高中物理人教版 (2019)选择性必修 第二册4 质谱仪与回旋加速器课后复习题

这是一份高中物理人教版 (2019)选择性必修 第二册4 质谱仪与回旋加速器课后复习题，共51页。
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc1161" 【题型1 质谱仪】
\l "_Tc25206" 【题型2 回旋加速器】
\l "_Tc9103" 【题型3 综合问题】
\l "_Tc6522" 【题型4 速度选择器】
\l "_Tc10925" 【题型5 磁流体发电机】
\l "_Tc2094" 【题型6 电磁流量计】
\l "_Tc22177" 【题型7 霍尔元件】
\l "_Tc24590" 【题型8 综合问题】
【题型1 质谱仪】
【例1】如图所示，在容器A中有同一种元素的两种同位素正粒子，它们的初速度几乎为0，粒子可从容器A下方的小孔S1飘入加速电场，然后经过S3沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场中，最后第一种同位素粒子打到照相底片D上的M点，第二种同位素粒子打到照相底片D上的N点。不计同位素粒子的重力。量出M点、N点到S3的距离分别为x1、x2，则第一种与第二种同位素粒子在磁场中运动的时间之比为( )
A.eq \r(\f(x1,x2)) B.eq \f(x1,x2)
C.eq \f(xeq \\al(2,1),xeq \\al(2,2)) D.eq \f(2x1,x2)
【变式1-1】如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比。
【变式1-2】现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为( )
A．11 B．12 C．121 D．144
【变式1-3】(多选)如图所示，一束电荷量相同的带电粒子以一定的初速度沿直线通过由相互正交的匀强磁场和匀强电场(左侧极板带正电，右侧极板带负电)组成的速度选择器，然后粒子通过平板S上的狭缝P进入另一匀强偏转磁场，最终打在A1A2之间，下列说法正确的是( )
A．粒子带正电
B．速度选择器中磁场方向为垂直纸面向里
C．所有打在A1A2之间的粒子，在匀强偏转磁场中的运动时间都相同
D．粒子打在A1A2之间的位置越远，粒子的质量越大
【题型2 回旋加速器】
【例2】回旋加速器原理如图所示，D1和D2是两个中空的半圆形金属盒，置于与盒面垂直的匀强磁场中，它们接在交流电源上，位于D1圆心处的离子源A能不断产生正离子，它们在两盒之间被电场加速，当正离子被加速到最大动能Ek后，再设法将其引出。已知正离子的电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R，狭缝之间的距离为d。设正离子从离子源出发时的初速度为零。
(1)试计算上述正离子被第一次加速后进入D2中运动的轨道半径；
(2)计算正离子飞出时的最大动能；
(3)设该正离子在电场中的加速次数与回旋半周的次数相同，试证明当R≫d时，正离子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计(正离子在电场中运动时，不考虑磁场的影响)。
【变式2-1】(多选)用回旋加速器对粒子进行加速，可以获得高能带电粒子，两个D形盒与电压有效值为U的高频交流电源的两极相连，交流电源频率可调，在两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图所示。粒子由速度为零开始加速，不计粒子在两盒间狭缝中运动的时间。关于回旋加速器，下列说法正确的是( )
A．两D形盒间狭缝中交变电场的频率跟带电粒子的比荷成正比
B．不同的带电粒子在同一回旋加速器中运动的总时间相同
C．带电粒子在磁场中运动时，受到的洛伦兹力不做功，因此带电粒子从D形盒射出时的动能与磁场的强弱无关
D．尽管两D形盒间狭缝中电场对粒子起加速作用，但是带电粒子从D形盒射出时的动能与加速电压的大小无关
【变式2-2】(多选)图甲是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，并分别与高频电源相连。带电粒子从静止开始运动的速率v随时间t变化如图乙所示，已知tn时刻粒子恰射出回旋加速器，不考虑相对论效应、粒子所受的重力和穿过狭缝的时间，下列判断正确的是( )
A．t3－t2＝t2－t1＝t1
B．v1∶v2∶v3＝1∶2∶3
C．粒子在电场中的加速次数为eq \f(vn2,v12)
D．同一D形盒中粒子的相邻轨迹半径之差保持不变
【变式2-3】如图所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为B，加速电压的大小为U，质量为m、电荷量为q的粒子从O附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过P点绕O做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为α，当M、N间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N间的距离。求：
(1)粒子加速到P点所需要的时间t；
(2)极板N的最大厚度dm。
【题型3 综合问题】
【例3】(多选)如图所示为一种质谱仪的工作原理示意图，此质谱仪由以下几部分构成：离子源、加速电场、静电分析器、磁分析器、收集器。静电分析器通道中心线MN所在圆的半径为R，通道内有均匀辐射的电场，中心线处的电场强度大小为E；磁分析器中分布着方向垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场，磁分析器的左边界与静电分析器的右边界平行。由离子源发出一个质量为m、电荷量为＋q的离子(初速度为零，重力不计)，经加速电场加速后进入静电分析器，沿中心线MN做匀速圆周运动，而后由P点进入磁分析器中，最终经过Q点进入收集器。下列说法正确的是( )
A．磁分析器中匀强磁场的方向垂直于纸面向里
B．加速电场中的加速电压U＝eq \f(1,2)ER
C．磁分析器中轨迹圆心O2到Q点间的距离d＝eq \f(1,B) eq \r(\f(mER,q))
D．任何带正电的离子若能到达P点，则一定能进入收集器
【变式3-1】为了进一步提高回旋加速器的能量，科学家建造了“扇形聚焦回旋加速器”．在扇形聚焦过程中，离子能以不变的速率在闭合平衡轨道上周期性旋转．
扇形聚焦磁场分布的简化图如图7所示，圆心为O的圆形区域等分成六个扇形区域，其中三个为峰区，三个为谷区，峰区和谷区相间分布．峰区内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，谷区内没有磁场．质量为m，电荷量为q的正离子，以不变的速率v旋转，其闭合平衡轨道如图中虚线所示．
(1)求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r，并判断离子旋转的方向是顺时针还是逆时针；
(2)求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ，及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T；
(3)在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B′，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心角θ变为90°，求B′和B的关系．已知：sin (α±β )＝sin αcs β±cs αsin β，cs α＝1－2sin2eq \f(α,2).
【变式3-2】某型号的回旋加速器的工作原理如图甲所示，图乙为俯视图。回旋加速器的核心部分为两个D形盒，分别为D1 、D2。D形盒装在真空容器里，整个装置放在巨大的电磁铁两极之间的强大磁场中，磁场可以认为是匀强磁场，且与D形盒底面垂直。两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过狭缝的时间可以忽略不计。D形盒的半径为R，磁场的磁感应强度为B。若质子从粒子源O处进入加速电场的初速度不计，质子质量为m、电荷量为＋q。加速器接入一定频率的高频交变电压，加速电压为U。不考虑相对论效应和重力作用。
(1)求质子第一次经过狭缝被加速后进入D形盒时的速度大小v1和进入D形盒后运动的轨迹半径r1；
(2)求质子被加速后获得的最大动能Ekm和高频交变电压的频率f；
(3)若两D形盒狭缝之间距离为d，且d≪R，计算质子在电场中运动的总时间t1与在磁场中运动的总时间t2，并由此说明质子穿过电场的时间可以忽略不计的原因。
【变式3-3】(多选)如图所示是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，分别与高频交流电源连接，两个D形金属盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两个D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，下列说法中正确的是( )
A.加速电压越大，粒子最终射出时获得的动能就越大
B.粒子射出时的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径和磁感应强度有关
C.若增大加速电压，粒子在金属盒间的加速次数将减少，在回旋加速器中运动的时间将减小
D.粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为eq \r(5)∶eq \r(6)
【题型4 速度选择器】
【例4】如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线(图中平行于导体板的虚线)通过N。不计重力。
(1)求粒子加速器M的加速电压U；
(2)求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
(3)仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能Ek。
【变式4-1】(多选)如图所示，一束正离子先后通过正交电场磁场区域Ⅰ和匀强磁场区域Ⅱ，如果这束正离子流在区域Ⅰ中不偏转，进入区域Ⅱ后偏转半径又相同，则说明这些正离子具有相同的( )
A.电荷 B.质量
C.速度 D.比荷
【变式4-2】(多选)如图所示的电路中，电源电动势为E，内阻为r，滑动变阻器最大阻值为R，G为灵敏电流计，开关闭合，两平行金属板M、N之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子恰好以速度v匀速穿过两板，不计粒子重力。以下说法中正确的是( )
A．保持开关闭合，滑片P向下移动，粒子可能从M板边缘射出
B．保持开关闭合，滑片P的位置不动，将N板向上移动，粒子可能从M板边缘射出
C．将开关断开，粒子将继续沿直线匀速射出
D．开关断开瞬间，灵敏电流计G指针将发生短暂偏转
【变式4-3】(多选)如图所示，为研究某种射线装置的示意图。射线源发出的射线以一定的初速度沿直线射到荧光屏上的中央O点，出现一个亮点。在板间加上垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场后，射线在板间做半径为r的圆周运动，然后打在荧光屏的P点。若在板间再加上一个方向竖直向下、电场强度为E的匀强电场，亮点又恰好回到O点，由此可知该射线源发射的射线粒子( )
A．带正电 B．初速度为v＝eq \f(B,E)
C．比荷为eq \f(q,m)＝eq \f(B2r,E) D．比荷为eq \f(q,m)＝eq \f(E,B2r)
【题型5 磁流体发电机】
【例5】如图所示为等离子体发电机的示意图。高温燃烧室产生的大量的正、负离子被加速后垂直于磁场方向喷入发电通道的磁场中。在发电通道中有两块相距为d的平行金属板，两金属板外接电阻R。若磁场的磁感应强度为B，等离子体进入磁场时的速度为v，系统稳定时发电通道的电阻为r。则下列表述正确的是( )
A．上金属板为发电机的负极，电路中电流为eq \f(Bdv,R)
B．下金属板为发电机的正极，电路中电流为eq \f(Bdv,R＋r)
C．上金属板为发电机的正极，电路中电流为eq \f(Bdv,R＋r)
D．下金属板为发电机的负极，电路中电流为eq \f(Bdv,R)
【变式5-1】磁流体发电的原理如图所示。将一束速度为v的等离子体垂直于磁场方向喷入磁感应强度为B的匀强磁场中，在相距为d、宽为a、长为b的两平行金属板间便产生电压。如果把上、下板和电阻R连接，上、下板就是一个直流电源的两极。若稳定时等离子体在两板间均匀分布，电阻率为ρ，忽略边缘效应，下列判断正确的是( )
A．上板为正极，电流I＝eq \f(Bdvab,Rab＋ρd)
B．上板为负极，电流I＝eq \f(Bvad2,Rad＋ρb)
C．下板为正极，电流I＝eq \f(Bdvab,Rab＋ρd)
D．下板为负极，电流I＝eq \f(Bvad2,Rad＋ρb)
【变式5-2】(多选)如图所示为磁流体发电机的原理图，将一束等离子体垂直于磁场方向喷入磁场，在磁场中有两块金属板A、B，这时金属板上就会聚集电荷，两板间就会产生电压，如果射入的等离子体速度均为v，两金属板间距离为d，金属板的面积为S，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于速度方向，负载电阻为R，等离子体充满两板间的空间。当发电机稳定发电时，电流表示数为I，下列说法正确的是( )
A．金属板A带负电
B．两金属板间的电势差为IR
C．板间等离子体的内阻是eq \f(Bdv,I)－R
D．板间等离子体的电阻率为eq \f(S,d)eq \f(Bdv,I)－R
【变式5-3】如图，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B1，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间。相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P、Q相连。质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止。重力加速度为g，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力。下列说法正确的是( )
A．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝eq \f(mgRsin θ,B1B2Ld)
B．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝eq \f(mgRsin θ,B1B2Ld)
C．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝eq \f(mgRtan θ,B1B2Ld)
D．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝eq \f(mgRtan θ,B1B2Ld)
【题型6 电磁流量计】
【例6】某一种污水流量计工作原理可以简化为如图所示模型，废液内含有大量正、负离子，从直径为d的圆柱形容器右侧流入，左侧流出。流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，下列说法正确的是( )
A．带电离子所受洛伦兹力方向由M指向N
B．M点的电势高于N点的电势
C．污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
D．只需要测量M、N两点间的电压就能够推算废液的流量
【变式6-1】如图所示为电磁流速/流量仪的简化模型示意图，在磁感应强度为B的匀强磁场中，垂直于磁场方向放一个内径为D的不导磁管道，当导电液体在管道中以流速v流动时，导电液体切割磁感线产生电动势，在管道截面上垂直于磁场方向的直径两端安装一对电极，该电动势被信号电极采集，通过测量电压的仪表放大转换实现流速的测量，也可以实现流量(单位时间内流经某一段管道的流体体积)的测量。则关于电磁流速/流量仪的说法正确的是( )
A．测量电压仪表a端的电势高于b端的电势
B．稳定时信号电极采集到的电势差与流速v大小成反比
C．仪表盘如果是刻度盘，流速/流量刻度都是均匀的
D．流量的测量值与电磁流速/流量仪管道的长度成正比
【变式6-2】医生做某些特殊手术时，利用电磁血流计来监测通过动脉的血流速度。电磁血流计由一对电极a和b以及磁极N和S构成，磁极间的磁场是均匀的。使用时，两电极a、b均与血管壁接触，两触点的连线、磁场方向和血流速度方向两两垂直，如图所示。由于血液中的正负离子随血液一起在磁场中运动，电极a、b之间会有微小电势差。在达到平衡时，血管内部的电场可看作是匀强电场，血液中的离子所受的电场力和磁场力的合力为零。在某次监测中，两触点间的距离为3.0 mm，血管壁的厚度可忽略，两触点间的电势差为160 μV，磁感应强度的大小为0.040 T。则血流速度的近似值和电极a、b的正负为( )
A．1.3 m/s，a正、b负 B．2.7 m/s，a正、b负
C．1.3 m/s，a负、b正 D．2.7 m/s，a负、b正
【变式6-3】(多选)安装在排污管道上的流量计可以测量排污流量Q，流量为单位时间内流过管道横截面的流体的体积，如图所示为流量计的示意图。左右两端开口的长方体绝缘管道的长、宽、高分别为a、b、c，所在空间有垂直于前后表面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在上、下两个面的内侧固定有金属板M、N，污水充满管道从左向右匀速流动，测得M、N间电势差为U，污水流过管道时受到的阻力大小f＝kLv2，k是比例系数，L为管道长度，v为污水的流速。则( )
A.电压U与污水中离子浓度无关
B.污水的流量Q＝eq \f(abU,B)
C.金属板M的电势低于金属板N的电势
D.左、右两侧管口的压强差Δp＝eq \f(kaU2,bB2c3)
【题型7 霍尔元件】
【例7】近年来海底通信电缆越来越多，海底电缆通电后产生的磁场可理想化为一无限长载流导线产生的磁场，科学家为了检测某一海域中磁感应强度的大小，利用图中一块长为a、宽为b、厚为c、单位体积内自由电子数为n的金属霍尔元件，放在海底磁场中，当有如图所示的恒定电流I(电流方向和磁场方向垂直)通过元件时，会产生霍尔电势差UH，通过元件参数可以求得此时海底的磁感应强度B的大小(地磁场较弱，可以忽略)。下列说法正确的是(提示：电流I与自由电子定向移动速率v之间关系为I＝nevbc，其中e为电子的电荷量)( )
A．元件上表面的电势高于下表面的电势
B．单位体积内参与导电的电子数目为n＝eq \f(IB,ceUH)
C．仅增大电流I时，上、下表面的电势差减小
D．其他条件一定时，霍尔电压越小，该处的磁感应强度越大
【变式7-1】霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系xyz，如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p。当半导体材料通有沿＋x方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，沿＋y方向，于是在z方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为E，沿－z方向。
(1)判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
(2)若自由电子定向移动在沿＋x方向上形成的电流为In，求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小Fnz。
【变式7-2】笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作；当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态。如图所示，一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向向右的电流时，电子的定向移动速度为v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，于是元件的前、后表面间出现电压U，以此控制屏幕的熄灭。则元件的( )
A．前表面的电势比后表面的低
B．前、后表面间的电压U与v无关
C．前、后表面间的电压U与c成正比
D．自由电子受到的洛伦兹力大小为eq \f(eU,a)
【变式7-3】如图所示，宽度为h、厚度为d的霍尔元件放在与它垂直的磁感应强度大小为B的匀强磁场中，当恒定电流I通过霍尔元件时，在它的前后两个侧面之间会产生电压，这样就实现了将电流输入转化为电压输出。为提高输出的电压，可采取的措施是( )
A.增大d B.减小d
C.增大h D.减小h
参考答案
【题型1 质谱仪】
【例1】如图所示，在容器A中有同一种元素的两种同位素正粒子，它们的初速度几乎为0，粒子可从容器A下方的小孔S1飘入加速电场，然后经过S3沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场中，最后第一种同位素粒子打到照相底片D上的M点，第二种同位素粒子打到照相底片D上的N点。不计同位素粒子的重力。量出M点、N点到S3的距离分别为x1、x2，则第一种与第二种同位素粒子在磁场中运动的时间之比为( )
A.eq \r(\f(x1,x2)) B.eq \f(x1,x2)
C.eq \f(xeq \\al(2,1),xeq \\al(2,2)) D.eq \f(2x1,x2)
答案 C
解析 设加速电场的电压为U，磁场的磁感应强度为B，粒子电荷量为q、质量为m，在电场中加速过程由动能定理qU＝eq \f(1,2)mv2，在磁场中偏转由洛伦兹力提供向心力qvB＝meq \f(v2,r)，带电粒子在磁场中运动的周期T＝eq \f(2πr,v)，带电粒子在磁场中运动时间均为半个周期，即t＝eq \f(T,2)，根据几何关系有x＝2r，联立以上各式可解得t＝eq \f(πB,8U)x2，所以eq \f(t1,t2)＝eq \f(xeq \\al(2,1),xeq \\al(2,2))，故C正确，A、B、D错误。
【变式1-1】如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比。
[解析] (1)设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有q1U＝eq \f(1,2)m1v12①
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
q1v1B＝m1eq \f(v12,R1)②
由几何关系知2R1＝l③
由①②③式得B＝eq \f(4U,lv1)。④
(2)设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2。同理有
q2U＝eq \f(1,2)m2v22⑤
q2v2B＝m2eq \f(v22,R2)⑥
由题给条件有2R2＝eq \f(l,2)⑦
由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为
eq \f(q1,m1)∶eq \f(q2,m2)＝1∶4。⑧
[答案] (1)eq \f(4U,lv1) (2)1∶4
【变式1-2】现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为( )
A．11 B．12 C．121 D．144
解析：选D 由动能定理有qU＝eq \f(1,2)mv2，得带电粒子进入磁场的速度为v＝eq \r(\f(2qU,m))，结合带电粒子在磁场中运动的轨迹半径R＝eq \f(mv,Bq)，联立解得R＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q))，由题意可知，该离子与质子在磁场中具有相同的轨道半径和电荷量，故该离子和质子的质量比eq \f(m离子,m质子)＝144，故选D。
【变式1-3】(多选)如图所示，一束电荷量相同的带电粒子以一定的初速度沿直线通过由相互正交的匀强磁场和匀强电场(左侧极板带正电，右侧极板带负电)组成的速度选择器，然后粒子通过平板S上的狭缝P进入另一匀强偏转磁场，最终打在A1A2之间，下列说法正确的是( )
A．粒子带正电
B．速度选择器中磁场方向为垂直纸面向里
C．所有打在A1A2之间的粒子，在匀强偏转磁场中的运动时间都相同
D．粒子打在A1A2之间的位置越远，粒子的质量越大
解析：选AD 根据左手定则可知，粒子带正电，故A正确；粒子经过速度选择器时所受的电场力和洛伦兹力平衡，所受电场力方向向右，则所受洛伦兹力方向向左，根据左手定则可知，速度选择器中磁场方向为垂直纸面向外，故B错误；所有打在A1A2之间的粒子，在匀强偏转磁场中做匀速圆周运动，运动的时间为t＝eq \f(T,2)，而T＝eq \f(2πR,v)，经过速度选择器后粒子的速度都相同，则在匀强偏转磁场中做匀速圆周运动的粒子，半径越大运动的时间越长，故C错误；经过速度选择器进入匀强偏转磁场中的粒子速度相等，根据题意可知，粒子的电荷量相同，根据R＝eq \f(mv,qB)知，粒子打在A1A2之间的位置越远，半径越大，则粒子的质量越大，故D正确。
【题型2 回旋加速器】
【例2】回旋加速器原理如图所示，D1和D2是两个中空的半圆形金属盒，置于与盒面垂直的匀强磁场中，它们接在交流电源上，位于D1圆心处的离子源A能不断产生正离子，它们在两盒之间被电场加速，当正离子被加速到最大动能Ek后，再设法将其引出。已知正离子的电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R，狭缝之间的距离为d。设正离子从离子源出发时的初速度为零。
(1)试计算上述正离子被第一次加速后进入D2中运动的轨道半径；
(2)计算正离子飞出时的最大动能；
(3)设该正离子在电场中的加速次数与回旋半周的次数相同，试证明当R≫d时，正离子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计(正离子在电场中运动时，不考虑磁场的影响)。
答案 (1)eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q)) (2)eq \f(q2B2R2,2m) (3)见解析
解析 (1)设正离子第1次经过狭缝被加速后的速度为v1，根据动能定理可得qU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)
解得v1＝eq \r(\f(2qU,m))
在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有qv1B＝meq \f(veq \\al(2,1),r1)
解得r1＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q))。
(2)离子射出加速器时qvmB＝meq \f(veq \\al(2,m),R)
解得vm＝eq \f(qBR,m)
离子动能为Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(q2B2R2,2m)。
(3)在电场中运动可以看做连续的匀加速直线运动，设离子射出时速度为v。
根据平均速度公式可得在电场中运动时间为
t1＝eq \f(nd,\f(v,2))＝eq \f(2nd,v)
离子在D形盒中运动的周期为T＝eq \f(2πR,v)
粒子在磁场中回旋的时间为t2＝eq \f(n,2)T＝eq \f(nπR,v)(n＝1，2，3，………)
有eq \f(t1,t2)＝eq \f(\f(2nd,v),\f(nπR,v))＝eq \f(2d,πR)
当d≪R时，t1≪t2，即电场中运动时间可以忽略。
【变式2-1】(多选)用回旋加速器对粒子进行加速，可以获得高能带电粒子，两个D形盒与电压有效值为U的高频交流电源的两极相连，交流电源频率可调，在两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图所示。粒子由速度为零开始加速，不计粒子在两盒间狭缝中运动的时间。关于回旋加速器，下列说法正确的是( )
A．两D形盒间狭缝中交变电场的频率跟带电粒子的比荷成正比
B．不同的带电粒子在同一回旋加速器中运动的总时间相同
C．带电粒子在磁场中运动时，受到的洛伦兹力不做功，因此带电粒子从D形盒射出时的动能与磁场的强弱无关
D．尽管两D形盒间狭缝中电场对粒子起加速作用，但是带电粒子从D形盒射出时的动能与加速电压的大小无关
解析：选ABD 带电粒子在磁场中运动的频率与交变电场的频率相等，大小为f＝eq \f(qB,2πm)，因此两D形盒间狭缝中交变电场的频率跟带电粒子的比荷成正比，故A正确；带电粒子在回旋加速器中被加速的过程，有nqU＝eq \f(1,2)mv2，而v＝eq \f(qBr,m)，带电粒子在回旋加速器中运动的时间为t＝eq \f(n,2)×eq \f(2πm,qB)，整理得t＝eq \f(πBr2,2U)，与带电粒子的质量和电荷量无关，因此不同的带电粒子在同一个回旋加速器中运动的总时间相同，故B正确；带电粒子从D形盒射出时的动能Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(q2B2r2,2m)，可知带电粒子从D形盒射出时的动能与磁感应强度B有关，与加速电压的大小无关，故C错误，D正确。
【变式2-2】(多选)图甲是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，并分别与高频电源相连。带电粒子从静止开始运动的速率v随时间t变化如图乙所示，已知tn时刻粒子恰射出回旋加速器，不考虑相对论效应、粒子所受的重力和穿过狭缝的时间，下列判断正确的是( )
A．t3－t2＝t2－t1＝t1
B．v1∶v2∶v3＝1∶2∶3
C．粒子在电场中的加速次数为eq \f(vn2,v12)
D．同一D形盒中粒子的相邻轨迹半径之差保持不变
解析：选AC 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由qvB＝meq \f(v2,r)，可得r＝eq \f(mv,qB)，粒子运动周期为T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)，故周期与粒子速度无关，每运动半周被加速一次，可知t3－t2＝t2－t1＝t1，A正确；粒子被加速一次，动能增加qU，被加速n次后的动能为eq \f(1,2)mvn2＝nqU，可得v＝eq \r(\f(2nqU,m))，故速度之比为v1∶v2∶v3＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)，B错误，由B的分析可得eq \f(1,2)mv12＝qU，eq \f(1,2)mvn2＝nqU，联立解得n＝eq \f(vn2,v12)，故粒子在电场中的加速次数为eq \f(vn2,v12)，C正确；由A的分析可得r＝eq \f(mv,qB)，由B的分析可知v3－v2≠v2－v1，故r3－r2≠r2－r1，即同一D形盒中粒子的相邻轨迹半径之差会改变，D错误。
【变式2-3】如图所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为B，加速电压的大小为U，质量为m、电荷量为q的粒子从O附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过P点绕O做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为α，当M、N间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N间的距离。求：
(1)粒子加速到P点所需要的时间t；
(2)极板N的最大厚度dm。
解析：(1)设粒子在P点的速度大小为vP，则根据qvB＝meq \f(v2,r)，可知半径表达式为R＝eq \f(mvP,qB)，
根据动能定理，粒子在静电场中加速有nqU＝eq \f(1,2)mvP2，粒子在磁场中运动的周期为T＝eq \f(2πm,qB)，粒子运动的总时间为t＝(n－1)×eq \f(T,2)，解得t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(qB2R2,2mU)－1))eq \f(πm,qB)。
(2)由粒子的运动半径r＝eq \f(mv,qB)，结合动能表达式Ek＝eq \f(1,2)mv2变形得r＝eq \f(\r(2mEk),qB)，则粒子加速到P前最后两个半周的运动半径为r1＝eq \f(\r(2m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(EkP－qU))),qB)，r2＝eq \f(\r(2m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(EkP－2qU))),qB)，
由几何关系dm＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r1－r2))，
解得dm＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(\r(R2－\f(2mU,qB2))－\r(R2－\f(4mU,qB2)))))。
答案：(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(qB2R2,2mU)－1))eq \f(πm,qB)
(2)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(\r(R2－\f(2mU,qB2))－\r(R2－\f(4mU,qB2)))))
【题型3 综合问题】
【例3】(多选)如图所示为一种质谱仪的工作原理示意图，此质谱仪由以下几部分构成：离子源、加速电场、静电分析器、磁分析器、收集器。静电分析器通道中心线MN所在圆的半径为R，通道内有均匀辐射的电场，中心线处的电场强度大小为E；磁分析器中分布着方向垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场，磁分析器的左边界与静电分析器的右边界平行。由离子源发出一个质量为m、电荷量为＋q的离子(初速度为零，重力不计)，经加速电场加速后进入静电分析器，沿中心线MN做匀速圆周运动，而后由P点进入磁分析器中，最终经过Q点进入收集器。下列说法正确的是( )
A．磁分析器中匀强磁场的方向垂直于纸面向里
B．加速电场中的加速电压U＝eq \f(1,2)ER
C．磁分析器中轨迹圆心O2到Q点间的距离d＝eq \f(1,B) eq \r(\f(mER,q))
D．任何带正电的离子若能到达P点，则一定能进入收集器
解析：选BC 该离子在磁分析器中沿顺时针方向转动，根据左手定则可知，磁分析器中匀强磁场的方向垂直于纸面向外，A错误；该离子在静电分析器中做匀速圆周运动，有qE＝meq \f(v2,R)，在加速电场中加速有qU＝eq \f(1,2)mv2，联立解得U＝eq \f(1,2)ER，B正确；该离子在磁分析器中做匀速圆周运动，有qvB＝meq \f(v2,r)，又qE＝meq \f(v2,R)，解得r＝eq \f(1,B) eq \r(\f(mER,q))，该离子经过Q点进入收集器，故d＝r＝eq \f(1,B) eq \r(\f(mER,q))，C正确；任一初速度为零的带正电离子，质量、电荷量分别记为mx、qx，经U＝eq \f(1,2)ER的加速电场后，在静电分析器中做匀速圆周运动的轨迹半径Rx＝R，即一定能到达P点，而在磁分析器中运动的轨迹半径rx＝eq \f(1,B) eq \r(\f(mxER,qx))，rx的大小与离子的质量、电荷量有关，则不一定有rx＝d，故能到达P点的离子不一定能进入收集器，D错误。
【变式3-1】为了进一步提高回旋加速器的能量，科学家建造了“扇形聚焦回旋加速器”．在扇形聚焦过程中，离子能以不变的速率在闭合平衡轨道上周期性旋转．
扇形聚焦磁场分布的简化图如图7所示，圆心为O的圆形区域等分成六个扇形区域，其中三个为峰区，三个为谷区，峰区和谷区相间分布．峰区内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，谷区内没有磁场．质量为m，电荷量为q的正离子，以不变的速率v旋转，其闭合平衡轨道如图中虚线所示．
(1)求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r，并判断离子旋转的方向是顺时针还是逆时针；
(2)求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ，及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T；
(3)在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B′，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心角θ变为90°，求B′和B的关系．已知：sin (α±β )＝sin αcs β±cs αsin β，cs α＝1－2sin2eq \f(α,2).
答案 (1)eq \f(mv,qB) 逆时针 (2)eq \f(2π,3) eq \f(2π＋3\r(3)m,qB)
(3)B′＝eq \f(\r(3)－1,2)B
解析 (1)离子在峰区内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得qvB＝meq \f(v2,r)
峰区内圆弧半径r＝eq \f(mv,qB)
由正离子的运动轨迹结合左手定则知，旋转方向为逆时针方向
(2)如图甲，由对称性，峰区内圆弧的圆心角θ＝eq \f(2π,3)
每个圆弧的弧长l＝eq \f(2πr,3)＝eq \f(2πmv,3qB)
每段直线长度L＝2rcs eq \f(π,6)＝eq \r(3)r＝eq \f(\r(3)mv,qB)
周期T＝eq \f(3l＋L,v)
代入得T＝eq \f(2π＋3\r(3)m,qB)
(3)如图乙，谷区内的圆心角θ′＝120°－90°＝30°
谷区内的轨道圆弧半径r′＝eq \f(mv,qB′)
由几何关系rsin eq \f(θ,2)＝r′sin eq \f(θ′,2)
由三角关系sin eq \f(30°,2)＝sin 15°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)
代入得B′＝eq \f(\r(3)－1,2)B.
【变式3-2】某型号的回旋加速器的工作原理如图甲所示，图乙为俯视图。回旋加速器的核心部分为两个D形盒，分别为D1 、D2。D形盒装在真空容器里，整个装置放在巨大的电磁铁两极之间的强大磁场中，磁场可以认为是匀强磁场，且与D形盒底面垂直。两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过狭缝的时间可以忽略不计。D形盒的半径为R，磁场的磁感应强度为B。若质子从粒子源O处进入加速电场的初速度不计，质子质量为m、电荷量为＋q。加速器接入一定频率的高频交变电压，加速电压为U。不考虑相对论效应和重力作用。
(1)求质子第一次经过狭缝被加速后进入D形盒时的速度大小v1和进入D形盒后运动的轨迹半径r1；
(2)求质子被加速后获得的最大动能Ekm和高频交变电压的频率f；
(3)若两D形盒狭缝之间距离为d，且d≪R，计算质子在电场中运动的总时间t1与在磁场中运动的总时间t2，并由此说明质子穿过电场的时间可以忽略不计的原因。
[解析] (1)质子第1次经过狭缝被加速后的速度大小为v1，则qU＝eq \f(1,2)mv12，qv1B＝eq \f(mv12,r1)
解得v1＝ eq \r(\f(2qU,m))，r1＝eq \f(1,B) eq \r(\f(2mU,q))。
(2)当质子在磁场中运动的轨迹半径为D形盒的半径R时，质子的动能最大，设此时速度为vm，则
qvmB＝meq \f(vm2,R)，Ekm＝eq \f(1,2)mvm2
解得Ekm＝eq \f(q2B2R2,2m)
回旋加速器正常工作时高频交变电压的频率f等于质子在磁场中运动的频率，则eq \f(1,f)＝T＝eq \f(2πR,vm)＝eq \f(2πm,qB)
解得f＝eq \f(qB,2πm)。
(3)质子在狭缝中加速时，有qeq \f(U,d)＝ma
质子在磁场中运动速度大小不变，故其在电场中运动的总时间t1＝eq \f(vm,a)＝eq \f(BRd,U)
质子在磁场中运动的周期T＝eq \f(2πm,qB)
设质子在电场中加速了n次，则有nqU＝Ekm
解得n＝eq \f(qB2R2,2mU)
质子在磁场中运动的总时间t2＝eq \f(n,2)T＝eq \f(πBR2,2U)，则eq \f(t1,t2)＝eq \f(2d,πR)
因为d≪R，得t1≪t2，故质子穿过电场的时间可以忽略不计。
[答案] (1) eq \r(\f(2qU,m)) eq \f(1,B) eq \r(\f(2mU,q)) (2)eq \f(q2B2R2,2m) eq \f(qB,2πm) (3)eq \f(BRd,U) eq \f(πBR2,2U) 理由见解析
【变式3-3】(多选)如图所示是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，分别与高频交流电源连接，两个D形金属盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两个D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，下列说法中正确的是( )
A.加速电压越大，粒子最终射出时获得的动能就越大
B.粒子射出时的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径和磁感应强度有关
C.若增大加速电压，粒子在金属盒间的加速次数将减少，在回旋加速器中运动的时间将减小
D.粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为eq \r(5)∶eq \r(6)
答案 BC
解析 粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得qvmB＝meq \f(veq \\al(2,m),R)，解得vm＝eq \f(qBR,m)，则粒子获得的最大动能为Ekm＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)＝eq \f(q2B2R2,2m)，知粒子获得的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径R和磁感应强度B有关，故A错误，B正确；对粒子，由动能定理得nqU＝eq \f(q2B2R2,2m)，加速次数n＝eq \f(qB2R2,2mU)，增大加速电压U，粒子在金属盒间的加速次数将减少，粒子在回旋加速器中运动的时间t＝eq \f(n,2)T＝eq \f(nπm,qB)将减小，故C正确；对粒子，由动能定理得nqU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,n)，解得vn＝eq \r(\f(2nqU,m))，粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得qvnB＝meq \f(veq \\al(2,n),rn)，解得rn＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2nmU,q))，则粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为eq \f(r4,r5)＝eq \f(\r(4),\r(5))，故D错误。
【题型4 速度选择器】
【例4】如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线(图中平行于导体板的虚线)通过N。不计重力。
(1)求粒子加速器M的加速电压U；
(2)求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
(3)仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能Ek。
[解析] (1)根据功能关系有qU＝eq \f(1,2)mv2
解得U＝eq \f(mv2,2q)。
(2)粒子在速度选择器N中所受电场力与洛伦兹力平衡
则有Eq＝qvB
解得E＝vB，方向垂直导体板向下。
(3)电场力做正功，根据功能关系有Ek＝qU＋Eqd
解得Ek＝eq \f(1,2)mv2＋qBvd。
[答案] (1)eq \f(mv2,2q) (2)vB 垂直导体板向下 (3)eq \f(1,2)mv2＋qBvd
【变式4-1】(多选)如图所示，一束正离子先后通过正交电场磁场区域Ⅰ和匀强磁场区域Ⅱ，如果这束正离子流在区域Ⅰ中不偏转，进入区域Ⅱ后偏转半径又相同，则说明这些正离子具有相同的( )
A.电荷 B.质量
C.速度 D.比荷
解析 离子在区域Ⅰ内不偏转，则有qvB＝qE，v＝eq \f(E,B1)，说明离子有相同速度，C对；在区域Ⅱ内半径相同，由r＝eq \f(mv,qB2)知，离子有相同的比荷eq \f(q,m)，D对；至于离子的电荷与质量是否相等，由题意无法确定，A、B错。
答案 CD
【变式4-2】(多选)如图所示的电路中，电源电动势为E，内阻为r，滑动变阻器最大阻值为R，G为灵敏电流计，开关闭合，两平行金属板M、N之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子恰好以速度v匀速穿过两板，不计粒子重力。以下说法中正确的是( )
A．保持开关闭合，滑片P向下移动，粒子可能从M板边缘射出
B．保持开关闭合，滑片P的位置不动，将N板向上移动，粒子可能从M板边缘射出
C．将开关断开，粒子将继续沿直线匀速射出
D．开关断开瞬间，灵敏电流计G指针将发生短暂偏转
解析：选AD 由粒子在复合场中做匀速直线运动可知，粒子所受电场力与洛伦兹力大小相等，方向相反，当保持开关闭合，滑片向下移动时，电容器两极板间的电压U减小，粒子所受竖直向下的电场力减小，则粒子所受向上的洛伦兹力大于竖直向下的电场力，从而向上偏转，有可能从M板边缘射出，A正确；将N板向上移动使得两极板间距减小，则粒子所受竖直向下的电场力增大，向下偏转，不可能从M板边缘射出，B错误；将开关断开，平行板电容器放电，因此灵敏电流计G指针发生短暂偏转，此后粒子将只受洛伦兹力做匀速圆周运动，D正确，C错误。
【变式4-3】(多选)如图所示，为研究某种射线装置的示意图。射线源发出的射线以一定的初速度沿直线射到荧光屏上的中央O点，出现一个亮点。在板间加上垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场后，射线在板间做半径为r的圆周运动，然后打在荧光屏的P点。若在板间再加上一个方向竖直向下、电场强度为E的匀强电场，亮点又恰好回到O点，由此可知该射线源发射的射线粒子( )
A．带正电 B．初速度为v＝eq \f(B,E)
C．比荷为eq \f(q,m)＝eq \f(B2r,E) D．比荷为eq \f(q,m)＝eq \f(E,B2r)
解析：选AD 粒子在向里的磁场中向上偏转，根据左手定则可知，粒子带正电，A正确；粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，有：Bqv＝meq \f(v2,r)；粒子在电磁叠加场中有：qE＝qvB，则v＝eq \f(E,B)，eq \f(q,m)＝eq \f(E,B2r)，B、C错误，D正确。
【题型5 磁流体发电机】
【例5】如图所示为等离子体发电机的示意图。高温燃烧室产生的大量的正、负离子被加速后垂直于磁场方向喷入发电通道的磁场中。在发电通道中有两块相距为d的平行金属板，两金属板外接电阻R。若磁场的磁感应强度为B，等离子体进入磁场时的速度为v，系统稳定时发电通道的电阻为r。则下列表述正确的是( )
A．上金属板为发电机的负极，电路中电流为eq \f(Bdv,R)
B．下金属板为发电机的正极，电路中电流为eq \f(Bdv,R＋r)
C．上金属板为发电机的正极，电路中电流为eq \f(Bdv,R＋r)
D．下金属板为发电机的负极，电路中电流为eq \f(Bdv,R)
[解析] 根据左手定则，正离子受到的洛伦兹力向上，所以上金属板带正电，即上板为正极。稳定后有eq \f(E,d)q＝qvB，解得E＝dvB，根据闭合电路的欧姆定律得I＝eq \f(E,R＋r)＝eq \f(dvB,R＋r)，故选C。
[答案] C
【变式5-1】磁流体发电的原理如图所示。将一束速度为v的等离子体垂直于磁场方向喷入磁感应强度为B的匀强磁场中，在相距为d、宽为a、长为b的两平行金属板间便产生电压。如果把上、下板和电阻R连接，上、下板就是一个直流电源的两极。若稳定时等离子体在两板间均匀分布，电阻率为ρ，忽略边缘效应，下列判断正确的是( )
A．上板为正极，电流I＝eq \f(Bdvab,Rab＋ρd)
B．上板为负极，电流I＝eq \f(Bvad2,Rad＋ρb)
C．下板为正极，电流I＝eq \f(Bdvab,Rab＋ρd)
D．下板为负极，电流I＝eq \f(Bvad2,Rad＋ρb)
解析：选C 等离子体是由大量正、负离子组成的气体状物质，根据左手定则可知，正离子受到的洛伦兹力向下，负离子受到的洛伦兹力向上，所以下板为正极；当磁流体发电机达到稳定状态时，极板间的离子受力平衡qvB＝qeq \f(E,d)，可得电动势E＝Bdv，根据闭合电路的欧姆定律，电流I＝eq \f(E,R＋r)，而电源内阻r＝ρeq \f(l,S)＝eq \f(ρd,ab)，代入得I＝eq \f(Bdvab,Rab＋ρd)，故C正确。
【变式5-2】(多选)如图所示为磁流体发电机的原理图，将一束等离子体垂直于磁场方向喷入磁场，在磁场中有两块金属板A、B，这时金属板上就会聚集电荷，两板间就会产生电压，如果射入的等离子体速度均为v，两金属板间距离为d，金属板的面积为S，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于速度方向，负载电阻为R，等离子体充满两板间的空间。当发电机稳定发电时，电流表示数为I，下列说法正确的是( )
A．金属板A带负电
B．两金属板间的电势差为IR
C．板间等离子体的内阻是eq \f(Bdv,I)－R
D．板间等离子体的电阻率为eq \f(S,d)eq \f(Bdv,I)－R
解析：选ACD 大量等离子体进入磁场时，由左手定则可以判断，正离子受到的洛伦兹力向下，所以正离子聚集到金属板B上，负离子受到的洛伦兹力向上，负离子聚集到金属板A上，故金属板B相当于电源的正极，金属板A相当于电源的负极，故A正确；根据qvB＝qeq \f(U,d)得，U＝E电动＝Bdv，故B错误；根据闭合电路的欧姆定律得r＝eq \f(E电动,I)－R＝eq \f(Bdv,I)－R，故C正确；依据r＝ρeq \f(d,S)得，板间等离子体的电阻率ρ＝eq \f(rS,d)＝eq \f(S,d)eq \f(Bdv,I)－R，故D正确。
【变式5-3】如图，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B1，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间。相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P、Q相连。质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止。重力加速度为g，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力。下列说法正确的是( )
A．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝eq \f(mgRsin θ,B1B2Ld)
B．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝eq \f(mgRsin θ,B1B2Ld)
C．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝eq \f(mgRtan θ,B1B2Ld)
D．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝eq \f(mgRtan θ,B1B2Ld)
解析：选B 由左手定则可知Q板带正电，P板带负电，所以金属棒ab中的电流方向为从a到b，对金属棒受力分析可知，金属棒受到的安培力方向沿导轨平面向上，由左手定则可知导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，由受力平衡可知B2IL＝mgsin θ，而I＝eq \f(U,R)，而对等离子体受力分析有qeq \f(U,d)＝qvB1，解得v＝eq \f(mgRsin θ,B1B2Ld)。故B正确，A、C、D错误。
【题型6 电磁流量计】
【例6】某一种污水流量计工作原理可以简化为如图所示模型，废液内含有大量正、负离子，从直径为d的圆柱形容器右侧流入，左侧流出。流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，下列说法正确的是( )
A．带电离子所受洛伦兹力方向由M指向N
B．M点的电势高于N点的电势
C．污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
D．只需要测量M、N两点间的电压就能够推算废液的流量
解析：选D 带电离子进入磁场后受到洛伦兹力作用，根据左手定则可知，正离子受到的洛伦兹力向下，负离子受到的洛伦兹力向上，则M点的电势低于N点的电势，故A、B错误；不带电的液体在磁场中不受洛伦兹力，M、N两点间没有电势差，无法计算流速，故C错误；最终带电离子受到的电场力和洛伦兹力平衡，有qvB＝qeq \f(U,d)，解得液体的流速为v＝eq \f(U,dB)，U是M、N两点间的电压，废液的流量为Q＝vS＝eq \f(πUd,4B)，B、d为已知量，则只需要测量M、N两点间的电压就能够推算废液的流量，故D正确。
【变式6-1】如图所示为电磁流速/流量仪的简化模型示意图，在磁感应强度为B的匀强磁场中，垂直于磁场方向放一个内径为D的不导磁管道，当导电液体在管道中以流速v流动时，导电液体切割磁感线产生电动势，在管道截面上垂直于磁场方向的直径两端安装一对电极，该电动势被信号电极采集，通过测量电压的仪表放大转换实现流速的测量，也可以实现流量(单位时间内流经某一段管道的流体体积)的测量。则关于电磁流速/流量仪的说法正确的是( )
A．测量电压仪表a端的电势高于b端的电势
B．稳定时信号电极采集到的电势差与流速v大小成反比
C．仪表盘如果是刻度盘，流速/流量刻度都是均匀的
D．流量的测量值与电磁流速/流量仪管道的长度成正比
[解析] 根据左手定则可知测量电压的仪表a端的电势低于b端的电势，A错误；当导电液体在管道中以流速v流动时，正负离子在磁场的作用下偏转，电极两端形成了电势差，当qeq \f(U,D)＝qvB，即U＝BvD，电势差恒定，保持稳定输出，所以信号电极采集到的电势差与流速大小成正比，B错误；流量为Q＝eq \f(V,t)＝eq \f(πD2v,4)，流量的测量值与流速v成正比，与电磁流速流量仪管道的长度无关，在仪表内部参数确定后，测量流速和流量的仪表盘刻度都是均匀的，C正确，D错误。
[答案] C
【变式6-2】医生做某些特殊手术时，利用电磁血流计来监测通过动脉的血流速度。电磁血流计由一对电极a和b以及磁极N和S构成，磁极间的磁场是均匀的。使用时，两电极a、b均与血管壁接触，两触点的连线、磁场方向和血流速度方向两两垂直，如图所示。由于血液中的正负离子随血液一起在磁场中运动，电极a、b之间会有微小电势差。在达到平衡时，血管内部的电场可看作是匀强电场，血液中的离子所受的电场力和磁场力的合力为零。在某次监测中，两触点间的距离为3.0 mm，血管壁的厚度可忽略，两触点间的电势差为160 μV，磁感应强度的大小为0.040 T。则血流速度的近似值和电极a、b的正负为( )
A．1.3 m/s，a正、b负 B．2.7 m/s，a正、b负
C．1.3 m/s，a负、b正 D．2.7 m/s，a负、b正
解析：选A 由于正、负离子在匀强磁场中垂直于磁场方向运动，利用左手定则可以判断电极a带正电，电极b带负电。血液流动速度可根据离子所受的电场力和洛伦兹力的合力为0求解，即qvB＝qE，得v＝eq \f(E,B)＝eq \f(U,Bd)≈1.3 m/s，A正确。
【变式6-3】(多选)安装在排污管道上的流量计可以测量排污流量Q，流量为单位时间内流过管道横截面的流体的体积，如图所示为流量计的示意图。左右两端开口的长方体绝缘管道的长、宽、高分别为a、b、c，所在空间有垂直于前后表面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在上、下两个面的内侧固定有金属板M、N，污水充满管道从左向右匀速流动，测得M、N间电势差为U，污水流过管道时受到的阻力大小f＝kLv2，k是比例系数，L为管道长度，v为污水的流速。则( )
A.电压U与污水中离子浓度无关
B.污水的流量Q＝eq \f(abU,B)
C.金属板M的电势低于金属板N的电势
D.左、右两侧管口的压强差Δp＝eq \f(kaU2,bB2c3)
答案 AD
解析 污水中的离子受到洛伦兹力，正离子向上极板聚集，负离子向下极板聚集，所以金属板M的电势大于金属板N的电势，从而在管道内形成匀强电场，最终离子在电场力和洛伦兹力的作用下平衡，即qvB＝qeq \f(U,c)，解得U＝cvB，可知电压U与污水中离子浓度无关，A正确，C错误；污水的流量为Q＝vbc＝eq \f(U,cB)bc＝eq \f(bU,B)，B错误；污水流过该装置受到的阻力为f＝kLv2＝kaeq \f(U2,c2B2)，污水匀速通过该装置，则两侧的压力差等于阻力，即Δp·bc＝f，则Δp＝eq \f(f,bc)＝eq \f(ka\f(U2,c2B2),bc)＝eq \f(kaU2,bB2c3)，D正确。
【题型7 霍尔元件】
【例7】近年来海底通信电缆越来越多，海底电缆通电后产生的磁场可理想化为一无限长载流导线产生的磁场，科学家为了检测某一海域中磁感应强度的大小，利用图中一块长为a、宽为b、厚为c、单位体积内自由电子数为n的金属霍尔元件，放在海底磁场中，当有如图所示的恒定电流I(电流方向和磁场方向垂直)通过元件时，会产生霍尔电势差UH，通过元件参数可以求得此时海底的磁感应强度B的大小(地磁场较弱，可以忽略)。下列说法正确的是(提示：电流I与自由电子定向移动速率v之间关系为I＝nevbc，其中e为电子的电荷量)( )
A．元件上表面的电势高于下表面的电势
B．单位体积内参与导电的电子数目为n＝eq \f(IB,ceUH)
C．仅增大电流I时，上、下表面的电势差减小
D．其他条件一定时，霍尔电压越小，该处的磁感应强度越大
解析：选B 金属材料中，定向移动的是自由电子，因为自由电子定向移动的方向与电流方向相反，由左手定则可知，自由电子聚集在元件上表面，则元件上表面的电势要低于下表面的电势，故A错误；最终电子受到电场力和洛伦兹力平衡，有eeq \f(UH,b)＝evB，又I＝nebcv，联立解得n＝eq \f(IB,ceUH)，故B正确；最终电子受到电场力和洛伦兹力平衡，有eeq \f(UH,b)＝evB，可得UH＝bvB，如果仅增大电流I时，根据I＝nevbc可知，自由电子定向移动速率会增大，则上、下表面的电势差增大，故C错误；根据UH＝bvB可知，其他条件一定时，霍尔电压越小，该处的磁感应强度越小，故D错误。
【变式7-1】霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系xyz，如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p。当半导体材料通有沿＋x方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，沿＋y方向，于是在z方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为E，沿－z方向。
(1)判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
(2)若自由电子定向移动在沿＋x方向上形成的电流为In，求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小Fnz。
[解析] (1)自由电子受到的洛伦兹力沿＋z方向。
(2)设t时间内流过半导体垂直于x轴某一横截面自由电子的电荷量为q，由电流定义式，有In＝eq \f(q,t)①
设自由电子在x方向上定向移动速率为vnx，可导出自由电子的电流微观表达式为In＝neabvnx②
单个自由电子所受洛伦兹力大小为F洛＝evnxB③
霍尔电场力大小为F电＝eE④
自由电子在z方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，联立②③④式，其合力大小为Fnz＝eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(InB,neab)＋E))。⑤
[答案] (1)沿＋z方向 (2)eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(InB,neab)＋E))
【变式7-2】笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作；当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态。如图所示，一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向向右的电流时，电子的定向移动速度为v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，于是元件的前、后表面间出现电压U，以此控制屏幕的熄灭。则元件的( )
A．前表面的电势比后表面的低
B．前、后表面间的电压U与v无关
C．前、后表面间的电压U与c成正比
D．自由电子受到的洛伦兹力大小为eq \f(eU,a)
解析：选D 由左手定则判断，电子所受的洛伦兹力指向后表面，后表面带负电，电势比前表面低，A错误。电子受力平衡后，U稳定不变，由eeq \f(U,a)＝evB得U＝Bav，前、后表面间的电压U与v成正比，与c无关，故B、C错误。自由电子受到的洛伦兹力F＝evB＝eq \f(eU,a)，D正确。
【变式7-3】如图所示，宽度为h、厚度为d的霍尔元件放在与它垂直的磁感应强度大小为B的匀强磁场中，当恒定电流I通过霍尔元件时，在它的前后两个侧面之间会产生电压，这样就实现了将电流输入转化为电压输出。为提高输出的电压，可采取的措施是( )
A.增大d B.减小d
C.增大h D.减小h
答案 B
解析 当自由电子受力稳定后，受到的电场力和洛伦兹力平衡，故qE＝qvB，因为E＝eq \f(U,h)，故U＝Bhv，电流I＝neSv＝nehdv，联立可得U＝eq \f(IB,ned)，故要使U变大，故需要减小d，与h无关。故选项B正确。
专题1.9 质谱仪与回旋加速器
【人教版】
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc1161" 【题型1 质谱仪】
\l "_Tc25206" 【题型2 回旋加速器】
\l "_Tc9103" 【题型3 综合问题】
\l "_Tc6522" 【题型4 速度选择器】
\l "_Tc10925" 【题型5 磁流体发电机】
\l "_Tc2094" 【题型6 电磁流量计】
\l "_Tc22177" 【题型7 霍尔元件】
\l "_Tc24590" 【题型8 综合问题】
【题型1 质谱仪】
【例1】如图所示，在容器A中有同一种元素的两种同位素正粒子，它们的初速度几乎为0，粒子可从容器A下方的小孔S1飘入加速电场，然后经过S3沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场中，最后第一种同位素粒子打到照相底片D上的M点，第二种同位素粒子打到照相底片D上的N点。不计同位素粒子的重力。量出M点、N点到S3的距离分别为x1、x2，则第一种与第二种同位素粒子在磁场中运动的时间之比为( )
A.eq \r(\f(x1,x2)) B.eq \f(x1,x2)
C.eq \f(xeq \\al(2,1),xeq \\al(2,2)) D.eq \f(2x1,x2)
答案 C
解析 设加速电场的电压为U，磁场的磁感应强度为B，粒子电荷量为q、质量为m，在电场中加速过程由动能定理qU＝eq \f(1,2)mv2，在磁场中偏转由洛伦兹力提供向心力qvB＝meq \f(v2,r)，带电粒子在磁场中运动的周期T＝eq \f(2πr,v)，带电粒子在磁场中运动时间均为半个周期，即t＝eq \f(T,2)，根据几何关系有x＝2r，联立以上各式可解得t＝eq \f(πB,8U)x2，所以eq \f(t1,t2)＝eq \f(xeq \\al(2,1),xeq \\al(2,2))，故C正确，A、B、D错误。
【变式1-1】如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)甲、乙两种离子的比荷之比。
[解析] (1)设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有q1U＝eq \f(1,2)m1v12①
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
q1v1B＝m1eq \f(v12,R1)②
由几何关系知2R1＝l③
由①②③式得B＝eq \f(4U,lv1)。④
(2)设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2。同理有
q2U＝eq \f(1,2)m2v22⑤
q2v2B＝m2eq \f(v22,R2)⑥
由题给条件有2R2＝eq \f(l,2)⑦
由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为
eq \f(q1,m1)∶eq \f(q2,m2)＝1∶4。⑧
[答案] (1)eq \f(4U,lv1) (2)1∶4
【变式1-2】现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图所示，其中加速电压恒定。质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。此离子和质子的质量比约为( )
A．11 B．12 C．121 D．144
解析：选D 由动能定理有qU＝eq \f(1,2)mv2，得带电粒子进入磁场的速度为v＝eq \r(\f(2qU,m))，结合带电粒子在磁场中运动的轨迹半径R＝eq \f(mv,Bq)，联立解得R＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q))，由题意可知，该离子与质子在磁场中具有相同的轨道半径和电荷量，故该离子和质子的质量比eq \f(m离子,m质子)＝144，故选D。
【变式1-3】(多选)如图所示，一束电荷量相同的带电粒子以一定的初速度沿直线通过由相互正交的匀强磁场和匀强电场(左侧极板带正电，右侧极板带负电)组成的速度选择器，然后粒子通过平板S上的狭缝P进入另一匀强偏转磁场，最终打在A1A2之间，下列说法正确的是( )
A．粒子带正电
B．速度选择器中磁场方向为垂直纸面向里
C．所有打在A1A2之间的粒子，在匀强偏转磁场中的运动时间都相同
D．粒子打在A1A2之间的位置越远，粒子的质量越大
解析：选AD 根据左手定则可知，粒子带正电，故A正确；粒子经过速度选择器时所受的电场力和洛伦兹力平衡，所受电场力方向向右，则所受洛伦兹力方向向左，根据左手定则可知，速度选择器中磁场方向为垂直纸面向外，故B错误；所有打在A1A2之间的粒子，在匀强偏转磁场中做匀速圆周运动，运动的时间为t＝eq \f(T,2)，而T＝eq \f(2πR,v)，经过速度选择器后粒子的速度都相同，则在匀强偏转磁场中做匀速圆周运动的粒子，半径越大运动的时间越长，故C错误；经过速度选择器进入匀强偏转磁场中的粒子速度相等，根据题意可知，粒子的电荷量相同，根据R＝eq \f(mv,qB)知，粒子打在A1A2之间的位置越远，半径越大，则粒子的质量越大，故D正确。
【题型2 回旋加速器】
【例2】回旋加速器原理如图所示，D1和D2是两个中空的半圆形金属盒，置于与盒面垂直的匀强磁场中，它们接在交流电源上，位于D1圆心处的离子源A能不断产生正离子，它们在两盒之间被电场加速，当正离子被加速到最大动能Ek后，再设法将其引出。已知正离子的电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D型盒的半径为R，狭缝之间的距离为d。设正离子从离子源出发时的初速度为零。
(1)试计算上述正离子被第一次加速后进入D2中运动的轨道半径；
(2)计算正离子飞出时的最大动能；
(3)设该正离子在电场中的加速次数与回旋半周的次数相同，试证明当R≫d时，正离子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计(正离子在电场中运动时，不考虑磁场的影响)。
答案 (1)eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q)) (2)eq \f(q2B2R2,2m) (3)见解析
解析 (1)设正离子第1次经过狭缝被加速后的速度为v1，根据动能定理可得qU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)
解得v1＝eq \r(\f(2qU,m))
在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有qv1B＝meq \f(veq \\al(2,1),r1)
解得r1＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2mU,q))。
(2)离子射出加速器时qvmB＝meq \f(veq \\al(2,m),R)
解得vm＝eq \f(qBR,m)
离子动能为Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(q2B2R2,2m)。
(3)在电场中运动可以看做连续的匀加速直线运动，设离子射出时速度为v。
根据平均速度公式可得在电场中运动时间为
t1＝eq \f(nd,\f(v,2))＝eq \f(2nd,v)
离子在D形盒中运动的周期为T＝eq \f(2πR,v)
粒子在磁场中回旋的时间为t2＝eq \f(n,2)T＝eq \f(nπR,v)(n＝1，2，3，………)
有eq \f(t1,t2)＝eq \f(\f(2nd,v),\f(nπR,v))＝eq \f(2d,πR)
当d≪R时，t1≪t2，即电场中运动时间可以忽略。
【变式2-1】(多选)用回旋加速器对粒子进行加速，可以获得高能带电粒子，两个D形盒与电压有效值为U的高频交流电源的两极相连，交流电源频率可调，在两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图所示。粒子由速度为零开始加速，不计粒子在两盒间狭缝中运动的时间。关于回旋加速器，下列说法正确的是( )
A．两D形盒间狭缝中交变电场的频率跟带电粒子的比荷成正比
B．不同的带电粒子在同一回旋加速器中运动的总时间相同
C．带电粒子在磁场中运动时，受到的洛伦兹力不做功，因此带电粒子从D形盒射出时的动能与磁场的强弱无关
D．尽管两D形盒间狭缝中电场对粒子起加速作用，但是带电粒子从D形盒射出时的动能与加速电压的大小无关
解析：选ABD 带电粒子在磁场中运动的频率与交变电场的频率相等，大小为f＝eq \f(qB,2πm)，因此两D形盒间狭缝中交变电场的频率跟带电粒子的比荷成正比，故A正确；带电粒子在回旋加速器中被加速的过程，有nqU＝eq \f(1,2)mv2，而v＝eq \f(qBr,m)，带电粒子在回旋加速器中运动的时间为t＝eq \f(n,2)×eq \f(2πm,qB)，整理得t＝eq \f(πBr2,2U)，与带电粒子的质量和电荷量无关，因此不同的带电粒子在同一个回旋加速器中运动的总时间相同，故B正确；带电粒子从D形盒射出时的动能Ek＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(q2B2r2,2m)，可知带电粒子从D形盒射出时的动能与磁感应强度B有关，与加速电压的大小无关，故C错误，D正确。
【变式2-2】(多选)图甲是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，并分别与高频电源相连。带电粒子从静止开始运动的速率v随时间t变化如图乙所示，已知tn时刻粒子恰射出回旋加速器，不考虑相对论效应、粒子所受的重力和穿过狭缝的时间，下列判断正确的是( )
A．t3－t2＝t2－t1＝t1
B．v1∶v2∶v3＝1∶2∶3
C．粒子在电场中的加速次数为eq \f(vn2,v12)
D．同一D形盒中粒子的相邻轨迹半径之差保持不变
解析：选AC 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由qvB＝meq \f(v2,r)，可得r＝eq \f(mv,qB)，粒子运动周期为T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)，故周期与粒子速度无关，每运动半周被加速一次，可知t3－t2＝t2－t1＝t1，A正确；粒子被加速一次，动能增加qU，被加速n次后的动能为eq \f(1,2)mvn2＝nqU，可得v＝eq \r(\f(2nqU,m))，故速度之比为v1∶v2∶v3＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)，B错误，由B的分析可得eq \f(1,2)mv12＝qU，eq \f(1,2)mvn2＝nqU，联立解得n＝eq \f(vn2,v12)，故粒子在电场中的加速次数为eq \f(vn2,v12)，C正确；由A的分析可得r＝eq \f(mv,qB)，由B的分析可知v3－v2≠v2－v1，故r3－r2≠r2－r1，即同一D形盒中粒子的相邻轨迹半径之差会改变，D错误。
【变式2-3】如图所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O点为圆心，磁感应强度大小为B，加速电压的大小为U，质量为m、电荷量为q的粒子从O附近飘入加速电场，多次加速后粒子经过P点绕O做圆周运动，半径为R，粒子在电场中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P位置安装一个“静电偏转器”，如图2所示，偏转器的两极板M和N厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为α，当M、N间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E的电场，使粒子恰能通过狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N间的距离。求：
(1)粒子加速到P点所需要的时间t；
(2)极板N的最大厚度dm。
解析：(1)设粒子在P点的速度大小为vP，则根据qvB＝meq \f(v2,r)，可知半径表达式为R＝eq \f(mvP,qB)，
根据动能定理，粒子在静电场中加速有nqU＝eq \f(1,2)mvP2，粒子在磁场中运动的周期为T＝eq \f(2πm,qB)，粒子运动的总时间为t＝(n－1)×eq \f(T,2)，解得t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(qB2R2,2mU)－1))eq \f(πm,qB)。
(2)由粒子的运动半径r＝eq \f(mv,qB)，结合动能表达式Ek＝eq \f(1,2)mv2变形得r＝eq \f(\r(2mEk),qB)，则粒子加速到P前最后两个半周的运动半径为r1＝eq \f(\r(2m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(EkP－qU))),qB)，r2＝eq \f(\r(2m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(EkP－2qU))),qB)，
由几何关系dm＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r1－r2))，
解得dm＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(\r(R2－\f(2mU,qB2))－\r(R2－\f(4mU,qB2)))))。
答案：(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(qB2R2,2mU)－1))eq \f(πm,qB)
(2)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(\r(R2－\f(2mU,qB2))－\r(R2－\f(4mU,qB2)))))
【题型3 综合问题】
【例3】(多选)如图所示为一种质谱仪的工作原理示意图，此质谱仪由以下几部分构成：离子源、加速电场、静电分析器、磁分析器、收集器。静电分析器通道中心线MN所在圆的半径为R，通道内有均匀辐射的电场，中心线处的电场强度大小为E；磁分析器中分布着方向垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场，磁分析器的左边界与静电分析器的右边界平行。由离子源发出一个质量为m、电荷量为＋q的离子(初速度为零，重力不计)，经加速电场加速后进入静电分析器，沿中心线MN做匀速圆周运动，而后由P点进入磁分析器中，最终经过Q点进入收集器。下列说法正确的是( )
A．磁分析器中匀强磁场的方向垂直于纸面向里
B．加速电场中的加速电压U＝eq \f(1,2)ER
C．磁分析器中轨迹圆心O2到Q点间的距离d＝eq \f(1,B) eq \r(\f(mER,q))
D．任何带正电的离子若能到达P点，则一定能进入收集器
解析：选BC 该离子在磁分析器中沿顺时针方向转动，根据左手定则可知，磁分析器中匀强磁场的方向垂直于纸面向外，A错误；该离子在静电分析器中做匀速圆周运动，有qE＝meq \f(v2,R)，在加速电场中加速有qU＝eq \f(1,2)mv2，联立解得U＝eq \f(1,2)ER，B正确；该离子在磁分析器中做匀速圆周运动，有qvB＝meq \f(v2,r)，又qE＝meq \f(v2,R)，解得r＝eq \f(1,B) eq \r(\f(mER,q))，该离子经过Q点进入收集器，故d＝r＝eq \f(1,B) eq \r(\f(mER,q))，C正确；任一初速度为零的带正电离子，质量、电荷量分别记为mx、qx，经U＝eq \f(1,2)ER的加速电场后，在静电分析器中做匀速圆周运动的轨迹半径Rx＝R，即一定能到达P点，而在磁分析器中运动的轨迹半径rx＝eq \f(1,B) eq \r(\f(mxER,qx))，rx的大小与离子的质量、电荷量有关，则不一定有rx＝d，故能到达P点的离子不一定能进入收集器，D错误。
【变式3-1】为了进一步提高回旋加速器的能量，科学家建造了“扇形聚焦回旋加速器”．在扇形聚焦过程中，离子能以不变的速率在闭合平衡轨道上周期性旋转．
扇形聚焦磁场分布的简化图如图7所示，圆心为O的圆形区域等分成六个扇形区域，其中三个为峰区，三个为谷区，峰区和谷区相间分布．峰区内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，谷区内没有磁场．质量为m，电荷量为q的正离子，以不变的速率v旋转，其闭合平衡轨道如图中虚线所示．
(1)求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r，并判断离子旋转的方向是顺时针还是逆时针；
(2)求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ，及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T；
(3)在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B′，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心角θ变为90°，求B′和B的关系．已知：sin (α±β )＝sin αcs β±cs αsin β，cs α＝1－2sin2eq \f(α,2).
答案 (1)eq \f(mv,qB) 逆时针 (2)eq \f(2π,3) eq \f(2π＋3\r(3)m,qB)
(3)B′＝eq \f(\r(3)－1,2)B
解析 (1)离子在峰区内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得qvB＝meq \f(v2,r)
峰区内圆弧半径r＝eq \f(mv,qB)
由正离子的运动轨迹结合左手定则知，旋转方向为逆时针方向
(2)如图甲，由对称性，峰区内圆弧的圆心角θ＝eq \f(2π,3)
每个圆弧的弧长l＝eq \f(2πr,3)＝eq \f(2πmv,3qB)
每段直线长度L＝2rcs eq \f(π,6)＝eq \r(3)r＝eq \f(\r(3)mv,qB)
周期T＝eq \f(3l＋L,v)
代入得T＝eq \f(2π＋3\r(3)m,qB)
(3)如图乙，谷区内的圆心角θ′＝120°－90°＝30°
谷区内的轨道圆弧半径r′＝eq \f(mv,qB′)
由几何关系rsin eq \f(θ,2)＝r′sin eq \f(θ′,2)
由三角关系sin eq \f(30°,2)＝sin 15°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)
代入得B′＝eq \f(\r(3)－1,2)B.
【变式3-2】某型号的回旋加速器的工作原理如图甲所示，图乙为俯视图。回旋加速器的核心部分为两个D形盒，分别为D1 、D2。D形盒装在真空容器里，整个装置放在巨大的电磁铁两极之间的强大磁场中，磁场可以认为是匀强磁场，且与D形盒底面垂直。两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过狭缝的时间可以忽略不计。D形盒的半径为R，磁场的磁感应强度为B。若质子从粒子源O处进入加速电场的初速度不计，质子质量为m、电荷量为＋q。加速器接入一定频率的高频交变电压，加速电压为U。不考虑相对论效应和重力作用。
(1)求质子第一次经过狭缝被加速后进入D形盒时的速度大小v1和进入D形盒后运动的轨迹半径r1；
(2)求质子被加速后获得的最大动能Ekm和高频交变电压的频率f；
(3)若两D形盒狭缝之间距离为d，且d≪R，计算质子在电场中运动的总时间t1与在磁场中运动的总时间t2，并由此说明质子穿过电场的时间可以忽略不计的原因。
[解析] (1)质子第1次经过狭缝被加速后的速度大小为v1，则qU＝eq \f(1,2)mv12，qv1B＝eq \f(mv12,r1)
解得v1＝ eq \r(\f(2qU,m))，r1＝eq \f(1,B) eq \r(\f(2mU,q))。
(2)当质子在磁场中运动的轨迹半径为D形盒的半径R时，质子的动能最大，设此时速度为vm，则
qvmB＝meq \f(vm2,R)，Ekm＝eq \f(1,2)mvm2
解得Ekm＝eq \f(q2B2R2,2m)
回旋加速器正常工作时高频交变电压的频率f等于质子在磁场中运动的频率，则eq \f(1,f)＝T＝eq \f(2πR,vm)＝eq \f(2πm,qB)
解得f＝eq \f(qB,2πm)。
(3)质子在狭缝中加速时，有qeq \f(U,d)＝ma
质子在磁场中运动速度大小不变，故其在电场中运动的总时间t1＝eq \f(vm,a)＝eq \f(BRd,U)
质子在磁场中运动的周期T＝eq \f(2πm,qB)
设质子在电场中加速了n次，则有nqU＝Ekm
解得n＝eq \f(qB2R2,2mU)
质子在磁场中运动的总时间t2＝eq \f(n,2)T＝eq \f(πBR2,2U)，则eq \f(t1,t2)＝eq \f(2d,πR)
因为d≪R，得t1≪t2，故质子穿过电场的时间可以忽略不计。
[答案] (1) eq \r(\f(2qU,m)) eq \f(1,B) eq \r(\f(2mU,q)) (2)eq \f(q2B2R2,2m) eq \f(qB,2πm) (3)eq \f(BRd,U) eq \f(πBR2,2U) 理由见解析
【变式3-3】(多选)如图所示是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，分别与高频交流电源连接，两个D形金属盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两个D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，下列说法中正确的是( )
A.加速电压越大，粒子最终射出时获得的动能就越大
B.粒子射出时的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径和磁感应强度有关
C.若增大加速电压，粒子在金属盒间的加速次数将减少，在回旋加速器中运动的时间将减小
D.粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为eq \r(5)∶eq \r(6)
答案 BC
解析 粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得qvmB＝meq \f(veq \\al(2,m),R)，解得vm＝eq \f(qBR,m)，则粒子获得的最大动能为Ekm＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)＝eq \f(q2B2R2,2m)，知粒子获得的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径R和磁感应强度B有关，故A错误，B正确；对粒子，由动能定理得nqU＝eq \f(q2B2R2,2m)，加速次数n＝eq \f(qB2R2,2mU)，增大加速电压U，粒子在金属盒间的加速次数将减少，粒子在回旋加速器中运动的时间t＝eq \f(n,2)T＝eq \f(nπm,qB)将减小，故C正确；对粒子，由动能定理得nqU＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,n)，解得vn＝eq \r(\f(2nqU,m))，粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得qvnB＝meq \f(veq \\al(2,n),rn)，解得rn＝eq \f(1,B)eq \r(\f(2nmU,q))，则粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为eq \f(r4,r5)＝eq \f(\r(4),\r(5))，故D错误。
【题型4 速度选择器】
【例4】如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线(图中平行于导体板的虚线)通过N。不计重力。
(1)求粒子加速器M的加速电压U；
(2)求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
(3)仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能Ek。
[解析] (1)根据功能关系有qU＝eq \f(1,2)mv2
解得U＝eq \f(mv2,2q)。
(2)粒子在速度选择器N中所受电场力与洛伦兹力平衡
则有Eq＝qvB
解得E＝vB，方向垂直导体板向下。
(3)电场力做正功，根据功能关系有Ek＝qU＋Eqd
解得Ek＝eq \f(1,2)mv2＋qBvd。
[答案] (1)eq \f(mv2,2q) (2)vB 垂直导体板向下 (3)eq \f(1,2)mv2＋qBvd
【变式4-1】(多选)如图所示，一束正离子先后通过正交电场磁场区域Ⅰ和匀强磁场区域Ⅱ，如果这束正离子流在区域Ⅰ中不偏转，进入区域Ⅱ后偏转半径又相同，则说明这些正离子具有相同的( )
A.电荷 B.质量
C.速度 D.比荷
解析 离子在区域Ⅰ内不偏转，则有qvB＝qE，v＝eq \f(E,B1)，说明离子有相同速度，C对；在区域Ⅱ内半径相同，由r＝eq \f(mv,qB2)知，离子有相同的比荷eq \f(q,m)，D对；至于离子的电荷与质量是否相等，由题意无法确定，A、B错。
答案 CD
【变式4-2】(多选)如图所示的电路中，电源电动势为E，内阻为r，滑动变阻器最大阻值为R，G为灵敏电流计，开关闭合，两平行金属板M、N之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子恰好以速度v匀速穿过两板，不计粒子重力。以下说法中正确的是( )
A．保持开关闭合，滑片P向下移动，粒子可能从M板边缘射出
B．保持开关闭合，滑片P的位置不动，将N板向上移动，粒子可能从M板边缘射出
C．将开关断开，粒子将继续沿直线匀速射出
D．开关断开瞬间，灵敏电流计G指针将发生短暂偏转
解析：选AD 由粒子在复合场中做匀速直线运动可知，粒子所受电场力与洛伦兹力大小相等，方向相反，当保持开关闭合，滑片向下移动时，电容器两极板间的电压U减小，粒子所受竖直向下的电场力减小，则粒子所受向上的洛伦兹力大于竖直向下的电场力，从而向上偏转，有可能从M板边缘射出，A正确；将N板向上移动使得两极板间距减小，则粒子所受竖直向下的电场力增大，向下偏转，不可能从M板边缘射出，B错误；将开关断开，平行板电容器放电，因此灵敏电流计G指针发生短暂偏转，此后粒子将只受洛伦兹力做匀速圆周运动，D正确，C错误。
【变式4-3】(多选)如图所示，为研究某种射线装置的示意图。射线源发出的射线以一定的初速度沿直线射到荧光屏上的中央O点，出现一个亮点。在板间加上垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场后，射线在板间做半径为r的圆周运动，然后打在荧光屏的P点。若在板间再加上一个方向竖直向下、电场强度为E的匀强电场，亮点又恰好回到O点，由此可知该射线源发射的射线粒子( )
A．带正电 B．初速度为v＝eq \f(B,E)
C．比荷为eq \f(q,m)＝eq \f(B2r,E) D．比荷为eq \f(q,m)＝eq \f(E,B2r)
解析：选AD 粒子在向里的磁场中向上偏转，根据左手定则可知，粒子带正电，A正确；粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，有：Bqv＝meq \f(v2,r)；粒子在电磁叠加场中有：qE＝qvB，则v＝eq \f(E,B)，eq \f(q,m)＝eq \f(E,B2r)，B、C错误，D正确。
【题型5 磁流体发电机】
【例5】如图所示为等离子体发电机的示意图。高温燃烧室产生的大量的正、负离子被加速后垂直于磁场方向喷入发电通道的磁场中。在发电通道中有两块相距为d的平行金属板，两金属板外接电阻R。若磁场的磁感应强度为B，等离子体进入磁场时的速度为v，系统稳定时发电通道的电阻为r。则下列表述正确的是( )
A．上金属板为发电机的负极，电路中电流为eq \f(Bdv,R)
B．下金属板为发电机的正极，电路中电流为eq \f(Bdv,R＋r)
C．上金属板为发电机的正极，电路中电流为eq \f(Bdv,R＋r)
D．下金属板为发电机的负极，电路中电流为eq \f(Bdv,R)
[解析] 根据左手定则，正离子受到的洛伦兹力向上，所以上金属板带正电，即上板为正极。稳定后有eq \f(E,d)q＝qvB，解得E＝dvB，根据闭合电路的欧姆定律得I＝eq \f(E,R＋r)＝eq \f(dvB,R＋r)，故选C。
[答案] C
【变式5-1】磁流体发电的原理如图所示。将一束速度为v的等离子体垂直于磁场方向喷入磁感应强度为B的匀强磁场中，在相距为d、宽为a、长为b的两平行金属板间便产生电压。如果把上、下板和电阻R连接，上、下板就是一个直流电源的两极。若稳定时等离子体在两板间均匀分布，电阻率为ρ，忽略边缘效应，下列判断正确的是( )
A．上板为正极，电流I＝eq \f(Bdvab,Rab＋ρd)
B．上板为负极，电流I＝eq \f(Bvad2,Rad＋ρb)
C．下板为正极，电流I＝eq \f(Bdvab,Rab＋ρd)
D．下板为负极，电流I＝eq \f(Bvad2,Rad＋ρb)
解析：选C 等离子体是由大量正、负离子组成的气体状物质，根据左手定则可知，正离子受到的洛伦兹力向下，负离子受到的洛伦兹力向上，所以下板为正极；当磁流体发电机达到稳定状态时，极板间的离子受力平衡qvB＝qeq \f(E,d)，可得电动势E＝Bdv，根据闭合电路的欧姆定律，电流I＝eq \f(E,R＋r)，而电源内阻r＝ρeq \f(l,S)＝eq \f(ρd,ab)，代入得I＝eq \f(Bdvab,Rab＋ρd)，故C正确。
【变式5-2】(多选)如图所示为磁流体发电机的原理图，将一束等离子体垂直于磁场方向喷入磁场，在磁场中有两块金属板A、B，这时金属板上就会聚集电荷，两板间就会产生电压，如果射入的等离子体速度均为v，两金属板间距离为d，金属板的面积为S，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于速度方向，负载电阻为R，等离子体充满两板间的空间。当发电机稳定发电时，电流表示数为I，下列说法正确的是( )
A．金属板A带负电
B．两金属板间的电势差为IR
C．板间等离子体的内阻是eq \f(Bdv,I)－R
D．板间等离子体的电阻率为eq \f(S,d)eq \f(Bdv,I)－R
解析：选ACD 大量等离子体进入磁场时，由左手定则可以判断，正离子受到的洛伦兹力向下，所以正离子聚集到金属板B上，负离子受到的洛伦兹力向上，负离子聚集到金属板A上，故金属板B相当于电源的正极，金属板A相当于电源的负极，故A正确；根据qvB＝qeq \f(U,d)得，U＝E电动＝Bdv，故B错误；根据闭合电路的欧姆定律得r＝eq \f(E电动,I)－R＝eq \f(Bdv,I)－R，故C正确；依据r＝ρeq \f(d,S)得，板间等离子体的电阻率ρ＝eq \f(rS,d)＝eq \f(S,d)eq \f(Bdv,I)－R，故D正确。
【变式5-3】如图，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B1，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间。相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P、Q相连。质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止。重力加速度为g，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力。下列说法正确的是( )
A．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝eq \f(mgRsin θ,B1B2Ld)
B．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝eq \f(mgRsin θ,B1B2Ld)
C．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝eq \f(mgRtan θ,B1B2Ld)
D．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝eq \f(mgRtan θ,B1B2Ld)
解析：选B 由左手定则可知Q板带正电，P板带负电，所以金属棒ab中的电流方向为从a到b，对金属棒受力分析可知，金属棒受到的安培力方向沿导轨平面向上，由左手定则可知导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，由受力平衡可知B2IL＝mgsin θ，而I＝eq \f(U,R)，而对等离子体受力分析有qeq \f(U,d)＝qvB1，解得v＝eq \f(mgRsin θ,B1B2Ld)。故B正确，A、C、D错误。
【题型6 电磁流量计】
【例6】某一种污水流量计工作原理可以简化为如图所示模型，废液内含有大量正、负离子，从直径为d的圆柱形容器右侧流入，左侧流出。流量值Q等于单位时间通过横截面的液体的体积。空间有垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，下列说法正确的是( )
A．带电离子所受洛伦兹力方向由M指向N
B．M点的电势高于N点的电势
C．污水流量计也可以用于测量不带电的液体的流速
D．只需要测量M、N两点间的电压就能够推算废液的流量
解析：选D 带电离子进入磁场后受到洛伦兹力作用，根据左手定则可知，正离子受到的洛伦兹力向下，负离子受到的洛伦兹力向上，则M点的电势低于N点的电势，故A、B错误；不带电的液体在磁场中不受洛伦兹力，M、N两点间没有电势差，无法计算流速，故C错误；最终带电离子受到的电场力和洛伦兹力平衡，有qvB＝qeq \f(U,d)，解得液体的流速为v＝eq \f(U,dB)，U是M、N两点间的电压，废液的流量为Q＝vS＝eq \f(πUd,4B)，B、d为已知量，则只需要测量M、N两点间的电压就能够推算废液的流量，故D正确。
【变式6-1】如图所示为电磁流速/流量仪的简化模型示意图，在磁感应强度为B的匀强磁场中，垂直于磁场方向放一个内径为D的不导磁管道，当导电液体在管道中以流速v流动时，导电液体切割磁感线产生电动势，在管道截面上垂直于磁场方向的直径两端安装一对电极，该电动势被信号电极采集，通过测量电压的仪表放大转换实现流速的测量，也可以实现流量(单位时间内流经某一段管道的流体体积)的测量。则关于电磁流速/流量仪的说法正确的是( )
A．测量电压仪表a端的电势高于b端的电势
B．稳定时信号电极采集到的电势差与流速v大小成反比
C．仪表盘如果是刻度盘，流速/流量刻度都是均匀的
D．流量的测量值与电磁流速/流量仪管道的长度成正比
[解析] 根据左手定则可知测量电压的仪表a端的电势低于b端的电势，A错误；当导电液体在管道中以流速v流动时，正负离子在磁场的作用下偏转，电极两端形成了电势差，当qeq \f(U,D)＝qvB，即U＝BvD，电势差恒定，保持稳定输出，所以信号电极采集到的电势差与流速大小成正比，B错误；流量为Q＝eq \f(V,t)＝eq \f(πD2v,4)，流量的测量值与流速v成正比，与电磁流速流量仪管道的长度无关，在仪表内部参数确定后，测量流速和流量的仪表盘刻度都是均匀的，C正确，D错误。
[答案] C
【变式6-2】医生做某些特殊手术时，利用电磁血流计来监测通过动脉的血流速度。电磁血流计由一对电极a和b以及磁极N和S构成，磁极间的磁场是均匀的。使用时，两电极a、b均与血管壁接触，两触点的连线、磁场方向和血流速度方向两两垂直，如图所示。由于血液中的正负离子随血液一起在磁场中运动，电极a、b之间会有微小电势差。在达到平衡时，血管内部的电场可看作是匀强电场，血液中的离子所受的电场力和磁场力的合力为零。在某次监测中，两触点间的距离为3.0 mm，血管壁的厚度可忽略，两触点间的电势差为160 μV，磁感应强度的大小为0.040 T。则血流速度的近似值和电极a、b的正负为( )
A．1.3 m/s，a正、b负 B．2.7 m/s，a正、b负
C．1.3 m/s，a负、b正 D．2.7 m/s，a负、b正
解析：选A 由于正、负离子在匀强磁场中垂直于磁场方向运动，利用左手定则可以判断电极a带正电，电极b带负电。血液流动速度可根据离子所受的电场力和洛伦兹力的合力为0求解，即qvB＝qE，得v＝eq \f(E,B)＝eq \f(U,Bd)≈1.3 m/s，A正确。
【变式6-3】(多选)安装在排污管道上的流量计可以测量排污流量Q，流量为单位时间内流过管道横截面的流体的体积，如图所示为流量计的示意图。左右两端开口的长方体绝缘管道的长、宽、高分别为a、b、c，所在空间有垂直于前后表面、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在上、下两个面的内侧固定有金属板M、N，污水充满管道从左向右匀速流动，测得M、N间电势差为U，污水流过管道时受到的阻力大小f＝kLv2，k是比例系数，L为管道长度，v为污水的流速。则( )
A.电压U与污水中离子浓度无关
B.污水的流量Q＝eq \f(abU,B)
C.金属板M的电势低于金属板N的电势
D.左、右两侧管口的压强差Δp＝eq \f(kaU2,bB2c3)
答案 AD
解析 污水中的离子受到洛伦兹力，正离子向上极板聚集，负离子向下极板聚集，所以金属板M的电势大于金属板N的电势，从而在管道内形成匀强电场，最终离子在电场力和洛伦兹力的作用下平衡，即qvB＝qeq \f(U,c)，解得U＝cvB，可知电压U与污水中离子浓度无关，A正确，C错误；污水的流量为Q＝vbc＝eq \f(U,cB)bc＝eq \f(bU,B)，B错误；污水流过该装置受到的阻力为f＝kLv2＝kaeq \f(U2,c2B2)，污水匀速通过该装置，则两侧的压力差等于阻力，即Δp·bc＝f，则Δp＝eq \f(f,bc)＝eq \f(ka\f(U2,c2B2),bc)＝eq \f(kaU2,bB2c3)，D正确。
【题型7 霍尔元件】
【例7】近年来海底通信电缆越来越多，海底电缆通电后产生的磁场可理想化为一无限长载流导线产生的磁场，科学家为了检测某一海域中磁感应强度的大小，利用图中一块长为a、宽为b、厚为c、单位体积内自由电子数为n的金属霍尔元件，放在海底磁场中，当有如图所示的恒定电流I(电流方向和磁场方向垂直)通过元件时，会产生霍尔电势差UH，通过元件参数可以求得此时海底的磁感应强度B的大小(地磁场较弱，可以忽略)。下列说法正确的是(提示：电流I与自由电子定向移动速率v之间关系为I＝nevbc，其中e为电子的电荷量)( )
A．元件上表面的电势高于下表面的电势
B．单位体积内参与导电的电子数目为n＝eq \f(IB,ceUH)
C．仅增大电流I时，上、下表面的电势差减小
D．其他条件一定时，霍尔电压越小，该处的磁感应强度越大
解析：选B 金属材料中，定向移动的是自由电子，因为自由电子定向移动的方向与电流方向相反，由左手定则可知，自由电子聚集在元件上表面，则元件上表面的电势要低于下表面的电势，故A错误；最终电子受到电场力和洛伦兹力平衡，有eeq \f(UH,b)＝evB，又I＝nebcv，联立解得n＝eq \f(IB,ceUH)，故B正确；最终电子受到电场力和洛伦兹力平衡，有eeq \f(UH,b)＝evB，可得UH＝bvB，如果仅增大电流I时，根据I＝nevbc可知，自由电子定向移动速率会增大，则上、下表面的电势差增大，故C错误；根据UH＝bvB可知，其他条件一定时，霍尔电压越小，该处的磁感应强度越小，故D错误。
【变式7-1】霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系xyz，如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p。当半导体材料通有沿＋x方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，沿＋y方向，于是在z方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为E，沿－z方向。
(1)判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
(2)若自由电子定向移动在沿＋x方向上形成的电流为In，求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小Fnz。
[解析] (1)自由电子受到的洛伦兹力沿＋z方向。
(2)设t时间内流过半导体垂直于x轴某一横截面自由电子的电荷量为q，由电流定义式，有In＝eq \f(q,t)①
设自由电子在x方向上定向移动速率为vnx，可导出自由电子的电流微观表达式为In＝neabvnx②
单个自由电子所受洛伦兹力大小为F洛＝evnxB③
霍尔电场力大小为F电＝eE④
自由电子在z方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，联立②③④式，其合力大小为Fnz＝eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(InB,neab)＋E))。⑤
[答案] (1)沿＋z方向 (2)eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(InB,neab)＋E))
【变式7-2】笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作；当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态。如图所示，一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向向右的电流时，电子的定向移动速度为v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，于是元件的前、后表面间出现电压U，以此控制屏幕的熄灭。则元件的( )
A．前表面的电势比后表面的低
B．前、后表面间的电压U与v无关
C．前、后表面间的电压U与c成正比
D．自由电子受到的洛伦兹力大小为eq \f(eU,a)
解析：选D 由左手定则判断，电子所受的洛伦兹力指向后表面，后表面带负电，电势比前表面低，A错误。电子受力平衡后，U稳定不变，由eeq \f(U,a)＝evB得U＝Bav，前、后表面间的电压U与v成正比，与c无关，故B、C错误。自由电子受到的洛伦兹力F＝evB＝eq \f(eU,a)，D正确。
【变式7-3】如图所示，宽度为h、厚度为d的霍尔元件放在与它垂直的磁感应强度大小为B的匀强磁场中，当恒定电流I通过霍尔元件时，在它的前后两个侧面之间会产生电压，这样就实现了将电流输入转化为电压输出。为提高输出的电压，可采取的措施是( )
A.增大d B.减小d
C.增大h D.减小h
答案 B
解析 当自由电子受力稳定后，受到的电场力和洛伦兹力平衡，故qE＝qvB，因为E＝eq \f(U,h)，故U＝Bhv，电流I＝neSv＝nehdv，联立可得U＝eq \f(IB,ned)，故要使U变大，故需要减小d，与h无关。故选项B正确。