初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程当堂达标检测题

这是一份初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程当堂达标检测题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．一元二次方程x2−5x+2=0根的判别式的值是（ ）
A．33B．23C．17D．17
2．一元二次方程x2+3x−2=0根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能判定
3．下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A．x2+1=0B．x2−x+1=0
C．x2−bx+1=0 （b为常数）D．x2−bx−1=0 （b为常数）
4．若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥−1B．m≤1
C．m≥−1且m≠0D．m≤1且m≠0
5．对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若a+b+c=0，则方程必有一根为x=1；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0无实根；
③若方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a=0(c≠0)，必有实根1x1，1x2；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2．
其中正确的（ ）
A．①②B．①④C．②③④D．①③④
6．若关于x的一元二次方程(a−2)x2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≠2B．a≥1且a≠2C．a>1且a≠2D．a>1
7．对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2；⑤存在实数m，n(m≠n)，使得am2+bm+c=an2+bn+c．
其中正确的（ ）
A．只有①②④B．只有①②④⑤
C．①②③④⑤D．只有①②③
8．已知关于x的方程(a−1)x2−2x+1=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a>2B．a≤2C．a<2且a≠1D．a<−2
巩固积厚
宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。
二、填空题
9．如果关于x的方程x2−x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k= ．
10．若关于x的一元二次方程 x2−2x+m=0 有两个不相等的实数根，则m的值可以是 .（写出一个即可）
11．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0有两个不相等的实数根x1，x2，若x2＜0，且 x1x2 ＞﹣1，则整数m的值为 ．
12．关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等实数解，则方程的解为 ．
13．关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根，则c= （写出一个满足条件的值）．
14．如果关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是 ．
优尖拔高
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。
三、解答题
15．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k−2=0的两个实数根分别为x1，x2，若(x1+1)(x2+1)=−1，求k的值．
已知关于x的方程x2−2(k−3)x+k2−4k−1=0．若这个方程有实数根，求k的取值范围．
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x2−4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状.
18．已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)．
①若方程两根为1和2，则2a−c=0；
②若b=2a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2−4ac=(2am+b)2成立．
判断以上说法是否正确，并说明理由．
答案与解析
1．答案:C
解析：解：由题意得Δ=25−4×2=17，
故答案为：C
分析：根据一元二次方程的判别式结合题意即可求解。
2．答案:A
解析：解：由题意得Δ=9−4×−2=17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A
分析：根据一元二次方程根与判别式的关系结合题意即可求解。
3．答案:D
解析：A、∵△=b2-4ac=02-4×1×1=-4<0，∴方程无解，A不符合题意；
B、∵△=b2-4ac=（-1）2-4×1×1=-3<0，∴方程无解，B不符合题意；
C、∵△=b2-4ac=（-b）2-4×1×1=b2-4，无法判断b2-4是否一定大于0，∴方程不一定有解，C不符合题意；
D、∵△=b2-4ac=（-b）2-4×1×（-1）=b2+4>0，∴方程一定有解，D符合题意；
故答案为： D.
分析：利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
4．答案:D
解析：解：∵一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，
∴Δ=4−4m≥0，且m≠0，
∴m≤1且m≠0，
故答案为：D
分析：根据一元二次方程的定义和一元二次方程根与判别式的关系结合题意即可求解。
5．答案:D
解析：解：∵a+b+c=0，
∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，
∴x=1是方程的一根，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac>0，
∴b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故②错误；
若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，且x1≠x2≠0，
∴x1+x2=-ba，x1x2=ca，
∴-bc=x1+x2x1x2=1x1+1x2，ac=1x1x2=1x1·1x2，
∴方程cx2+bx+a=0必有实根1x1，1x2，故③正确；
∵x0是方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=−b±b2−4ac2a，
∴±b2−4ac=2ax0+b，
∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确.
故答案为：D.
分析：当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，据此判断①；由方程ax2+c=0有两个不相等的实数根可得-4ac>0，则b2-4ac>0，据此判断②；根据根与系数的关系可得x1+x2=-ba，x1x2=ca，则-bc=x1+x2x1x2=1x1+1x2，ac=1x1x2=1x1·1x2，据此判断③；根据求根公式可得x0=−b±b2−4ac2a，进而可判断④.
6．答案:C
解析：解：∵关于x的一元二次方程(a−2)x2+2x−1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠2，Δ=4+4a−2＞0，
∴a>1且a≠2，
故答案为：C.
分析：根据一元二次方程的定义结合一元二次方程的根与判别式的关系即可得到关于a的不等式，进而即可求解。
7．答案:B
解析：解：∵a+b+c=0，
∴此方程有一个根是x=1，
∴一元二次方程方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有实数根，即b2-4ac≥0，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac＞0，
∴b2-4ac＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，故②正确；
∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴ac2+bc+c=0，
当c≠0时ac+b+1=0，故③错误；
∵ 若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根
∴x0=−b±b2−4ac2a，
∴±b2−4ac=2ax0+b
∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故④正确；
由am2+bm+c=an2+bn+c，即可看作当x=m与x=n时，函数y=ax2+bx+c的值，
结合二次函数图象可知，故当x=m=n或m+n=−ba时，其函数值相等，故⑤正确；
∴正确结论的序号为①②④⑤.
故答案为：A
分析：利用已知可得到此方程有一个根是x=1，即可得到当a+c+b=0时方程有两个实数根，可对①作出判断；方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，可得到-4ac＞0，由此可确定出b2-4ac的符号，可对②作出判断；将x=c代入方程ax2+bx+c=0，由c≠0可对③作出判断；利用求购呢公式法可得到x0=−b±b2−4ac2a，将其变形，可对④作出判断；将代数问题am2+bm+c=an2+bn+c转化，即可看作当x=m与x=n时，函数y=ax2+bx+c的两个值，结合二次函数对称性，可对⑤作出判断；
8．答案:B
解析：解：当a≠1时，关于x的方程(a−1)x2−2x+1=0是一元二次方程，
∵有实数根，
∴a−1≠04−4(a−1)≥0
解得 a≤2且 a≠1
当 a=1时，方程为一元一次方程，有实数根，
综上，当 a≤2关于x的方程 (a−1)x2−2x+1=0有实数根
故答案为：B.
分析：当a≠1时，方程是一元二次方程，根据方程有实数根可得△≥0，求解可得a的范围；当a=1时，方程为一元一次方程，有实数根，据此可得a的范围.
9．答案:14
解析：解：∵关于x的方程x2−x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，
∴−12−4k=0，
解得：k=14，
故答案为：14.
分析：利用一元二次方程根的判别式求出−12−4k=0，再求解即可。
10．答案:0（答案不唯一）
解析：解：由题意得：此一元二次方程根的判别式 Δ=(−2)2−4m>0 ，
解得 m<1 ，
则 m 的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）.
分析：先计算b2-4ac，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于m的不等式，解不等式可求得m的范围，写出范围内的一个m的值即可.
11．答案:-1
解析：解：∵ 关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴b2-4ac=（m+2）2-4m×2=（m-2）2＞0
∴m≠2且m≠0
方程的根为：x=m+2±m−22m
∴x1=1，x2=2m
∵x2＜0，x2=2m
∴m＜0
∵x1x2>−1
∴m2>−1
解之：m＞-2
∵m≠2且m≠0
∴-2＜m＜0
∵m为整数
∴m=-1
故答案为：-1
分析：利用根的判别式可求出m≠2且m≠0，再求出方程的根，根据已知求出m的取值范围，就可求出整数m的值。
12．答案:x1=x2=﹣2
解析：解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等实数解，
∴△=b2﹣4ac=42﹣4k=0，
∴k=4．
把k=4代入原方程，得x2+4x+4=0，
解得x1=x2=﹣2．
故答案为x1=x2=﹣2．
分析：根据题意此方程由两个相等的实数根，即b2﹣4ac=0.建立方程求出k的值，再将k的值代入原方程求出方程的解。
13．答案:−2（答案不唯一，合理即可）
解析：解： ∵关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根 ，
∴△=22-4×4c＞0，
解得：c＜14，
∴c可以是-2（答案不唯一）；
故答案为：-2（答案不唯一）.
分析：根据方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此求出c的范围，即可得解.
14．答案:k≤4
解析：解：∵关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有实数根，
∴Δ=16−4k≥0，
∴k≤4，
故答案为：k≤4
分析：根据一元二次方程根的个数与判别式的关系即可求解。
15．答案:解：∵方程x2+3x+k−2=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=-3，x1x2=k-2，
∵(x1+1)(x2+1)=−1，
∴x1x2+(x1+x2)+1=−1，
∴k−2+(−3)+1=−1，
解得k=3，
当k=3时，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；
即k的值是3．
解析：根据根与系数的关系可得x1+x2=-3，x1x2=k-2，结合(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-1可得k的值，然后将k的值代入方程中并求出判别式的值，确定出方程根的情况，据此解答.
16．答案:解：∵关于x的方程x2−2(k−3)x+k2−4k−1=0，
a=1，b=−2(k−3)，c=k2−4k−1
∴Δ=b2−4ac
=[−2(k−3)]2−4(k2−4k−1)
=4(k2−6k+9)−4(k2−4k−1)
=4(−2k+10)
∵这个方程有实数根，
∴4(−2k+10)≥0
解得k≤5
解析：根据方程可得a=1，b=-2(k-3)，c=k2-4k-1，由方程有实数根可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得k的范围.
17．答案:解：∵关于x的一元二次方程x2−4x+b=0有两个相等的实数根，
∴b2−4ac=16−4b=0，
解得：b=4，
∵a=3，c=5，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形.
解析：根据方程有两个相等的实数根可得△=b2-4ac=0，代入求解可得b的值，然后利用勾股定理逆定理进行解答.
18．答案:解：①
∵方程两根为1和2，
∴1×2=ca，
∴2a−c=0，
∴①正确；
②∵b=2a+c，
∴Δ=b2−4ac=4(a+c)2+5c2，
∴②正确；
③∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴am2+bm+c=0，
∴am2=−(bm+c)，
∴(2am+b)2=4a2m2+4abm+b2
=b2−4ac，
∴③正确；
∴①②③正确．
解析：根据根与系数的关系可得1×2=ca，则2a=c，据此判断①；当b=2a+c时，△=4(a+c)2+5c2，结合偶次幂的非负性可判断②；根据方程根的概念可得am2=-(bm+c)，则(2am+b)2=4a2m2+4abm+b2=-4a(bm+c)+4abm+b2=b2-4ac，据此判断③.