10=160（cm）
由勾股定理可得：两只蚂蚁间的距离=（cm）
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意构建直角三角形用勾股定理求解是解题的关键．
2．（九章算术）是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记我的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高几何？“题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺．则折断处离地面的高度为（ ）
A．4.1B．4.2C．4.5D．4.8
【答案】B
【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详解】解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：，
解得．
即折断处离地面尺高．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
3．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为尺，将它向前水平推送尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论．
【详解】解：由题意知：
OC=x-（5-1），P'C=10，OP'=x，
在Rt△OCP'中，由勾股定理得：
[x-（5-1）]2+102=x2．即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意是解题的关键．
4．《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙．使木杆之上端与墙平齐．牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．间木杆长是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）（ ）
A．5尺5寸B．1丈1尺C．5丈5寸D．5丈5尺
【答案】C
【分析】根据题意作出示意图，利用勾股定理求解即可，最后要注意单位的转化，避免错选．
【详解】解：根据题意作出如下示意图：
设木杆下滑前底端距离墙角x尺，则木杆长为（x+1）尺．
1丈=10尺，则墙高为10尺
由勾股定理可知：
解得：
木杆的长为（尺）
尺=50尺+0.5尺
1丈=10尺，1尺=10寸
尺=5丈5寸
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，能够理清题意，将文字语言转化为数学符号语言是解决本题的关键，还要注意最后结果的不同单位之间的换算，避免出现单位错误．
5．为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人体头顶离测温仪的距离AD等于___米．
【答案】1.5
【分析】过点D作，则AE=0.9米，在中，根据勾股定理即可得．
【详解】解：过点D作，
∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，
∴（米），
在中，根据勾股定理得，
，
故答案为：1.5．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．
6．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________米
【答案】8
【分析】先设水深x米，则AB=x，则有BD=AD+AB=x+2，由题条件有BD=BC=x+2，又根据芦节直立水面可知BD⊥AC，则在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出x．
【详解】解：设水深x米，则AB=x，
则有：BD=AD+AB=x+2，
即有：BD=BC=x+2，
根据芦节直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，
则在直角△ABC中：，
即：，
解得x=8，
即水深8米，
故答案为8．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，从现实图形中抽象出勾股定理这一模型是解答本题的关键．
7．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，则直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比的值是______．
【答案】
【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到的值，然后根据即可求得的值；则可求出答案．
【详解】解：大正方形的面积是，设边长为，
，
，
直角三角形的面积是，
又直角三角形的面积是，
，
，
．
小正方形的面积为，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和，之间的关系．
8．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长?”．根据题意求出绳索的长为______尺．
【答案】14.5
【分析】设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．
【详解】解：延长到地面于，过作地面于，如图所示：
设绳索有x尺长，
根据题意及所作辅助线，四边形是矩形，则，
在中，，，，则102＋（x＋1−5）2＝x2，解得：x＝14.5，即绳索长14.5尺，
故答案为：14.5．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
9．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直至算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”诗的意思是：当秋千静止时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步，这里的每一步合五尺，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态的，求这个秋千的绳索有多长．
【答案】14．5尺
【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理求解．
【详解】解：如图，
不妨设图中的OA为秋千的绳索，CD为地平面，BC为身高5尺的人，AE为两步，即相当于10尺的距离，A处有一块踏板，EC，AD为踏板离地的距离，它等于一尺．
设OA＝x尺，则OB＝OA＝x尺．FA＝BE=BC－EC＝5－1＝4（尺），BF＝EA＝10尺．
在Rt△OBF中，由勾股定理，得OB2＝OF2＋BF2，
∴x2＝（x－4）2＋102，
解这个方程，得x＝14．5，
∴这个秋千的绳索长度为14．5尺．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，构造直角三角形利用勾股定理求解．
40．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米），这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题．
【答案】水池里水的深度是4米，芦苇长为米
【分析】根据题意，构建直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】．解：设水池里水的深度是x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
x+1=13，
米，米，
答：水池里水的深度是4米，芦苇长为米
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键．
【亮点训练】
训练一：勾股定理基本计算
【训练1】★在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，则c＝__________；
【答案】eq \r(7)
【解析】c＝.
【训练2】★若已知一个直角三角形的周长为30 cm，其中一个直角边长为12 cm，则它的斜边为__________cm．
【答案】13
【训练3】★在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠A＋∠C＝90°，则下列等式中成立的是()
A．a2＋b2＝c2 B．a2＋c2＝b2
C．b2＋c2＝a2 D．c2－a2＝b2
【答案】B
【训练4】★一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（ ）
A. 4 B. C. 4或 D. 2
【答案】C
【解析】①当5是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是=4；
②当5是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是 =，
综上可得三角形第三边的长为4或，故选C.
【训练5】★一个直角三角形，两直角边长分别为3和2，则三角形的周长为________．
【答案】5+
【解析】根据勾股定理可知：斜边==，∴三角形周长=3+2+ =5+ ，
故答案是：5+ ．
训练二：利用勾股定理求面积
【训练1】★★如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形的边长为10，则四个正方形，，，的面积之和为
A．24B．56C．121D．100
【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．
【解析】根据勾股定理的几何意义，可知：；
即四个正方形，，，的面积之和为100；故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．
【训练2】★★如图，中，，以、为直径作半圆和，且，则的长为
A．16B．8C．4D．2
【分析】根据勾股定理得到，根据圆的面积公式计算，得到答案．
【解析】由勾股定理得，，
，解得，，
则，解得，，故选：．
【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
【训练3】★如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若，，，和分别代表相应的正方形的面积，且，，，，则等于
A．25B．31C．32D．40
【分析】如图，根据勾股定理分别求出、，进而得到，即可解决问题．
【解析】如图，由题意得：，，
，．故选：．
【点睛】主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点．
训练三：利用勾股定理求长度
【训练1】★★在等腰中，已知，于．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，可以求得的度数；
（2）根据题目中的数据和勾股定理，可以求得的长．
【解析】（1）在等腰中，，，
，，
，
，，
；
（2），
，
，，
，
设，则，
，，
，
解得，，
即．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【训练2】★★如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长．
【分析】先设，则，再运用勾股定理分别在与中表示出，列出方程，求解即可．
【解析】设，则．
在中，，
，
在中，，
，
，
即，
解得，
，
．
故的长为8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，根据的长度不变列出方程是解题的关键．
【训练3】★★★如图，在中，，，正方形的面积为，于点，求的长．
【分析】根据正方形的面积公式求得．然后利用勾股定理求得；则利用面积法来求的长度．
【答案】正方形的面积为，
，
，，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理．解答该题时，需要熟记正方形的面积公式．
【训练4】★★如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建立在距A多远外？
【解析】设E建在距A点xkm处，则102＋x2＝152＋(25－x)2，∴x＝15.
【培优检测】
一、单选题
1．（2022·山东济宁·八年级期中）下列各组数中，是勾股数的一组是( )
A．6，7，8B．0.6，0.8，1C．5，12，13D．2，4，5
【答案】C
【分析】根据勾股数的定义判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴6，7，8不是一组勾股数，本选项不符合题意；
B、∵0.6，0.8不是正整数，
∴0.6，0.8，1不是一组勾股数，本选项不符合题意；
C、∵，
∴5，12，13是一组勾股数，本选项符合题意；
D、∵，
∴2，4，5不是一组勾股数，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．
2．（2022·新疆阿克苏·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则的长为（ ）
A．5B．10C．6D．8
【答案】B
【分析】根据原点的坐标（0,0）可采用两点之间的距离公式即可求解．
【详解】解：∵O（0,0），P（6,8）．
∴OP=．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和平面直角坐标系中两点间的距离，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2022·广东·深圳外国语学校七年级期末）在Rt△ABC中，，．则＝（ ）
A．8B．16或64C．4D．4或16
【答案】D
【分析】根据勾股定理分情况讨论求解即可．
【详解】解：当∠C=90°时，
；
当∠A=90°时，
；
故选：D．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，理解题意进行分类讨论是解题关键．
4．（2022·广东·陆河县河城中学八年级阶段练习）在中，，，，则的值为（ ）
A．50B．35C．34D．25
【答案】B
【分析】在直角三角形中，根据勾股定理求出边长即可．
【详解】解：∵，，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5．（2022·江西赣州·八年级期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】如图，根据正方形的性质得BC=BF，∠CBF=90°，AC2=3，DF2=4，再利用等角的余角相等得∠1=∠3，则可根据”AAS“证明△ABC≌△DFB，得到AB=DF，然后根据勾股定理得到BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=7，则有b的面积为7．
【详解】解：如图，
∵a、b、c都为正方形，
∴BC=BF，∠CBF=90°，AC2=3，DF2=4，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABC和△DFB中
，
∴△ABC≌△DFB，
∴AB=DF，
在△ABC中，BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=3+4=7，
∴b的面积为7．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了勾股定理和正方形的性质．
6．（2021·云南曲靖·八年级期中）下列各组数中，是勾股数的是( )
A．B．3，4，7C．6，8，10D．1，，2
【答案】C
【分析】根据勾股数的定义即可求解．
【详解】A．∵，，均不是整数，∴不是勾股数，不符合题意；
B．∵32+42≠72，∴不是勾股数，不符合题意；
C．∵62+82＝102，∴是勾股数，符合题意；
D．∵不是整数，∴不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．掌握定义是解题的关键．
7．（2022·湖北孝感·八年级阶段练习）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么的值为（ ）
A．25B．16C．14D．12
【答案】A
【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．
【详解】解：∵大正方形的面积是13，
∴c2=13，
∴a2+b2=c2=13，
∵直角三角形的面积是=3，
又∵直角三角形的面积是ab=3，
∴ab=6，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
8．（2022·湖北宜昌·八年级期中）如图，各小方格的边长为1，△ABC的各顶点都在个点上，则BC边上的高等于（ ）
A．2.5B．2.6C．1.7D．1.6
【答案】B
【分析】根据勾股定理得出BC的长，进而利用等面积法即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：BC＝，
∵S△ABC＝4×4−×1×3−×3×4−×1×4＝6.5，
∴BC边上的高＝＝2.6，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，关键是根据勾股定理得出BC的长解答．
9．（2022·广西柳州·八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】在△ABC中，通过勾股定理得AC2=5，从而解决问题．
【详解】解：在△ABC中，∠B=90°，
由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=12+22=5，
∵四边形ADEC是正方形，
∴S正方形ADEC=AC2=5，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键．
10．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点处，则线段的长为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，，利用三角形的面积公式可得，利用勾股定理可得，然后根据角的和差可得，根据等腰直角三角形的判定可得，最后根据线段和差可得，由此即可得．
【详解】解：，
，
由折叠的性质得：，
，即，
解得，
，
又，
，即，
是等腰直角三角形，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
二、填空题
11．（2022·福建福州·八年级期中）如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则的度数为______°．
【答案】90
【分析】求出BC，AC和AB的长，利用勾股定理证明△ABC是直角三角形，得到∠BAC=90°，即可得到结果．
【详解】解：由图可知：BC=5，AC=，AB=，
且满足，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠BCA+∠ABC=90°，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，解题的关键是证明△ABC是直角三角形．
12．（2022·陕西西安·八年级期中）中，，若，则_______．
【答案】
【分析】先利用含角的直角三角形的性质、勾股定理可得，再利用含角的直角三角形的性质可得的长，然后利用勾股定理可得的长，最后利用含角的直角三角形的性质即可得．
【详解】解：，
，
在中，，，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题关键．
13．（2022·湖南·株洲县教学研究室八年级期末）在中，，AD平分交BC于点D．若，，，则点D到AB的距离是_________．
【答案】3
【分析】首先利用勾股定理求出BC的长，从而得出CD的长，再利用角平分线的性质可得答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC==8，
∵BD=5，
∴CD=3，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴CD=DE=3，
∴点D到AB的距离是3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）如图，在ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E在AC边上，EF⊥AB于点F，连接EB，AF＝3，EFB的周长为12，则EB的长为____．
【答案】5
【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝∠BFE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AF＝3，
∵△EFB的周长为12，
∴BF+BE＝9，
∵EF2+BF2＝BE2，
∴32+（9﹣BE）2＝BE2，
∴BE＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
15．（2022·广西·南宁二中八年级期末）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是，整个图形连同空白部分的面积是，则大正方形的边长是______．
【答案】5
【分析】设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，根据题意列出方程组，即可求得．
【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，
根据题意得，
解得：，
解得：或舍去，
故大正方形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
16．（2022·宁夏吴忠·八年级期末）在中，，若，则__________．
【答案】8
【分析】直接利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图；
∵，
∴，
∴，
故答案是：8．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的使用．
17．（2022·重庆一中七年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是边AC上一点，将△BCD沿BD翻折，使点C恰好落在AB边上的点E处，线段BD上有一动点P，则△PAE周长的最小值为______．
【答案】4
【分析】由勾股定理可求AB= 5，由折叠的性质可得BE= BC= 4，∠BCD=∠BED= 90°，CD=DE，可求AE= 1， BD是CE的中垂线，则当点P、点C、点A三点共线时，AP+CP的最小值为AC的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接CP，CE，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵将△BCD沿BD翻折，使点C恰好落在AB边上的点E处，
∴BE＝BC＝4，∠BCD＝∠BED＝90°，CD＝DE，
∴AE＝1，BD是CE的中垂线，
∴CP＝PE，
∵△PAE周长＝AE+AP+PE＝1+AP+CP，
∴当AP+CP最小时，△PAE周长有最小值，
则当点P，点C，点A三点共线时，AP+CP的最小值为AC的长，
∴△PAE周长的最小值为3+1＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，线段垂直平分线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
18．（2022·四川宜宾·八年级期末）在△ABC中，AB=BC，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF交AB于E，交BC于F，若AB的长为4，则四边形BFDE的面积为___．
【答案】4
【分析】连接BD，可证得△BDE≌△CDF，从而得到四边形BFDE的面积等于S△BDE +S△BDF=S△CDF +S△BDF=S△BCD，再求出S△BCD，即可求解．
【详解】解：如图，连接BD，
∵AB=BC，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，
∴∠ABD=∠CBD=∠C=45°，BD⊥AC，BD=CD，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠BDC=90°，
∴∠BDE=∠CDF，
∴△BDE≌△CDF，
∴S△BDE≌S△CDF，
∴四边形BFDE的面积等于S△BDE +S△BDF=S△CDF +S△BDF=S△BCD，
∵AB=4，
∴BC=4，
∴，
∴，
∴，
即四边形BFDE的面积为4．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
19．（2022·河北·秦皇岛市第七中学八年级期末）如图，在中，，，，将折叠，使点A落在边上，对应点为D，若折痕与边交于点E、与边交于点F，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】先画出图形，利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，然后利用三角形的三边关系定理即可得．
【详解】解：由题意，画出图形如下：
在中，，，，
，
由折叠的性质得：，
，，
（当点与点重合时，等号成立），
（当点与点重合时，等号成立），
，
解得，
则的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质、三角形的三边关系，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
20．（2021·陕西·西北大学附中七年级期末）如图，已知、、、都是等腰直角三角形．若阴影部分的面积是20cm2，则、的面积之和是______cm2．
【答案】10
【分析】根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可得AC2 = 2AB2， AD2 = 2AC2 = 4AB2， AE2 = 2AD2 = 8AB2，AF2 = 2AE2 = 16AB2，可得AD = 2AB， AF = 4AB，根据S 阴影 = S△ABD + S△ADF求得AB的长，根据S△BCD+S△DEF=S多边形BCDEF-S阴影即可求解．
【详解】∵△ABC、△ACD、△ADE、△AEF都是等腰直角三角形，
∴ AC2 = 2AB2， AD2 = 2AC2 = 4AB2， AE2 = 2AD2 = 8AB2，AF2 = 2AE2 = 16AB2，
∴AD = 2AB， AF = 4AB，
∵阴影部分的面积是20cm2，
∴S 阴影 = S△ABD + S△ADF = AB×AD+AF×AD=AB×2AB+×4AB×2AB=5AB2=20
解得AB=2(cm)，
∴S多边形BCDEF=S△ABC+S△ACD+ S△ADB + S△ABF = AB2 + AC2+ AD2 + AB2 = AB2 = 30(cm2)
∴S△BCD+S△DEF=S多边形BCDEF-S阴影=30-20=10(cm2)
故答案为：10．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
21．（2022·山东济南·七年级期末）已知：如图，在中，于点D，E为AC上一点，且，．
(1)求证：；
(2)已知，，求AF的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）由可得和都是直角三角形，已经给出一条直角边和斜边对应相等，直接用“HL”证明全等即可；
（2）由可得对应边相等，通过勾股定理求出BD，进而求出AF的长．
（1）证明：∵于点，∴，在与中，∵，∴；
（2）解：∵，∴，，在中，，∴，∴．
【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键在于利用全等三角形的性质将相等的边进行转化．
22．（2021·福建龙岩·八年级阶段练习）如图，英西中学有一块三角形形状的花圃，现在测量到∠A＝45°，BC＝5m，AC上的高为4m，请你求出这块花圃的面积？
【答案】
【分析】根据现在测量到∠A＝45°，BD⊥AC，可求出AD的长，然后在直角三角形BDC中求出DC的长，根据三角形的面积公式可求解．
【详解】解：∵BD⊥AC，
∴，
∵∠A＝45°，
∴，
∴，
∴AD＝BD＝4m，
∴DC，
∴AC＝4+3＝7（m），
∴这块花圃的面积为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形面积的计算，根据题意求出AC＝7m，是解题的关键．
23．（2022·江苏·八年级专题练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法，证法如下：
把两个全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如图1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于点F，点E在边AB上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB＝b、BA＝a，斜边长为AC＝c，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理
(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；
(2)如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为多少千米．
【答案】(1)见解析
(2)两个村庄相距41千米．
【分析】（1）根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．
（2）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，从而得到DE=AD-AE=24-16=8千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离．
（1）解：∵S梯形ABCD=a（a+b），S△EBC=b（a-b），S四边形AECD=c2，它们满足的关系式为：a（a+b）=b（a-b）+c2，即a2+b2=c2；
（2）解：如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴BC=AE，CE=AB，∴DE=AD-AE=25-16=9千米，∴CD= =41（千米），∴两个村庄相距41千米．
【点睛】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．
24．（2022·广东潮州·八年级期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC=6，BC=8，CD=3．
(1)求AB和DE的长；
(2)求△ADB的面积．
【答案】(1)AB=10，DE=3；
(2)△ADB的面积为15
【分析】（1）根据根据勾股定理得到AB，根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．
（1）解：∵∠C=90°，∴AB==10；∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；
（2）解：由（1）知，AB=10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．
【点睛】本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
25．（2022·福建福州·八年级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ；
(2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系．
【答案】(1)a2+b2= ( a+b) 2-2ab；
(2)．
【分析】（1）分别用两种不同的方法表示阴影部分面积即可得等式．
（2）先直接用c表示中间正方形的面积，再用大正方形的面积减去4个小三角形的面积表示中间正方形的面积，从而可得结论．
（1）解∶如图1，∵ S阴影=a2+b2，S阴影= ( a+b) 2-2ab ．∴a2+b2= ( a+b) 2-2ab，故答案为∶a2+b2= ( a+b) 2-2ab；
（2）解：如图2，∵S中间正方形=c2，S中间正方形=(a+b)2-4×ab，∴，∴．
【点睛】本题考查完全平方公式及勾股定理的几何背景，用两种方法表示同一个图形的面积是求解本题的关键．
26．（2021·江苏镇江·八年级期中）已知，如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，DE为边BC的垂直平分线，与边BC、AB分别交于D、E两点．求AC和AE的长．
【答案】AC＝6，AE＝
【分析】在Rt△ABC中根据勾股定理直接求得AC的长，连接AE，根据垂直平分线的性质得到BE=CE，设AE＝x，则BE＝8-x，在Rt△ACE中根据AE2＋AC2＝CE2列出等式解得即可．
【详解】在Rt△ABC中，
∵AB2＋AC2＝BC2，
∴82＋AC2＝102，
∴AC＝6；
连接CE，设AE＝x，则BE＝8-x，
∵DE为边BC的垂直平分线，
∴CE＝BE＝8-x，
在Rt△ACE中，∠A＝90°
∴AE2＋AC2＝CE2，
x2＋36＝（8－x）2，
解得x＝，
∴AE＝．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
27．（2020·江西景德镇·八年级期中）如图是某隧道入口的截面示意图，其上方是一个半圆，下方是一个长方形，现有一辆满载货物的卡车，宽3米，高4米，请判断这辆卡车能否通过该隧道．
【答案】卡车不能通过．
【分析】卡车能否通过，关键是车高4米与ME的比较，EN为2.8米，只需求MN，在直角三角形OMN中，半径OM为1.8米，车宽的一半为EF=ON=1.5米，运用勾股定理求出MN即可．
【详解】解：如图，
过CD的中点O，作直径CD的垂线交下底边于点F，
如图所示，在Rt△MNO中，由题意知OM=1.8米，EF=ON=1.5米，
所以MN2=1.82-1.52=0.99，则MN≈1米，
因为1+2.8=3.8<4，
所以卡车不能通过．
答：卡车不能通过．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出MN的长是解题关键．
28．（2022·陕西西安·八年级期中）如图，在中，，，于．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质可得结论；
（2）先根据勾股定理求得BC，再根据列出关于DE的方程，解之即可．
（1）
解：∵，
∴，
又∵，，
∴．
（2）
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查角平分线的性质，勾股定理及三角形的面积，解题关键是利用面积法建立方程求线段的长．
29．（2022·湖北孝感·八年级期中）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算、与、，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
(2)根据（1）的规律，用n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且）的代数式来表示他们的股和弦．
【答案】(1)，；，；股的算式为：；弦的算式为：；
(2)股，弦，猜想他们之间的关系为：①弦-股=1；②勾2+股2=弦2；证明见解析；
(3)；弦为：
【分析】（1）先计算，然后根据计算找出相应规律求解即可；
（2）依据（1）中的计算结果得出勾股弦的代数式，然后猜想关系证明即可；
（3）根据（1）（2）中的方法先计算股、弦，然后找出规律得出表达式即可．
（1）
解：，；
，；
∴7，24，25的股的算式为：；
弦的算式为：；
（2）
当n 为奇数且n≥3时，勾、股、弦的代数式分别为：n，，，
猜想他们之间的关系为：①弦-股=1；②勾2+股2=弦2；
证明：①弦-股=；
②勾2+股2=弦2
；
（3）
4，3，5的股、弦表示为：，；
6，8，10的股、弦表示为：，；
…
∴m为勾，股表示为：；弦为：．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用及新定义的计算方法与规律，理解题意，通过计算发现规律是解题关键．
30．（2022·福建·泉州七中八年级期末）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题．
(1)根据图中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式________；
(2)如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长都为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的全等的小长方形，且．
①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________；
②若阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．
(3)若，请你构造合适的图形，直接写出的最小值是_________．
【答案】(1)
(2)；空白部分面积为（平分厘米）
(3)13
【分析】（1）根据正方形的面积相等可得
（2）①根据长方形面积的两种表达方式即可求解。②由阴影部分面积及大长方形周长可得两方程，联立组成方程组可求解出即可求出空白部分面积。
（3）作线段AB，使构造和以AB，AD为邻边构造矩形ABCD，设可得当点C，E，D三点共线时有最小值，即当是直角三角形时，利用勾股定理即可求出。
（1）
由正方形面积相等可得
（2）
①观察图形可得图形面积为
利用长方形面积公式可得图形的面积为
②∵图中阴影部分的面积为20平方厘米，
∵大长方形纸板的周长为24厘米，
∴空白部分面积为（平分厘米）
（3）
构造图形如下图：
作线段AB，使构造和以AB，AD为邻边构造矩形ABCD
设
当点C，E，D三点共线时有最小值，
即当是直角三角形时
的最小值是13。
故答案为：13。
【点睛】本题主要考查了因式分解及其应用，三角形性质的应用和数形结合的思想，解题关键是通过分割图形面积求解及数形结合。
1、掌握勾股定理的内容；
2、会用面积法证明勾股定理，能利用勾股定理求出边长；
【题型目录】
亮题一：用勾股定理解三角形
亮题二：利用勾股定理求面积
亮题三：勾股定理与折叠问题
亮题四：用勾股定理构造图形解决问题
【知识亮解】
知识点一 勾股定理的概念
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。
注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。
（2）在应用勾股定理时要注意它的训练：
（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。
（4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。
知识点二 勾股定理的验证
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
亮题一：用勾股定理解三角形
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，若BC＝8，BD＝5，则AC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．13
2．在中，，垂直平分交于点，交于点，若，，则的长是（ ）
A．8B．10C．12D．1
3．在RtABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D是AB的中点，连接CD，则线段CD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．10cm
4．如图在Rt△ABC中，，AB=8，AC=10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（ ）
A．B．C．2D．
5．在中，，若，，则＝______．
6．小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小东经测量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，BC＝12m，∠ABC＝150°．小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度为 _____．
7．如图，∠MON＝90°．△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，点A、B分别在边OM，ON上．当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，△ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为 _____．
8．如图，在一个直角三角形ABC纸片中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，将其折叠，恰使边AB落在斜边AC上，点B落在点E处，折痕交边BC于点F，则BF的长为________cm．
9．为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人体头顶离测温仪的距离AD等于___米．
10．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________米
11．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，则直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比的值是______．
12．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长?”．根据题意求出绳索的长为______尺．
亮题二：利用勾股定理求面积
1．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1＋S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（ ）
A．12.5B．13C．14D．15
3．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
4．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是26，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值为（ ）．
A．28B．50C．26D．169
5．如图，两个正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为_____．
6．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个正方形的面积的和是10cm2，则图中正方形A的面积为_________cm2．
7．用三张正方形纸片，按如图所示的方式构成图案，已知围成阴影部分的三角形是直角三角形，S1＝8，S3＝17，则正方形S2的面积为 _____．
8．如图是“勾股树”的部分图，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_____．
9．定义：如图①．如果点D在的边上且满足．那么称点D为的“理根点”，如图②，在中，，如果点D是的的“理根点”，如图②，在中，，如果点D是的“理想点”，连接．求的长．
10．甲同学在拼图探索活动中发现；用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为，a，b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2.的一个等式．
（1）请你写出这一结论： ，并给出验证过程；
（2）试用上述结论解决问题：如图2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积．
亮题三：勾股定理与折叠问题
1．如图有一块直角三角形纸片，，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（ ）
A．B．1.5C．D．3
2．在中，，，，点、分别是直角边和斜边上的点，把沿着直线折叠，点恰好落在边的中点上，则线段的长度为（ ）
A．B．C．3D．4
3．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．如图，折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，折痕为．若，，则的长是______．
6．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是________．
7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为______．
8．如图，在中，．将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的周长为__________．
9．如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．
(1)BC＝______；
(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．
10．如图直角三角形纸片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿点B的直线折叠这个三角形，使点C在AB边上的点E处，折痕为BD．
（1）求△ADE的周长；
（2）求DE的长．
亮题四：用勾股定理构造图形解决问题
1．两只蚂蚁在水平地面上从同一地点出发，一只以每分钟12cm的速度朝正东方向爬行，一只以每分钟16cm的速度朝正南方向爬行，10分钟之后两只蚂蚁相距（ ）
A．120cmB．160cmC．200cmD．280cm
2．（九章算术）是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记我的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高几何？“题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺．则折断处离地面的高度为（ ）
A．4.1B．4.2C．4.5D．4.8
3．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为尺，将它向前水平推送尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙．使木杆之上端与墙平齐．牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．间木杆长是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）（ ）
A．5尺5寸B．1丈1尺C．5丈5寸D．5丈5尺
5．为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人体头顶离测温仪的距离AD等于___米．
6．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________米
7．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，则直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比的值是______．
8．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长?”．根据题意求出绳索的长为______尺．
9．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直至算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”诗的意思是：当秋千静止时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步，这里的每一步合五尺，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态的，求这个秋千的绳索有多长．
40．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米），这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题．
【亮点训练】
训练一：勾股定理基本计算
【训练1】★在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，则c＝__________；
【训练2】★若已知一个直角三角形的周长为30 cm，其中一个直角边长为12 cm，则它的斜边为__________cm．
【训练3】★在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠A＋∠C＝90°，则下列等式中成立的是()
A．a2＋b2＝c2 B．a2＋c2＝b2
C．b2＋c2＝a2 D．c2－a2＝b2
【训练4】★一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（ ）
A. 4 B. C. 4或 D. 2
【训练5】★一个直角三角形，两直角边长分别为3和2，则三角形的周长为________．
训练二：利用勾股定理求面积
【训练1】★★如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形的边长为10，则四个正方形，，，的面积之和为
A．24B．56C．121D．100
【训练2】★★如图，中，，以、为直径作半圆和，且，则的长为
A．16B．8C．4D．2
【训练3】★如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若，，，和分别代表相应的正方形的面积，且，，，，则等于
A．25B．31C．32D．40
训练三：利用勾股定理求长度
【训练1】★★在等腰中，已知，于．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【训练2】★★如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长．
【训练3】★★★如图，在中，，，正方形的面积为，于点，求的长．
【训练4】★★如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建立在距A多远外？
【培优检测】
一、单选题
1．（2022·山东济宁·八年级期中）下列各组数中，是勾股数的一组是( )
A．6，7，8B．0.6，0.8，1C．5，12，13D．2，4，5
2．（2022·新疆阿克苏·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则的长为（ ）
A．5B．10C．6D．8
3．（2022·广东·深圳外国语学校七年级期末）在Rt△ABC中，，．则＝（ ）
A．8B．16或64C．4D．4或16
4．（2022·广东·陆河县河城中学八年级阶段练习）在中，，，，则的值为（ ）
A．50B．35C．34D．25
5．（2022·江西赣州·八年级期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
6．（2021·云南曲靖·八年级期中）下列各组数中，是勾股数的是( )
A．B．3，4，7C．6，8，10D．1，，2
7．（2022·湖北孝感·八年级阶段练习）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么的值为（ ）
A．25B．16C．14D．12
8．（2022·湖北宜昌·八年级期中）如图，各小方格的边长为1，△ABC的各顶点都在个点上，则BC边上的高等于（ ）
A．2.5B．2.6C．1.7D．1.6
9．（2022·广西柳州·八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点处，则线段的长为（ ）
A．B．C．1D．
二、填空题
11．（2022·福建福州·八年级期中）如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则的度数为______°．
12．（2022·陕西西安·八年级期中）中，，若，则_______．
13．（2022·湖南·株洲县教学研究室八年级期末）在中，，AD平分交BC于点D．若，，，则点D到AB的距离是_________．
14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）如图，在ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E在AC边上，EF⊥AB于点F，连接EB，AF＝3，EFB的周长为12，则EB的长为____．
15．（2022·广西·南宁二中八年级期末）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是，整个图形连同空白部分的面积是，则大正方形的边长是______．
16．（2022·宁夏吴忠·八年级期末）在中，，若，则__________．
17．（2022·重庆一中七年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是边AC上一点，将△BCD沿BD翻折，使点C恰好落在AB边上的点E处，线段BD上有一动点P，则△PAE周长的最小值为______．
18．（2022·四川宜宾·八年级期末）在△ABC中，AB=BC，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF交AB于E，交BC于F，若AB的长为4，则四边形BFDE的面积为___．
19．（2022·河北·秦皇岛市第七中学八年级期末）如图，在中，，，，将折叠，使点A落在边上，对应点为D，若折痕与边交于点E、与边交于点F，则的取值范围是________．
20．（2021·陕西·西北大学附中七年级期末）如图，已知、、、都是等腰直角三角形．若阴影部分的面积是20cm2，则、的面积之和是______cm2．
三、解答题
21．（2022·山东济南·七年级期末）已知：如图，在中，于点D，E为AC上一点，且，．
(1)求证：；
(2)已知，，求AF的长．
22．（2021·福建龙岩·八年级阶段练习）如图，英西中学有一块三角形形状的花圃，现在测量到∠A＝45°，BC＝5m，AC上的高为4m，请你求出这块花圃的面积？
23．（2022·江苏·八年级专题练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法，证法如下：
把两个全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如图1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于点F，点E在边AB上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB＝b、BA＝a，斜边长为AC＝c，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理
(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；
(2)如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为多少千米．
24．（2022·广东潮州·八年级期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC=6，BC=8，CD=3．
(1)求AB和DE的长；
(2)求△ADB的面积．
25．（2022·福建福州·八年级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ；
(2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系．
26．（2021·江苏镇江·八年级期中）已知，如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，DE为边BC的垂直平分线，与边BC、AB分别交于D、E两点．求AC和AE的长．
27．（2020·江西景德镇·八年级期中）如图是某隧道入口的截面示意图，其上方是一个半圆，下方是一个长方形，现有一辆满载货物的卡车，宽3米，高4米，请判断这辆卡车能否通过该隧道．
28．（2022·陕西西安·八年级期中）如图，在中，，，于．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
29．（2022·湖北孝感·八年级期中）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算、与、，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
(2)根据（1）的规律，用n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且）的代数式来表示他们的股和弦．
30．（2022·福建·泉州七中八年级期末）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题．
(1)根据图中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式________；
(2)如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长都为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的全等的小长方形，且．
①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________；
②若阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．
(3)若，请你构造合适的图形，直接写出的最小值是_________．
专题3.1 勾股定理
【教学目标】
1、掌握勾股定理的内容；
2、会用面积法证明勾股定理，能利用勾股定理求出边长；
【题型目录】
亮题一：用勾股定理解三角形
亮题二：利用勾股定理求面积
亮题三：勾股定理与折叠问题
亮题四：用勾股定理构造图形解决问题
【知识亮解】
知识点一 勾股定理的概念
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。
注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。
（2）在应用勾股定理时要注意它的训练：
（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。
（4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。
知识点二 勾股定理的验证
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中，所以．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中，所以．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以．
亮题一：用勾股定理解三角形
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，若BC＝8，BD＝5，则AC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．13
【答案】B
【分析】由线段垂直平分线的性质求出AD=BD=5，又因CD=BC-BD=8-5=3，即可由勾股定理求解．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=5，
又∵CD=BC-BD=8-5=3，∠C＝90°，
∴AC==4,
故选：B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
2．在中，，垂直平分交于点，交于点，若，，则的长是（ ）
A．8B．10C．12D．1
【答案】C
【分析】由垂直平分线可以得到BE=AE，再由勾股定理可以得到答案．
【详解】解：由题意可得，
∵垂直平分交于点，
∴BE=AE=13，
又∵，且，
∴在Rt中，
AC==12，
故选C．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和勾股定理得应用，解决此题的关键是读懂题意并学会正确解答．
3．在RtABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D是AB的中点，连接CD，则线段CD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．10cm
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出AB的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴，
∵∠C=90°，D是斜边AB的中点，
∴CD=AB=5cm，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理和直角三角形斜边中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
4．如图在Rt△ABC中，，AB=8，AC=10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出BC=6，根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=8-x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可解答．
【详解】解：∵，AB=8，AC=10，
∴BC=6，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴AB=BD+AD=BD+CD=8，
设CD=x，则BD=8-x，
在Rt△BCD中，，
即，
解得．
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理和线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
5．在中，，若，，则＝______．
【答案】17
【分析】根据直角三角形中，勾股定理：，即可求出的值．
【详解】解：如图可知，所对应的边为直角三角形的斜边
∵，
∴
∴
∴
故答案为：17．
【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的运用是解题的关键．
6．小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小东经测量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，BC＝12m，∠ABC＝150°．小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度为 _____．
【答案】13米
【分析】直接利用等边三角形的判定方法得出△ABD是等边三角形，再利用勾股定理得出答案．
【详解】解：连接BD，
∵AB＝AD＝5m，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝5m，∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝90°，
∵BC＝12m，BD＝5m，
∴DC13（m），
答：CD的长度为13m，
故答案为：13m．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定，正确得出△ABD是等边三角形是解题关键．
7．如图，∠MON＝90°．△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，点A、B分别在边OM，ON上．当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，△ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为 _____．
【答案】14
【分析】作CD⊥AB于D，连接OD，如图，根据等腰三角形的性质得AD=BD=AB=6，再利用勾股定理计算出CD=8，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得OD=AB=6，则利用三角形三边的关系得到OCCD+OD（当点C、O、D共线时取等号），从而得到OC的最大值．
【详解】作CD⊥AB于D，连接OD，如图，
∵AB＝12，
∴AD=BD=AB=6，
在Rt△BCD中，CD===8，
∵OCCD+OD(当点C． O、D共线时取等号)，
∴当O，C，D共线时，OD=BD=6，
∴OC的最大值为8+6=14．
故答案为14．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识；熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
8．如图，在一个直角三角形ABC纸片中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，将其折叠，恰使边AB落在斜边AC上，点B落在点E处，折痕交边BC于点F，则BF的长为________cm．
【答案】
【分析】先由勾股定理计算AC=10cm，设BF=x cm，根据折叠的性质表示EF=BF=x cm，再由勾股定理列方程可得答案．
【详解】解：∵∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，
∴cm，
设BF=x，则CF=6-x，
根据折叠可知：EF=BF=x cm，AE=AB=8cm，∠AEF=∠B=90°，
∴EC=AC-AE=10-8=2（cm），
∴∠CEF=180°-90°=90°，
∴根据勾股定理得： （6-x）2=x2+22，
解得：，
∴BF=cm，
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换以及勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．
9．为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人体头顶离测温仪的距离AD等于___米．
【答案】1.5
【分析】过点D作，则AE=0.9米，在中，根据勾股定理即可得．
【详解】解：过点D作，
∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，
∴（米），
在中，根据勾股定理得，
，
故答案为：1.5．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．
10．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________米
【答案】8
【分析】先设水深x米，则AB=x，则有BD=AD+AB=x+2，由题条件有BD=BC=x+2，又根据芦节直立水面可知BD⊥AC，则在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出x．
【详解】解：设水深x米，则AB=x，
则有：BD=AD+AB=x+2，
即有：BD=BC=x+2，
根据芦节直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，
则在直角△ABC中：，
即：，
解得x=8，
即水深8米，
故答案为8．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，从现实图形中抽象出勾股定理这一模型是解答本题的关键．
11．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，则直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比的值是______．
【答案】
【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到的值，然后根据即可求得的值；则可求出答案．
【详解】解：大正方形的面积是，设边长为，
，
，
直角三角形的面积是，
又直角三角形的面积是，
，
，
．
小正方形的面积为，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和，之间的关系．
12．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长?”．根据题意求出绳索的长为______尺．
【答案】14.5
【分析】设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．
【详解】解：延长到地面于，过作地面于，如图所示：
设绳索有x尺长，
根据题意及所作辅助线，四边形是矩形，则，
在中，，，，则102＋（x＋1−5）2＝x2，解得：x＝14.5，即绳索长14.5尺，
故答案为：14.5．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
亮题二：利用勾股定理求面积
1．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正方形的面积和勾股定理逐项判断即可．
【详解】解：根据题意，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的边长的平方，
A、由勾股定理得：S=5+15=20，故选项A不符合题意；
B、由勾股定理得：S=8+6=14，故选项B不符合题意；
C、由勾股定理得：S=8－6=2，故选项C不符合题意；
D、由勾股定理得：S=15－5=10，故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的面积和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答的关键．
2．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1＋S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（ ）
A．12.5B．13C．14D．15
【答案】C
【分析】根据勾股定理得到，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
【详解】解：根据题意得：，
∵S1＋S2＝7，
∴，
∴，
∴，
∴或-8（舍去），
∴△ABC的周长是．
故选：C
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟练掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么是解题的关键．
3．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】C
【分析】根据题目可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是2×1=2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1=3，探究规律求出“生长”2022次后形成图形中所有正方形的面积之和即可．
【详解】解：由勾股定理知：
图①中生长出的两个正方形面积和等于原来正方形的面积，所有正方形的面积和为2；
同样图②中生长出的四个正方形面积和等于图①中生长出的两个正方形的面积之和，所有正方形的面积和为3；
……，
经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是n+1；
经过2022次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2023．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
4．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是26，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值为（ ）．
A．28B．50C．26D．169
【答案】B
【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到的值，然后根据即可求解．
【详解】根据勾股定理可得，
四个直角三角形的面积是：，即，
则．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方式，正确根据图形的关系求得和的值是关键．
5．如图，两个正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为_____．
【答案】5
【分析】设斜边长为，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设斜边长为，根据题意可得，
，
解得（负值已舍），
故答案为：5．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
6．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个正方形的面积的和是10cm2，则图中正方形A的面积为_________cm2．
【答案】10
【分析】先把各个正方形都标上代号，再根据勾股定理有，，，等量代换即可求最大的正方形面积．
【详解】解：如下图所示：
根据勾股定理可知，
∵，
，
，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
7．用三张正方形纸片，按如图所示的方式构成图案，已知围成阴影部分的三角形是直角三角形，S1＝8，S3＝17，则正方形S2的面积为 _____．
【答案】9
【分析】由题意可得，三个正方形的边长恰好凑成一个直角三角形，利用勾股定理可得，两个较小正方形的面积之和等于最大的正方形的面积．即S1+S2=S3．据此可求S2．
【详解】解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
∵所围成的三角形是直角三角形，
∴斜边对应的正方形的面积=两直角边对应的正方形的面积和，
又∵S1=8，S3=17，
∴正方形S2的面积=17-8=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是明确正方形的面积等于边长的平方．
8．如图是“勾股树”的部分图，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_____．
【答案】49
【分析】设正方形A，B，C，D，E，F的边长分别为：a、b、c、d、e、f，则正方形A，B，C，D的面积之和为：，由勾股定理可得：，，，进一步可得：．
【详解】解：如图，
设正方形A，B，C，D，E，F的边长分别为：a、b、c、d、e、f，
则：正方形A，B，C，D的面积之和为：，
由勾股定理可得：，，，
∴．
故答案为：49
【点睛】本题考查勾股定理以及和弦图有关的计算题，解题的关键是掌握勾股定理，得到．
9．定义：如图①．如果点D在的边上且满足．那么称点D为的“理根点”，如图②，在中，，如果点D是的的“理根点”，如图②，在中，，如果点D是的“理想点”，连接．求的长．
【答案】.
【分析】只要证明CD⊥AB即可解决问题．
【详解】解：如图②中，
∵点D是△ABC的“理想点”，
∴∠ACD=∠B，
∵，
∴，
∴，
，
在Rt△ABC中，
，
∴BC= ，
∵,
．
【点睛】本解考查了直角三角形判定和性质，理解新定义是解本题的关键．
10．甲同学在拼图探索活动中发现；用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为，a，b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2.的一个等式．
（1）请你写出这一结论： ，并给出验证过程；
（2）试用上述结论解决问题：如图2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积．
【答案】（1）；（2）29．
【分析】（1）用不同的方法表示阴影部分的面积，即可得到关于，，的一个等式．
（2）由（1）得，，进而根据正方形面积得出等量关系求出“丁”的面积．
【详解】解：（1）结论：．
验证：阴影部分的面积，
阴影部分的面积=，
，
即．
故答案为：．
（2）如图，连接AC，
∵∠B＝∠D＝90°
∴，，
又∵，，，，
∴，
又∵甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及面积法的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
亮题三：勾股定理与折叠问题
1．如图有一块直角三角形纸片，，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（ ）
A．B．1.5C．D．3
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出AB的长，利用翻折得到AE=AB=5，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到，列得，求出BD．
【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴，
由翻折得AE=AB=5，DE=BD，
∴CE=AE-AC=1，
在Rt△CED中，，
∴，
解得BD=，
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，翻折的性质，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
2．在中，，，，点、分别是直角边和斜边上的点，把沿着直线折叠，点恰好落在边的中点上，则线段的长度为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】B
【分析】由折叠的性质可得AE＝DE，则DE＝8－BE，在Rt△BDE中，利用勾股定理构建方程求出BE即可．
【详解】解：由折叠的性质可得AE＝DE，
∵，，，点是边的中点，
∴DE＝AE＝8－BE，BD＝，
在Rt△BDE中，BD2＋BE2＝DE2，即，
解得：BE＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理得出关于BE的方程是解题的关键．
3．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故选A
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
4．如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】由折叠的性质得到，，根据勾股定理求出BF的长即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知：，，
在中，，，
由勾股定理可得：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和折叠的性质，理解折叠的性质是解答关键．
5．如图，折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，折痕为．若，，则的长是______．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：∵折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，
∴，
又∵，，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理．理解和掌握勾股定理是解题的关键．
6．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是________．
【答案】
【分析】根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．
【详解】解：ABCD是长方形纸片，
∴AB=CD=3，
∵，
∴BF=4，
∴AF=，
∴AF=AD=BC=5，CF=1，
设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，
由勾股定理得：，
解得：x=，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．
7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为______．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可得AE=BE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：AE=BE，
∵ AC=8，
∴BE+CE=8，
设CE=x，则BE=8-x，
在中，，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
8．如图，在中，．将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的周长为__________．
【答案】6
【分析】首先利用勾股定理求出AC=5，根据折叠得到B’C=2，求出三角形的周长．
【详解】解：Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC= ,
由折叠知AB’=AB=3，
∴B’C=AC-AB’=5-3=2，
∴△B’EC的周长为B’C+EC+B’E=B’C+EC+BE=B’C+CB=2+4=6，
故答案为6．
【点睛】本题考查折叠的性质以及勾股定理，解决问题的关键是分清折叠前后的对应的关系．
9．如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．
(1)BC＝______；
(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．
【答案】(1)16
(2)36
【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；
（2）根据折叠的性质得出，设CD＝x，则，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面积公式求解即可．
（1）∵在中，，，，∴，故答案为：16；
（2）由折叠可知，∵AC＝12，∴设CD＝x，则在中，，∴解得x＝6，∴．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握运用勾股定理及折叠的性质是解题关键．
10．如图直角三角形纸片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿点B的直线折叠这个三角形，使点C在AB边上的点E处，折痕为BD．
（1）求△ADE的周长；
（2）求DE的长．
【答案】（1）8；（2）
【分析】（1）根据折叠的性质可得BE=BC=8，DE=CD，则AE=AB-BE=2，即可得到△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DE+AE=AC+AE=8；
（2）设CD=DE=x，则AD=AC-CD=6-x，由折叠的性质可知∠DEB=∠C=90°，则∠DEA=90°，即可得到，则，由此求解即可．
【详解】解：（1）由折叠的性质可知，BE=BC=8，DE=CD，
∴AE=AB-BE=2，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DE+AE=AC+AE=8；
（2）设CD=DE=x，则AD=AC-CD=6-x，
由折叠的性质可知∠DEB=∠C=90°，
∴∠DEA=90°，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质．
亮题四：用勾股定理构造图形解决问题
1．两只蚂蚁在水平地面上从同一地点出发，一只以每分钟12cm的速度朝正东方向爬行，一只以每分钟16cm的速度朝正南方向爬行，10分钟之后两只蚂蚁相距（ ）
A．120cmB．160cmC．200cmD．280cm
【答案】C
【分析】根据题意，画出图形，可知两只蚂蚁爬行的路程和两只蚂蚁的距离构成了一个直角三角形，根据勾股定理即可求解．
【详解】12×10=120（cm），16×10=160（cm）
由勾股定理可得：两只蚂蚁间的距离=（cm）
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意构建直角三角形用勾股定理求解是解题的关键．
2．（九章算术）是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记我的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高几何？“题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺．则折断处离地面的高度为（ ）
A．4.1B．4.2C．4.5D．4.8
【答案】B
【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详解】解：设折断处离地面x尺，
根据题意可得：，
解得．
即折断处离地面尺高．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
3．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为尺，将它向前水平推送尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论．
【详解】解：由题意知：
OC=x-（5-1），P'C=10，OP'=x，
在Rt△OCP'中，由勾股定理得：
[x-（5-1）]2+102=x2．即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意是解题的关键．
4．《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙．使木杆之上端与墙平齐．牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．间木杆长是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）（ ）
A．5尺5寸B．1丈1尺C．5丈5寸D．5丈5尺
【答案】C
【分析】根据题意作出示意图，利用勾股定理求解即可，最后要注意单位的转化，避免错选．
【详解】解：根据题意作出如下示意图：
设木杆下滑前底端距离墙角x尺，则木杆长为（x+1）尺．
1丈=10尺，则墙高为10尺
由勾股定理可知：
解得：
木杆的长为（尺）
尺=50尺+0.5尺
1丈=10尺，1尺=10寸
尺=5丈5寸
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，能够理清题意，将文字语言转化为数学符号语言是解决本题的关键，还要注意最后结果的不同单位之间的换算，避免出现单位错误．
5．为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人体头顶离测温仪的距离AD等于___米．
【答案】1.5
【分析】过点D作，则AE=0.9米，在中，根据勾股定理即可得．
【详解】解：过点D作，
∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，
∴（米），
在中，根据勾股定理得，
，
故答案为：1.5．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．
6．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________米
【答案】8
【分析】先设水深x米，则AB=x，则有BD=AD+AB=x+2，由题条件有BD=BC=x+2，又根据芦节直立水面可知BD⊥AC，则在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出x．
【详解】解：设水深x米，则AB=x，
则有：BD=AD+AB=x+2，
即有：BD=BC=x+2，
根据芦节直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，
则在直角△ABC中：，
即：，
解得x=8，
即水深8米，
故答案为8．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，从现实图形中抽象出勾股定理这一模型是解答本题的关键．
7．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，则直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比的值是______．
【答案】
【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到的值，然后根据即可求得的值；则可求出答案．
【详解】解：大正方形的面积是，设边长为，
，
，
直角三角形的面积是，
又直角三角形的面积是，
，
，
．
小正方形的面积为，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和，之间的关系．
8．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长?”．根据题意求出绳索的长为______尺．
【答案】14.5
【分析】设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．
【详解】解：延长到地面于，过作地面于，如图所示：
设绳索有x尺长，
根据题意及所作辅助线，四边形是矩形，则，
在中，，，，则102＋（x＋1−5）2＝x2，解得：x＝14.5，即绳索长14.5尺，
故答案为：14.5．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
9．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直至算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”诗的意思是：当秋千静止时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步，这里的每一步合五尺，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态的，求这个秋千的绳索有多长．
【答案】14．5尺
【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理求解．
【详解】解：如图，
不妨设图中的OA为秋千的绳索，CD为地平面，BC为身高5尺的人，AE为两步，即相当于10尺的距离，A处有一块踏板，EC，AD为踏板离地的距离，它等于一尺．
设OA＝x尺，则OB＝OA＝x尺．FA＝BE=BC－EC＝5－1＝4（尺），BF＝EA＝10尺．
在Rt△OBF中，由勾股定理，得OB2＝OF2＋BF2，
∴x2＝（x－4）2＋102，
解这个方程，得x＝14．5，
∴这个秋千的绳索长度为14．5尺．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，构造直角三角形利用勾股定理求解．
40．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米），这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题．
【答案】水池里水的深度是4米，芦苇长为米
【分析】根据题意，构建直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】．解：设水池里水的深度是x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
x+1=13，
米，米，
答：水池里水的深度是4米，芦苇长为米
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键．
【亮点训练】
训练一：勾股定理基本计算
【训练1】★在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，则c＝__________；
【答案】eq \r(7)
【解析】c＝.
【训练2】★若已知一个直角三角形的周长为30 cm，其中一个直角边长为12 cm，则它的斜边为__________cm．
【答案】13
【训练3】★在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠A＋∠C＝90°，则下列等式中成立的是()
A．a2＋b2＝c2 B．a2＋c2＝b2
C．b2＋c2＝a2 D．c2－a2＝b2
【答案】B
【训练4】★一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（ ）
A. 4 B. C. 4或 D. 2
【答案】C
【解析】①当5是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是=4；
②当5是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是 =，
综上可得三角形第三边的长为4或，故选C.
【训练5】★一个直角三角形，两直角边长分别为3和2，则三角形的周长为________．
【答案】5+
【解析】根据勾股定理可知：斜边==，∴三角形周长=3+2+ =5+ ，
故答案是：5+ ．
训练二：利用勾股定理求面积
【训练1】★★如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形的边长为10，则四个正方形，，，的面积之和为
A．24B．56C．121D．100
【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．
【解析】根据勾股定理的几何意义，可知：；
即四个正方形，，，的面积之和为100；故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．
【训练2】★★如图，中，，以、为直径作半圆和，且，则的长为
A．16B．8C．4D．2
【分析】根据勾股定理得到，根据圆的面积公式计算，得到答案．
【解析】由勾股定理得，，
，解得，，
则，解得，，故选：．
【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
【训练3】★如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若，，，和分别代表相应的正方形的面积，且，，，，则等于
A．25B．31C．32D．40
【分析】如图，根据勾股定理分别求出、，进而得到，即可解决问题．
【解析】如图，由题意得：，，
，．故选：．
【点睛】主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点．
训练三：利用勾股定理求长度
【训练1】★★在等腰中，已知，于．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，可以求得的度数；
（2）根据题目中的数据和勾股定理，可以求得的长．
【解析】（1）在等腰中，，，
，，
，
，，
；
（2），
，
，，
，
设，则，
，，
，
解得，，
即．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【训练2】★★如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长．
【分析】先设，则，再运用勾股定理分别在与中表示出，列出方程，求解即可．
【解析】设，则．
在中，，
，
在中，，
，
，
即，
解得，
，
．
故的长为8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，根据的长度不变列出方程是解题的关键．
【训练3】★★★如图，在中，，，正方形的面积为，于点，求的长．
【分析】根据正方形的面积公式求得．然后利用勾股定理求得；则利用面积法来求的长度．
【答案】正方形的面积为，
，
，，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理．解答该题时，需要熟记正方形的面积公式．
【训练4】★★如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建立在距A多远外？
【解析】设E建在距A点xkm处，则102＋x2＝152＋(25－x)2，∴x＝15.
【培优检测】
一、单选题
1．（2022·山东济宁·八年级期中）下列各组数中，是勾股数的一组是( )
A．6，7，8B．0.6，0.8，1C．5，12，13D．2，4，5
【答案】C
【分析】根据勾股数的定义判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴6，7，8不是一组勾股数，本选项不符合题意；
B、∵0.6，0.8不是正整数，
∴0.6，0.8，1不是一组勾股数，本选项不符合题意；
C、∵，
∴5，12，13是一组勾股数，本选项符合题意；
D、∵，
∴2，4，5不是一组勾股数，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．
2．（2022·新疆阿克苏·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则的长为（ ）
A．5B．10C．6D．8
【答案】B
【分析】根据原点的坐标（0,0）可采用两点之间的距离公式即可求解．
【详解】解：∵O（0,0），P（6,8）．
∴OP=．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和平面直角坐标系中两点间的距离，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2022·广东·深圳外国语学校七年级期末）在Rt△ABC中，，．则＝（ ）
A．8B．16或64C．4D．4或16
【答案】D
【分析】根据勾股定理分情况讨论求解即可．
【详解】解：当∠C=90°时，
；
当∠A=90°时，
；
故选：D．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，理解题意进行分类讨论是解题关键．
4．（2022·广东·陆河县河城中学八年级阶段练习）在中，，，，则的值为（ ）
A．50B．35C．34D．25
【答案】B
【分析】在直角三角形中，根据勾股定理求出边长即可．
【详解】解：∵，，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5．（2022·江西赣州·八年级期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】如图，根据正方形的性质得BC=BF，∠CBF=90°，AC2=3，DF2=4，再利用等角的余角相等得∠1=∠3，则可根据”AAS“证明△ABC≌△DFB，得到AB=DF，然后根据勾股定理得到BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=7，则有b的面积为7．
【详解】解：如图，
∵a、b、c都为正方形，
∴BC=BF，∠CBF=90°，AC2=3，DF2=4，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABC和△DFB中
，
∴△ABC≌△DFB，
∴AB=DF，
在△ABC中，BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=3+4=7，
∴b的面积为7．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了勾股定理和正方形的性质．
6．（2021·云南曲靖·八年级期中）下列各组数中，是勾股数的是( )
A．B．3，4，7C．6，8，10D．1，，2
【答案】C
【分析】根据勾股数的定义即可求解．
【详解】A．∵，，均不是整数，∴不是勾股数，不符合题意；
B．∵32+42≠72，∴不是勾股数，不符合题意；
C．∵62+82＝102，∴是勾股数，符合题意；
D．∵不是整数，∴不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．掌握定义是解题的关键．
7．（2022·湖北孝感·八年级阶段练习）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么的值为（ ）
A．25B．16C．14D．12
【答案】A
【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．
【详解】解：∵大正方形的面积是13，
∴c2=13，
∴a2+b2=c2=13，
∵直角三角形的面积是=3，
又∵直角三角形的面积是ab=3，
∴ab=6，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
8．（2022·湖北宜昌·八年级期中）如图，各小方格的边长为1，△ABC的各顶点都在个点上，则BC边上的高等于（ ）
A．2.5B．2.6C．1.7D．1.6
【答案】B
【分析】根据勾股定理得出BC的长，进而利用等面积法即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：BC＝，
∵S△ABC＝4×4−×1×3−×3×4−×1×4＝6.5，
∴BC边上的高＝＝2.6，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，关键是根据勾股定理得出BC的长解答．
9．（2022·广西柳州·八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】在△ABC中，通过勾股定理得AC2=5，从而解决问题．
【详解】解：在△ABC中，∠B=90°，
由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=12+22=5，
∵四边形ADEC是正方形，
∴S正方形ADEC=AC2=5，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键．
10．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点处，则线段的长为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，，利用三角形的面积公式可得，利用勾股定理可得，然后根据角的和差可得，根据等腰直角三角形的判定可得，最后根据线段和差可得，由此即可得．
【详解】解：，
，
由折叠的性质得：，
，即，
解得，
，
又，
，即，
是等腰直角三角形，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
二、填空题
11．（2022·福建福州·八年级期中）如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则的度数为______°．
【答案】90
【分析】求出BC，AC和AB的长，利用勾股定理证明△ABC是直角三角形，得到∠BAC=90°，即可得到结果．
【详解】解：由图可知：BC=5，AC=，AB=，
且满足，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠BCA+∠ABC=90°，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，解题的关键是证明△ABC是直角三角形．
12．（2022·陕西西安·八年级期中）中，，若，则_______．
【答案】
【分析】先利用含角的直角三角形的性质、勾股定理可得，再利用含角的直角三角形的性质可得的长，然后利用勾股定理可得的长，最后利用含角的直角三角形的性质即可得．
【详解】解：，
，
在中，，，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题关键．
13．（2022·湖南·株洲县教学研究室八年级期末）在中，，AD平分交BC于点D．若，，，则点D到AB的距离是_________．
【答案】3
【分析】首先利用勾股定理求出BC的长，从而得出CD的长，再利用角平分线的性质可得答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC==8，
∵BD=5，
∴CD=3，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴CD=DE=3，
∴点D到AB的距离是3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）如图，在ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E在AC边上，EF⊥AB于点F，连接EB，AF＝3，EFB的周长为12，则EB的长为____．
【答案】5
【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝∠BFE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝AF＝3，
∵△EFB的周长为12，
∴BF+BE＝9，
∵EF2+BF2＝BE2，
∴32+（9﹣BE）2＝BE2，
∴BE＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
15．（2022·广西·南宁二中八年级期末）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是，整个图形连同空白部分的面积是，则大正方形的边长是______．
【答案】5
【分析】设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，根据题意列出方程组，即可求得．
【详解】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，
根据题意得，
解得：，
解得：或舍去，
故大正方形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
16．（2022·宁夏吴忠·八年级期末）在中，，若，则__________．
【答案】8
【分析】直接利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图；
∵，
∴，
∴，
故答案是：8．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的使用．
17．（2022·重庆一中七年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是边AC上一点，将△BCD沿BD翻折，使点C恰好落在AB边上的点E处，线段BD上有一动点P，则△PAE周长的最小值为______．
【答案】4
【分析】由勾股定理可求AB= 5，由折叠的性质可得BE= BC= 4，∠BCD=∠BED= 90°，CD=DE，可求AE= 1， BD是CE的中垂线，则当点P、点C、点A三点共线时，AP+CP的最小值为AC的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接CP，CE，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵将△BCD沿BD翻折，使点C恰好落在AB边上的点E处，
∴BE＝BC＝4，∠BCD＝∠BED＝90°，CD＝DE，
∴AE＝1，BD是CE的中垂线，
∴CP＝PE，
∵△PAE周长＝AE+AP+PE＝1+AP+CP，
∴当AP+CP最小时，△PAE周长有最小值，
则当点P，点C，点A三点共线时，AP+CP的最小值为AC的长，
∴△PAE周长的最小值为3+1＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，线段垂直平分线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
18．（2022·四川宜宾·八年级期末）在△ABC中，AB=BC，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF交AB于E，交BC于F，若AB的长为4，则四边形BFDE的面积为___．
【答案】4
【分析】连接BD，可证得△BDE≌△CDF，从而得到四边形BFDE的面积等于S△BDE +S△BDF=S△CDF +S△BDF=S△BCD，再求出S△BCD，即可求解．
【详解】解：如图，连接BD，
∵AB=BC，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，
∴∠ABD=∠CBD=∠C=45°，BD⊥AC，BD=CD，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠BDC=90°，
∴∠BDE=∠CDF，
∴△BDE≌△CDF，
∴S△BDE≌S△CDF，
∴四边形BFDE的面积等于S△BDE +S△BDF=S△CDF +S△BDF=S△BCD，
∵AB=4，
∴BC=4，
∴，
∴，
∴，
即四边形BFDE的面积为4．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
19．（2022·河北·秦皇岛市第七中学八年级期末）如图，在中，，，，将折叠，使点A落在边上，对应点为D，若折痕与边交于点E、与边交于点F，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】先画出图形，利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，然后利用三角形的三边关系定理即可得．
【详解】解：由题意，画出图形如下：
在中，，，，
，
由折叠的性质得：，
，，
（当点与点重合时，等号成立），
（当点与点重合时，等号成立），
，
解得，
则的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质、三角形的三边关系，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
20．（2021·陕西·西北大学附中七年级期末）如图，已知、、、都是等腰直角三角形．若阴影部分的面积是20cm2，则、的面积之和是______cm2．
【答案】10
【分析】根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可得AC2 = 2AB2， AD2 = 2AC2 = 4AB2， AE2 = 2AD2 = 8AB2，AF2 = 2AE2 = 16AB2，可得AD = 2AB， AF = 4AB，根据S 阴影 = S△ABD + S△ADF求得AB的长，根据S△BCD+S△DEF=S多边形BCDEF-S阴影即可求解．
【详解】∵△ABC、△ACD、△ADE、△AEF都是等腰直角三角形，
∴ AC2 = 2AB2， AD2 = 2AC2 = 4AB2， AE2 = 2AD2 = 8AB2，AF2 = 2AE2 = 16AB2，
∴AD = 2AB， AF = 4AB，
∵阴影部分的面积是20cm2，
∴S 阴影 = S△ABD + S△ADF = AB×AD+AF×AD=AB×2AB+×4AB×2AB=5AB2=20
解得AB=2(cm)，
∴S多边形BCDEF=S△ABC+S△ACD+ S△ADB + S△ABF = AB2 + AC2+ AD2 + AB2 = AB2 = 30(cm2)
∴S△BCD+S△DEF=S多边形BCDEF-S阴影=30-20=10(cm2)
故答案为：10．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
21．（2022·山东济南·七年级期末）已知：如图，在中，于点D，E为AC上一点，且，．
(1)求证：；
(2)已知，，求AF的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）由可得和都是直角三角形，已经给出一条直角边和斜边对应相等，直接用“HL”证明全等即可；
（2）由可得对应边相等，通过勾股定理求出BD，进而求出AF的长．
（1）证明：∵于点，∴，在与中，∵，∴；
（2）解：∵，∴，，在中，，∴，∴．
【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键在于利用全等三角形的性质将相等的边进行转化．
22．（2021·福建龙岩·八年级阶段练习）如图，英西中学有一块三角形形状的花圃，现在测量到∠A＝45°，BC＝5m，AC上的高为4m，请你求出这块花圃的面积？
【答案】
【分析】根据现在测量到∠A＝45°，BD⊥AC，可求出AD的长，然后在直角三角形BDC中求出DC的长，根据三角形的面积公式可求解．
【详解】解：∵BD⊥AC，
∴，
∵∠A＝45°，
∴，
∴，
∴AD＝BD＝4m，
∴DC，
∴AC＝4+3＝7（m），
∴这块花圃的面积为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形面积的计算，根据题意求出AC＝7m，是解题的关键．
23．（2022·江苏·八年级专题练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法，证法如下：
把两个全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如图1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于点F，点E在边AB上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB＝b、BA＝a，斜边长为AC＝c，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理
(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；
(2)如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为多少千米．
【答案】(1)见解析
(2)两个村庄相距41千米．
【分析】（1）根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．
（2）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，从而得到DE=AD-AE=24-16=8千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离．
（1）解：∵S梯形ABCD=a（a+b），S△EBC=b（a-b），S四边形AECD=c2，它们满足的关系式为：a（a+b）=b（a-b）+c2，即a2+b2=c2；
（2）解：如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴BC=AE，CE=AB，∴DE=AD-AE=25-16=9千米，∴CD= =41（千米），∴两个村庄相距41千米．
【点睛】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．
24．（2022·广东潮州·八年级期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC=6，BC=8，CD=3．
(1)求AB和DE的长；
(2)求△ADB的面积．
【答案】(1)AB=10，DE=3；
(2)△ADB的面积为15
【分析】（1）根据根据勾股定理得到AB，根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．
（1）解：∵∠C=90°，∴AB==10；∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；
（2）解：由（1）知，AB=10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．
【点睛】本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
25．（2022·福建福州·八年级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ；
(2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系．
【答案】(1)a2+b2= ( a+b) 2-2ab；
(2)．
【分析】（1）分别用两种不同的方法表示阴影部分面积即可得等式．
（2）先直接用c表示中间正方形的面积，再用大正方形的面积减去4个小三角形的面积表示中间正方形的面积，从而可得结论．
（1）解∶如图1，∵ S阴影=a2+b2，S阴影= ( a+b) 2-2ab ．∴a2+b2= ( a+b) 2-2ab，故答案为∶a2+b2= ( a+b) 2-2ab；
（2）解：如图2，∵S中间正方形=c2，S中间正方形=(a+b)2-4×ab，∴，∴．
【点睛】本题考查完全平方公式及勾股定理的几何背景，用两种方法表示同一个图形的面积是求解本题的关键．
26．（2021·江苏镇江·八年级期中）已知，如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，DE为边BC的垂直平分线，与边BC、AB分别交于D、E两点．求AC和AE的长．
【答案】AC＝6，AE＝
【分析】在Rt△ABC中根据勾股定理直接求得AC的长，连接AE，根据垂直平分线的性质得到BE=CE，设AE＝x，则BE＝8-x，在Rt△ACE中根据AE2＋AC2＝CE2列出等式解得即可．
【详解】在Rt△ABC中，
∵AB2＋AC2＝BC2，
∴82＋AC2＝102，
∴AC＝6；
连接CE，设AE＝x，则BE＝8-x，
∵DE为边BC的垂直平分线，
∴CE＝BE＝8-x，
在Rt△ACE中，∠A＝90°
∴AE2＋AC2＝CE2，
x2＋36＝（8－x）2，
解得x＝，
∴AE＝．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
27．（2020·江西景德镇·八年级期中）如图是某隧道入口的截面示意图，其上方是一个半圆，下方是一个长方形，现有一辆满载货物的卡车，宽3米，高4米，请判断这辆卡车能否通过该隧道．
【答案】卡车不能通过．
【分析】卡车能否通过，关键是车高4米与ME的比较，EN为2.8米，只需求MN，在直角三角形OMN中，半径OM为1.8米，车宽的一半为EF=ON=1.5米，运用勾股定理求出MN即可．
【详解】解：如图，
过CD的中点O，作直径CD的垂线交下底边于点F，
如图所示，在Rt△MNO中，由题意知OM=1.8米，EF=ON=1.5米，
所以MN2=1.82-1.52=0.99，则MN≈1米，
因为1+2.8=3.8<4，
所以卡车不能通过．
答：卡车不能通过．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出MN的长是解题关键．
28．（2022·陕西西安·八年级期中）如图，在中，，，于．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质可得结论；
（2）先根据勾股定理求得BC，再根据列出关于DE的方程，解之即可．
（1）
解：∵，
∴，
又∵，，
∴．
（2）
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查角平分线的性质，勾股定理及三角形的面积，解题关键是利用面积法建立方程求线段的长．
29．（2022·湖北孝感·八年级期中）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算、与、，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
(2)根据（1）的规律，用n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；……，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且）的代数式来表示他们的股和弦．
【答案】(1)，；，；股的算式为：；弦的算式为：；
(2)股，弦，猜想他们之间的关系为：①弦-股=1；②勾2+股2=弦2；证明见解析；
(3)；弦为：
【分析】（1）先计算，然后根据计算找出相应规律求解即可；
（2）依据（1）中的计算结果得出勾股弦的代数式，然后猜想关系证明即可；
（3）根据（1）（2）中的方法先计算股、弦，然后找出规律得出表达式即可．
（1）
解：，；
，；
∴7，24，25的股的算式为：；
弦的算式为：；
（2）
当n 为奇数且n≥3时，勾、股、弦的代数式分别为：n，，，
猜想他们之间的关系为：①弦-股=1；②勾2+股2=弦2；
证明：①弦-股=；
②勾2+股2=弦2
；
（3）
4，3，5的股、弦表示为：，；
6，8，10的股、弦表示为：，；
…
∴m为勾，股表示为：；弦为：．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用及新定义的计算方法与规律，理解题意，通过计算发现规律是解题关键．
30．（2022·福建·泉州七中八年级期末）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题．
(1)根据图中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式________；
(2)如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长都为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的全等的小长方形，且．
①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________；
②若阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．
(3)若，请你构造合适的图形，直接写出的最小值是_________．
【答案】(1)
(2)；空白部分面积为（平分厘米）
(3)13
【分析】（1）根据正方形的面积相等可得
（2）①根据长方形面积的两种表达方式即可求解。②由阴影部分面积及大长方形周长可得两方程，联立组成方程组可求解出即可求出空白部分面积。
（3）作线段AB，使构造和以AB，AD为邻边构造矩形ABCD，设可得当点C，E，D三点共线时有最小值，即当是直角三角形时，利用勾股定理即可求出。
（1）
由正方形面积相等可得
（2）
①观察图形可得图形面积为
利用长方形面积公式可得图形的面积为
②∵图中阴影部分的面积为20平方厘米，
∵大长方形纸板的周长为24厘米，
∴空白部分面积为（平分厘米）
（3）
构造图形如下图：
作线段AB，使构造和以AB，AD为邻边构造矩形ABCD
设
当点C，E，D三点共线时有最小值，
即当是直角三角形时
的最小值是13。
故答案为：13。
【点睛】本题主要考查了因式分解及其应用，三角形性质的应用和数形结合的思想，解题关键是通过分割图形面积求解及数形结合。
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