22.2二次函数与一元二次方程导学案 2024—2025学年人教版数学九年级上册

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第二十二章 二次函数22.2 二次函数与一元二次方程学习目标：1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.要点探究 探究点1：二次函数与一元二次方程的关系问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系：h=20t－5t2，考虑以下问题：(1) 小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？(2) 小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？(3) 小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？(4) 小球从飞出到落地要用多少时间？探究点2：利用二次函数深入讨论一元二次方程思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？(1) y=x2+x－2； (2) y=x2－6x+9； (3)y=x2－x+1.要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系：根据抛物线与x轴的交点个数求字母系数的取值范围 例1若抛物线y＝x2－2x＋m－1与x轴有交点，求m的取值范围．变式1(1)若抛物线y＝(m－1)x2－2x＋1与x轴有交点，则m 的取值范围为________________．(2)已知抛物线y＝－4x2＋2x＋m与x轴没有交点，求m的取值范围．二次函数与一元二次方程的解例2 已知抛物线y＝x2－bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(－3，0)，则关于x的方程x2－bx＋c＝0的解是(　　)A．x1＝－1，x2＝－3 B．x1＝－1，x2＝3　　C．x1＝1，x2＝－3　　 D．x1＝1，x2＝3变式2 (1)若方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝4，x2＝1，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为_______________．(2)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为____________．探究点3：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解例3 利用函数图象求方程x2+2x-1=0的实数根(结果保留小数点后一位).例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1探究点4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么：方程ax2+bx+c=0的根是 ；不等式ax2+bx+c>0的解集是 ；不等式ax2+bx+c2的解集是_________________；不等式ax2+bx+c0（a≠0）的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有 个公共点，坐标是 ；方程ax2+bx+c=0的根是 . 问题3 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个公共点；不等式ax2+bx+c0； ③－x2+x+20； ③x2－4x+40； ③－x2+x－2