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苏科版八年级上册第六章 一次函数6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式当堂检测题
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这是一份苏科版八年级上册第六章 一次函数6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式当堂检测题，共65页。
掌握一次函数与一元一次不等式之间的关系；
学会画出一次函数的图象，并能准确找出范围。
【教学重难点】
掌握一次函数与一元一次不等式之间的关系；
学会画出一次函数的图象，并能准确找出范围。
【知识亮解】
知识点一：一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
亮题一：一次函数与一元一次方程
1．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（ ）
A．B．C．D．
2．若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．已知一次函数，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限
C．关于x的方程的解是
D．该函数的图象与y轴的交点是
4．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，其中正确的是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①④
5．已知点Р在直线l：y＝kx﹣3k（k≠0）上，点Q的坐标为(0，4)，则点Q到直线l的最大距离是_______．
6．如图，点P是直线y＝﹣x＋2上一动点，当线段OP最短时，OP的长为__．
7．已知一次函数图像与正比例函数图像交于点（2，3）（是常数），则关于的方程的解是_____________．
8．有这样一个问题：探究函数的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数的图像性质进行了探究，下面是小东的探究过程：
（1）化简函数解析式，当时，________，当时，________；
（2）根据（1）中的结果，画出函数的图象如图，结合画出的函数图象，解决问题：若关于的方程只有一个实数根，直接写出实数的取值范围：________．
9．直线y＝kx+b与直线y＝5﹣4x平行，且与直线y＝﹣3（x﹣6）相交，交点在y轴上，求直线y＝kx+b对应的函数解析式．
10．如图所示，直线l1：y＝﹣x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1向上平移6个单位得到直线l2与y轴交于点C，已知直线l3：y＝x＋c经过点C且与直线l1交于点D，连接AC．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标；
（2）求直线l3的解析式；
（3）求△ACD的面积．
亮题二：一次函数与一元一次不等式
1．如图，函数y＝2x和y＝ax+6的图象相交于A（m，4），则不等式2x＜ax+6的解集为（ ）
A．x＞2B．x＞4C．x＜2D．x＜4
2．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＞ax+4的解集为（ ）
A．x＜B．x＜3C．x＞D．x＞3
3．一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④，其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
4．一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图像如图所示，下列结论中正确的有（ ）
①对于函数y=ax+b来说，y随x的增大而减小
②函数y=ax+d的图像不经过第一象限
③
④
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 _____．
7．如图所示，因数与的图像交于点，下列说法正确的有________．（将正确的序号填在横线上）
①n和b都是正数；②m和k都是正数；③关于x的方程的解是：；④关于x的不等式的解集是．
8．把a，b，c三个数中最大那个数记为，如：、、．在平面直角坐标系xOy中，若直线与函数的图像有且只有2个交点，则k的取值范围是______．
9．如图，一次函数和的图象相交于点A(2，−1)．
(1)求k，b的值；
(2)根据图象，若，写出x取值；若，写出x取值．
10． 在平面直角坐标系xOy中，直线经过A(0，2)， B(1，0)两点，直线的解析式是=kx-k (k≠0)．
(1)求直线的解析式；
(2)试说明直线必经过定点，并求出该定点的坐标；
(3)当k>0时，直接写出时的取值范围．
亮题三：一次函数的平移
【例1】★若把函数y=2x-3图象向上平移3个单位长度，得到图象对应的函数解析式为( )
A. y=2x B. y=2x-6 C. y=4x-3 D. y=-x-3
【例2】★把直线 向上平移后得到直线 ，若直线 经过点 ，且 ，则直线 的表达式为________.
【例3】★将直线 向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为________.
【例4】★直线y=3x向下平移3个单位长度得到的直线是________
【例5】★已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x= 时，求y的值；
（3）将所得函数图象平移，使它过点(2，-1)，求平移后直线的解析式。
【例6】★将函数 的图象向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为________.
【例7】★.将直线y=-2x向下平移一个单位，则平移后的直线表达式为( )
A. y=-2x+1 B. y=-2x-1 C. y=-2x+2 D. y=-2x-2
【例8】★.将直线y=3x先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到直线________.
【亮点训练】
1．如图，一次函数，的图象经过、两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
2．一次函数中的自变量x与函数y的部分对应值如下表所示，则关于x的方程的解满足（ ）
A．B．C．D．
3．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
4．下列关于一次函数的说法，错误的是（ ）
A．函数的图像与y轴的交点是（0，1）
B．当x值增大时，y随x的增大而减小
C．当时，
D．图像经过第一、二、三象限
5．如图，直线与x轴交于点，与直线交于点B，则关于x的不等式组的解集为（ ）
A．B．C．或D．
二、填空题
6．如图，直线AB是一次函数的图象，若关于x的方程的解是，则直线AB的函数关系式为_________．
7．已知一次函数和相交于点，则不等式中的取值范围为_________．
8．如图所示，一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y＝﹣ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第四象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④4（a﹣c）＝d﹣b．其中正确的是 _______．
9．已知函数和函数的图像交于和两点，当时，求的取值范围为______________________
10．已知一次函数的图象不过第二象限．
（1）k的取值范围为______．
（2）对于一次函数，若对任意实数x，，都成立，求k的取值范围为______．
三、解答题
11．如图，直线：y＝2x－2与x轴交于点D，直线：y＝kx＋b与x轴交于点A，且经过点，直线，交于点．
(1)求m的值；
(2)求直线的解析式；
(3)根据图象，直接写出1＜kx＋b＜2x－2的解集
\
12．如图，直线过点，点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点.
(1)求直线的解析式以及直线和直线的交点的坐标；
(2)求的面积；
(3)直接写出当时的的取值范围.
13．已知与x成正比例，且时，．
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；
(2)画出函数的图象并观察图象，当 x 取何值时，y ≥0？
(3)若点（m，6）在该函数的图象上，求 m 的值．
14．一次函数的图像与轴交于点，且经过点．
(1)当时，求一次函数的解析式及点的坐标；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
15．如图，一次函数y=kx+4k(k≠0)的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点C(2，m)，
(1)当m=2时，求一次函数的解析式及点A的坐标；
(2)当x>-1时，对于x的每一个值，函数y=x的值大于一次函数y=kx+4k(k≠0)的值，求k的取值范围．
【培优检测】
1．观察图中的函数图象，可以得到关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第一象限；③不等式的解集是；④．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．②③
3．已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与轴交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线与直线交于点，点的横坐标为，且直线过点，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第三象限；③；④不等式组的解集是其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
5．如图，一次函数与一次函数的图象交于P（1，3），则下列说法正确的个数是（ ）个
（1）方程的解是
（2）方程组的解是
（3）不等式的解集是
（4）不等式的解集是．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
6．如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是___________.
7．如图，一次函数与一次函数的图像交于点P（1，3），则关于x的方程的解是_____．
8．对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数：当时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为，已知点，点坐标，函数相关函数与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______．
9．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果点M（x，y）满足，那么称点M是点A，B的“双减点”．
（1）点A（﹣1，3），B（a，b）的“双减点”C的坐标是（4，﹣2），则B点坐标是 _____；
（2）若点D（3，﹣4），点E（4m，﹣2m﹣5）的“双减点”是点F，当点F在直线y＝x+1下方时，m的取值范围是 _____．
10．把、、三个数中最大那个数记为，如，，，在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像有且只有2个交点，则的取值范围是______．
三、解答题
11．已知直线经过点，，并与 y 轴交于点 D ,与直线．相交于点C点．
(1)不等式的解集是______；
(2)求直线 AB 的函数表达式；
(3)直线与 y 轴交于点 E ，在直线 AB 上是否存在点 P ，使得，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
12．如图，已知直线经过点，与轴交于点，与直线交于点．
(1)求直线的函数表达式及的值；
(2)根据函数图象，直接写出关于的不等式组的解集： ；
(3)现有一点在直线上，过点作轴交直线于点，若点到线段的距离为1，求点的坐标和点的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与一次函数的图象交于点B．
(1)求点B的坐标；
(2)结合图象，当时，请直接写出x的取值范围；
(3)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E．当时，求的长．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，且与直线相交于点C（3，2）．
(1)求a和k的值；
(2)求直线与与x轴围成的三角形面积；
(3)直接写出kx＞ax+4≥0的解集．
15．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图像与性质的方法，对新函数及其图像进行如下探究．
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：
其中 ， ．
(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并结合图像写出该函数的一条性质： ．
(3)当时，的取值范围为___________．
…
0
1
2
…
…
6
3
1
…
x
…
0
…
y
…
1
…
…
…
…
…
专题6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
【教学目标】
掌握一次函数与一元一次不等式之间的关系；
学会画出一次函数的图象，并能准确找出范围。
3、掌握一次函数与一元一次方程的练联系
【教学重难点】
1、掌握一次函数与一元一次不等式之间的关系；
2、学会画出一次函数的图象，并能准确找出范围。
3、掌握一次函数与一元一次方程的练联系
【知识亮解】
知识点一：一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
亮题一：一次函数与一元一次方程
1．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据方程可知当x=2，y=0，从而可判断直线y=-2x+b经过点（2，0）．
【详解】解：由方程的解可知：当x=2时，-2x+b=0，即当x=2，y=0，
∴直线y=-2x+b的图象一定经过点（2，0），
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．
2．若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标．
【详解】解：∵方程的解为x=2，
∴当x=2时mx+n=0；
∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），
∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），
∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，
∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
3．已知一次函数，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限
C．关于x的方程的解是
D．该函数的图象与y轴的交点是
【答案】C
【分析】先把两个点的坐标代入y=kx+b，求出k、b的值，得出函数解析式是y=-2x+3，再逐个判断即可．
【详解】解：由表可知：函数图象过点（0，3），（1，1），
把点的坐标代入y=kx+b得：，
解得：k=-2，b=3，
即函数的解析式是y=-2x+3，
A．∵k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
B．∵k=-2，b=3，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
C．当y=1时，-2x+3=1，
解得：x=1，
即方程kx+b=1的解是x=1，故本选项符合题意；
D．∵b=3，
∴函数的图象与y轴的交点坐标是（0，3），故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，解一元一次方程等知识点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
4．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，其中正确的是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①④
【答案】D
【分析】利用一次函数的性质对进行判断；利用一次函数的交点问题对进行判断；结合函数图象对进行判断．
【详解】解：∵直线经过第一、三象限，
∴，
∵直线与轴的交点在轴下方，
∴，
∴，故正确；
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为，
∴关于的方程的解是，故错误；
当时，，故错误；
当时，函数，
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为，
∴关于的方程的解是，
∴，
∴，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
5．已知点Р在直线l：y＝kx﹣3k（k≠0）上，点Q的坐标为(0，4)，则点Q到直线l的最大距离是_______．
【答案】5
【分析】由题意得直线l一定过点（3，0），在过（3，0）的直线中，当点Q和（3，0）的连线垂直于直线l时，点P到直线l的距离最大，根据勾股定理求解即可．
【详解】∵直线l：y＝kx﹣3k=k（x-3）
∴当x=3时，y=0，故点（3，0）再直线l上
令点P（3，0）
连接PQ，当PQ垂直与直线l垂足为点P时，点Q到直线l的距离最大
PQ=
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了一次函数图像和点到直线的距离，过一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度是点到直线的距离；明确当PQ⊥直线l时，点Q到直线的距离最大是解题的关键．
6．如图，点P是直线y＝﹣x＋2上一动点，当线段OP最短时，OP的长为__．
【答案】
【分析】根据直线解析式求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求出AB的长度，根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，利用三角形的面积列式即可求解．
【详解】解：当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝4，
∴点A、B的坐标是A（0，2），B（4，0），
∴AB＝＝＝2，
根据垂线段最短的性质，OP⊥AB时，OP最短，
此时，S△AOB＝×OA×OB＝×AB×OP，
即×2×4＝××OP，
解得OP＝．
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了一次函数的问题，主要利用勾股定理，垂线段最短的性质，根据直线解析式求出点A、B的坐标是解题的关键．
7．已知一次函数图像与正比例函数图像交于点（2，3）（是常数），则关于的方程的解是_____________．
【答案】
【分析】由题意可知当x＝2时，一次函数y＝3x+b与正比例函数y＝kx的函数值相同，从而可得到方程的解．
【详解】解：∵一次函数y＝3x+b图像与正比例函数y＝kx图像交于点（2，3），
∴当x＝2时，3x+b＝kx，即3x＝kx﹣b，
∴方程3x＝kx﹣b的解是x＝2，
故答案为：x＝2．
【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的交点坐标就是它们的解析式组成的方程组的解．
8．有这样一个问题：探究函数的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数的图像性质进行了探究，下面是小东的探究过程：
（1）化简函数解析式，当时，________，当时，________；
（2）根据（1）中的结果，画出函数的图象如图，结合画出的函数图象，解决问题：若关于的方程只有一个实数根，直接写出实数的取值范围：________．
【答案】 3 a＜0或a≥1或a=
【分析】（1）根据题意，化简函数解析式即可；
（2）根据化简的解析式画出图象，然后根据图象即可求得．
【详解】解：（1）当x≥3时，=x；
当x＜3时，=3；
故答案为x，3；
（2）根据（1）中的结果，画出函数的图象如下：
根据画出的函数图象，当a＜0时，直线y=ax+1与函数只有一个交点；
当a≥1时，直线y=ax+1与函数y=3（x＜3）的图象有一个交点，与函数y=x（x≥3）无交点；当a=时，直线y=x+1经过点（3，3）．
故若关于x的方程只有一个实数根，实数a的取值范围：a＜0或a≥1或a=，
故答案为a＜0或a≥1或a=．
【点睛】本题考查了化简绝对值，描点法画函数图象，一次函数的图象和性质，利用函数图象解方程，关键是能根据解析式画出图象．
9．直线y＝kx+b与直线y＝5﹣4x平行，且与直线y＝﹣3（x﹣6）相交，交点在y轴上，求直线y＝kx+b对应的函数解析式．
【答案】．
【分析】先根据一次函数的性质可得，再求出直线与的交点坐标，然后代入一次函数即可得．
【详解】解：∵直线与直线平行，
∴，
对于函数，
当时，，
将点代入得：，解得，
则直线对应的函数解析式为．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
10．如图所示，直线l1：y＝﹣x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1向上平移6个单位得到直线l2与y轴交于点C，已知直线l3：y＝x＋c经过点C且与直线l1交于点D，连接AC．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标；
（2）求直线l3的解析式；
（3）求△ACD的面积．
【答案】（1）A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，2）；（2）y＝x＋2；（3）
【分析】（1）根据的解析式，令y＝0，x＝0，即可求得,的坐标，根据将直线l1向上平移6个单位长度，得直线l2，令x＝0，即可求得的坐标；
（2）根据的坐标代入直线l3：y＝x＋c即可直线l3的解析式；
（3）联立和 l3的解析式即可求得点的坐标，进而根据S△ACD＝S△ABC﹣S△BCD即可求得△ACD的面积．
【详解】解：（1）在y＝﹣x﹣4中，令y＝0，则0＝﹣x﹣4，
解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
令x＝0，则y＝﹣4，
∴B（0，﹣4），
将直线l1向上平移6个单位长度，得直线l2：y＝﹣x＋2，
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2）；
（2）∵点C在直线l3：y＝x＋c上，
∴c＝2，
∴直线l3的解析式为y＝x＋2；
（3）解得，
∴D（﹣，﹣2），
∵BC＝OB＋OC＝6，
∴S△ACD＝S△ABC﹣S△BCD＝﹣＝．
【点睛】本题考查了直线与坐标轴的交点问题，一次函数平移问题，直线围成的三角形面积问题，利用二元一次方程组求两直线交点问题，掌握一次函数的性质与相关计算是解题的关键．
亮题二：一次函数与一元一次不等式
1．如图，函数y＝2x和y＝ax+6的图象相交于A（m，4），则不等式2x＜ax+6的解集为（ ）
A．x＞2B．x＞4C．x＜2D．x＜4
【答案】C
【分析】首先求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式2x＜ax＋6的解集即可．
【详解】解：∵函数y＝2x过点A（m，4），
∴2m＝4，
解得：m＝2，
∴A（2，4），
由函数图象得：不等式2x＜ax＋6的解集为x＜2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
2．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＞ax+4的解集为（ ）
A．x＜B．x＜3C．x＞D．x＞3
【答案】C
【分析】先根据函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＞ax+4的解集．
【详解】解：把A（m，3）代入y＝2x，
得：2m＝3，解得：m＝；
根据图象可得：不等式2x＞ax+4的解集是：x＞；
故选：C．
【点睛】本题考查用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解题的关键．
3．一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④，其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
【答案】B
【分析】根据题意和函数图像中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：由图像可知，对于函数来说，y随x的增大而增大，故①正确；
根据题意可知：a＞0，d＞0，则函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由可得，故不等式的解集是，故③不正确；
可以得到，故④正确；
故正确的有①④；
故选B．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系、一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质、运用数形结合的思想是解决问题的关键．
4．一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图像如图所示，下列结论中正确的有（ ）
①对于函数y=ax+b来说，y随x的增大而减小
②函数y=ax+d的图像不经过第一象限
③
④
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】①根据函数图像直接得到结论；②根据a、d的符号即可判断；③当x=3时，y1=y2；④当x=1和x=-1时，根据图像得不等式．
【详解】解：由图像可得：对于函数y1=ax+b来说，y随x的增大而减小，故①正确；
由于a＜0，d＜0，所以函数y=ax+d的图像经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确；
∵一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图像的交点的横坐标为3，
∴3a+b=3c+d，
∴3a-3c=d-b，
∴a-c=（d-b），故③正确；
当x=1时，y1=a+b，
当x=-1时，y2=-c+d，
由图像可知y1＞y2，
∴a+b＞-c+d，
∴d＜a+b+c，故④正确；
综上，①②③④都正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图像与性质，利用数形结合是解题的关键．
5．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 _____．
【答案】
【分析】根据直线交点的横坐标，结合图象即可求解．
【详解】解：根据图象得时，，所以不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据两直线交点求不等式的解集，数形结合和是解题的关键．
6．直线：y=x+1与直线：y=-2x+n相交于点P（1，2），则关于x的不等式x+1≥-2x+n的解集为_____．
【答案】x≥1
【分析】根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案．
【详解】解：∵直线：y=x+1与直线：y=-2x+n交于点P（1，2），
画出图如图所示：
∴不等式x+1≥-2x+b的解集是x≥1．
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
7．如图所示，因数与的图像交于点，下列说法正确的有________．（将正确的序号填在横线上）
①n和b都是正数；②m和k都是正数；③关于x的方程的解是：；④关于x的不等式的解集是．
【答案】①③##③①
【分析】结合函数图像，根据一次函数图像和性质，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系进行求解即可．
【详解】由函数图像可得，函数与的图像都交y轴正半轴，n和b都是正数，故①正确；
由函数图像可得，函数的图像，y随x增大而减小，所以k是负数，故②错误；
函数与的图像交于点，所以，关于x的方程的解是：，故③正确；
关于x的不等式的解集是，故④错误．
故答案是：①③．
【点睛】本题考查了一次函数图像和性质，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，能正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．
8．把a，b，c三个数中最大那个数记为，如：、、．在平面直角坐标系xOy中，若直线与函数的图像有且只有2个交点，则k的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据题意得到当x>2，；当x<-1，；当，；再结合数形结合思想即可解答．
【详解】在中，
令：，
令：，
由函数得增减性以及增减程度，得：
当x>2，，
当x<-1，，
当，，
画出y关于x的图像：
由，知
该直线经过点，
当直线经过时，，
当直线与直线平行时，，
时，符合题意；
当直线经过时，，
当直线与直线平行时，，
时，符合题意．
综上：或时，符合题意．
故答案为：或．
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，能根据定义画出图像，利用数形结合是关键．
9．如图，一次函数和的图象相交于点A(2，−1)．
(1)求k，b的值；
(2)根据图象，若，写出x取值；若，写出x取值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）把点A(2，−1)分别代入和，即可求解；
（2）观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象上方，或者两图象交于点A，可得若，；再求出，观察图象得：当时，函数的图象位于x轴的上方，即可求解．
【详解】（1）解：把点A(2，−1)分别代入和得：
，，
解得：；
（2）解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象上方，或者两图象交于点A，
∴若，；
由（1）得：，
当时，，
∴函数的图象与x轴交于点（4，0），
观察图象得：当时，函数的图象位于x轴的上方，
∴若，．
【点睛】本题考查的是求一次函数解析式，一次函数与不等式的关系，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键．
10． 在平面直角坐标系xOy中，直线经过A(0，2)， B(1，0)两点，直线的解析式是=kx-k (k≠0)．
(1)求直线的解析式；
(2)试说明直线必经过定点，并求出该定点的坐标；
(3)当k>0时，直接写出时的取值范围．
【答案】(1)直线的解析式为=-2x+2；
(2)直线必经过一定点，该定点的坐标为（1，0）；
(3)x>1
【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式；
（2）由于=（x-1）k，有理数的乘法可得到x-1=0，y=0，于是可判断直线必经过一定点，且该定点的坐标为（1，0）；
（3）由（1）、（2）知，直线与直线都经过点B(1，0)，画出草图，根据图象即可求解．
（1）
解：设直线的解析式为=px+q，
把A（0，2），B（1，0）代入得，解得，
∴直线的解析式为=-2x+2；
（2）
解：∵直线的解析式是=kx-k（k≠0），
∴=（x-1）k，
∵k≠0的任意数，
∴x-1=0，y=0，解得x=1，y=0，
∴直线必经过一定点，该定点的坐标为（1，0）；
（3）
解：由（1）（2）知，直线与直线都经过点B(1，0)，
又∵k>0，
如图：
观察图象，当x>1时，直线在直线的下方，
即时的取值范围是x>1．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是求解本题的关键．
亮题三：一次函数的平移
【例1】★若把函数y=2x-3图象向上平移3个单位长度，得到图象对应的函数解析式为( )
A. y=2x B. y=2x-6 C. y=4x-3 D. y=-x-3
【答案】 A
【考点】平移的性质，一次函数的性质
【解析】【解答】解：将y=2x-3向上平移3个单位长度
∴y=2x-3+3=2x
故答案为：A.
【分析】根据一次函数平移的性质，上加下减即可得到答案。
【例2】★把直线 向上平移后得到直线 ，若直线 经过点 ，且 ，则直线 的表达式为________.
【答案】 y=-2x+8
【考点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：y=-2x向上平移a个单位，得到直线y=-2x+a
直线经过点（m，n），代入直线得；
n=-2m+a
a=2m+n
又∵2m+n=8
故a=8；
即y=-2x+8
【分析】根据一次函数平移的性质，得出y=-2x+a，经过点（m，n），代入可以得出a=2m+n=8，进而求出函数解析式。
【例3】★将直线 向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为________.
【答案】 y=2x-2
【考点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：直线y=2x-5向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为y=2x-5+3，即y=2x-2.
故答案为：y=2x-2.
【分析】根据直线平移的规律：上加下减，得到平移后的直线的解析式为y=2x-5+3，即可求解.
【例4】★直线y=3x向下平移3个单位长度得到的直线是________
【答案】 y=3x-3
【考点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：直线y=3x向下平移3个单位长度得到的直线为y=3x-3.
故答案为：y=3x-3.
【分析】利用二次函数的平移规律：上加下减，左加右减，可得答案。
【例5】★已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x= 时，求y的值；
（3）将所得函数图象平移，使它过点(2，-1)，求平移后直线的解析式。
【答案】 （1）解：∵y-3与x成正比例，
∴y-3=kx(k≠0)成正比例，
把x=2时，y=7代入，得7-3=2k，k=2；
y与x的函数关系式为：y=2x+3
（2）解：把x= 代入得：y=2×( )+3=2
（3）解：设平移后直线的解析式为y=2x+3+b，
把点(2，-1)代入得：-1=2×2+3+b，
解得：b=-8，
故平移后直线的解析式为：y=2x-5
【考点】正比例函数的图象和性质，平移的性质
【解析】【分析】（1）根据y-3与x成正比例，列出正比例的解析式，代入x=2，y=7，即可得到函数解析式；
（2）根据函数解析式，代入x的值，即可得到y
（3）根据平移的性质，即可得到函数解析式。
【例6】★将函数 的图象向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为________.
【答案】 y=2x﹣3
【考点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】根据“上加下减”的原理可得：
函数y=2x的图象向下平移3个单位后得出的图象的函数解析式为y=2x﹣3．
故答案为：y=2x﹣3．
【分析】根据“上加下减”的平移原理，结合原函数解析式即可得出结论．
【例7】★.将直线y=-2x向下平移一个单位，则平移后的直线表达式为( )
A. y=-2x+1 B. y=-2x-1 C. y=-2x+2 D. y=-2x-2
【答案】 B
【考点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：根据“上加下减”可知，将直线y=-2x向下平移一个单位，所得直线表达式为y=-2x-1.
故答案为：B.
【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象上下平移的法则：函数值“上加下减”是解题关键. 左右平移时是：自变量“左加右减”.
【例8】★.将直线y=3x先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到直线________.
【答案】 y=3x－11
【考点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将直线y=3x先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到直线为y=3（x－3）－2=3x－11
故答案为：y=3x－11
【分析】根据直线的平移规律：左加右减，上加下减，即可求出结论.
【亮点训练】
1．如图，一次函数，的图象经过、两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】不等式表示的含义是：一次函数图象在x轴下方部分所对自变量x的取值范围，结合图象即可作答．
【详解】∵一次函数，的图象经过、两点，
如图，
∵不等式表示的含义是：一次函数的图象在x轴下方部分所对自变量x的取值范围，
∴结合图象可知：的解集为：，
故选：B．
【点睛】此题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握一次函数的图象及性质与一元一次不等式的解集的关系是解决此题的关键．解答此类题目时要注意数形结合的思想．
2．一次函数中的自变量x与函数y的部分对应值如下表所示，则关于x的方程的解满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】观察表格可知，当时，y的值由负到正，依此得出关于x的方程的解．
【详解】解：∵时，；
时，，
∴时，y的值由负到正，
∴关于x的方程的解满足．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为（a，b为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与x轴的交点的横坐标的值．
3．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图象求得交点坐标，根据直线的图象位于直线图象的上方，即可求解．
【详解】由题意可知：直线与直线相交于，
结合函数图象可知当时，
直线的图象位于直线图象的上方，
即关于的不等式的解集为：．
故选A．
【点睛】本题考查了根据两直线交点坐标求不等式的解集，数形结合是解题的关键．
4．下列关于一次函数的说法，错误的是（ ）
A．函数的图像与y轴的交点是（0，1）
B．当x值增大时，y随x的增大而减小
C．当时，
D．图像经过第一、二、三象限
【答案】D
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：A、当x=0时，y=1，即函数的图象与y轴的交点是 （0，1），说法正确，不符合题意；
B、由于a=＜0，所以y随x的增大而减小，说法正确，不符合题意；
C、当y＞1时，x+1＞1，此时x＜0，说法正确，不符合题意；
D、该函数图象经过第一、二、四象限，说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数y=kx+b，k＞0时，函数图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，函数图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．
5．如图，直线与x轴交于点，与直线交于点B，则关于x的不等式组的解集为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【分析】结合图象与点A的坐标即可得到每个不等式的解集，根据找不等式组解集的方法即可得到不等式组的解集．
【详解】解：观察图象可得的解集为：，
∵直线与x轴交于点，
∴的解集为：，
∴关于x的不等式组的解集为，
故选：D．
【点睛】本题考查利用图象找不等式组的解集，利用数形结合的思想找到每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则找到不等式组的解集．
二、填空题
6．如图，直线AB是一次函数的图象，若关于x的方程的解是，则直线AB的函数关系式为_________．
【答案】
【分析】将代入进行求解即可得到解答．
【详解】解：∵的解是，
∴将其代入得，
解得，
∴直线AB的函数关系式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求解一次函数，将代入已知方程进行求解是解决本题的关键．
7．已知一次函数和相交于点，则不等式中的取值范围为_________．
【答案】##
【分析】先根据题意画出函数图象，根据函数图象得出中的取值范围即可．
【详解】解：将代入得：，
∴一次函数的图象经过，，
将代入得：，
∴一次函数的图象经过，，如图所示：
∴中的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数和不等式之间的关系，解题的关键是根据题意画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题．
8．如图所示，一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y＝﹣ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第四象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④4（a﹣c）＝d﹣b．其中正确的是 _______．
【答案】②③④
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可得，
a＞0，则﹣a＜0，对于函数y=﹣ax+b来说，y随x的增大而减小，故①错误；
a＞0，d＞0，则函数y=ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②正确；
由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正确；
4a+b=4c+d可以得到4（a﹣c）=d﹣b，故④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．
9．已知函数和函数的图像交于和两点，当时，求的取值范围为______________________
【答案】x＜-2或x＞1
【分析】将展开，结合交点画出图形，根据图像可得x的取值范围．
【详解】解：，
∵函数和函数的图像交于和两点，
如图所示：
∴当时，求的取值范围为x＜-2或x＞1，
故答案为：x＜-2或x＞1．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，一次函数与不等式，解题的关键是画出图像，利用数形结合的方法解决问题．
10．已知一次函数的图象不过第二象限．
（1）k的取值范围为______．
（2）对于一次函数，若对任意实数x，，都成立，求k的取值范围为______．
【答案】
【分析】（1）根据一次函数的性质得出，解不等式组即可；
（2）对任意实数，都成立，则直线与平行，且在的上方，所以且，解得即可．
【详解】解：（1）由题意得，
解得，
的取值范围是；
（2）依题意，得，
，
对任意实数，都成立，
，
解得，
，
的取值范围是；
故答案为，．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
三、解答题
11．如图，直线：y＝2x－2与x轴交于点D，直线：y＝kx＋b与x轴交于点A，且经过点，直线，交于点．
(1)求m的值；
(2)求直线的解析式；
(3)根据图象，直接写出1＜kx＋b＜2x－2的解集
【答案】(1)2
(2)；
(3)2＜x＜3．
【分析】（1）代入y＝2x－2，即可求解；
（2）把，代入y＝kx＋b，待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据函数图象即可求解．
（1）
把代入y＝2x－2，
得2m－2＝2，
解得m＝2，
即m的值是2；
（2）
把，代入y＝kx＋b，
得，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）
由图象可得，1＜kx＋b＜2x－2的解集是2＜x＜3．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，两直线交点以求不等式组的解集，数形结合是解题的关键．
12．如图，直线过点，点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点.
(1)求直线的解析式以及直线和直线的交点的坐标；
(2)求的面积；
(3)直接写出当时的的取值范围.
【答案】(1)，
(2)6
(3)
【分析】（1）设的函数关系式为y＝kx＋b，利用待定系数法把A、D两点坐标代入y＝kx＋b中，可得关于k、b的方程组，再解方程组即可；然后再联立和的解析式，组成二元一次方程组，再解方程组即可得到B点坐标；
（2）先求出C点坐标，再根据S△ABC＝S△ACD﹣S△BCD进行计算即可；
（3）根据函数图像即可解答．
（1）
解：设的函数关系式为，
根据题意得，解得k＝-1，b=4，
∴直线的解析式为：；
联立两个函数的解析式可得：，解之得；
所以B(2，2) ．
（2）
解：当，x＋1=0，解得：x＝-2，则C(-2，0)，CD=6，
则=×6×4﹣×6×2=6．
（3）
解：由函数图像可知，当时的x的取值范围是x＜2．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、两条直线的交点以及一次函数与不等式的关系等知识点，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键．
13．已知与x成正比例，且时，．
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；
(2)画出函数的图象并观察图象，当 x 取何值时，y ≥0？
(3)若点（m，6）在该函数的图象上，求 m 的值．
【答案】(1)
(2)见解析；当时，
(3)
【分析】（1）利用正比例函数的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出k，从而得到y与x的关系式；
（2）利用描点法画出函数图象，然后写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可；
（3）把（m，6）代入（1）中的解析式可求出m的值．
（1）
解：设，
把x＝−2时，y＝0代入得：解得k＝−1，
∴，
即．
（2）
解：把代入得：，
∴函数图象过点，，函数图象，如图所示：
由图象可知：当时，．
（3）
把（m，6）代入得，
解得．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图象，一次函数图象的性质，设一次函数解析式为，把两组对应值代入求出k、b，从而确定一次函数解析式．
14．一次函数的图像与轴交于点，且经过点．
(1)当时，求一次函数的解析式及点的坐标；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】(1)y=x+，点A的坐标为(-4，0)
(2)
【分析】（1）当m=2时，把点C的坐标代入y=kx+4k(k≠0)，即可求得k的值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可；
（2）根据图像得到不等式，解不等式即可．
（1）
解：∵m=2，
∴将点C(2，2)代入y=kx+4k，
解得k=；
∴一次函数表达式为y=x+，
当y=0时，x+=0，
解得x=-4
∵一次函数y=x+的图像与x轴交于点A，
∴点A的坐标为(-4，0)．
（2）
解：如图，y=kx+4k(k≠0)过定点，
∵当时，，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数y=kx+4k(k≠0)的值，
∴，，
解得k≤−．
∴k≤−．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图像解不等式，数形结合是解答本题的关键．
15．如图，一次函数y=kx+4k(k≠0)的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点C(2，m)，
(1)当m=2时，求一次函数的解析式及点A的坐标；
(2)当x>-1时，对于x的每一个值，函数y=x的值大于一次函数y=kx+4k(k≠0)的值，求k的取值范围．
【答案】(1)y=x+；点A的坐标为(-4，0)
(2)k≤−
【分析】（1）当m=2时，把点C的坐标代入y=kx+4k(k≠0)，即可求得k的值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可；
（2）根据图像得到不等式，解不等式即可．
（1）
解：∵m=2，
∴将点C(2，2)代入y=kx+4k，
解得k=；
∴一次函数表达式为y=x+，
当y=0时，x+=0，
解得x=-4
∵一次函数y=x+的图像与x轴交于点A，
∴点A的坐标为(-4，0)．
（2）
解：作如下图：
∵当x＞−1时，对于x的每一个值，函数y=x的值大于一次函数y=kx+4k(k≠0)的值，结合函数图像可知，
当x=−1时，，
解得k≤−．
∴k≤−．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图像解不等式，数形结合是解答本题的关键．
【培优检测】
1．观察图中的函数图象，可以得到关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】观察函数图象即可得到不等式的解集，即为的解集．
【详解】观察函数图象得当，函数都在函数的图象下方，
∴不等式的解为．
∴不等式的解为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）某一个值的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在直线上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
2．一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第一象限；③不等式的解集是；④．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．②③
【答案】B
【分析】①根据函数图象直接得到结论；②观察函数图象可以直接得到答案；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④根据两直线交点可以得到答案．
【详解】解：由图象可得：对于函数来说，y随x的增大而减小，故①说法正确；
由于a＜0，d＜0，所以函数的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②说法正确，
由图象可得当x＜3时，一次函数图象在的图象上方，
∴的解集是x＜3，故③说法不正确；
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3，
∴3a＋b＝3c＋d
∴3a−3c＝d−b,
∴d−b＝3（a−c）．故④说法正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．
3．已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与轴交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据一次函数图象的平移规律画出的图象，并且求出一次函数图象与轴交于点，再结合函数图象即可得．
【详解】解：一次函数的图象过第一、二、四象限，且与轴交于点，
一次函数的图象过第一、二、四象限，且与轴交于点，
画出函数的大致图象如下：
由函数图象可知，关于的不等式的解集为，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．
4．如图，直线与直线交于点，点的横坐标为，且直线过点，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第三象限；③；④不等式组的解集是其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
【答案】C
【分析】观察图象即可判断；由图象可知，直线过点，得出，根据一次函数的性质即可判断；根据交点坐标以及即可判断；不等式组变形为，解不等式组即可判断判断．
【详解】解：由图象可知，函数经过第一、二、四象限，随的增大而减小，故说法正确；
由图象可知，函数经过第一、二、四象限，
，
由图象可知，直线经过第一、三象限，
，
函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故说法错误；
直线与直线交于点，点的横坐标为，
，
直线过点，
，
，故说法正确；
，，
，
，
，
解得，
不等式组的解集是故说法正确，
故选：C
【点睛】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
5．如图，一次函数与一次函数的图象交于P（1，3），则下列说法正确的个数是（ ）个
（1）方程的解是
（2）方程组的解是
（3）不等式的解集是
（4）不等式的解集是．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据两直线与不等式和方程组的关系解答即可．
【详解】解：因为一次函数与一次函数的图象交于P（1，3），
所以（1）方程ax+b=3的一个解是x=1，正确；
（2）方程组的解是，错误；
（3）不等式ax+b>kx十4的解集是x>1，正确；
（4）不等式4>kx十4>ax+b的解集是0故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx十b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
二、填空题
6．如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是___________.
【答案】
【分析】首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．
【详解】解：直线与相交于点，
，
，
，
当时，，
关于的方程的解是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
7．如图，一次函数与一次函数的图像交于点P（1，3），则关于x的方程的解是_____．
【答案】x=1
【分析】根据已知得到两函数的交点P的坐标，然后利用两个一次函数图像的交点的横坐标就是方程的解，即可解答．
【详解】解：∵一次函数与一次函数的图像交于点P（1，3）
∴关于x的方的解是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查两个一次函数的交点与一元一次方程的解的关系，两个一次函数的交点的横坐标即为对应一元一次方程的解．
8．对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数：当时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为，已知点，点坐标，函数相关函数与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据定义可得当时，或，根据函数相关函数与线段有且只有一个交点，列出不等式组或，解不等式组即可求解．
【详解】解：根据题意：函数相关函数是：，
当时，或，
点，点，
函数相关函数与线段有且只有一个交点，
，解得，
或，解得
故答案为或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，解题关键是根据题意结合图象即可得出正确答案．
9．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果点M（x，y）满足，那么称点M是点A，B的“双减点”．
（1）点A（﹣1，3），B（a，b）的“双减点”C的坐标是（4，﹣2），则B点坐标是 _____；
（2）若点D（3，﹣4），点E（4m，﹣2m﹣5）的“双减点”是点F，当点F在直线y＝x+1下方时，m的取值范围是 _____．
【答案】 （-9，7） m＜
【分析】（1）根据点C是点A、B的“双减点”的定义可求点B坐标；
（2）点D（3，-4），点E（4m，-2m-5）的“双减点”是点F，可表示出点F的坐标，根据点F在直线y=x+1下方可得出关于m的不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）点A（-1，3），B（a，b）的“双减点”C的坐标是（4，-2），
∴=4，=-2，
∴a=-9，b=7，
∵点B坐标（-9，7），
故答案为：（-9，7）；
（2）∵点D（3，-4），点E（4m，-2m-5）的“双减点”是点F，
∴F（，），即F（，），
∵点F在直线y=x+1下方，
∴+1＞，
解得m＜，
故答案为：m＜．
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，能够利用新定义表示出点的坐标是解题的关键．
10．把、、三个数中最大那个数记为，如，，，在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像有且只有2个交点，则的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据题意得出，当时，，，，当时，，，，当时，，，，再利用数形结合进行求解．
【详解】解：当时，，，，
当时，，，，
当时，，，，
如图：
当直线经过点时，，
当直线与直线平行时，，
时，有两个交点；
当直线经过点时，，
当直线与直线平行时，，
时，有两个交点；
综上所述：或时，满足题意，
故答案为：或．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，解题的关键是能够根据定义，画出分段函数的图象，利用数形结合求解即可．
三、解答题
11．已知直线经过点，，并与 y 轴交于点 D ,与直线．相交于点C点．
(1)不等式的解集是______；
(2)求直线 AB 的函数表达式；
(3)直线与 y 轴交于点 E ，在直线 AB 上是否存在点 P ，使得，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据函数图象直接得出的解集即可
（2）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（3）联立两直线解析式，解方程组得到点C的坐标；分别求出直线与分别与y轴的交点E和点D的坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可．
（1）
解：根据函数图象可知，不等式的解集是：．
故答案为：．
（2）
解：∵直线经过点，，
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为：．
（3）
解：联立，
解得：，
∴点C的坐标为，
把代入得：，
∴点的坐标为，
把代入得：，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，此时点P的坐标为：；
当时，，此时点P的坐标为：；
综上分析可知，点P的坐标为：或．
【点睛】本题主要考查了两条直线相交问题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，正确求出交点坐标，是解题的关键．
12．如图，已知直线经过点，与轴交于点，与直线交于点．
(1)求直线的函数表达式及的值；
(2)根据函数图象，直接写出关于的不等式组的解集： ；
(3)现有一点在直线上，过点作轴交直线于点，若点到线段的距离为1，求点的坐标和点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)点，坐标为，或，
【分析】（1）将点，代入解析式即可求出直线的函数表达式，将点代入解析式即可求出的值；
（2）依据（1）结合图象即可得到答案；
（3）由点到线段的距离为1，点横坐标为3，得到点，横坐标为或，代入解析式即可求出点的坐标和点的坐标．
【详解】（1）解：将，代入得，
解得，
．
将代入，得：．
（2）点坐标为，点坐标为，
由图象得时，，
故答案为：．
（3）点到线段的距离为1，点横坐标为3，
点，横坐标为或，
将代入得，
点坐标为，
将代入得，
点坐标为，
将代入得，
点坐标为，
将代入得，
点坐标为，
综上所述，点，坐标为，或，．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数的交点求不等式的解集，求一次函数图象上点的坐标，一次函数的性质，正确掌握各知识点是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与一次函数的图象交于点B．
(1)求点B的坐标；
(2)结合图象，当时，请直接写出x的取值范围；
(3)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E．当时，求的长．
【答案】(1)B点坐标为．
(2)时，；
(3)．
【分析】（1）联立可直接得点的坐标；
（2）根据函数图象，结合点的坐标即可求得的取值范围；
（3）设点的横坐标为，则，，由求出，即可得的长．
【详解】（1）解：令，解得，
，
点坐标为．
（2）解：由（1）知，由图象由可得，当时，；
（3）解：设点的横坐标为，则，，
，，
，
，解得．
，，
．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，且与直线相交于点C（3，2）．
(1)求a和k的值；
(2)求直线与与x轴围成的三角形面积；
(3)直接写出kx＞ax+4≥0的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点分别代入，即可求解．
（2）先求得点的坐标，进而求得即可求解．
（3）根据在上方的部分且在轴上方的部分的的取值范围即可求解．
（1）
解：将点代入，得，
解得；
将点代入，得，
解得；
（2）
因为，令，解得，
∴，
∴，
∴直线与与x轴围成的三角形面积即，
（3）
解：根据函数图象可知，kx＞ax+4≥0的解集为在上方的部分且在轴上方的部分的的取值范围，
即．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线与坐标轴围成的三角形面积，根据两直线交点以及直线与坐标轴的交点求不等式组的解集是解题的关键．
15．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图像与性质的方法，对新函数及其图像进行如下探究．
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：
其中 ， ．
(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并结合图像写出该函数的一条性质： ．
(3)当时，的取值范围为___________．
【答案】(1)，
(2)图见解析，对称轴是直线
(3)或
【分析】（1）根据表格，将自变量的值代入解析式计算即可求出答案；
（2）根据函数解析式绘制函数，即可求出答案；
（3）题目中有绝对值，需要分类讨论，根据绝对值的性质，不等式的性质，即可求出的取值范围．
（1）
解：将代入解析式得，，即；
将代入解析式得，，即．
故答案是：，．
（2）
解：函数的图像如下，
如图所示，当时，函数值随自变量值增大而增大；当时，函数值随自变量值增大而减小；函数关于对称．
故答案是：当时，函数值随自变量值增大而增大或当，函数值随自变量值增大而减小或函数的对称轴是．
（3）
解：如图所示，
，
当时，原式变形得，
，符合题意；
当时，原式变形得，
，不等式不成立，不符合题意；
当时，原式变形得，
，符合题意；
故答案是：或．
【点睛】本题主要考查函数的自变量与函数值的关系，结合图像和函数的性质即可求出答案．理解函数的性质，图像的变化规律是解题的关键．
…
0
1
2
…
…
6
3
1
…
x
…
0
…
y
…
1
…
…
…
…
…
掌握一次函数与一元一次不等式之间的关系；
学会画出一次函数的图象，并能准确找出范围。
【教学重难点】
掌握一次函数与一元一次不等式之间的关系；
学会画出一次函数的图象，并能准确找出范围。
【知识亮解】
知识点一：一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
亮题一：一次函数与一元一次方程
1．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（ ）
A．B．C．D．
2．若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．已知一次函数，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限
C．关于x的方程的解是
D．该函数的图象与y轴的交点是
4．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，其中正确的是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①④
5．已知点Р在直线l：y＝kx﹣3k（k≠0）上，点Q的坐标为(0，4)，则点Q到直线l的最大距离是_______．
6．如图，点P是直线y＝﹣x＋2上一动点，当线段OP最短时，OP的长为__．
7．已知一次函数图像与正比例函数图像交于点（2，3）（是常数），则关于的方程的解是_____________．
8．有这样一个问题：探究函数的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数的图像性质进行了探究，下面是小东的探究过程：
（1）化简函数解析式，当时，________，当时，________；
（2）根据（1）中的结果，画出函数的图象如图，结合画出的函数图象，解决问题：若关于的方程只有一个实数根，直接写出实数的取值范围：________．
9．直线y＝kx+b与直线y＝5﹣4x平行，且与直线y＝﹣3（x﹣6）相交，交点在y轴上，求直线y＝kx+b对应的函数解析式．
10．如图所示，直线l1：y＝﹣x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1向上平移6个单位得到直线l2与y轴交于点C，已知直线l3：y＝x＋c经过点C且与直线l1交于点D，连接AC．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标；
（2）求直线l3的解析式；
（3）求△ACD的面积．
亮题二：一次函数与一元一次不等式
1．如图，函数y＝2x和y＝ax+6的图象相交于A（m，4），则不等式2x＜ax+6的解集为（ ）
A．x＞2B．x＞4C．x＜2D．x＜4
2．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＞ax+4的解集为（ ）
A．x＜B．x＜3C．x＞D．x＞3
3．一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④，其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
4．一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图像如图所示，下列结论中正确的有（ ）
①对于函数y=ax+b来说，y随x的增大而减小
②函数y=ax+d的图像不经过第一象限
③
④
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 _____．
7．如图所示，因数与的图像交于点，下列说法正确的有________．（将正确的序号填在横线上）
①n和b都是正数；②m和k都是正数；③关于x的方程的解是：；④关于x的不等式的解集是．
8．把a，b，c三个数中最大那个数记为，如：、、．在平面直角坐标系xOy中，若直线与函数的图像有且只有2个交点，则k的取值范围是______．
9．如图，一次函数和的图象相交于点A(2，−1)．
(1)求k，b的值；
(2)根据图象，若，写出x取值；若，写出x取值．
10． 在平面直角坐标系xOy中，直线经过A(0，2)， B(1，0)两点，直线的解析式是=kx-k (k≠0)．
(1)求直线的解析式；
(2)试说明直线必经过定点，并求出该定点的坐标；
(3)当k>0时，直接写出时的取值范围．
亮题三：一次函数的平移
【例1】★若把函数y=2x-3图象向上平移3个单位长度，得到图象对应的函数解析式为( )
A. y=2x B. y=2x-6 C. y=4x-3 D. y=-x-3
【例2】★把直线 向上平移后得到直线 ，若直线 经过点 ，且 ，则直线 的表达式为________.
【例3】★将直线 向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为________.
【例4】★直线y=3x向下平移3个单位长度得到的直线是________
【例5】★已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x= 时，求y的值；
（3）将所得函数图象平移，使它过点(2，-1)，求平移后直线的解析式。
【例6】★将函数 的图象向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为________.
【例7】★.将直线y=-2x向下平移一个单位，则平移后的直线表达式为( )
A. y=-2x+1 B. y=-2x-1 C. y=-2x+2 D. y=-2x-2
【例8】★.将直线y=3x先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到直线________.
【亮点训练】
1．如图，一次函数，的图象经过、两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
2．一次函数中的自变量x与函数y的部分对应值如下表所示，则关于x的方程的解满足（ ）
A．B．C．D．
3．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
4．下列关于一次函数的说法，错误的是（ ）
A．函数的图像与y轴的交点是（0，1）
B．当x值增大时，y随x的增大而减小
C．当时，
D．图像经过第一、二、三象限
5．如图，直线与x轴交于点，与直线交于点B，则关于x的不等式组的解集为（ ）
A．B．C．或D．
二、填空题
6．如图，直线AB是一次函数的图象，若关于x的方程的解是，则直线AB的函数关系式为_________．
7．已知一次函数和相交于点，则不等式中的取值范围为_________．
8．如图所示，一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y＝﹣ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第四象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④4（a﹣c）＝d﹣b．其中正确的是 _______．
9．已知函数和函数的图像交于和两点，当时，求的取值范围为______________________
10．已知一次函数的图象不过第二象限．
（1）k的取值范围为______．
（2）对于一次函数，若对任意实数x，，都成立，求k的取值范围为______．
三、解答题
11．如图，直线：y＝2x－2与x轴交于点D，直线：y＝kx＋b与x轴交于点A，且经过点，直线，交于点．
(1)求m的值；
(2)求直线的解析式；
(3)根据图象，直接写出1＜kx＋b＜2x－2的解集
\
12．如图，直线过点，点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点.
(1)求直线的解析式以及直线和直线的交点的坐标；
(2)求的面积；
(3)直接写出当时的的取值范围.
13．已知与x成正比例，且时，．
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；
(2)画出函数的图象并观察图象，当 x 取何值时，y ≥0？
(3)若点（m，6）在该函数的图象上，求 m 的值．
14．一次函数的图像与轴交于点，且经过点．
(1)当时，求一次函数的解析式及点的坐标；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
15．如图，一次函数y=kx+4k(k≠0)的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点C(2，m)，
(1)当m=2时，求一次函数的解析式及点A的坐标；
(2)当x>-1时，对于x的每一个值，函数y=x的值大于一次函数y=kx+4k(k≠0)的值，求k的取值范围．
【培优检测】
1．观察图中的函数图象，可以得到关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第一象限；③不等式的解集是；④．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．②③
3．已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与轴交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线与直线交于点，点的横坐标为，且直线过点，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第三象限；③；④不等式组的解集是其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
5．如图，一次函数与一次函数的图象交于P（1，3），则下列说法正确的个数是（ ）个
（1）方程的解是
（2）方程组的解是
（3）不等式的解集是
（4）不等式的解集是．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
6．如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是___________.
7．如图，一次函数与一次函数的图像交于点P（1，3），则关于x的方程的解是_____．
8．对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数：当时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为，已知点，点坐标，函数相关函数与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______．
9．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果点M（x，y）满足，那么称点M是点A，B的“双减点”．
（1）点A（﹣1，3），B（a，b）的“双减点”C的坐标是（4，﹣2），则B点坐标是 _____；
（2）若点D（3，﹣4），点E（4m，﹣2m﹣5）的“双减点”是点F，当点F在直线y＝x+1下方时，m的取值范围是 _____．
10．把、、三个数中最大那个数记为，如，，，在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像有且只有2个交点，则的取值范围是______．
三、解答题
11．已知直线经过点，，并与 y 轴交于点 D ,与直线．相交于点C点．
(1)不等式的解集是______；
(2)求直线 AB 的函数表达式；
(3)直线与 y 轴交于点 E ，在直线 AB 上是否存在点 P ，使得，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
12．如图，已知直线经过点，与轴交于点，与直线交于点．
(1)求直线的函数表达式及的值；
(2)根据函数图象，直接写出关于的不等式组的解集： ；
(3)现有一点在直线上，过点作轴交直线于点，若点到线段的距离为1，求点的坐标和点的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与一次函数的图象交于点B．
(1)求点B的坐标；
(2)结合图象，当时，请直接写出x的取值范围；
(3)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E．当时，求的长．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，且与直线相交于点C（3，2）．
(1)求a和k的值；
(2)求直线与与x轴围成的三角形面积；
(3)直接写出kx＞ax+4≥0的解集．
15．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图像与性质的方法，对新函数及其图像进行如下探究．
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：
其中 ， ．
(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并结合图像写出该函数的一条性质： ．
(3)当时，的取值范围为___________．
…
0
1
2
…
…
6
3
1
…
x
…
0
…
y
…
1
…
…
…
…
…
专题6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
【教学目标】
掌握一次函数与一元一次不等式之间的关系；
学会画出一次函数的图象，并能准确找出范围。
3、掌握一次函数与一元一次方程的练联系
【教学重难点】
1、掌握一次函数与一元一次不等式之间的关系；
2、学会画出一次函数的图象，并能准确找出范围。
3、掌握一次函数与一元一次方程的练联系
【知识亮解】
知识点一：一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
亮题一：一次函数与一元一次方程
1．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据方程可知当x=2，y=0，从而可判断直线y=-2x+b经过点（2，0）．
【详解】解：由方程的解可知：当x=2时，-2x+b=0，即当x=2，y=0，
∴直线y=-2x+b的图象一定经过点（2，0），
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．
2．若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标．
【详解】解：∵方程的解为x=2，
∴当x=2时mx+n=0；
∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），
∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），
∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，
∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
3．已知一次函数，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限
C．关于x的方程的解是
D．该函数的图象与y轴的交点是
【答案】C
【分析】先把两个点的坐标代入y=kx+b，求出k、b的值，得出函数解析式是y=-2x+3，再逐个判断即可．
【详解】解：由表可知：函数图象过点（0，3），（1，1），
把点的坐标代入y=kx+b得：，
解得：k=-2，b=3，
即函数的解析式是y=-2x+3，
A．∵k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
B．∵k=-2，b=3，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
C．当y=1时，-2x+3=1，
解得：x=1，
即方程kx+b=1的解是x=1，故本选项符合题意；
D．∵b=3，
∴函数的图象与y轴的交点坐标是（0，3），故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，解一元一次方程等知识点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
4．一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于的方程的解是；③当时，；④当时，其中正确的是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①④
【答案】D
【分析】利用一次函数的性质对进行判断；利用一次函数的交点问题对进行判断；结合函数图象对进行判断．
【详解】解：∵直线经过第一、三象限，
∴，
∵直线与轴的交点在轴下方，
∴，
∴，故正确；
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为，
∴关于的方程的解是，故错误；
当时，，故错误；
当时，函数，
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为，
∴关于的方程的解是，
∴，
∴，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
5．已知点Р在直线l：y＝kx﹣3k（k≠0）上，点Q的坐标为(0，4)，则点Q到直线l的最大距离是_______．
【答案】5
【分析】由题意得直线l一定过点（3，0），在过（3，0）的直线中，当点Q和（3，0）的连线垂直于直线l时，点P到直线l的距离最大，根据勾股定理求解即可．
【详解】∵直线l：y＝kx﹣3k=k（x-3）
∴当x=3时，y=0，故点（3，0）再直线l上
令点P（3，0）
连接PQ，当PQ垂直与直线l垂足为点P时，点Q到直线l的距离最大
PQ=
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了一次函数图像和点到直线的距离，过一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度是点到直线的距离；明确当PQ⊥直线l时，点Q到直线的距离最大是解题的关键．
6．如图，点P是直线y＝﹣x＋2上一动点，当线段OP最短时，OP的长为__．
【答案】
【分析】根据直线解析式求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求出AB的长度，根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，利用三角形的面积列式即可求解．
【详解】解：当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝4，
∴点A、B的坐标是A（0，2），B（4，0），
∴AB＝＝＝2，
根据垂线段最短的性质，OP⊥AB时，OP最短，
此时，S△AOB＝×OA×OB＝×AB×OP，
即×2×4＝××OP，
解得OP＝．
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了一次函数的问题，主要利用勾股定理，垂线段最短的性质，根据直线解析式求出点A、B的坐标是解题的关键．
7．已知一次函数图像与正比例函数图像交于点（2，3）（是常数），则关于的方程的解是_____________．
【答案】
【分析】由题意可知当x＝2时，一次函数y＝3x+b与正比例函数y＝kx的函数值相同，从而可得到方程的解．
【详解】解：∵一次函数y＝3x+b图像与正比例函数y＝kx图像交于点（2，3），
∴当x＝2时，3x+b＝kx，即3x＝kx﹣b，
∴方程3x＝kx﹣b的解是x＝2，
故答案为：x＝2．
【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的交点坐标就是它们的解析式组成的方程组的解．
8．有这样一个问题：探究函数的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数的图像性质进行了探究，下面是小东的探究过程：
（1）化简函数解析式，当时，________，当时，________；
（2）根据（1）中的结果，画出函数的图象如图，结合画出的函数图象，解决问题：若关于的方程只有一个实数根，直接写出实数的取值范围：________．
【答案】 3 a＜0或a≥1或a=
【分析】（1）根据题意，化简函数解析式即可；
（2）根据化简的解析式画出图象，然后根据图象即可求得．
【详解】解：（1）当x≥3时，=x；
当x＜3时，=3；
故答案为x，3；
（2）根据（1）中的结果，画出函数的图象如下：
根据画出的函数图象，当a＜0时，直线y=ax+1与函数只有一个交点；
当a≥1时，直线y=ax+1与函数y=3（x＜3）的图象有一个交点，与函数y=x（x≥3）无交点；当a=时，直线y=x+1经过点（3，3）．
故若关于x的方程只有一个实数根，实数a的取值范围：a＜0或a≥1或a=，
故答案为a＜0或a≥1或a=．
【点睛】本题考查了化简绝对值，描点法画函数图象，一次函数的图象和性质，利用函数图象解方程，关键是能根据解析式画出图象．
9．直线y＝kx+b与直线y＝5﹣4x平行，且与直线y＝﹣3（x﹣6）相交，交点在y轴上，求直线y＝kx+b对应的函数解析式．
【答案】．
【分析】先根据一次函数的性质可得，再求出直线与的交点坐标，然后代入一次函数即可得．
【详解】解：∵直线与直线平行，
∴，
对于函数，
当时，，
将点代入得：，解得，
则直线对应的函数解析式为．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
10．如图所示，直线l1：y＝﹣x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1向上平移6个单位得到直线l2与y轴交于点C，已知直线l3：y＝x＋c经过点C且与直线l1交于点D，连接AC．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标；
（2）求直线l3的解析式；
（3）求△ACD的面积．
【答案】（1）A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，2）；（2）y＝x＋2；（3）
【分析】（1）根据的解析式，令y＝0，x＝0，即可求得,的坐标，根据将直线l1向上平移6个单位长度，得直线l2，令x＝0，即可求得的坐标；
（2）根据的坐标代入直线l3：y＝x＋c即可直线l3的解析式；
（3）联立和 l3的解析式即可求得点的坐标，进而根据S△ACD＝S△ABC﹣S△BCD即可求得△ACD的面积．
【详解】解：（1）在y＝﹣x﹣4中，令y＝0，则0＝﹣x﹣4，
解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
令x＝0，则y＝﹣4，
∴B（0，﹣4），
将直线l1向上平移6个单位长度，得直线l2：y＝﹣x＋2，
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2）；
（2）∵点C在直线l3：y＝x＋c上，
∴c＝2，
∴直线l3的解析式为y＝x＋2；
（3）解得，
∴D（﹣，﹣2），
∵BC＝OB＋OC＝6，
∴S△ACD＝S△ABC﹣S△BCD＝﹣＝．
【点睛】本题考查了直线与坐标轴的交点问题，一次函数平移问题，直线围成的三角形面积问题，利用二元一次方程组求两直线交点问题，掌握一次函数的性质与相关计算是解题的关键．
亮题二：一次函数与一元一次不等式
1．如图，函数y＝2x和y＝ax+6的图象相交于A（m，4），则不等式2x＜ax+6的解集为（ ）
A．x＞2B．x＞4C．x＜2D．x＜4
【答案】C
【分析】首先求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式2x＜ax＋6的解集即可．
【详解】解：∵函数y＝2x过点A（m，4），
∴2m＝4，
解得：m＝2，
∴A（2，4），
由函数图象得：不等式2x＜ax＋6的解集为x＜2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标．
2．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＞ax+4的解集为（ ）
A．x＜B．x＜3C．x＞D．x＞3
【答案】C
【分析】先根据函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＞ax+4的解集．
【详解】解：把A（m，3）代入y＝2x，
得：2m＝3，解得：m＝；
根据图象可得：不等式2x＞ax+4的解集是：x＞；
故选：C．
【点睛】本题考查用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解题的关键．
3．一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④，其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
【答案】B
【分析】根据题意和函数图像中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：由图像可知，对于函数来说，y随x的增大而增大，故①正确；
根据题意可知：a＞0，d＞0，则函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
由可得，故不等式的解集是，故③不正确；
可以得到，故④正确；
故正确的有①④；
故选B．
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系、一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质、运用数形结合的思想是解决问题的关键．
4．一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图像如图所示，下列结论中正确的有（ ）
①对于函数y=ax+b来说，y随x的增大而减小
②函数y=ax+d的图像不经过第一象限
③
④
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】①根据函数图像直接得到结论；②根据a、d的符号即可判断；③当x=3时，y1=y2；④当x=1和x=-1时，根据图像得不等式．
【详解】解：由图像可得：对于函数y1=ax+b来说，y随x的增大而减小，故①正确；
由于a＜0，d＜0，所以函数y=ax+d的图像经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确；
∵一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图像的交点的横坐标为3，
∴3a+b=3c+d，
∴3a-3c=d-b，
∴a-c=（d-b），故③正确；
当x=1时，y1=a+b，
当x=-1时，y2=-c+d，
由图像可知y1＞y2，
∴a+b＞-c+d，
∴d＜a+b+c，故④正确；
综上，①②③④都正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图像与性质，利用数形结合是解题的关键．
5．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为 _____．
【答案】
【分析】根据直线交点的横坐标，结合图象即可求解．
【详解】解：根据图象得时，，所以不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据两直线交点求不等式的解集，数形结合和是解题的关键．
6．直线：y=x+1与直线：y=-2x+n相交于点P（1，2），则关于x的不等式x+1≥-2x+n的解集为_____．
【答案】x≥1
【分析】根据两直线的交点坐标和函数的图象即可求出答案．
【详解】解：∵直线：y=x+1与直线：y=-2x+n交于点P（1，2），
画出图如图所示：
∴不等式x+1≥-2x+b的解集是x≥1．
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
7．如图所示，因数与的图像交于点，下列说法正确的有________．（将正确的序号填在横线上）
①n和b都是正数；②m和k都是正数；③关于x的方程的解是：；④关于x的不等式的解集是．
【答案】①③##③①
【分析】结合函数图像，根据一次函数图像和性质，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系进行求解即可．
【详解】由函数图像可得，函数与的图像都交y轴正半轴，n和b都是正数，故①正确；
由函数图像可得，函数的图像，y随x增大而减小，所以k是负数，故②错误；
函数与的图像交于点，所以，关于x的方程的解是：，故③正确；
关于x的不等式的解集是，故④错误．
故答案是：①③．
【点睛】本题考查了一次函数图像和性质，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，能正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．
8．把a，b，c三个数中最大那个数记为，如：、、．在平面直角坐标系xOy中，若直线与函数的图像有且只有2个交点，则k的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据题意得到当x>2，；当x<-1，；当，；再结合数形结合思想即可解答．
【详解】在中，
令：，
令：，
由函数得增减性以及增减程度，得：
当x>2，，
当x<-1，，
当，，
画出y关于x的图像：
由，知
该直线经过点，
当直线经过时，，
当直线与直线平行时，，
时，符合题意；
当直线经过时，，
当直线与直线平行时，，
时，符合题意．
综上：或时，符合题意．
故答案为：或．
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质，能根据定义画出图像，利用数形结合是关键．
9．如图，一次函数和的图象相交于点A(2，−1)．
(1)求k，b的值；
(2)根据图象，若，写出x取值；若，写出x取值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）把点A(2，−1)分别代入和，即可求解；
（2）观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象上方，或者两图象交于点A，可得若，；再求出，观察图象得：当时，函数的图象位于x轴的上方，即可求解．
【详解】（1）解：把点A(2，−1)分别代入和得：
，，
解得：；
（2）解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象上方，或者两图象交于点A，
∴若，；
由（1）得：，
当时，，
∴函数的图象与x轴交于点（4，0），
观察图象得：当时，函数的图象位于x轴的上方，
∴若，．
【点睛】本题考查的是求一次函数解析式，一次函数与不等式的关系，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键．
10． 在平面直角坐标系xOy中，直线经过A(0，2)， B(1，0)两点，直线的解析式是=kx-k (k≠0)．
(1)求直线的解析式；
(2)试说明直线必经过定点，并求出该定点的坐标；
(3)当k>0时，直接写出时的取值范围．
【答案】(1)直线的解析式为=-2x+2；
(2)直线必经过一定点，该定点的坐标为（1，0）；
(3)x>1
【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式；
（2）由于=（x-1）k，有理数的乘法可得到x-1=0，y=0，于是可判断直线必经过一定点，且该定点的坐标为（1，0）；
（3）由（1）、（2）知，直线与直线都经过点B(1，0)，画出草图，根据图象即可求解．
（1）
解：设直线的解析式为=px+q，
把A（0，2），B（1，0）代入得，解得，
∴直线的解析式为=-2x+2；
（2）
解：∵直线的解析式是=kx-k（k≠0），
∴=（x-1）k，
∵k≠0的任意数，
∴x-1=0，y=0，解得x=1，y=0，
∴直线必经过一定点，该定点的坐标为（1，0）；
（3）
解：由（1）（2）知，直线与直线都经过点B(1，0)，
又∵k>0，
如图：
观察图象，当x>1时，直线在直线的下方，
即时的取值范围是x>1．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是求解本题的关键．
亮题三：一次函数的平移
【例1】★若把函数y=2x-3图象向上平移3个单位长度，得到图象对应的函数解析式为( )
A. y=2x B. y=2x-6 C. y=4x-3 D. y=-x-3
【答案】 A
【考点】平移的性质，一次函数的性质
【解析】【解答】解：将y=2x-3向上平移3个单位长度
∴y=2x-3+3=2x
故答案为：A.
【分析】根据一次函数平移的性质，上加下减即可得到答案。
【例2】★把直线 向上平移后得到直线 ，若直线 经过点 ，且 ，则直线 的表达式为________.
【答案】 y=-2x+8
【考点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：y=-2x向上平移a个单位，得到直线y=-2x+a
直线经过点（m，n），代入直线得；
n=-2m+a
a=2m+n
又∵2m+n=8
故a=8；
即y=-2x+8
【分析】根据一次函数平移的性质，得出y=-2x+a，经过点（m，n），代入可以得出a=2m+n=8，进而求出函数解析式。
【例3】★将直线 向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为________.
【答案】 y=2x-2
【考点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：直线y=2x-5向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为y=2x-5+3，即y=2x-2.
故答案为：y=2x-2.
【分析】根据直线平移的规律：上加下减，得到平移后的直线的解析式为y=2x-5+3，即可求解.
【例4】★直线y=3x向下平移3个单位长度得到的直线是________
【答案】 y=3x-3
【考点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：直线y=3x向下平移3个单位长度得到的直线为y=3x-3.
故答案为：y=3x-3.
【分析】利用二次函数的平移规律：上加下减，左加右减，可得答案。
【例5】★已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x= 时，求y的值；
（3）将所得函数图象平移，使它过点(2，-1)，求平移后直线的解析式。
【答案】 （1）解：∵y-3与x成正比例，
∴y-3=kx(k≠0)成正比例，
把x=2时，y=7代入，得7-3=2k，k=2；
y与x的函数关系式为：y=2x+3
（2）解：把x= 代入得：y=2×( )+3=2
（3）解：设平移后直线的解析式为y=2x+3+b，
把点(2，-1)代入得：-1=2×2+3+b，
解得：b=-8，
故平移后直线的解析式为：y=2x-5
【考点】正比例函数的图象和性质，平移的性质
【解析】【分析】（1）根据y-3与x成正比例，列出正比例的解析式，代入x=2，y=7，即可得到函数解析式；
（2）根据函数解析式，代入x的值，即可得到y
（3）根据平移的性质，即可得到函数解析式。
【例6】★将函数 的图象向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为________.
【答案】 y=2x﹣3
【考点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】根据“上加下减”的原理可得：
函数y=2x的图象向下平移3个单位后得出的图象的函数解析式为y=2x﹣3．
故答案为：y=2x﹣3．
【分析】根据“上加下减”的平移原理，结合原函数解析式即可得出结论．
【例7】★.将直线y=-2x向下平移一个单位，则平移后的直线表达式为( )
A. y=-2x+1 B. y=-2x-1 C. y=-2x+2 D. y=-2x-2
【答案】 B
【考点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：根据“上加下减”可知，将直线y=-2x向下平移一个单位，所得直线表达式为y=-2x-1.
故答案为：B.
【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象上下平移的法则：函数值“上加下减”是解题关键. 左右平移时是：自变量“左加右减”.
【例8】★.将直线y=3x先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到直线________.
【答案】 y=3x－11
【考点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将直线y=3x先向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到直线为y=3（x－3）－2=3x－11
故答案为：y=3x－11
【分析】根据直线的平移规律：左加右减，上加下减，即可求出结论.
【亮点训练】
1．如图，一次函数，的图象经过、两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】不等式表示的含义是：一次函数图象在x轴下方部分所对自变量x的取值范围，结合图象即可作答．
【详解】∵一次函数，的图象经过、两点，
如图，
∵不等式表示的含义是：一次函数的图象在x轴下方部分所对自变量x的取值范围，
∴结合图象可知：的解集为：，
故选：B．
【点睛】此题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握一次函数的图象及性质与一元一次不等式的解集的关系是解决此题的关键．解答此类题目时要注意数形结合的思想．
2．一次函数中的自变量x与函数y的部分对应值如下表所示，则关于x的方程的解满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】观察表格可知，当时，y的值由负到正，依此得出关于x的方程的解．
【详解】解：∵时，；
时，，
∴时，y的值由负到正，
∴关于x的方程的解满足．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为（a，b为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与x轴的交点的横坐标的值．
3．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图象求得交点坐标，根据直线的图象位于直线图象的上方，即可求解．
【详解】由题意可知：直线与直线相交于，
结合函数图象可知当时，
直线的图象位于直线图象的上方，
即关于的不等式的解集为：．
故选A．
【点睛】本题考查了根据两直线交点坐标求不等式的解集，数形结合是解题的关键．
4．下列关于一次函数的说法，错误的是（ ）
A．函数的图像与y轴的交点是（0，1）
B．当x值增大时，y随x的增大而减小
C．当时，
D．图像经过第一、二、三象限
【答案】D
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：A、当x=0时，y=1，即函数的图象与y轴的交点是 （0，1），说法正确，不符合题意；
B、由于a=＜0，所以y随x的增大而减小，说法正确，不符合题意；
C、当y＞1时，x+1＞1，此时x＜0，说法正确，不符合题意；
D、该函数图象经过第一、二、四象限，说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数y=kx+b，k＞0时，函数图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，函数图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．
5．如图，直线与x轴交于点，与直线交于点B，则关于x的不等式组的解集为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【分析】结合图象与点A的坐标即可得到每个不等式的解集，根据找不等式组解集的方法即可得到不等式组的解集．
【详解】解：观察图象可得的解集为：，
∵直线与x轴交于点，
∴的解集为：，
∴关于x的不等式组的解集为，
故选：D．
【点睛】本题考查利用图象找不等式组的解集，利用数形结合的思想找到每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则找到不等式组的解集．
二、填空题
6．如图，直线AB是一次函数的图象，若关于x的方程的解是，则直线AB的函数关系式为_________．
【答案】
【分析】将代入进行求解即可得到解答．
【详解】解：∵的解是，
∴将其代入得，
解得，
∴直线AB的函数关系式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求解一次函数，将代入已知方程进行求解是解决本题的关键．
7．已知一次函数和相交于点，则不等式中的取值范围为_________．
【答案】##
【分析】先根据题意画出函数图象，根据函数图象得出中的取值范围即可．
【详解】解：将代入得：，
∴一次函数的图象经过，，
将代入得：，
∴一次函数的图象经过，，如图所示：
∴中的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数和不等式之间的关系，解题的关键是根据题意画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题．
8．如图所示，一次函数y＝ax+b与y＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y＝﹣ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第四象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④4（a﹣c）＝d﹣b．其中正确的是 _______．
【答案】②③④
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可得，
a＞0，则﹣a＜0，对于函数y=﹣ax+b来说，y随x的增大而减小，故①错误；
a＞0，d＞0，则函数y=ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②正确；
由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正确；
4a+b=4c+d可以得到4（a﹣c）=d﹣b，故④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．
9．已知函数和函数的图像交于和两点，当时，求的取值范围为______________________
【答案】x＜-2或x＞1
【分析】将展开，结合交点画出图形，根据图像可得x的取值范围．
【详解】解：，
∵函数和函数的图像交于和两点，
如图所示：
∴当时，求的取值范围为x＜-2或x＞1，
故答案为：x＜-2或x＞1．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，一次函数与不等式，解题的关键是画出图像，利用数形结合的方法解决问题．
10．已知一次函数的图象不过第二象限．
（1）k的取值范围为______．
（2）对于一次函数，若对任意实数x，，都成立，求k的取值范围为______．
【答案】
【分析】（1）根据一次函数的性质得出，解不等式组即可；
（2）对任意实数，都成立，则直线与平行，且在的上方，所以且，解得即可．
【详解】解：（1）由题意得，
解得，
的取值范围是；
（2）依题意，得，
，
对任意实数，都成立，
，
解得，
，
的取值范围是；
故答案为，．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
三、解答题
11．如图，直线：y＝2x－2与x轴交于点D，直线：y＝kx＋b与x轴交于点A，且经过点，直线，交于点．
(1)求m的值；
(2)求直线的解析式；
(3)根据图象，直接写出1＜kx＋b＜2x－2的解集
【答案】(1)2
(2)；
(3)2＜x＜3．
【分析】（1）代入y＝2x－2，即可求解；
（2）把，代入y＝kx＋b，待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据函数图象即可求解．
（1）
把代入y＝2x－2，
得2m－2＝2，
解得m＝2，
即m的值是2；
（2）
把，代入y＝kx＋b，
得，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）
由图象可得，1＜kx＋b＜2x－2的解集是2＜x＜3．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，两直线交点以求不等式组的解集，数形结合是解题的关键．
12．如图，直线过点，点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点.
(1)求直线的解析式以及直线和直线的交点的坐标；
(2)求的面积；
(3)直接写出当时的的取值范围.
【答案】(1)，
(2)6
(3)
【分析】（1）设的函数关系式为y＝kx＋b，利用待定系数法把A、D两点坐标代入y＝kx＋b中，可得关于k、b的方程组，再解方程组即可；然后再联立和的解析式，组成二元一次方程组，再解方程组即可得到B点坐标；
（2）先求出C点坐标，再根据S△ABC＝S△ACD﹣S△BCD进行计算即可；
（3）根据函数图像即可解答．
（1）
解：设的函数关系式为，
根据题意得，解得k＝-1，b=4，
∴直线的解析式为：；
联立两个函数的解析式可得：，解之得；
所以B(2，2) ．
（2）
解：当，x＋1=0，解得：x＝-2，则C(-2，0)，CD=6，
则=×6×4﹣×6×2=6．
（3）
解：由函数图像可知，当时的x的取值范围是x＜2．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、两条直线的交点以及一次函数与不等式的关系等知识点，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键．
13．已知与x成正比例，且时，．
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；
(2)画出函数的图象并观察图象，当 x 取何值时，y ≥0？
(3)若点（m，6）在该函数的图象上，求 m 的值．
【答案】(1)
(2)见解析；当时，
(3)
【分析】（1）利用正比例函数的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出k，从而得到y与x的关系式；
（2）利用描点法画出函数图象，然后写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可；
（3）把（m，6）代入（1）中的解析式可求出m的值．
（1）
解：设，
把x＝−2时，y＝0代入得：解得k＝−1，
∴，
即．
（2）
解：把代入得：，
∴函数图象过点，，函数图象，如图所示：
由图象可知：当时，．
（3）
把（m，6）代入得，
解得．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图象，一次函数图象的性质，设一次函数解析式为，把两组对应值代入求出k、b，从而确定一次函数解析式．
14．一次函数的图像与轴交于点，且经过点．
(1)当时，求一次函数的解析式及点的坐标；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】(1)y=x+，点A的坐标为(-4，0)
(2)
【分析】（1）当m=2时，把点C的坐标代入y=kx+4k(k≠0)，即可求得k的值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可；
（2）根据图像得到不等式，解不等式即可．
（1）
解：∵m=2，
∴将点C(2，2)代入y=kx+4k，
解得k=；
∴一次函数表达式为y=x+，
当y=0时，x+=0，
解得x=-4
∵一次函数y=x+的图像与x轴交于点A，
∴点A的坐标为(-4，0)．
（2）
解：如图，y=kx+4k(k≠0)过定点，
∵当时，，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数y=kx+4k(k≠0)的值，
∴，，
解得k≤−．
∴k≤−．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图像解不等式，数形结合是解答本题的关键．
15．如图，一次函数y=kx+4k(k≠0)的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点C(2，m)，
(1)当m=2时，求一次函数的解析式及点A的坐标；
(2)当x>-1时，对于x的每一个值，函数y=x的值大于一次函数y=kx+4k(k≠0)的值，求k的取值范围．
【答案】(1)y=x+；点A的坐标为(-4，0)
(2)k≤−
【分析】（1）当m=2时，把点C的坐标代入y=kx+4k(k≠0)，即可求得k的值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可；
（2）根据图像得到不等式，解不等式即可．
（1）
解：∵m=2，
∴将点C(2，2)代入y=kx+4k，
解得k=；
∴一次函数表达式为y=x+，
当y=0时，x+=0，
解得x=-4
∵一次函数y=x+的图像与x轴交于点A，
∴点A的坐标为(-4，0)．
（2）
解：作如下图：
∵当x＞−1时，对于x的每一个值，函数y=x的值大于一次函数y=kx+4k(k≠0)的值，结合函数图像可知，
当x=−1时，，
解得k≤−．
∴k≤−．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图像解不等式，数形结合是解答本题的关键．
【培优检测】
1．观察图中的函数图象，可以得到关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】观察函数图象即可得到不等式的解集，即为的解集．
【详解】观察函数图象得当，函数都在函数的图象下方，
∴不等式的解为．
∴不等式的解为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）某一个值的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在直线上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
2．一次函数与的图像如图所示，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第一象限；③不等式的解集是；④．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．②③
【答案】B
【分析】①根据函数图象直接得到结论；②观察函数图象可以直接得到答案；③以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大；④根据两直线交点可以得到答案．
【详解】解：由图象可得：对于函数来说，y随x的增大而减小，故①说法正确；
由于a＜0，d＜0，所以函数的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②说法正确，
由图象可得当x＜3时，一次函数图象在的图象上方，
∴的解集是x＜3，故③说法不正确；
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3，
∴3a＋b＝3c＋d
∴3a−3c＝d−b,
∴d−b＝3（a−c）．故④说法正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．
3．已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与轴交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据一次函数图象的平移规律画出的图象，并且求出一次函数图象与轴交于点，再结合函数图象即可得．
【详解】解：一次函数的图象过第一、二、四象限，且与轴交于点，
一次函数的图象过第一、二、四象限，且与轴交于点，
画出函数的大致图象如下：
由函数图象可知，关于的不等式的解集为，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．
4．如图，直线与直线交于点，点的横坐标为，且直线过点，下列说法：①对于函数来说，随的增大而减小；②函数不经过第三象限；③；④不等式组的解集是其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
【答案】C
【分析】观察图象即可判断；由图象可知，直线过点，得出，根据一次函数的性质即可判断；根据交点坐标以及即可判断；不等式组变形为，解不等式组即可判断判断．
【详解】解：由图象可知，函数经过第一、二、四象限，随的增大而减小，故说法正确；
由图象可知，函数经过第一、二、四象限，
，
由图象可知，直线经过第一、三象限，
，
函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故说法错误；
直线与直线交于点，点的横坐标为，
，
直线过点，
，
，故说法正确；
，，
，
，
，
解得，
不等式组的解集是故说法正确，
故选：C
【点睛】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
5．如图，一次函数与一次函数的图象交于P（1，3），则下列说法正确的个数是（ ）个
（1）方程的解是
（2）方程组的解是
（3）不等式的解集是
（4）不等式的解集是．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据两直线与不等式和方程组的关系解答即可．
【详解】解：因为一次函数与一次函数的图象交于P（1，3），
所以（1）方程ax+b=3的一个解是x=1，正确；
（2）方程组的解是，错误；
（3）不等式ax+b>kx十4的解集是x>1，正确；
（4）不等式4>kx十4>ax+b的解集是0
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx十b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
二、填空题
6．如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是___________.
【答案】
【分析】首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．
【详解】解：直线与相交于点，
，
，
，
当时，，
关于的方程的解是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
7．如图，一次函数与一次函数的图像交于点P（1，3），则关于x的方程的解是_____．
【答案】x=1
【分析】根据已知得到两函数的交点P的坐标，然后利用两个一次函数图像的交点的横坐标就是方程的解，即可解答．
【详解】解：∵一次函数与一次函数的图像交于点P（1，3）
∴关于x的方的解是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查两个一次函数的交点与一元一次方程的解的关系，两个一次函数的交点的横坐标即为对应一元一次方程的解．
8．对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数：当时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为，已知点，点坐标，函数相关函数与线段有且只有一个交点，则的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据定义可得当时，或，根据函数相关函数与线段有且只有一个交点，列出不等式组或，解不等式组即可求解．
【详解】解：根据题意：函数相关函数是：，
当时，或，
点，点，
函数相关函数与线段有且只有一个交点，
，解得，
或，解得
故答案为或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，解题关键是根据题意结合图象即可得出正确答案．
9．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果点M（x，y）满足，那么称点M是点A，B的“双减点”．
（1）点A（﹣1，3），B（a，b）的“双减点”C的坐标是（4，﹣2），则B点坐标是 _____；
（2）若点D（3，﹣4），点E（4m，﹣2m﹣5）的“双减点”是点F，当点F在直线y＝x+1下方时，m的取值范围是 _____．
【答案】 （-9，7） m＜
【分析】（1）根据点C是点A、B的“双减点”的定义可求点B坐标；
（2）点D（3，-4），点E（4m，-2m-5）的“双减点”是点F，可表示出点F的坐标，根据点F在直线y=x+1下方可得出关于m的不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）点A（-1，3），B（a，b）的“双减点”C的坐标是（4，-2），
∴=4，=-2，
∴a=-9，b=7，
∵点B坐标（-9，7），
故答案为：（-9，7）；
（2）∵点D（3，-4），点E（4m，-2m-5）的“双减点”是点F，
∴F（，），即F（，），
∵点F在直线y=x+1下方，
∴+1＞，
解得m＜，
故答案为：m＜．
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，能够利用新定义表示出点的坐标是解题的关键．
10．把、、三个数中最大那个数记为，如，，，在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像有且只有2个交点，则的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据题意得出，当时，，，，当时，，，，当时，，，，再利用数形结合进行求解．
【详解】解：当时，，，，
当时，，，，
当时，，，，
如图：
当直线经过点时，，
当直线与直线平行时，，
时，有两个交点；
当直线经过点时，，
当直线与直线平行时，，
时，有两个交点；
综上所述：或时，满足题意，
故答案为：或．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，解题的关键是能够根据定义，画出分段函数的图象，利用数形结合求解即可．
三、解答题
11．已知直线经过点，，并与 y 轴交于点 D ,与直线．相交于点C点．
(1)不等式的解集是______；
(2)求直线 AB 的函数表达式；
(3)直线与 y 轴交于点 E ，在直线 AB 上是否存在点 P ，使得，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据函数图象直接得出的解集即可
（2）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（3）联立两直线解析式，解方程组得到点C的坐标；分别求出直线与分别与y轴的交点E和点D的坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可．
（1）
解：根据函数图象可知，不等式的解集是：．
故答案为：．
（2）
解：∵直线经过点，，
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为：．
（3）
解：联立，
解得：，
∴点C的坐标为，
把代入得：，
∴点的坐标为，
把代入得：，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，此时点P的坐标为：；
当时，，此时点P的坐标为：；
综上分析可知，点P的坐标为：或．
【点睛】本题主要考查了两条直线相交问题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，正确求出交点坐标，是解题的关键．
12．如图，已知直线经过点，与轴交于点，与直线交于点．
(1)求直线的函数表达式及的值；
(2)根据函数图象，直接写出关于的不等式组的解集： ；
(3)现有一点在直线上，过点作轴交直线于点，若点到线段的距离为1，求点的坐标和点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)点，坐标为，或，
【分析】（1）将点，代入解析式即可求出直线的函数表达式，将点代入解析式即可求出的值；
（2）依据（1）结合图象即可得到答案；
（3）由点到线段的距离为1，点横坐标为3，得到点，横坐标为或，代入解析式即可求出点的坐标和点的坐标．
【详解】（1）解：将，代入得，
解得，
．
将代入，得：．
（2）点坐标为，点坐标为，
由图象得时，，
故答案为：．
（3）点到线段的距离为1，点横坐标为3，
点，横坐标为或，
将代入得，
点坐标为，
将代入得，
点坐标为，
将代入得，
点坐标为，
将代入得，
点坐标为，
综上所述，点，坐标为，或，．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数的交点求不等式的解集，求一次函数图象上点的坐标，一次函数的性质，正确掌握各知识点是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与一次函数的图象交于点B．
(1)求点B的坐标；
(2)结合图象，当时，请直接写出x的取值范围；
(3)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E．当时，求的长．
【答案】(1)B点坐标为．
(2)时，；
(3)．
【分析】（1）联立可直接得点的坐标；
（2）根据函数图象，结合点的坐标即可求得的取值范围；
（3）设点的横坐标为，则，，由求出，即可得的长．
【详解】（1）解：令，解得，
，
点坐标为．
（2）解：由（1）知，由图象由可得，当时，；
（3）解：设点的横坐标为，则，，
，，
，
，解得．
，，
．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，且与直线相交于点C（3，2）．
(1)求a和k的值；
(2)求直线与与x轴围成的三角形面积；
(3)直接写出kx＞ax+4≥0的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将点分别代入，即可求解．
（2）先求得点的坐标，进而求得即可求解．
（3）根据在上方的部分且在轴上方的部分的的取值范围即可求解．
（1）
解：将点代入，得，
解得；
将点代入，得，
解得；
（2）
因为，令，解得，
∴，
∴，
∴直线与与x轴围成的三角形面积即，
（3）
解：根据函数图象可知，kx＞ax+4≥0的解集为在上方的部分且在轴上方的部分的的取值范围，
即．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线与坐标轴围成的三角形面积，根据两直线交点以及直线与坐标轴的交点求不等式组的解集是解题的关键．
15．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图像与性质的方法，对新函数及其图像进行如下探究．
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：
其中 ， ．
(2)请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并结合图像写出该函数的一条性质： ．
(3)当时，的取值范围为___________．
【答案】(1)，
(2)图见解析，对称轴是直线
(3)或
【分析】（1）根据表格，将自变量的值代入解析式计算即可求出答案；
（2）根据函数解析式绘制函数，即可求出答案；
（3）题目中有绝对值，需要分类讨论，根据绝对值的性质，不等式的性质，即可求出的取值范围．
（1）
解：将代入解析式得，，即；
将代入解析式得，，即．
故答案是：，．
（2）
解：函数的图像如下，
如图所示，当时，函数值随自变量值增大而增大；当时，函数值随自变量值增大而减小；函数关于对称．
故答案是：当时，函数值随自变量值增大而增大或当，函数值随自变量值增大而减小或函数的对称轴是．
（3）
解：如图所示，
，
当时，原式变形得，
，符合题意；
当时，原式变形得，
，不等式不成立，不符合题意；
当时，原式变形得，
，符合题意；
故答案是：或．
【点睛】本题主要考查函数的自变量与函数值的关系，结合图像和函数的性质即可求出答案．理解函数的性质，图像的变化规律是解题的关键．
…
0
1
2
…
…
6
3
1
…
x
…
0
…
y
…
1
…
…
…
…
…
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