初中数学苏科版八年级上册3.2 勾股定理的逆定理复习练习题

这是一份初中数学苏科版八年级上册3.2 勾股定理的逆定理复习练习题，共40页。试卷主要包含了2 勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理， 勾股数，5D．13等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】
1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程；
2、掌握勾股定理的逆定理，并能判定一个三角形是否为直角三角形；
3、会运用勾股定理的逆定理解决相关实际问题。
【教学重难点】
1、勾股定理的逆定理的证明和运用；
2、勾股定理的逆定理的证明。
【知识亮解】
知识点：勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理与其逆定理的区别与联系：
区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即a2+b2=c2；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。
联系：（1）两者都与三角形三边关系a2+b2=c2有关；（2）两者都与直角三角形有关。
2. 勾股数：满足关系a2+b2=c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数。
常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25；
亮题一：判断直角三角形
【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【例1】★在以线段，，的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是
A．，，B．
C．，，D．，，
【例2】★如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对
【例3】★在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c²，则（ ）
A．∠A为直角 B．∠C为直角 C．∠B为直角 D．不是直角三角形
【例4】★★已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2，
①求证：∠A=90°．
②若DE=3，BD=4，求AE的长．
【例5】★★如图所示，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段,其中能构成直角三角形三边的线段是( )
A.CD，EF，GH B.AB，EF，GH C.AB，CD，GH D.AB，CD，EF
亮题二：勾股数相关问题
【方法点拨】勾股数的求法：
如果a为1个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数；
如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.
【例1】★下列各组数据是勾股数的有 组．（填写数量即可）
（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3），，（4）7，24，25 （5），，
【例2】★下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．6，8，10
【例3】★已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或6
【例4】★★我们把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．
3，4，5；
5，12，13；
7，24，25；
9，40，41；
_______，_______；…
【例5】★★我们把满足方程x2+y2=z2的正整数的解（x、y、z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数．
（1）请你再写出两组勾股数：（ ），（ ）；
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．
亮题三：勾股定理逆定理的应用
【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【例1】★★如图，已知在四边形中，，，，，．
（1）连结，求的长；
（2）求的度数；
（3）求出四边形的面积
【例2】★一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【例3】★★如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于_________．
【例4】★★如图所示，在△ABC中，AC=8cm，BC=6cm；在△ABE中，DE为AB边上的高，DE=12cm，△ABE的面积S=60cm2．
（1）求出AB边的长；
（2）你能求出∠C的度数吗？请试一试．
【亮点训练】
1．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为B．三边长的平方之比为
C．三边长之比为D．三边长之比为
2．一个三角形三边满足，则这个三角形的形状是（ ）．
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
3．工人师傅想利用木条制作一个直角三角形形状的模具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（ ）
A．30、40、50B．8、15、17C．12、35、37D．13、16、18
4．如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（ ）
A．16800元B．7200元C．5100元D．无法确定
5．有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，从中选出三根恰好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是（ ）
A．6B．10C．7.5D．13.5
6．在中，，，上的高长为，则的面积为______．
7．若三角形三边满足，且三角形周长为24cm，则这个三角形最长边上的高为__．
8．如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为______．
9．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则_____．
10．如图，中，，，，为边的中点，则 ______．
11．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，小明以格点为顶点画出了．
(1)小华看了看说，是直角三角形，你同意他的观点吗？说明理由．
(2)在中，求边上高的长．
12．如图，在一块四边形空地种植草皮，测得，，，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资多少钱？
13．在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，BC=20cm ，BD=16cm，CD=12cm，求BC边上的高．
14．已知：如图，，，，，，求四边形的面积．
15．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，D是BC边上一点，AD＝12，CD＝9．
(1)求证：；
(2)若E是边AC的中点，求DE的长．
【培优检测】
1．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．2，3，5C．3，4，5D．2，4，5
2．已知a，b，c是某三角形的三边，满足，则此三角形的面积为（ ）
A．30B．60C．78D．32.5
3．如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，DA=3，且∠ABC=90°，则∠BCD的度数是（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
4．如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（ ）
A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4
5．如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市B在医院O的南偏东25°的方向上，且到医院O的距离为30m，公园A到医院O的距离为40m．若AB之间的距离为50m，则公园A在医院O的（ ）．
A．北偏东75°方向上B．北偏东65°方向上
C．北偏东55°方向上D．北偏西65°方向上
6．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则__________．
7．如图，已知点D为边上的中点，，则线段的长度为____________．
8．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形，其中直角三角形有______个．
9．如图，的两外角平分线交于点D，延长DC至点G，连接BG，使得，若的面积为4，，则线段BD的长度为_________．
10．如图，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，点D是BC的中点，如果将△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，那么CE的长等于________.
11．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．求PQ、PR的长．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？
12．如图，请按下列要求作图：在正方形网格中选择三个格点，使之构成直角三角形； ①三边为有理数②三边为无理数③两边是无理数，一边是有理数．
13．如图，在Rt△ABC中， ，AB=26，AC=24，点D为△ABC外一点，连接BD，CD，测得CD=8，BD=6，求四边形ABDC的面积．
14．如图，已知，在BM，BN上分别截取，P是内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作，且，连接CQ．
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
(2)若，连接PQ，求证：．
15．已知，在长方形ABCD中，，，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF．当时，试说明是直角三角形．
专题3.2 勾股定理的逆定理
【教学目标】
1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程；
2、掌握勾股定理的逆定理，并能判定一个三角形是否为直角三角形；
3、会运用勾股定理的逆定理解决相关实际问题。
【教学重难点】
1、勾股定理的逆定理的证明和运用；
2、勾股定理的逆定理的证明。
【知识亮解】
知识点：勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理与其逆定理的区别与联系：
区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即a2+b2=c2；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。
联系：（1）两者都与三角形三边关系a2+b2=c2有关；（2）两者都与直角三角形有关。
2. 勾股数：满足关系a2+b2=c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数。
常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25；
亮题一：判断直角三角形
【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【例1】★在以线段，，的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是
A．，，B．
C．，，D．，，
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【答案】、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
、设三角形三边为，，，，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：．
【例2】★如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对
【答案】选A
【解析】先算出三边长，看是否符合勾股定理即可。
【例3】★在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c²，则（ ）
A．∠A为直角 B．∠C为直角 C．∠B为直角 D．不是直角三角形
【解析】∵（a+b）（a﹣b）=c2，
∴a2﹣b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，∴∠A为直角．故选A．
【例4】★★已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2，
①求证：∠A=90°．
②若DE=3，BD=4，求AE的长．
（1）证明：连接CE，如图，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE=BE…
∵BE2﹣EA2=AC2，∴CE2﹣EA2=AC2，∴EA2+AC2=CE2，∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°；
（2）∵DE=3，BD=4，∴BE==5=CE，∴AC2=EC2﹣AE2=25﹣EA2，
∵BC=2BD=8，∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：BC2﹣BA2=64﹣（5+EA）2=AC2，
∴64﹣（5+AE）2=25﹣EA2，解得AE=．
【例5】★★如图所示，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段,其中能构成直角三角形三边的线段是( )
A.CD，EF，GH B.AB，EF，GH C.AB，CD，GH D.AB，CD，EF
【答案】B
【分析】先运用勾股定理算出所涉及的各条边长的平方，再运用勾股定理的逆定理判断是否构成直角三角形是解此题的一般方法
【解析】AB2=22+22=8，CD2=42+22=20，EF2=12+22=5，GH2=32+22=13，所以AB2+EF2=GH2，故选B
亮题二：勾股数相关问题
【方法点拨】勾股数的求法：
如果a为1个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数；
如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.
【例1】★下列各组数据是勾股数的有 组．（填写数量即可）
（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3），，（4）7，24，25 （5），，
【分析】根据勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案．
【答案】因为；，6，8，10，7，24，25都是正整数，
勾股数有2组，故答案为2．
【例2】★下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．6，8，10
【解析】A、∵32+42=52，∴以3、4、5为边能组成直角三角形，即3、4、5是勾股数，故本选项错误；
B、∵42+52≠62，∴以4、5、6为边不能组成直角三角形，即4、5、6不是勾股数，故本选项正确；
C、∵52+122=132，∴以5、12、13为边能组成直角三角形，即5、12、13是勾股数，故本选项错误；
D、∵62+82=102，∴以6、8、10为边能组成直角三角形，即6、8、10是勾股数，故本选项错误； 故选B．
【例3】★已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或6
【解析】分两种情况：
当c为斜边时，c==5；
当长4的边为斜边时，c==（根据勾股定理列出算式）．故选C．
【例4】★★我们把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．
3，4，5；
5，12，13；
7，24，25；
9，40，41；
_______，_______；…
【解析】先用计算机验证是勾股数；
通过观察得到：这组勾股数用n表示为：2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，
11是第5组勾股数的第一个小数，所以其它2个数为：2×52+2×5=60，2×52+2×5+1=61，
故答案为：60、61．
【例5】★★我们把满足方程x2+y2=z2的正整数的解（x、y、z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数．
（1）请你再写出两组勾股数：（ ），（ ）；
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．
【解析】（1）写出两组勾股数：（ 6，8，10），（ 9，12，15）．
（2）证明：x2+y2
=（2n）2+（n2-1）2
=4n2+n4-2n2+1
=n4+2n2+1
=（n2+1）2
=z2，
即x，y，z为勾股数．
故答案为：6，8，10；9，12，15．
亮题三：勾股定理逆定理的应用
【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【例1】★★如图，已知在四边形中，，，，，．
（1）连结，求的长；
（2）求的度数；
（3）求出四边形的面积
【分析】（1）连接，利用勾股定理解答即可；
（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；
（3）根据三角形的面积公式解答即可．
【答案】（1）连接，在中，，
，，由勾股定理可得：；
（2）在中，，，，；
（3）由（2）知，，四边形的面积，
【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
【例2】★一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【解析】∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，∴OM2+ON2=MN2，∴∠MON=90°，
∵∠EOM=20°，∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°，故选C．
【例3】★★如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于_________．
【解析】连接AC，在Rt△ACD中，AD=8，CD=6，∴AC===10，
在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=262=AB2，∴△ABC为直角三角形；
∴图形面积为：S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96． 故答案为：96．

【例4】★★如图所示，在△ABC中，AC=8cm，BC=6cm；在△ABE中，DE为AB边上的高，DE=12cm，△ABE的面积S=60cm2．
（1）求出AB边的长；
（2）你能求出∠C的度数吗？请试一试．
、【解析】（1）∵DE=12，S△ABE=DE•AB=60，∴AB=10；
（2）∵AC=8，BC=6，62+82=102，∴AC2+BC2=AB2，由勾股定理逆定理得∠C=90°．
【亮点训练】
1．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为B．三边长的平方之比为
C．三边长之比为D．三边长之比为
【答案】D
【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
【详解】解：A、设三个内角分别为x度，度，度，根据三角形内角和定理可得
，解得：，
所以三个内角分别为：，
所以是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、因为，其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、因为，其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、因为，其不符合勾股定理的逆定理，所以不是直角三角形，，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，属于中考常考题型．
2．一个三角形三边满足，则这个三角形的形状是（ ）．
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】利用完全平方公式整理原等式，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断．
【详解】解：整理得：，
即，
∴这个三角形的形状是直角三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，涉及完全平方公式、等式的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键．
3．工人师傅想利用木条制作一个直角三角形形状的模具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（ ）
A．30、40、50B．8、15、17C．12、35、37D．13、16、18
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】A．∵，
∴能构成直角三角形，故本选项错误；
B．∵，
∴能构成直角三角形，故本选项错误；
C．∵，
∴能构成直角三角形，故本选项错误；
D．∵，
∴不能构成直角三角形，故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角．
4．如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（ ）
A．16800元B．7200元C．5100元D．无法确定
【答案】B
【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，再利用直角三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m，
∴，
∴AC=5m，
∴，
又∵，
∴，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=（），
∴要投入资金为：（元）；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出△ACD是直角三角形是解题关键．
5．有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，从中选出三根恰好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是（ ）
A．6B．10C．7.5D．13.5
【答案】A
【分析】根据三角形的三边关系，得到3cm，4cm，5cm三根小棒可以组成三角形，再根据勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形，即可求得答案；
【详解】解：∵9=4+5
∴9cm的小棒不能组成三角形
∵
∴此三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm和4cm
∴
故选A
【点睛】本题考查了三角形的性质，涉及了勾股定理的逆定理，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
6．在中，，，上的高长为，则的面积为______．
【答案】或
【分析】分情况讨论，①当是锐角三角形时，在中，根据勾股定理可得的长，在中，根据勾股定理可得的长，可求出的长，即可得的面积，②当是钝角三角形时，在中，根据勾股定理可得的长，在中，根据勾股定理可得的长，可得的长，即可得的面积．
【详解】解：①当是锐角三角形时，如图所示，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
∴的面积为：，
②当是钝角三角形时，如图所示，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
∴的面积为：，
综上，的面积为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，解题的关键是掌握勾股定理，分情况讨论．
7．若三角形三边满足，且三角形周长为24cm，则这个三角形最长边上的高为__．
【答案】cm
【分析】首先根据三边比设三边长分别为cm，cm，cm，再根据周长计算出边长，然后利用勾股定理可证明三角形是直角三角形，再利用三角形的面积公式计算出最长边上的高．
【详解】解：∵ ，
∴设三边长分别为：cm，cm，cm，
∵周长为24cm，
∴，
解得： ，
∴三边长分别为：cm，cm，cm，
∵，
∴三角形是直角三角形，
设最长边上的高是hcm，
则h
解得：h．
故答案为：cm．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是利用方程思想正确计算出三边长．
8．如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】##
【分析】根据勾股定理和，，，可以先求出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积．
【详解】解：，，，
，
，，
，
是直角三角形，，
阴影，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是求出的长．
9．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则_____．
【答案】##度
【分析】利用勾股定理的逆定理先证明 再证明，进而得出答案．
【详解】解：如图所示： 连接
由勾股定理可得：
∴
∴
∴ 而
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，证明是解本题的关键.
10．如图，中，，，，为边的中点，则 ______．
【答案】
【分析】由“”可证≌，可得，，可得，由勾股定理的逆定理可求为直角三角形，即可求解．
【详解】解：延长到使，连接，如图所示：
在和中，
，
≌，
，，
，
在中，，
为直角三角形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，小明以格点为顶点画出了．
(1)小华看了看说，是直角三角形，你同意他的观点吗？说明理由．
(2)在中，求边上高的长．
【答案】(1)我同意他的观点，理由见解析
(2)
【分析】（1）由网格确定三边长度，然后利用勾股定理逆定理即可证明；
（2）利用三角形等面积法求解即可．
（1）
解：我同意他的观点，
理由：由图可得，
，
，
，
∴，
∴是直角三角形．
（2）
解：由（1）知：是直角三角形，
，，
∵，
的面积为：，
设边上高为h，
，
解得：
∴边上高为．
【点睛】本题主要考查勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理运用三角形等面积法求解是解题关键．
12．如图，在一块四边形空地种植草皮，测得，，，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资多少钱？
【答案】7200元
【分析】如图所示，连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，再由求出四边形ABCD的面积即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接AC，
∵，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴△ACD为直角三角形，
∴平方米，
∴需要投资元，
答：需要投资7200元．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，证明△ACD为直角三角形是解题的关键．
13．在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，BC=20cm ，BD=16cm，CD=12cm，求BC边上的高．
【答案】cm
【分析】根据勾股定理的逆定理得，则，设AD=xcm，则cm，在中，由勾股定理得，计算得，，则，即可得cm，过点A作交BC于点E，则cm，在，根据勾股定理得即可得．
【详解】解：∵cm，CD=12cm，BD=16cm，
∴，
∴，
∴，
设AD=xcm，则cm，
在中，由勾股定理得，
，
解得，，
即，
∴（cm），
如图所示，过点A作交BC于点E，
∵，cm，
∴cm，
在，由勾股定理得，
（cm）．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握这些知识点适当添加辅助线．
14．已知：如图，，，，，，求四边形的面积．
【答案】36
【分析】利用勾股定理求出BC，再利用勾股定理的逆定理证出△BCD是直角三角形，得到四边形的面积就等于两个直角三角形的面积之和.
【详解】∵∠A=90°，AB=4，AC=3，
∴．
∵BC=5，BD=12，CD=13，
∴，
∴△BCD是直角三角形，且斜边为CD，
∴．
即四边形ABCD的面积为36．
【点睛】此题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判定△BCD是直角三角形是解决此题的关键.
15．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，D是BC边上一点，AD＝12，CD＝9．
(1)求证：；
(2)若E是边AC的中点，求DE的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，即可证明；
（2）根据勾股定理，求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出．
（1）
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是直角三角形
∴．
（2）
由（1）得是直角三角形
∴是直角三角形
∵，
∴
∴
又∵是的中点
∴．
【点睛】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【培优检测】
1．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．2，3，5C．3，4，5D．2，4，5
【答案】C
【分析】根据勾股定理，可判断是否为直角三角形
【详解】A项 ，故不符合题意；
B项2+3=5，不能构成三角形，故不符合题意；
C项，3，4，5为常见的勾股数，能组成直角三角形，符合题意；
D项 ，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，熟记常见的勾股数能快速选出答案．
2．已知a，b，c是某三角形的三边，满足，则此三角形的面积为（ ）
A．30B．60C．78D．32.5
【答案】A
【分析】先根据绝对值的非负性可得，再根据勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，且为直角边，然后利用直角三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：，
，，，
解得：，
，
这个三角形是直角三角形，且为直角边，
这个三角形的面积为，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
3．如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，DA=3，且∠ABC=90°，则∠BCD的度数是（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
【答案】C
【分析】连接AC，由于，利用勾股定理可求AC，并可求，而，易得，可证是直角三角形，于是有，从而易求∠BCD．
【详解】解：如图所示，连接AC，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是连接AC，并证明是直角三角形．
4．如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（ ）
A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4
【答案】B
【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，围成的三角形是直角三角形，再根据三角形的面积，分别计算出几个较大的正方形纸片围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．
【详解】解：∵五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，
∴五种正方形纸片的边长分别是1，，，，，
由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，1＋4＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，2＋3＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，2＋2＝4，围成的三角形是直角三角形，面积是，
∵＞1，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
5．如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市B在医院O的南偏东25°的方向上，且到医院O的距离为30m，公园A到医院O的距离为40m．若AB之间的距离为50m，则公园A在医院O的（ ）．
A．北偏东75°方向上B．北偏东65°方向上
C．北偏东55°方向上D．北偏西65°方向上
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理判定公园、医院、超市构成直角三角形，得到公园与水平线夹角为25°，从而描述即可．
【详解】解：如图，∵，
∴△ABC是直角三角形，
∵超市B在医院O的南偏东25°的方向上
∴∠ECB=25°，
∴∠ACF=25°，∠DCA=65°，
∴公园在医院的北偏东65°的方向上，
故选B．
【点睛】本题主要考查了方位角、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握方位角的意义、勾股定理的逆定理是解题的关键．
6．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则__________．
【答案】##45度
【分析】连接，，设与交于点，根据勾股定理的逆定理先证明是等腰直角三角形，从而可得，再根据题意可得，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答．
【详解】解：如图：连接，，设与交于点，
由题意得：
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、平行线的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．
7．如图，已知点D为边上的中点，，则线段的长度为____________．
【答案】5
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出∠ADB=∠ADC=90°，再根据勾股定理求出AC即可．
【详解】解：在△ADB中，AB=5，AD=3，BD=4，
∴AD2+BD2=25=AB2，
∴△ADB是直角三角形，且∠ADB=90°=∠ADC，
∵点D为BC边上的中点，
∴CD=BD=4，
∴在Rt△ADC中，，
故答案为：5．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、线段中点有关计算，利用勾股定理的逆定理证得∠ADC=90°是解答的关键．
8．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形，其中直角三角形有______个．
【答案】3
【分析】根据题意画出图形，再找到其中的直角三角形即可得到结论．
【详解】解：如图，
一共可以画9个三角形，
∵BE⊥AC，
∴∠ABE=∠CBE=90°，
∴△ABE，△BCE是直角三角形，
∵DE=CD=，CE=
∴DE2+CD2=CE2，
∴△CDE是直角三角形，共可以画3个直角三角形．
故答案为：3．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
9．如图，的两外角平分线交于点D，延长DC至点G，连接BG，使得，若的面积为4，，则线段BD的长度为_________．
【答案】
【分析】先判定三角形GBD是直角三角形，在计算三角形BCG的面积，得到三角形BDG的面积，根据面积公式计算BD即可．
【详解】∵的两外角平分线交于点D，
∴∠D=180°-
=180°-
=
=，
∵，
∴∠D=，
∴∠DBG=90°．
∵，的面积为4，
∴的面积为，
∴的面积为，
∵，
∴，
∴BD=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的应用，直角三角形的判定，面积的计算，熟练掌握角的平分线的意义，灵活判定直角三角形的形状是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，点D是BC的中点，如果将△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，那么CE的长等于________.
【答案】
【分析】连接CE，延长AD交CE于点F，根据勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，所以可求得△ABC的面积；因点D是BC的中点，所以，，然后可求得AD边上的高CF；根据翻折得到的轴对称图形的性质可知AF垂直平分CE，所以CE=2CF，即得到CE的长．
【详解】将△ACD沿AD翻折后，得到图形如图所示，
连接CE，延长AD交CE于点F，
0
在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，
∵，即,
∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，
∴，
∵点D是BC的中点，
∴AD=BD=CD=BC=5，
∴，
∵△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，
∴AF垂直平分CE，即AF⊥EC，CE=2CF，
∴CF为△ACD的AD边上的高，
，解得CF=，
∴CE=2CF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、轴对称的性质等知识，能够根据勾股定理逆定理判定出直角三角形并根据轴对称的性质进行推导是解题关键．
11．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．求PQ、PR的长．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？
【答案】PQ=24海里，PR=18海里，“海天”号沿西北方向航行．
【分析】利用速度乘以事件分别求出，PQ，PR，以及QR，根据勾股定理求出∠QPR=90°，由∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．
【详解】根据题意，得
PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．
∵，
即，
∴∠QPR=90°．
由“远洋号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
12．如图，请按下列要求作图：在正方形网格中选择三个格点，使之构成直角三角形； ①三边为有理数②三边为无理数③两边是无理数，一边是有理数．
【答案】见解析
【分析】根据直角三角形的定义，以及题目要求画出图形即可，答案不唯一．
【详解】如图所示，
图①三边为有理数，分别为3、4、，
且；
图②三边为无理数，分别为 、、；
且；
图③两边是无理数，一边是有理数，分别为、、，
且．
【点睛】本题主要考查直角三角形的格点画法需满足的条件；直角三角形的三边应符合两直角边的平方和等于斜边的平方．
13．如图，在Rt△ABC中， ，AB=26，AC=24，点D为△ABC外一点，连接BD，CD，测得CD=8，BD=6，求四边形ABDC的面积．
【答案】144
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=10，根据勾股定理的逆定理，可证得△BCD是直角三角形，根据，代入数值计算即可求得．
【详解】解：在Rt△ABC中， ，
由勾股定理得：，
∵CD=8，BD=6，
∴，
∵，
∴，
∴△BCD是直角三角形， ，
∴

=144．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，判断出是解题的关键．
14．如图，已知，在BM，BN上分别截取，P是内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作，且，连接CQ．
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
(2)若，连接PQ，求证：．
【答案】(1) 证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；
（2）根据PA=CQ，PB=BQ，再利用勾股定理的逆定理即可判定△PQC为直角三角形．
（1）
解：AP=CQ；理由如下：
∵∠MBN=，∠PBQ=，
∴∠ABP+∠CBP=，∠CBQ+∠CBP=，
∴∠CBQ=∠ABP，
在△ABP和△CBQ中，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ，
（2）
证明：连接PQ，如图所示：
∵
设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
∴
在△PBQ中，∵PB=BQ=4a，且∠PBQ=，
∴△PBQ为等边三角形，
∴PQ=4a,
在△PQC中，∵，
∴△PQC为直角三角形，即∠PQC=．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理逆定理的运用，等边三角形的判定与性质，本题中求证△ABP≌△CBQ是解题的关键．
15．已知，在长方形ABCD中，，，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，EF．当时，试说明是直角三角形．
【答案】证明见解析
【分析】在Rt△ADE中，在Rt△DCF中，在Rt△BEF中，得出即可得出结论；
【详解】证明；∵CF=2BE=2，
∴BE=1，
∴AE=AB-BE=7．
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=8，AD=BC=6，
在Rt△ADE中，
在Rt△DCF中，
在Rt△BEF中，
∴
∴△DEF是直角三角形，且∠DFE=90°.
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；证明三角形全等是解题的关键．