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初中数学苏科版八年级上册6.3 一次函数的图像当堂检测题
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这是一份初中数学苏科版八年级上册6.3 一次函数的图像当堂检测题，共65页。试卷主要包含了3 一次函数的图象，函数的图象是一条直线 ；，一次函数的图象与性质， 两条直线等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】
掌握一次函数的图象与性质；学会画一次函数的图象，熟练掌握k，b的取值对图象经过象限的判定；
掌握一次函数的增减性；掌握一次函数平行关系和垂直关系；
3、学会用待定系数法求一次函数的解析式，并会求点的坐标等。
【教学重难点】
1、掌握一次函数的图象与性质；学会画一次函数的图象，熟练掌握k，b的取值对图象经过象限的判定；
2、掌握一次函数的增减性；掌握一次函数平行关系和垂直关系；
3、学会用待定系数法求一次函数的解析式，并会求点的坐标等。
【知识亮解】
知识点一：一次函数的图像与性质
1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；
当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；
当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.
2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：
3. 、对一次函数的图象和性质的影响：
决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2），且与平行；
直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：
k>0，b>0：经过第一、二、三象限
k>0，b<0：经过第一、三、四象限
k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点）
结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。
k<0，b>0：经过第一、二、四象限
k<0，b<0：经过第二、三、四象限
k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点）
结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。
总结：
1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。
即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。
2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。
当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。
3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行；
当k不同，且b相等，图象相交于Y轴；
当k互为负倒数时，两直线垂直。
5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。
知识点二：待定系数法求一次函数解析式
一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
亮题一：一次函数图象与性质
【方法点拨】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
【例1】★（2020八下·贵港期末）已知正比例函数 ，且 随 的增大而增大，则一次函数 的图象是（ ）
A. B. C. D.
【例2】★同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【例3】★若直线（≠0）不经过第一象限，则、的取值范围是（ ）
A. ＞0, ＜0 B. ＞0,≤0 C. ＜0, ＜0 D. ＜0, ≤0
【例4】★一次函数与在同一坐标系内的图象可以为（ ）
A. B. C. D.
【例5】★下列函数中，其图象同时满足两个条件①随着的增大而增大②与轴的正半轴相交．则它的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【例6】★函数在直角坐标系中的图象可能是（ ）．
【例7】★已知：一次函数y＝（2a+4）x+（3﹣b），根据给定条件，确定a、b的值．
（1）y随x的增大而增大；
（2）图象经过第二、三、四象限；
（3）图象与y轴的交点在x轴上方．
【例8】★（2020八下·通榆期末）若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k,b的取值范围是（ ）
A. k>0, b>0 B. k>0,b<0 C. k<0,b>0 D. k<0,b<0
【例9】★（2020八下·阳东期末）已知 是 的一次函数，下表列出了部分 与 的对应值：
则 的值为（ ）
A. -2 B. 1 C. 2 D. 3
【例10】★（2020八下·阳东期末）若函数 是正比例函数，且 随 的增大而减小，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【例11】★（2020八下·阳东期末）若 ，则一次函数 的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
【例12】★（2020八下·阳东期末）点 在第一象限内，且 ，点 的坐标为 ，设 的面积为 ，则下列图像中，能正确反映面积 与 之间的函数关系式的图像是（ ）
A. B. C. D.
【例13】★（2020八下·莘县期末）如图，一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m，n为常数，且mn≠0，n>0)的图象是( )
A. B. C. D.
【例14】★（2020八下·莘县期末）如图，一次函数y=kx+b的图象经过(2，0)和(0，4)两点，则下列说法正确的是( )
A. y随x的增大而增大 B. 当x<2时，y<4 C. k=-2 D. 点(5，-5)在直线y=kx+b上
亮题二：一次函数图像的应用
【例1】★为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系如图所示．根据图象求出与的函数关系式．
【例2】★★小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )
A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟
【例3】★★小明参加了步行活动中，中途休息了一段时间．设他从学校出发后所用时间为 （分钟），所走的路程为 （米 ，s与t之间的函数关系如图17所示．则下列说法中，正确的序号为________．
①小明中途休息用了20分钟．
②小明休息前步行的平均速度为每分钟70米．
③小明休息前步行的平均速度大于休息后步行的平均速度．
④小明行走的路程为6600米．
【例4】★在一次函数y=3x+1中，y随x的增大而________．
【例5】★★（2020八下·南召期末）某厂家在甲、乙两家商场销售同一种商品所获得的利润分别为y甲 ， y乙(单位：元)，y甲 ， y乙与销售数量x(单位：件)的函数关系如图所示，请根据图象分别求出y甲 ， y乙关于x的函数解析式.
【例6】★★（2020八下·武城期末）如图①，正方形ABCD中，点P以恒定的速度从点A出发，沿AB-BC的路径运动，到点C停止。过点P作PQ∥BD，PQ与边AD(或边CD)交于点Q，PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图②所示。当点P运动3秒时，△APQ的面积为( )
A. 6cm2 B. 4cm² C. 6 cm² D. 4 cm²
【例7】★★★如图①，在矩形MMPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝2时，y＝5B．矩形MNPQ的周长是18
C．当x＝6时，y＝10D．当y＝8时，x＝10
【例8】★（2020八下·枣阳期末）若一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是________.
【例9】★（2020八下·枣阳期末）若函数 的图象经过A（1， ）、B（－1， ）、C（－2， ）三点，则 ， ， 的大小关系是________.
亮题三：求一次函数解析式
函数解析式y=kx+b
满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象直线l
【方法点拨】先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
【例1】★已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是 ．
【例2】★根据函数的图象，求函数的解析式．
【例3】★已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．
【例4】★（1）已知直线，与直线平行，且与轴的交点是（0，），则直线解析式为___________________．
（2）若直线与平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为__________________．
【例5】★★某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：
（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本（元）是印数（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？
【例6】★★已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．
【亮点训练】
1．下面四个点中有一个点和其它三个点不在同一个正比例函数图象上，这个点是（ ）
A．B．C．D．
2．已知正比例函数的函数值y随x值的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知一次函数的图象与轴的正半轴相交，且函数值随自变量的增大而增大，则，的取值情况为（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）
A．1B．3C．D．
5．下列关于一次函数y＝﹣3x+1的说法中，不正确的是（ ）
A．若图象过点（，），（+1，），则＜
B．图象经过一、二、四象限
C．在y轴上的截距是1
D．函数值y随着x的增大而减小
二、填空题
6．点，在一次函数的图象上，则___________．（填“>”，“<”或“=”）
7．已知两点都在直线上，且当时，，则的取值范围是___________．
8．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点A、B，点C在x轴负半轴上，若为等腰三角形，则点C的坐标为_______．
9．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为上一动点，值最小时点的坐标为_____．
10．如图所示，在三角形ABC中，已知，高，动点Q由点C沿CB向点B移动（不与点B重合）．设CQ的长为x，三角形ACQ的面积为S，则S与x之间的关系式为______．
三、解答题
11．已知y与成正比例，且时，．
(1)求y与的函数关系式．
(2)当时，求自变量的值．
12．直线y=−2x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，过点A作AC⊥AB于点A，且AC=AB，点C在第一象限内．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)在第一象限内有一点P（3，t），使，求的值．
13．已知一次函数y＝kx﹣10的图象经过点(﹣3，﹣4）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若点(m，)、(m+1，)在（1）中所得函数的图象上，试比较与的大小．
14．已知一次函数．
(1)画出这个函数的图象；
(2)求坐标轴所围成的三角形的面积；
(3)图象上有两点，，当时，则______填、或．
15．如图，直线：y＝2x+1与直线：y＝mx+4相交于点P（1，b）．
(1)求b，m的值；
(2)垂直于x轴的直线x＝a与直线分别交于点C，D，
①求出点C、点D的纵坐标（用含字母a的代数式表示）；
②若线段CD长为6，求a的值．
【培优检测】
1．一次函数的图象过点，， 则和的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
2．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在下表所示的关系：
设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计当时，y的值约为（ ）
A．56B．43C．54D．46
3．如图所示，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，则过B、C两点直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．y＝﹣2x+2
4．如图，已知直线a：y＝x，直线b：y＝﹣x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，直线与轴，轴分别交于点，，且，点的坐标为，经过点的直线平分的面积，与轴交于点，将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．如图，将直线向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为______．
7．老师给出一个函数，甲、乙、丙各指出了这个函数的一个性质：
甲：这个函数的图象是一条直线，且与直线y＝－x+5平行．
乙：这个函数的图象不经过第一象限．
丙：我能计算出这个函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2．
请你根据他们的叙述构造满足上述性质的函数关系式：_____．
8．正方形，…按如图所示方式放置，点…和，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点的坐标是 _____， 的纵坐标是 _____．
9．如图，已知四边形四个顶点的坐标为、、、，当四边形的周长最小时，的值为___________．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_______．
三、解答题
11．已知函数(，k为常数)：
(1)若函数值y随自变量的增大面减小，则函数的图象是经过 象限的直线．
(2)若函数图象经过点．
①求函数解析式．
②在轴上是否存在点B使的面积为1，若存在求出B的坐标，若不存在，说明理由．
12．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点，点在直线上，连接OC．
(1)求直线的解析式和的面积；
(2)点P为直线上一动点，的面积与的面积相等，求点P的坐标．
13．已知：如图1，线段AB＝14cm，的顶点P从点A出发沿折线A-O-B运动时，的面积随着点P运动路程的变化，发生了变化．图2表示这种变化规律．
(1)在P点运动5cm时，的面积为______；当P点运动路程为______cm时，的面积最大为______；
(2)求图1中线段AO、OB的长，以及O到AB的距离；
(3)直接写出a的值为______．
14．如图，平面直角坐标系中，，A、B在x轴上，连接，点E在上，连接．
(1)请直接写出与的位置关系；
(2)请应用（1）中结论求证：；
(3)连接，若点，请直接写出三角形的面积．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
(1)求和的值；
(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．设点的运动时间为秒．
①若点在线段上，且的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
-1
0
1
2
-2
-1
0
印数（册）
5000
8000
10000
15000
……
成本（元）
28500
36000
41000
53500
……
销售价/元
90
100
110
120
130
140
销售量/件
90
80
70
60
50
40
专题6.3 一次函数的图象
【教学目标】
掌握一次函数的图象与性质；学会画一次函数的图象，熟练掌握k，b的取值对图象经过象限的判定；
掌握一次函数的增减性；掌握一次函数平行关系和垂直关系；
3、学会用待定系数法求一次函数的解析式，并会求点的坐标等。
【教学重难点】
1、掌握一次函数的图象与性质；学会画一次函数的图象，熟练掌握k，b的取值对图象经过象限的判定；
2、掌握一次函数的增减性；掌握一次函数平行关系和垂直关系；
3、学会用待定系数法求一次函数的解析式，并会求点的坐标等。
【知识亮解】
知识点一：一次函数的图像与性质
1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；
当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；
当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.
2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：
3. 、对一次函数的图象和性质的影响：
决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2），且与平行；
直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：
k>0，b>0：经过第一、二、三象限
k>0，b<0：经过第一、三、四象限
k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点）
结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。
k<0，b>0：经过第一、二、四象限
k<0，b<0：经过第二、三、四象限
k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点）
结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。
总结：
1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。
即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。
2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。
当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。
3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行；
当k不同，且b相等，图象相交于Y轴；
当k互为负倒数时，两直线垂直。
5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。
知识点二：待定系数法求一次函数解析式
一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
亮题一：一次函数图象与性质
【方法点拨】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
【例1】★（2020八下·贵港期末）已知正比例函数 ，且 随 的增大而增大，则一次函数 的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】正比例函数的图象和性质，一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 正比例函数y=kx ，且 y 随 x 的增大而增大，
∴k＞0，
∴ 一次函数y=2x+k的图象经过第一，二，三象限.
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数的性质得出k＞0，根据一次函数的性质得出y=2x+k的图象经过第一，二，三象限，即可求解.
【例2】★同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【答案】解：若m＞0，n＞0，则一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）都是增函数，且都交y轴的正半轴；
若m＜0，n＞0，则一次函数y＝mx+n是减函数，交y轴的正半轴，y＝nx+m（mn为常数）是增函数，交y轴的负半轴；
若m＞0，n＜0，则一次函数y＝mx+n是增函数，且交y轴负半轴，y＝nx+m（mn为常数）是减函数，且交y轴的正半轴；
若m＜0，n＜0，则一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）都是减函数，且都交 于y的负半轴；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
【例3】★若直线（≠0）不经过第一象限，则、的取值范围是（ ）
A. ＞0, ＜0 B. ＞0,≤0 C. ＜0, ＜0 D. ＜0, ≤0
【思路点拨】根据一次函数的图象与系数的关系解答.图象不经过第一象限，则k＜0，此时图象可能过原点，也可能经过二、三、四象限.
【答案】D；
【解析】当图象过原点时，＜0，＝0，当图象经过二、三、四象限时，＜0且＜0.
【总结升华】图象不经过第一象限包括经过二、三、四象限和过原点两种情况.
【例4】★一次函数与在同一坐标系内的图象可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D；
提示：分为＜0；0＜＜2；＞2分别画出图象，只有D答案符合要求.
【例5】★下列函数中，其图象同时满足两个条件①随着的增大而增大②与轴的正半轴相交．则它的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C；
【解析】由题可知：解析式中必须满两个条件①随着的增大而增大②与轴的正半轴相交．C中当＞0，＜0，的值随的值增大而增大，且与的正半轴相交，符合条件．故选C．
【总结升华】根据，的正负来确定一次函数图象所处的象限.
【例6】★函数在直角坐标系中的图象可能是（ ）．
【答案】B；
提示：不论为正还是为负，都大于0，图象应该交于轴上方，故选B.
【例7】★已知：一次函数y＝（2a+4）x+（3﹣b），根据给定条件，确定a、b的值．
（1）y随x的增大而增大；
（2）图象经过第二、三、四象限；
（3）图象与y轴的交点在x轴上方．
【分析】（1）根据函数y随x的增大而增大解答即可；
（2）根据函数图象经过第二、三、四象限解答即可；
（3）根据函数图象与y轴的交点在x轴上方解答即可．
【答案】解：（1）∵y随x的增大而增大
∴2a+4＞0
∴a＞﹣2
（2）∵图象经过第二、三、四象限
∴2a+4＜0，3﹣b＜0
∴a＜﹣2，b＞3
（3）∵图象与y 轴的交点在x轴上方
∴3﹣b＞0∴b＜3
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：
直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系；
k＞0时，直线必经过一、三象限；
k＜0时，直线必经过二、四象限；
b＞0时，直线与y轴正半轴相交；
b＝0时，直线过原点；
b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
【例8】★（2020八下·通榆期末）若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k,b的取值范围是（ ）
A. k>0, b>0 B. k>0,b<0 C. k<0,b>0 D. k<0,b<0
【答案】 C
【考点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： 直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则 k<0，b>0.
故答案为：C.
【分析】由直线y=kx+b经过第一、二、四象限可知，直线y=kx+b经过二、四象限且与y轴相交于正半轴，故 k<0，b>0，即可求解.
【例9】★（2020八下·阳东期末）已知 是 的一次函数，下表列出了部分 与 的对应值：
则 的值为（ ）
A. -2 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】 B
【考点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：根据图表可知，自变量x增加1，因变量y增加1
∴a的值为1
故答案为：B.
【分析】根据函数的增减性，即可得到答案。
【例10】★（2020八下·阳东期末）若函数 是正比例函数，且 随 的增大而减小，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵函数为正比例函数
∴b=0
∵函数y随x的增大而减小
∴k＜0
故答案为：B.
【分析】根据正比例函数的含义以及性质，即可得到b=0，由y随x的增大而减小，即可得到k＜0，即可得到答案。
【例11】★（2020八下·阳东期末）若 ，则一次函数 的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【考点】一次函数的图象，一次函数的性质
【解析】【解答】解：在一次函数中，∵k=-1＜0，b＞0
∴一次函数的图象经过一、二、四象限
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的中k和b的值，即可确定函数的象限，即可得到答案。
【例12】★（2020八下·阳东期末）点 在第一象限内，且 ，点 的坐标为 ，设 的面积为 ，则下列图像中，能正确反映面积 与 之间的函数关系式的图像是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【考点】一次函数的图象，三角形的面积，一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点P在第一象限内，且x+y=6
∴y=6-x（0＜x＜6,0＜y＜6）
∵点A的坐标为（4,0）
∴S=×4×（6-x）=12-2x（0＜x＜6）
故答案为：C
【分析】根据题意，即可得到y与x的函数关系式，根据三角形的面积公式即可得到答案。
【例13】★（2020八下·莘县期末）如图，一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m，n为常数，且mn≠0，n>0)的图象是( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】正比例函数的图象和性质，一次函数的图象，一次函数的性质
【解析】【解答】解：①当m＞0，n＞0时
一次函数经过一、二、三象限，正比例函数经过一、三象限
②当m＜0，n＜0时
一次函数经过二、三、四象限，正比例函数经过一、三象限
③当m＞0时，n＜0时
一次函数经过一、三、四象限，正比例函数经过二、四象限
④当m＜0，n＞0时
一次函数经过一、二、四象限，正比例函数经过二、四象限
即A正确
故答案为：A.
【分析】根据m和n的取正负值的不同，结合一次函数以及正比例函数的图象和象限进行判断即可。
【例14】★（2020八下·莘县期末）如图，一次函数y=kx+b的图象经过(2，0)和(0，4)两点，则下列说法正确的是( )
A. y随x的增大而增大 B. 当x<2时，y<4 C. k=-2 D. 点(5，-5)在直线y=kx+b上
【答案】 C
【考点】一次函数的图象，一次函数的性质
【解析】【解答】解：A.根据图象可知，y随x的增大而减小，说法错误；
B.由图象可知，当x=2时，y=0，即当x＜2时，y＞0，说法错误；
C.将点（2,0）和（0,4）代入y=kx+b
， 解得，k=-2，b=4，正确
D.∵一次函数解析式为y=-2x+4
∴令x=5
y=-2×5+4=-6
∴点（5,-5）不在直线上，错误
故答案为：C.
【分析】根据图象，由一次函数的图象和性质进行判断即可得到答案。题型五：一次函数图像的应用
亮题二：一次函数图像的应用
【例1】★为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系如图所示．根据图象求出与的函数关系式．
【思路点拨】根据函数关系的变化进行分段，分别求出各段的函数解析式．
【答案与解析】
解：根据图象，当0≤≤50时，可设解析式为，
将(50，25)代入解析式，所以，所以；
当＞50时可设解析式为，
将(50，25)，(100，70)代入解析式得，
解得，所以．
所以当0≤≤50时函数解析式为；当时函数解析式为．
∴ 所求的一次函数解析式为：．
【总结升华】求分段函数解析式的基本方法是：先分求，后整合.分求某段解析式的方法与求一次函数解析式的方法相同，在整合时要用大括号联结，并在各解析式后注明自变量的取值范围.
【例2】★★小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )
A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟
【答案】D；
提示：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速度为100米/分.原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，一共20分钟.
【例3】★★小明参加了步行活动中，中途休息了一段时间．设他从学校出发后所用时间为 （分钟），所走的路程为 （米 ，s与t之间的函数关系如图17所示．则下列说法中，正确的序号为________．
①小明中途休息用了20分钟．
②小明休息前步行的平均速度为每分钟70米．
③小明休息前步行的平均速度大于休息后步行的平均速度．
④小明行走的路程为6600米．
【答案】 ①②③
【考点】函数的图象
【解析】【解答】①由图象可知，在40~60分钟，路程没有发生变化，
∴小明中途休息的时间为60-40=20（分钟），故①正确；
②由图象知：当t=40时，s=2800，
∴ 小明休息前步行的平均速度为2800÷40=70（米/分），故B正确；
③ 休息后步行的平均速度为：（3800-2800）÷（100-60）=25（米/分），
由②知小明休息前步行的平均速度为70米/分，
∵70＞25，∴小明休息前步行的平均速度大于休息后步行的平均速度，故③正确；
④根据图形可知， 小明行走的路程为3800米，故④错误；
∴正确有①②③.
【分析】①观察图相知，在40~60分钟，路程没有发生变化，据此求出休息的时间为60-40=20（分钟），据此判断即可；②观察图象知休息前小明40分钟走了2800米，利用速度=路程÷时间即得，然后判断即可；③利用速度=路程÷时间求出休息后步行的平均速度（3800-2800）÷（100-60）=25（米/分），然后与②中的结论相比，然后判断即可；④观察图形可知小明行走的路程为3800米，据此判断即可.
【例4】★在一次函数y=3x+1中，y随x的增大而________．
【答案】 增大
【考点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：对一次函数y=3x+1，∵k=3＞0，∴y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
【分析】根据一次函数的性质解答即可．
【例5】★★（2020八下·南召期末）某厂家在甲、乙两家商场销售同一种商品所获得的利润分别为y甲 ， y乙(单位：元)，y甲 ， y乙与销售数量x(单位：件)的函数关系如图所示，请根据图象分别求出y甲 ， y乙关于x的函数解析式.
【答案】 解：设y甲＝k1x，
∵当x＝600时，y＝480，
∴480＝600k1 ，
∴k1＝0.8，
∴y甲＝0.8x.
当0≤x≤200时，设y乙=k2x，
∵当x=200时，y＝400，
∴400＝200k2 ，
∴k2＝2，
此时y乙＝2x
当x≥200时，设y乙＝k3x＋b，
∵当x＝200时，y＝400；当x＝600时，y=480，
∴
解得
此时y乙＝0.2x＋360.
综上所述，y乙＝
【考点】分段函数，一次函数的实际应用
【解析】【分析】 设y甲＝k1x，把x＝600时，y＝480代入解析式，求出k1的值，即可求出y甲的函数解析式； y乙是分段函数，当0≤x≤200时，设y乙=k2x，把x=200，y＝400代入解析式，求出k2的值，当x≥200时，设y乙＝k3x＋b，把x＝200，y＝400和x＝600，y=480分别代入解析式，求出k3和b的值，即可求出 y乙的函数解析式.
【例6】★★（2020八下·武城期末）如图①，正方形ABCD中，点P以恒定的速度从点A出发，沿AB-BC的路径运动，到点C停止。过点P作PQ∥BD，PQ与边AD(或边CD)交于点Q，PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图②所示。当点P运动3秒时，△APQ的面积为( )
A. 6cm2 B. 4cm² C. 6 cm² D. 4 cm²
【答案】 A
【考点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】可以从图2 中发现，当x=2时，PQ最长，BD=4 ，
四边形ABCD是正方形，边长为a，2a2=32，a=4，
P运动3秒时，P在BC重点，
PQ∥BD,PQ是中位线，点Q是CD中点，
S△APQ=S正方形ABCD-S△ADQ-S△CPQ-S△ABP=6
故答案为：A
【分析】根据P点运动的规律，可利用面积的关系，列式计算出面积。
【例7】★★★如图①，在矩形MMPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝2时，y＝5B．矩形MNPQ的周长是18
C．当x＝6时，y＝10D．当y＝8时，x＝10
【分析】本题通过右侧的图象可以判断出长方形的边长，然后选项计算，选项A、B、C都可证正确，选项D，面积为8时，对应x值不为10，所以错误，故答案为D
【答案】解：由图象可知，四边形MNPQ的边长，MN＝5，NP＝4，点R的速度为1单位/秒
选项A，x＝2时，△MNR的面积＝＝5，正确
选项B，矩形周长为2×（4+5）＝18，正确
选项C，x＝6时，点R在QP上，△MNR的面积＝＝10，正确
选项D，y＝8时，高＝8，则高＝，点R在PN或QM上，距离QP有个单位，对应的x值都不为10，错误
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题分类讨论，对运动中点R的三种位置都设置了问题，是一道很好的动点问题．
【例8】★（2020八下·枣阳期末）若一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是________.
【答案】 k＞0
【考点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数 的图象有四种情况：
①当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、三象限；
②当 ， 时，函数 的图象经过第一、三、四象限；
③当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、四象限；
④当 ， 时，函数 的图象经过第二、三、四象限。
由题意得，y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，故 .
故答案为：k＞0.
【分析】根据一次函数图像与系数k，b的关系，图像经过第一、二、三象限，k＞0，b＞0。
【例9】★（2020八下·枣阳期末）若函数 的图象经过A（1， ）、B（－1， ）、C（－2， ）三点，则 ， ， 的大小关系是________.
【答案】 ＜ ＜
【考点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：当x=1时， =-2×1=-2；
当x=-1时， =-2×（-1）=2；
当x=-2时， =-2×（-2）=4；
∵-2＜2＜4
∴ ＜ ＜
故答案为： ＜ ＜ .
【分析】分别计算自变量为1，-1，-2对应的函数值即可得到 ， ， 的大小关系.
亮题三：求一次函数解析式
函数解析式y=kx+b
满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象直线l
【方法点拨】先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
【例1】★已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是 ．
【分析】先根据一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0）可知b＝﹣2k，用k表示出函数图象与y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．
【答案】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0），
∴2k+b＝0，b＝﹣2k，
∴y＝kx﹣2k，
令x＝0，则y＝﹣2k，
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为1，
∴×2×|﹣2k|＝1，即|2k|＝1，
解得：k＝±，
则函数的解析式是y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
故答案为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解答本题需要注意有两种情况，不要漏解．
【例2】★根据函数的图象，求函数的解析式．
【思路点拨】由于此函数的图象过（0，2），因此＝2，可以设函数的解析式为，再利用过点（1.5，0），求出相应的值.
【答案与解析】利用待定系数法求函数的解析式.
解：设函数的解析式为.
它的图象过点（1.5，0），（0，2）
∴该函数的解析式为.
【总结升华】用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
【例3】★已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．
【答案】 ；
提示：设一次函数的解析式为，它的图象与的图象平行，则，又因为一次函数的图象经过(2，1)点，代入得1＝2×2＋．解得．
∴ 一次函数解析式为．
【例4】★（1）已知直线，与直线平行，且与轴的交点是（0，），则直线解析式为___________________．
（2）若直线与平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为__________________．
【答案】（1）；（2）或.
提示：（1）因为所求直线与平行，所以，将（0，－2）代入，解得，所以.
（2）由题意得，假设点（1，4）在上面，那么点（1，5）或
（1，3）在直线上，解得或.所求直线为或.
【例5】★★某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：
（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本（元）是印数（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？
【思路点拨】待定系数法求函数解析式，根据两点得到两个二元一次方程，组成一个二元一次方程组求出解即可．表中信息取两组就可以了.
【答案与解析】
解：（1）设所求一次函数的解析式为，
则
解得＝，＝16000．
∴所求的函数关系式为＝＋16000．
（2）∵48000＝＋16000．
∴＝12800．
答：能印该读物12800册．
【总结升华】此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力．
【例6】★★已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．
【答案】
解：因为直线过点，所以， ①
又因为直线与轴、轴的交点坐标分别为，
再根据，所以
整理得 ②． 根据方程①和②可以得出，，
所以，．所以所求一次函数解析式为或．
【亮点训练】
1．下面四个点中有一个点和其它三个点不在同一个正比例函数图象上，这个点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】正比例函数解析式为：，将各点坐标代入求出k的值即可解答．
【详解】解：设正比例函数解析式为：，
将代入可得：，解得：；
将代入可得：，即；
将代入可得：，解得：；
将代入可得：，解得：；
∴点，，在正比例函数上，
点在正比例函数．
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数，解题的关键是掌握正比例函数解析式的求法．
2．已知正比例函数的函数值y随x值的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据正比例函数的性质得出，继而判断一次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x值的增大而增大，
∴，
∴经过一、二、四象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，解题的关键是牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”．
3．已知一次函数的图象与轴的正半轴相交，且函数值随自变量的增大而增大，则，的取值情况为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】先将一次函数解析式整理为，根据一次函数的函数值随自变量的增大而增大，可得，根据图象与轴的正半轴相交，可得，据此即可求解．
【详解】解：∵，一次函数的函数值随自变量的增大而增大，
∴，
解得，
∵图象与轴的正半轴相交，
∴，
即．
故选B．
【点睛】本题考查了根据一次函数的增减性求参数的范围，掌握一次函数的性质是解题的关键．
4．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】B
【分析】设直线与y轴交于点D，轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A，D的坐标，进而可得出的长，利用三角形的面积计算公式可求出的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积均为1，再将三个小三角形的面积相加即可求出结论．
【详解】解：设直线与y轴交于点D，轴于点E，如图所示．
当时，，
∴点D的坐标为；
当时，，
∴点A的坐标为，
∴点E的坐标为，，
∴，
∴．
同理，可求出另两个三角形的面积均为1（阴影部分组成的小三角形），
∴阴影部分面积之和．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出每个小三角形的面积是解题的关键．
5．下列关于一次函数y＝﹣3x+1的说法中，不正确的是（ ）
A．若图象过点（，），（+1，），则＜
B．图象经过一、二、四象限
C．在y轴上的截距是1
D．函数值y随着x的增大而减小
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：A．∵-3<0，∴y随着x的增大而减小，∵<+1，∴>，故错误；
B．∵-3<0，1>0，∴图象经过一、二、四象限，正确；
C．当x=0时，y＝﹣0+1=1，∴在y轴上的截距是1，正确；
D．∵-3<0，函数值y随着x的增大而减小，正确．
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数y=kx+b（k为常数，k≠0），当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．当b＞0，图象与y轴的正半轴相交，当b<0，图象与y轴的负半轴相交，当b=0，图象经过原点．也考查了直线的截距.
二、填空题
6．点，在一次函数的图象上，则___________．（填“>”，“<”或“=”）
【答案】<
【分析】由，根据一次函数的性质可得y随x的增大而增大，再结合即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数中，，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴，
故答案为：<
【点睛】此题考查的是比较一次函数图象上两点纵坐标的大小，掌握一次函数增减性的判断是解题的关键．
7．已知两点都在直线上，且当时，，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据题意知，由一次函数图象性质可知，进而可得的取值范围．
【详解】解：∵，当时，，
∴且，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数定义、图象与性质，掌握一次函数的图象的性质是解题的关键．
8．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点A、B，点C在x轴负半轴上，若为等腰三角形，则点C的坐标为_______．
【答案】（-4，0）或（-1，0）##（-1，0）或（-4，0）
【分析】由直线解析式求得A、B的坐标，由点A，B的坐标可求出AB的长，分BA=BC、BA=CA种情况讨论求得即可．
【详解】解：直线与x轴、y轴交于点A、B，则点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），
∴AB==5．
分两种情况考虑，如图所示．
①当BA=BC时，OC=OA=4，
∴点的坐标为（-4，0）；
②当AB=AC时，∵AB=5，OA=4，点C在x轴负半轴，
∴OC=5-4=1，
∴点的坐标为（-1，0）．
∴点C的坐标为（-4，0）或（-1，0），
故答案为：（-4，0）或（-1，0）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，分类讨论是解题的关键．
9．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为上一动点，值最小时点的坐标为_____．
【答案】
【分析】作关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，根据一次函数解析式求出点、的坐标，根据中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质求出点的坐标，求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．
【详解】解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，
令中，则，
∴点的坐标为，
令中，则，解得：，
∴点的坐标为，
∵点、分别为线段、的中点，
∴点，点，
∵点和点关于轴对称，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
∴，解得：，
∵直线的解析式为，
令，则，解得：，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称—最短路径问题等知识点．能找出点的位置是解题的关键．
10．如图所示，在三角形ABC中，已知，高，动点Q由点C沿CB向点B移动（不与点B重合）．设CQ的长为x，三角形ACQ的面积为S，则S与x之间的关系式为______．
【答案】
【分析】根据三角形的面积公式，可得答案．
【详解】解：由题意，得
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是利用三角形的面积求解．
三、解答题
11．已知y与成正比例，且时，．
(1)求y与的函数关系式．
(2)当时，求自变量的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）把代入解析式求解即可．
（1）
解：已知y与成正比例，设y与的函数关系式为，
把，代入得，，
解得，，
y与的函数关系式为．
（2）
解：把代入得，
，解得，．
【点睛】本题考查了求正比例函数解析式和求自变量的值，解题关键是根据正比例关系设出函数关系式，利用待定系数法求出解析式．
12．直线y=−2x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，过点A作AC⊥AB于点A，且AC=AB，点C在第一象限内．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)在第一象限内有一点P（3，t），使，求的值．
【答案】(1)A（2，0），B（0，4），C（6，2）；
(2)t的值为8．
【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于点D，令x=0和y=0分别代入y=-2x+4中即可求出A与B的坐标，利用△ABO≌△CAD，求出点C的坐标；
（2）根据题意CPAB，设直线CP为y=-2x+b,代入C的坐标即可求得b=14，得到直线CP为y=-2x+14，代入P（3，t）即可求得t的值．
【详解】（1）解：令x=0代入y=-2x+4中，
∴y=4，
∴B（0，4），
令y=0代入y=-2x+4中，
∴x=2，
∴A（2，0），
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠DAC，
在△ABO与△CAD中，
，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴CD=OA=2，AD=OB=4，
∴OD=6，
∴C（6，2）；
（2）解：∵在第一象限内有一点P（3，t），使，
∴CPAB，
设直线CP为y=-2x+b，
代入C的坐标得，2=-2×6+b，解得b=14，
∴直线CP为y=-2x+14，
把点P（3，t）代入得，t=-2×3+14=8，
∴t的值为8．
【点睛】本题是一次函数的综合问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，明确CPAB，则是解题的关键．
13．已知一次函数y＝kx﹣10的图象经过点(﹣3，﹣4）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若点(m，)、(m+1，)在（1）中所得函数的图象上，试比较与的大小．
【答案】(1)y＝﹣2x﹣10；
(2)>．
【分析】（1）由一次函数y＝kx﹣10的图象经过点(﹣3，﹣4)，代入点的坐标即可求得k的值，即可得到y与x之间的函数关系式；
（2）根据一次函数的性质得到y随着x的增大而减小，即可比较与的大小．
【详解】（1）解：∵一次函数y＝kx﹣10的图象经过点(﹣3，﹣4)，
∴﹣4＝﹣3k－10，
解得k＝﹣2，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x﹣10；
（2）对于一次函数y＝﹣2x﹣10来说，k＝﹣2＜0，
∴y随着x的增大而减小，
∵点（m，）、（m+1，）在y＝﹣2x﹣10的图象上，且m＜m＋1，
∴＞．
【点睛】此题考查了求一次函数的解析式、一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
14．已知一次函数．
(1)画出这个函数的图象；
(2)求坐标轴所围成的三角形的面积；
(3)图象上有两点，，当时，则______填、或．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出该一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，描点、连线，即可画出一次函数的图象；
（2）由（1）的结论结合三角形的面积计算公式，即可求出一次函数y=-x+3的图象与坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）由k=-1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合＞可得出＜．
（1）
解：当x=0时，y=-1×0+3=3，
∴一次函数y=-x+3的图象与y轴交于点（0，3）；
当y=0时，-x+3=0，
解得：x=3，
∴一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点（3，0）．
描点、连线，画出函数图象如图所示．
．
（2）
解：∵一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点（3，0），与y轴交于点（0，3），
∴一次函数y=-x+3的图象与坐标轴所围成的三角形的面积=×3×3=；
（3）
解：∵k=-1＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵图象上有两点（，），（，），且＞，
∴＜．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出该一次函数图象与两坐标轴的交点坐标；（2）利用三角形的面积计算公式，求出一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积；（3）牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”．
15．如图，直线：y＝2x+1与直线：y＝mx+4相交于点P（1，b）．
(1)求b，m的值；
(2)垂直于x轴的直线x＝a与直线分别交于点C，D，
①求出点C、点D的纵坐标（用含字母a的代数式表示）；
②若线段CD长为6，求a的值．
【答案】(1)3；1
(2)①C纵坐标为2a+1，D纵坐标为4-a；②3或﹣1
【分析】（1）先把P点坐标代入直线解析式中求出点P的坐标，再把点P的坐标代入直线解析式中即可求出m的值；
（2）①令x＝a，分别求出＝2a+1，＝4﹣a即可得到答案；②根据①所求列式求解即可．
（1）
解：∵点P（1，b）在直线：y＝2x+1上，
∴b＝2×1+1＝3；
∵点P（1，3）在直线：y＝mx+4上，
∴3＝m+4，
∴m＝﹣1．
（2）
解：①当x＝a时，＝2a+1；
当x＝a时，＝4﹣a．
∴点C的纵坐标为2a+1，点D的纵坐标为4-a；
②∵CD＝6，
∴|2a+1﹣（4﹣a）|＝6，
解得：a＝3或a＝﹣1．
∴a的值为3或﹣1．
【点睛】本题主要考查了求一次函数函数值和待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
【培优检测】
1．一次函数的图象过点，， 则和的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质，即可判定．
【详解】解：在一次函数中，，
随x的增大而减小，
一次函数的图象过点，，且，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键．
2．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在下表所示的关系：
设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计当时，y的值约为（ ）
A．56B．43C．54D．46
【答案】D
【分析】该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，所以可以分析出销售量y与销售价x符合一次函数关系，再设出函数解析式，代入表格中的数据求出解析式，再把代入求y的值即可．
【详解】解：由图表可以看出y与x符合一次函数关系，设（k≠0），
把，和，代入，
可得，解得，
则，
当时，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的表示方法以及待定系数法求函数解析式，解题关键是根据题目中的条件分析函数关系，并且要熟练掌握待定系数法求解析式．
3．如图所示，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，则过B、C两点直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．y＝﹣2x+2
【答案】B
【分析】过点作轴，可证得，从而得到，，可得到，再由和，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴，则，
对于直线，令x＝0，得到y＝2，即B（0，2），OB＝2，
令y＝0，得到x＝﹣3，即A（﹣3，0），OA＝3，
∠ACM+∠CAM＝90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC＝90°，AC＝BA，
∴∠CAM+∠BAO＝90°，∴∠ACM＝∠BAO，
在△CAM和△ABO中，，∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴AM＝OB＝2，CM＝OA＝3，即OM＝OA+AM＝3+2＝5，∴C（﹣5，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（0，2），，解得 ，
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是，
故选：B．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些知识是解题的关键．
4．如图，已知直线a：y＝x，直线b：y＝﹣x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，求得，于是得到结论．
【详解】解：点，在直线上，
，
轴，
的纵坐标的纵坐标，
在直线上，
，
，
，即的横坐标为，
同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，
，
的横坐标为，
故选：C
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的作出规律是解题的关键．
5．如图，直线与轴，轴分别交于点，，且，点的坐标为，经过点的直线平分的面积，与轴交于点，将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，点的坐标为，经过点的直线平分的面积得出，得出OC=2，则直线向上平移2个单位长度后的新直线经过原点，算出平移后的的坐标，算出k即可得出答案．
【详解】根据，点的坐标为，经过点的直线平分的面积，得：=2
则直线向上平移2个单位长度后的新直线经过原点，
且经过点
故选：C
【点睛】本题考查三角形面积等分的性质与一次函数的平移问题，根据平移条件求出新直线的解析式是关键．
二、填空题
6．如图，将直线向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为______．
【答案】
【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，根据一次函数图象的平移规律求出平移后的一次函数的表达式．
【详解】设直线的解析式为,
∵直线经过点，
∴,
解得：，
∴直线的解析式为,
直线向上平移2个单位，得到一次函数的表达式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移、待定系数法求一次函数解析式的一般步骤，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
7．老师给出一个函数，甲、乙、丙各指出了这个函数的一个性质：
甲：这个函数的图象是一条直线，且与直线y＝－x+5平行．
乙：这个函数的图象不经过第一象限．
丙：我能计算出这个函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2．
请你根据他们的叙述构造满足上述性质的函数关系式：_____．
【答案】y＝－x－2
【分析】先根据甲设出函数解析式，再根据乙求出b＜0，最后根据丙求出b的值即可求出函数关系式．
【详解】∵这个函数的图象是一条直线，且与直线y＝－x+5平行，
∴这个函数为一次函数且k=－1，
设函数为y＝－x+b，则函数图象与坐标轴的交点为（b，0）和（0，b），
∵函数的图象不经过第一象限．
∴b＜0，
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，
∴（－b）•（－b）＝2，
解得b＝－2，
∴函数关系式为y＝－x－2，
故答案为：y＝－x－2
【点睛】本题考查了一次函数的性质和一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
8．正方形，…按如图所示方式放置，点…和，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点的坐标是 _____， 的纵坐标是 _____．
【答案】 （15，8）
【分析】利用一次函数，求得每个点的纵坐标，即可求得横坐标．从而求得点的坐标．
【详解】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，
∴点的坐标为（0，1），
∵四边形为正方形，
∴点的坐标为（1，1），点的坐标为（1，0），
当x＝1时，y＝x+1＝2，
∴点的坐标为（1，2），
∵四边形为正方形，
∴点的坐标为（3，2），点的坐标为（3，0），
同理可知，
点的坐标为（7，4），
点的坐标为（15，8），
点的坐标为（31，16），
……，
∴点Bn的坐标为（）（n为正整数），
∴点的纵坐标为．
故答案为：（15，8）；．
【点睛】本题考查的是一次函数的应用及点的规律，解题的关键是利用一次函数求纵坐标，然后找到规律．
9．如图，已知四边形四个顶点的坐标为、、、，当四边形的周长最小时，的值为___________．
【答案】####2.5
【分析】根据题意，可得、的长度是固定的，故要想让四边形的周长最小，只需的长度最小，将点向左平移2个单位长度与点重合，将点向左平移2个单位长度，得到，作关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质，可得：点，再根据待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，截取，此时的长度最小，即四边形的周长最小，令，即可得出的值．
【详解】解：∵，，，，
∴、的长度是固定的，
∴要想让四边形的周长最小，只需的长度最小，
如图，将点向左平移2个单位长度与点重合，将点向左平移2个单位长度，得到，作关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质，可得：点，
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
令直线与轴交于点，截取，此时的长度最小，即四边形的周长最小，
∴当时，，
即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称—最短问题，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，解本题的关键在理解四边形的周长最小，即的长度最小．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_______．
【答案】
【分析】根据已知条件得到，，，求得，，过作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，，设直线的函数表达式为：，解方程组于是得到结论．
【详解】解：一次函数的图像分别交、轴于点、，
令，得，令，则，
，，，
，，
过作交于，过作轴于，如图所示：
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，，
设直线的函数表达式为：，
，解得，
直线的函数表达式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
11．已知函数(，k为常数)：
(1)若函数值y随自变量的增大面减小，则函数的图象是经过 象限的直线．
(2)若函数图象经过点．
①求函数解析式．
②在轴上是否存在点B使的面积为1，若存在求出B的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)第二、四
(2)①；② 存在，或
【分析】(1)根据正比例函数的性质，即可解答；
(2)①把点A的坐标代入解析式，即可求得；②设点B的坐标为，则，再根据的面积为1，列式计算即可求得．
（1）
解：函数值y随自变量的增大面减小，
，
函数的图象是经过第二、四象限的直线，
故答案为：第二、四；
（2）
解：①把点A的坐标代入解析式，得，
解得，
故函数解析式为；
②存在；
设点B的坐标为，则，
，
，
解得或，
故点B的坐标为或．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，求正比例函数的解析式，坐标与图形，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
12．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点，点在直线上，连接OC．
(1)求直线的解析式和的面积；
(2)点P为直线上一动点，的面积与的面积相等，求点P的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为，
(2)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，根据三角形面积公式可得，即可求出其面积；
（2）设，由直线AB的解析式，易求出A点坐标，再根据三角形面积公式结合题意列出关于t的等式，解出t即可求出P点坐标．
（1）
设直线AB的解析式为，
把，代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
；
（2）
设，
当时，，
解得，
∴．
∵，
∴，即，
解得或，
∴P点坐标为或．
【点睛】本题为一次函数与几何的综合，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
13．已知：如图1，线段AB＝14cm，的顶点P从点A出发沿折线A-O-B运动时，的面积随着点P运动路程的变化，发生了变化．图2表示这种变化规律．
(1)在P点运动5cm时，的面积为______；当P点运动路程为______cm时，的面积最大为______；
(2)求图1中线段AO、OB的长，以及O到AB的距离；
(3)直接写出a的值为______．
【答案】(1)28，15，84
(2)OA=15cm，OB=13cm，点O到AB的距离为12cm
(3)21.5
【分析】（1）根据图2所示即可得出．
（2）根据三角形面积公式求解即可．
（3）求出一次函数解析式，进而即可求解．
（1）
当在P点运动5cm时，根据图2可得△PAB的面积为28 ，当P点运动路程为15cm时，△PAB的面积最大为84；
故答案为：28，15，84；
（2）
由题意得，AO＝15cm，OB＝28-15=13cm，
设O到AB的距离为h，则，解得h＝12，
∴O到AB的距离为12cm；
（3）
解：设一次函数为y=kx+b，
把（15，84），（28，0）代入一次函数函数可得，
解得
∴
当y=42时，解得：a=21.5
【点睛】此题考查了动点与函数图像，一次函数的性质，解题的关键是把图看懂，得出需要的信息，求出一次函数解析式．
14．如图，平面直角坐标系中，，A、B在x轴上，连接，点E在上，连接．
(1)请直接写出与的位置关系；
(2)请应用（1）中结论求证：；
(3)连接，若点，请直接写出三角形的面积．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)10．
【分析】（1）根据纵坐标相同的两点的连线平行于x轴，即可证明；
（2）根据和平行线的性质，利用三角形内角和定理即可证明；
（3）设CE的函数关系式为y=kx+b，求出点B的坐标，根据求解即可．
（1）
解：，
证明：∵，C、D两点的纵坐标相同，
∴CD平行x轴，即；
（2）
证明：∵，
∴，
∵，∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DCE+∠CED=180°，
∴；
（3）
设CE的函数关系式为y=kx+b，
代入点C（0，5），E（2，1），
得：，
解得：，
∴CE的函数关系式为，
当y=0时，x=，
即点B（，0），AB=，
∴．
【点睛】本题考查一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
(1)求和的值；
(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．设点的运动时间为秒．
①若点在线段上，且的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②存在的值，使为等腰三角形，的值为或或4
【分析】（1）将点代入，求出m的值，再将确定的点C代入中，即可求b的值；
（2）①由题意可知P点的坐标为，则，再由，求出t的值即可；
②由①分别求出，再根据等腰三角形的边的关系分三种情况建立方程，求出t的值即可．
【详解】（1）解：将点代入，
∴，
∵直线过点C，
∴，
解得；
（2）解：①∵，
∴直线解析式为，
∴，
直线与x轴交点A为，与y轴交点B，
由题意可知P点的坐标为，
∴，
∴，
解得；
②存在t的值，使为等腰三角形，理由如下：
∵A，，P，
∴，
当时，，
解得或；
当时，，
解得（舍或（舍；
当时，，
解得；
综上所述：的值为或或4．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
-1
0
1
2
-2
-1
0
印数（册）
5000
8000
10000
15000
……
成本（元）
28500
36000
41000
53500
……
销售价/元
90
100
110
120
130
140
销售量/件
90
80
70
60
50
40
【教学目标】
掌握一次函数的图象与性质；学会画一次函数的图象，熟练掌握k，b的取值对图象经过象限的判定；
掌握一次函数的增减性；掌握一次函数平行关系和垂直关系；
3、学会用待定系数法求一次函数的解析式，并会求点的坐标等。
【教学重难点】
1、掌握一次函数的图象与性质；学会画一次函数的图象，熟练掌握k，b的取值对图象经过象限的判定；
2、掌握一次函数的增减性；掌握一次函数平行关系和垂直关系；
3、学会用待定系数法求一次函数的解析式，并会求点的坐标等。
【知识亮解】
知识点一：一次函数的图像与性质
1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；
当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；
当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.
2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：
3. 、对一次函数的图象和性质的影响：
决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2），且与平行；
直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：
k>0，b>0：经过第一、二、三象限
k>0，b<0：经过第一、三、四象限
k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点）
结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。
k<0，b>0：经过第一、二、四象限
k<0，b<0：经过第二、三、四象限
k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点）
结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。
总结：
1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。
即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。
2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。
当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。
3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行；
当k不同，且b相等，图象相交于Y轴；
当k互为负倒数时，两直线垂直。
5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。
知识点二：待定系数法求一次函数解析式
一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
亮题一：一次函数图象与性质
【方法点拨】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
【例1】★（2020八下·贵港期末）已知正比例函数 ，且 随 的增大而增大，则一次函数 的图象是（ ）
A. B. C. D.
【例2】★同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【例3】★若直线（≠0）不经过第一象限，则、的取值范围是（ ）
A. ＞0, ＜0 B. ＞0,≤0 C. ＜0, ＜0 D. ＜0, ≤0
【例4】★一次函数与在同一坐标系内的图象可以为（ ）
A. B. C. D.
【例5】★下列函数中，其图象同时满足两个条件①随着的增大而增大②与轴的正半轴相交．则它的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【例6】★函数在直角坐标系中的图象可能是（ ）．
【例7】★已知：一次函数y＝（2a+4）x+（3﹣b），根据给定条件，确定a、b的值．
（1）y随x的增大而增大；
（2）图象经过第二、三、四象限；
（3）图象与y轴的交点在x轴上方．
【例8】★（2020八下·通榆期末）若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k,b的取值范围是（ ）
A. k>0, b>0 B. k>0,b<0 C. k<0,b>0 D. k<0,b<0
【例9】★（2020八下·阳东期末）已知 是 的一次函数，下表列出了部分 与 的对应值：
则 的值为（ ）
A. -2 B. 1 C. 2 D. 3
【例10】★（2020八下·阳东期末）若函数 是正比例函数，且 随 的增大而减小，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【例11】★（2020八下·阳东期末）若 ，则一次函数 的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
【例12】★（2020八下·阳东期末）点 在第一象限内，且 ，点 的坐标为 ，设 的面积为 ，则下列图像中，能正确反映面积 与 之间的函数关系式的图像是（ ）
A. B. C. D.
【例13】★（2020八下·莘县期末）如图，一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m，n为常数，且mn≠0，n>0)的图象是( )
A. B. C. D.
【例14】★（2020八下·莘县期末）如图，一次函数y=kx+b的图象经过(2，0)和(0，4)两点，则下列说法正确的是( )
A. y随x的增大而增大 B. 当x<2时，y<4 C. k=-2 D. 点(5，-5)在直线y=kx+b上
亮题二：一次函数图像的应用
【例1】★为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系如图所示．根据图象求出与的函数关系式．
【例2】★★小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )
A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟
【例3】★★小明参加了步行活动中，中途休息了一段时间．设他从学校出发后所用时间为 （分钟），所走的路程为 （米 ，s与t之间的函数关系如图17所示．则下列说法中，正确的序号为________．
①小明中途休息用了20分钟．
②小明休息前步行的平均速度为每分钟70米．
③小明休息前步行的平均速度大于休息后步行的平均速度．
④小明行走的路程为6600米．
【例4】★在一次函数y=3x+1中，y随x的增大而________．
【例5】★★（2020八下·南召期末）某厂家在甲、乙两家商场销售同一种商品所获得的利润分别为y甲 ， y乙(单位：元)，y甲 ， y乙与销售数量x(单位：件)的函数关系如图所示，请根据图象分别求出y甲 ， y乙关于x的函数解析式.
【例6】★★（2020八下·武城期末）如图①，正方形ABCD中，点P以恒定的速度从点A出发，沿AB-BC的路径运动，到点C停止。过点P作PQ∥BD，PQ与边AD(或边CD)交于点Q，PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图②所示。当点P运动3秒时，△APQ的面积为( )
A. 6cm2 B. 4cm² C. 6 cm² D. 4 cm²
【例7】★★★如图①，在矩形MMPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝2时，y＝5B．矩形MNPQ的周长是18
C．当x＝6时，y＝10D．当y＝8时，x＝10
【例8】★（2020八下·枣阳期末）若一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是________.
【例9】★（2020八下·枣阳期末）若函数 的图象经过A（1， ）、B（－1， ）、C（－2， ）三点，则 ， ， 的大小关系是________.
亮题三：求一次函数解析式
函数解析式y=kx+b
满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象直线l
【方法点拨】先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
【例1】★已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是 ．
【例2】★根据函数的图象，求函数的解析式．
【例3】★已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．
【例4】★（1）已知直线，与直线平行，且与轴的交点是（0，），则直线解析式为___________________．
（2）若直线与平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为__________________．
【例5】★★某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：
（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本（元）是印数（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？
【例6】★★已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．
【亮点训练】
1．下面四个点中有一个点和其它三个点不在同一个正比例函数图象上，这个点是（ ）
A．B．C．D．
2．已知正比例函数的函数值y随x值的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知一次函数的图象与轴的正半轴相交，且函数值随自变量的增大而增大，则，的取值情况为（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）
A．1B．3C．D．
5．下列关于一次函数y＝﹣3x+1的说法中，不正确的是（ ）
A．若图象过点（，），（+1，），则＜
B．图象经过一、二、四象限
C．在y轴上的截距是1
D．函数值y随着x的增大而减小
二、填空题
6．点，在一次函数的图象上，则___________．（填“>”，“<”或“=”）
7．已知两点都在直线上，且当时，，则的取值范围是___________．
8．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点A、B，点C在x轴负半轴上，若为等腰三角形，则点C的坐标为_______．
9．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为上一动点，值最小时点的坐标为_____．
10．如图所示，在三角形ABC中，已知，高，动点Q由点C沿CB向点B移动（不与点B重合）．设CQ的长为x，三角形ACQ的面积为S，则S与x之间的关系式为______．
三、解答题
11．已知y与成正比例，且时，．
(1)求y与的函数关系式．
(2)当时，求自变量的值．
12．直线y=−2x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，过点A作AC⊥AB于点A，且AC=AB，点C在第一象限内．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)在第一象限内有一点P（3，t），使，求的值．
13．已知一次函数y＝kx﹣10的图象经过点(﹣3，﹣4）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若点(m，)、(m+1，)在（1）中所得函数的图象上，试比较与的大小．
14．已知一次函数．
(1)画出这个函数的图象；
(2)求坐标轴所围成的三角形的面积；
(3)图象上有两点，，当时，则______填、或．
15．如图，直线：y＝2x+1与直线：y＝mx+4相交于点P（1，b）．
(1)求b，m的值；
(2)垂直于x轴的直线x＝a与直线分别交于点C，D，
①求出点C、点D的纵坐标（用含字母a的代数式表示）；
②若线段CD长为6，求a的值．
【培优检测】
1．一次函数的图象过点，， 则和的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
2．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在下表所示的关系：
设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计当时，y的值约为（ ）
A．56B．43C．54D．46
3．如图所示，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，则过B、C两点直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．y＝﹣2x+2
4．如图，已知直线a：y＝x，直线b：y＝﹣x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，直线与轴，轴分别交于点，，且，点的坐标为，经过点的直线平分的面积，与轴交于点，将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．如图，将直线向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为______．
7．老师给出一个函数，甲、乙、丙各指出了这个函数的一个性质：
甲：这个函数的图象是一条直线，且与直线y＝－x+5平行．
乙：这个函数的图象不经过第一象限．
丙：我能计算出这个函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2．
请你根据他们的叙述构造满足上述性质的函数关系式：_____．
8．正方形，…按如图所示方式放置，点…和，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点的坐标是 _____， 的纵坐标是 _____．
9．如图，已知四边形四个顶点的坐标为、、、，当四边形的周长最小时，的值为___________．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_______．
三、解答题
11．已知函数(，k为常数)：
(1)若函数值y随自变量的增大面减小，则函数的图象是经过 象限的直线．
(2)若函数图象经过点．
①求函数解析式．
②在轴上是否存在点B使的面积为1，若存在求出B的坐标，若不存在，说明理由．
12．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点，点在直线上，连接OC．
(1)求直线的解析式和的面积；
(2)点P为直线上一动点，的面积与的面积相等，求点P的坐标．
13．已知：如图1，线段AB＝14cm，的顶点P从点A出发沿折线A-O-B运动时，的面积随着点P运动路程的变化，发生了变化．图2表示这种变化规律．
(1)在P点运动5cm时，的面积为______；当P点运动路程为______cm时，的面积最大为______；
(2)求图1中线段AO、OB的长，以及O到AB的距离；
(3)直接写出a的值为______．
14．如图，平面直角坐标系中，，A、B在x轴上，连接，点E在上，连接．
(1)请直接写出与的位置关系；
(2)请应用（1）中结论求证：；
(3)连接，若点，请直接写出三角形的面积．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
(1)求和的值；
(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．设点的运动时间为秒．
①若点在线段上，且的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
-1
0
1
2
-2
-1
0
印数（册）
5000
8000
10000
15000
……
成本（元）
28500
36000
41000
53500
……
销售价/元
90
100
110
120
130
140
销售量/件
90
80
70
60
50
40
专题6.3 一次函数的图象
【教学目标】
掌握一次函数的图象与性质；学会画一次函数的图象，熟练掌握k，b的取值对图象经过象限的判定；
掌握一次函数的增减性；掌握一次函数平行关系和垂直关系；
3、学会用待定系数法求一次函数的解析式，并会求点的坐标等。
【教学重难点】
1、掌握一次函数的图象与性质；学会画一次函数的图象，熟练掌握k，b的取值对图象经过象限的判定；
2、掌握一次函数的增减性；掌握一次函数平行关系和垂直关系；
3、学会用待定系数法求一次函数的解析式，并会求点的坐标等。
【知识亮解】
知识点一：一次函数的图像与性质
1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；
当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；
当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.
2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：
3. 、对一次函数的图象和性质的影响：
决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2），且与平行；
直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：
k>0，b>0：经过第一、二、三象限
k>0，b<0：经过第一、三、四象限
k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点）
结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。
k<0，b>0：经过第一、二、四象限
k<0，b<0：经过第二、三、四象限
k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点）
结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。
总结：
1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。
即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。
2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。
当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。
3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行；
当k不同，且b相等，图象相交于Y轴；
当k互为负倒数时，两直线垂直。
5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。
知识点二：待定系数法求一次函数解析式
一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
亮题一：一次函数图象与性质
【方法点拨】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
【例1】★（2020八下·贵港期末）已知正比例函数 ，且 随 的增大而增大，则一次函数 的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】正比例函数的图象和性质，一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 正比例函数y=kx ，且 y 随 x 的增大而增大，
∴k＞0，
∴ 一次函数y=2x+k的图象经过第一，二，三象限.
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数的性质得出k＞0，根据一次函数的性质得出y=2x+k的图象经过第一，二，三象限，即可求解.
【例2】★同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【答案】解：若m＞0，n＞0，则一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）都是增函数，且都交y轴的正半轴；
若m＜0，n＞0，则一次函数y＝mx+n是减函数，交y轴的正半轴，y＝nx+m（mn为常数）是增函数，交y轴的负半轴；
若m＞0，n＜0，则一次函数y＝mx+n是增函数，且交y轴负半轴，y＝nx+m（mn为常数）是减函数，且交y轴的正半轴；
若m＜0，n＜0，则一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）都是减函数，且都交 于y的负半轴；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
【例3】★若直线（≠0）不经过第一象限，则、的取值范围是（ ）
A. ＞0, ＜0 B. ＞0,≤0 C. ＜0, ＜0 D. ＜0, ≤0
【思路点拨】根据一次函数的图象与系数的关系解答.图象不经过第一象限，则k＜0，此时图象可能过原点，也可能经过二、三、四象限.
【答案】D；
【解析】当图象过原点时，＜0，＝0，当图象经过二、三、四象限时，＜0且＜0.
【总结升华】图象不经过第一象限包括经过二、三、四象限和过原点两种情况.
【例4】★一次函数与在同一坐标系内的图象可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D；
提示：分为＜0；0＜＜2；＞2分别画出图象，只有D答案符合要求.
【例5】★下列函数中，其图象同时满足两个条件①随着的增大而增大②与轴的正半轴相交．则它的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C；
【解析】由题可知：解析式中必须满两个条件①随着的增大而增大②与轴的正半轴相交．C中当＞0，＜0，的值随的值增大而增大，且与的正半轴相交，符合条件．故选C．
【总结升华】根据，的正负来确定一次函数图象所处的象限.
【例6】★函数在直角坐标系中的图象可能是（ ）．
【答案】B；
提示：不论为正还是为负，都大于0，图象应该交于轴上方，故选B.
【例7】★已知：一次函数y＝（2a+4）x+（3﹣b），根据给定条件，确定a、b的值．
（1）y随x的增大而增大；
（2）图象经过第二、三、四象限；
（3）图象与y轴的交点在x轴上方．
【分析】（1）根据函数y随x的增大而增大解答即可；
（2）根据函数图象经过第二、三、四象限解答即可；
（3）根据函数图象与y轴的交点在x轴上方解答即可．
【答案】解：（1）∵y随x的增大而增大
∴2a+4＞0
∴a＞﹣2
（2）∵图象经过第二、三、四象限
∴2a+4＜0，3﹣b＜0
∴a＜﹣2，b＞3
（3）∵图象与y 轴的交点在x轴上方
∴3﹣b＞0∴b＜3
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：
直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系；
k＞0时，直线必经过一、三象限；
k＜0时，直线必经过二、四象限；
b＞0时，直线与y轴正半轴相交；
b＝0时，直线过原点；
b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
【例8】★（2020八下·通榆期末）若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k,b的取值范围是（ ）
A. k>0, b>0 B. k>0,b<0 C. k<0,b>0 D. k<0,b<0
【答案】 C
【考点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： 直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则 k<0，b>0.
故答案为：C.
【分析】由直线y=kx+b经过第一、二、四象限可知，直线y=kx+b经过二、四象限且与y轴相交于正半轴，故 k<0，b>0，即可求解.
【例9】★（2020八下·阳东期末）已知 是 的一次函数，下表列出了部分 与 的对应值：
则 的值为（ ）
A. -2 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】 B
【考点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：根据图表可知，自变量x增加1，因变量y增加1
∴a的值为1
故答案为：B.
【分析】根据函数的增减性，即可得到答案。
【例10】★（2020八下·阳东期末）若函数 是正比例函数，且 随 的增大而减小，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵函数为正比例函数
∴b=0
∵函数y随x的增大而减小
∴k＜0
故答案为：B.
【分析】根据正比例函数的含义以及性质，即可得到b=0，由y随x的增大而减小，即可得到k＜0，即可得到答案。
【例11】★（2020八下·阳东期末）若 ，则一次函数 的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【考点】一次函数的图象，一次函数的性质
【解析】【解答】解：在一次函数中，∵k=-1＜0，b＞0
∴一次函数的图象经过一、二、四象限
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的中k和b的值，即可确定函数的象限，即可得到答案。
【例12】★（2020八下·阳东期末）点 在第一象限内，且 ，点 的坐标为 ，设 的面积为 ，则下列图像中，能正确反映面积 与 之间的函数关系式的图像是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【考点】一次函数的图象，三角形的面积，一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点P在第一象限内，且x+y=6
∴y=6-x（0＜x＜6,0＜y＜6）
∵点A的坐标为（4,0）
∴S=×4×（6-x）=12-2x（0＜x＜6）
故答案为：C
【分析】根据题意，即可得到y与x的函数关系式，根据三角形的面积公式即可得到答案。
【例13】★（2020八下·莘县期末）如图，一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m，n为常数，且mn≠0，n>0)的图象是( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】正比例函数的图象和性质，一次函数的图象，一次函数的性质
【解析】【解答】解：①当m＞0，n＞0时
一次函数经过一、二、三象限，正比例函数经过一、三象限
②当m＜0，n＜0时
一次函数经过二、三、四象限，正比例函数经过一、三象限
③当m＞0时，n＜0时
一次函数经过一、三、四象限，正比例函数经过二、四象限
④当m＜0，n＞0时
一次函数经过一、二、四象限，正比例函数经过二、四象限
即A正确
故答案为：A.
【分析】根据m和n的取正负值的不同，结合一次函数以及正比例函数的图象和象限进行判断即可。
【例14】★（2020八下·莘县期末）如图，一次函数y=kx+b的图象经过(2，0)和(0，4)两点，则下列说法正确的是( )
A. y随x的增大而增大 B. 当x<2时，y<4 C. k=-2 D. 点(5，-5)在直线y=kx+b上
【答案】 C
【考点】一次函数的图象，一次函数的性质
【解析】【解答】解：A.根据图象可知，y随x的增大而减小，说法错误；
B.由图象可知，当x=2时，y=0，即当x＜2时，y＞0，说法错误；
C.将点（2,0）和（0,4）代入y=kx+b
， 解得，k=-2，b=4，正确
D.∵一次函数解析式为y=-2x+4
∴令x=5
y=-2×5+4=-6
∴点（5,-5）不在直线上，错误
故答案为：C.
【分析】根据图象，由一次函数的图象和性质进行判断即可得到答案。题型五：一次函数图像的应用
亮题二：一次函数图像的应用
【例1】★为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系如图所示．根据图象求出与的函数关系式．
【思路点拨】根据函数关系的变化进行分段，分别求出各段的函数解析式．
【答案与解析】
解：根据图象，当0≤≤50时，可设解析式为，
将(50，25)代入解析式，所以，所以；
当＞50时可设解析式为，
将(50，25)，(100，70)代入解析式得，
解得，所以．
所以当0≤≤50时函数解析式为；当时函数解析式为．
∴ 所求的一次函数解析式为：．
【总结升华】求分段函数解析式的基本方法是：先分求，后整合.分求某段解析式的方法与求一次函数解析式的方法相同，在整合时要用大括号联结，并在各解析式后注明自变量的取值范围.
【例2】★★小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )
A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟
【答案】D；
提示：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速度为100米/分.原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，一共20分钟.
【例3】★★小明参加了步行活动中，中途休息了一段时间．设他从学校出发后所用时间为 （分钟），所走的路程为 （米 ，s与t之间的函数关系如图17所示．则下列说法中，正确的序号为________．
①小明中途休息用了20分钟．
②小明休息前步行的平均速度为每分钟70米．
③小明休息前步行的平均速度大于休息后步行的平均速度．
④小明行走的路程为6600米．
【答案】 ①②③
【考点】函数的图象
【解析】【解答】①由图象可知，在40~60分钟，路程没有发生变化，
∴小明中途休息的时间为60-40=20（分钟），故①正确；
②由图象知：当t=40时，s=2800，
∴ 小明休息前步行的平均速度为2800÷40=70（米/分），故B正确；
③ 休息后步行的平均速度为：（3800-2800）÷（100-60）=25（米/分），
由②知小明休息前步行的平均速度为70米/分，
∵70＞25，∴小明休息前步行的平均速度大于休息后步行的平均速度，故③正确；
④根据图形可知， 小明行走的路程为3800米，故④错误；
∴正确有①②③.
【分析】①观察图相知，在40~60分钟，路程没有发生变化，据此求出休息的时间为60-40=20（分钟），据此判断即可；②观察图象知休息前小明40分钟走了2800米，利用速度=路程÷时间即得，然后判断即可；③利用速度=路程÷时间求出休息后步行的平均速度（3800-2800）÷（100-60）=25（米/分），然后与②中的结论相比，然后判断即可；④观察图形可知小明行走的路程为3800米，据此判断即可.
【例4】★在一次函数y=3x+1中，y随x的增大而________．
【答案】 增大
【考点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：对一次函数y=3x+1，∵k=3＞0，∴y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
【分析】根据一次函数的性质解答即可．
【例5】★★（2020八下·南召期末）某厂家在甲、乙两家商场销售同一种商品所获得的利润分别为y甲 ， y乙(单位：元)，y甲 ， y乙与销售数量x(单位：件)的函数关系如图所示，请根据图象分别求出y甲 ， y乙关于x的函数解析式.
【答案】 解：设y甲＝k1x，
∵当x＝600时，y＝480，
∴480＝600k1 ，
∴k1＝0.8，
∴y甲＝0.8x.
当0≤x≤200时，设y乙=k2x，
∵当x=200时，y＝400，
∴400＝200k2 ，
∴k2＝2，
此时y乙＝2x
当x≥200时，设y乙＝k3x＋b，
∵当x＝200时，y＝400；当x＝600时，y=480，
∴
解得
此时y乙＝0.2x＋360.
综上所述，y乙＝
【考点】分段函数，一次函数的实际应用
【解析】【分析】 设y甲＝k1x，把x＝600时，y＝480代入解析式，求出k1的值，即可求出y甲的函数解析式； y乙是分段函数，当0≤x≤200时，设y乙=k2x，把x=200，y＝400代入解析式，求出k2的值，当x≥200时，设y乙＝k3x＋b，把x＝200，y＝400和x＝600，y=480分别代入解析式，求出k3和b的值，即可求出 y乙的函数解析式.
【例6】★★（2020八下·武城期末）如图①，正方形ABCD中，点P以恒定的速度从点A出发，沿AB-BC的路径运动，到点C停止。过点P作PQ∥BD，PQ与边AD(或边CD)交于点Q，PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图②所示。当点P运动3秒时，△APQ的面积为( )
A. 6cm2 B. 4cm² C. 6 cm² D. 4 cm²
【答案】 A
【考点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】可以从图2 中发现，当x=2时，PQ最长，BD=4 ，
四边形ABCD是正方形，边长为a，2a2=32，a=4，
P运动3秒时，P在BC重点，
PQ∥BD,PQ是中位线，点Q是CD中点，
S△APQ=S正方形ABCD-S△ADQ-S△CPQ-S△ABP=6
故答案为：A
【分析】根据P点运动的规律，可利用面积的关系，列式计算出面积。
【例7】★★★如图①，在矩形MMPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（ ）
A．当x＝2时，y＝5B．矩形MNPQ的周长是18
C．当x＝6时，y＝10D．当y＝8时，x＝10
【分析】本题通过右侧的图象可以判断出长方形的边长，然后选项计算，选项A、B、C都可证正确，选项D，面积为8时，对应x值不为10，所以错误，故答案为D
【答案】解：由图象可知，四边形MNPQ的边长，MN＝5，NP＝4，点R的速度为1单位/秒
选项A，x＝2时，△MNR的面积＝＝5，正确
选项B，矩形周长为2×（4+5）＝18，正确
选项C，x＝6时，点R在QP上，△MNR的面积＝＝10，正确
选项D，y＝8时，高＝8，则高＝，点R在PN或QM上，距离QP有个单位，对应的x值都不为10，错误
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题分类讨论，对运动中点R的三种位置都设置了问题，是一道很好的动点问题．
【例8】★（2020八下·枣阳期末）若一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是________.
【答案】 k＞0
【考点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数 的图象有四种情况：
①当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、三象限；
②当 ， 时，函数 的图象经过第一、三、四象限；
③当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、四象限；
④当 ， 时，函数 的图象经过第二、三、四象限。
由题意得，y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，故 .
故答案为：k＞0.
【分析】根据一次函数图像与系数k，b的关系，图像经过第一、二、三象限，k＞0，b＞0。
【例9】★（2020八下·枣阳期末）若函数 的图象经过A（1， ）、B（－1， ）、C（－2， ）三点，则 ， ， 的大小关系是________.
【答案】 ＜ ＜
【考点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：当x=1时， =-2×1=-2；
当x=-1时， =-2×（-1）=2；
当x=-2时， =-2×（-2）=4；
∵-2＜2＜4
∴ ＜ ＜
故答案为： ＜ ＜ .
【分析】分别计算自变量为1，-1，-2对应的函数值即可得到 ， ， 的大小关系.
亮题三：求一次函数解析式
函数解析式y=kx+b
满足条件的两定点(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象直线l
【方法点拨】先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
【例1】★已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是 ．
【分析】先根据一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0）可知b＝﹣2k，用k表示出函数图象与y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．
【答案】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0），
∴2k+b＝0，b＝﹣2k，
∴y＝kx﹣2k，
令x＝0，则y＝﹣2k，
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为1，
∴×2×|﹣2k|＝1，即|2k|＝1，
解得：k＝±，
则函数的解析式是y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
故答案为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解答本题需要注意有两种情况，不要漏解．
【例2】★根据函数的图象，求函数的解析式．
【思路点拨】由于此函数的图象过（0，2），因此＝2，可以设函数的解析式为，再利用过点（1.5，0），求出相应的值.
【答案与解析】利用待定系数法求函数的解析式.
解：设函数的解析式为.
它的图象过点（1.5，0），（0，2）
∴该函数的解析式为.
【总结升华】用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
【例3】★已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．
【答案】 ；
提示：设一次函数的解析式为，它的图象与的图象平行，则，又因为一次函数的图象经过(2，1)点，代入得1＝2×2＋．解得．
∴ 一次函数解析式为．
【例4】★（1）已知直线，与直线平行，且与轴的交点是（0，），则直线解析式为___________________．
（2）若直线与平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为__________________．
【答案】（1）；（2）或.
提示：（1）因为所求直线与平行，所以，将（0，－2）代入，解得，所以.
（2）由题意得，假设点（1，4）在上面，那么点（1，5）或
（1，3）在直线上，解得或.所求直线为或.
【例5】★★某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：
（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本（元）是印数（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？
【思路点拨】待定系数法求函数解析式，根据两点得到两个二元一次方程，组成一个二元一次方程组求出解即可．表中信息取两组就可以了.
【答案与解析】
解：（1）设所求一次函数的解析式为，
则
解得＝，＝16000．
∴所求的函数关系式为＝＋16000．
（2）∵48000＝＋16000．
∴＝12800．
答：能印该读物12800册．
【总结升华】此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力．
【例6】★★已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．
【答案】
解：因为直线过点，所以， ①
又因为直线与轴、轴的交点坐标分别为，
再根据，所以
整理得 ②． 根据方程①和②可以得出，，
所以，．所以所求一次函数解析式为或．
【亮点训练】
1．下面四个点中有一个点和其它三个点不在同一个正比例函数图象上，这个点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】正比例函数解析式为：，将各点坐标代入求出k的值即可解答．
【详解】解：设正比例函数解析式为：，
将代入可得：，解得：；
将代入可得：，即；
将代入可得：，解得：；
将代入可得：，解得：；
∴点，，在正比例函数上，
点在正比例函数．
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数，解题的关键是掌握正比例函数解析式的求法．
2．已知正比例函数的函数值y随x值的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据正比例函数的性质得出，继而判断一次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x值的增大而增大，
∴，
∴经过一、二、四象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，解题的关键是牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”．
3．已知一次函数的图象与轴的正半轴相交，且函数值随自变量的增大而增大，则，的取值情况为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】先将一次函数解析式整理为，根据一次函数的函数值随自变量的增大而增大，可得，根据图象与轴的正半轴相交，可得，据此即可求解．
【详解】解：∵，一次函数的函数值随自变量的增大而增大，
∴，
解得，
∵图象与轴的正半轴相交，
∴，
即．
故选B．
【点睛】本题考查了根据一次函数的增减性求参数的范围，掌握一次函数的性质是解题的关键．
4．如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】B
【分析】设直线与y轴交于点D，轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A，D的坐标，进而可得出的长，利用三角形的面积计算公式可求出的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积均为1，再将三个小三角形的面积相加即可求出结论．
【详解】解：设直线与y轴交于点D，轴于点E，如图所示．
当时，，
∴点D的坐标为；
当时，，
∴点A的坐标为，
∴点E的坐标为，，
∴，
∴．
同理，可求出另两个三角形的面积均为1（阴影部分组成的小三角形），
∴阴影部分面积之和．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出每个小三角形的面积是解题的关键．
5．下列关于一次函数y＝﹣3x+1的说法中，不正确的是（ ）
A．若图象过点（，），（+1，），则＜
B．图象经过一、二、四象限
C．在y轴上的截距是1
D．函数值y随着x的增大而减小
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：A．∵-3<0，∴y随着x的增大而减小，∵<+1，∴>，故错误；
B．∵-3<0，1>0，∴图象经过一、二、四象限，正确；
C．当x=0时，y＝﹣0+1=1，∴在y轴上的截距是1，正确；
D．∵-3<0，函数值y随着x的增大而减小，正确．
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数y=kx+b（k为常数，k≠0），当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．当b＞0，图象与y轴的正半轴相交，当b<0，图象与y轴的负半轴相交，当b=0，图象经过原点．也考查了直线的截距.
二、填空题
6．点，在一次函数的图象上，则___________．（填“>”，“<”或“=”）
【答案】<
【分析】由，根据一次函数的性质可得y随x的增大而增大，再结合即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数中，，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴，
故答案为：<
【点睛】此题考查的是比较一次函数图象上两点纵坐标的大小，掌握一次函数增减性的判断是解题的关键．
7．已知两点都在直线上，且当时，，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据题意知，由一次函数图象性质可知，进而可得的取值范围．
【详解】解：∵，当时，，
∴且，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数定义、图象与性质，掌握一次函数的图象的性质是解题的关键．
8．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于点A、B，点C在x轴负半轴上，若为等腰三角形，则点C的坐标为_______．
【答案】（-4，0）或（-1，0）##（-1，0）或（-4，0）
【分析】由直线解析式求得A、B的坐标，由点A，B的坐标可求出AB的长，分BA=BC、BA=CA种情况讨论求得即可．
【详解】解：直线与x轴、y轴交于点A、B，则点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），
∴AB==5．
分两种情况考虑，如图所示．
①当BA=BC时，OC=OA=4，
∴点的坐标为（-4，0）；
②当AB=AC时，∵AB=5，OA=4，点C在x轴负半轴，
∴OC=5-4=1，
∴点的坐标为（-1，0）．
∴点C的坐标为（-4，0）或（-1，0），
故答案为：（-4，0）或（-1，0）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，分类讨论是解题的关键．
9．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点、分别为线段、的中点，点为上一动点，值最小时点的坐标为_____．
【答案】
【分析】作关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，根据一次函数解析式求出点、的坐标，根据中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质求出点的坐标，求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．
【详解】解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，
令中，则，
∴点的坐标为，
令中，则，解得：，
∴点的坐标为，
∵点、分别为线段、的中点，
∴点，点，
∵点和点关于轴对称，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
∴，解得：，
∵直线的解析式为，
令，则，解得：，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称—最短路径问题等知识点．能找出点的位置是解题的关键．
10．如图所示，在三角形ABC中，已知，高，动点Q由点C沿CB向点B移动（不与点B重合）．设CQ的长为x，三角形ACQ的面积为S，则S与x之间的关系式为______．
【答案】
【分析】根据三角形的面积公式，可得答案．
【详解】解：由题意，得
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是利用三角形的面积求解．
三、解答题
11．已知y与成正比例，且时，．
(1)求y与的函数关系式．
(2)当时，求自变量的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）把代入解析式求解即可．
（1）
解：已知y与成正比例，设y与的函数关系式为，
把，代入得，，
解得，，
y与的函数关系式为．
（2）
解：把代入得，
，解得，．
【点睛】本题考查了求正比例函数解析式和求自变量的值，解题关键是根据正比例关系设出函数关系式，利用待定系数法求出解析式．
12．直线y=−2x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，过点A作AC⊥AB于点A，且AC=AB，点C在第一象限内．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)在第一象限内有一点P（3，t），使，求的值．
【答案】(1)A（2，0），B（0，4），C（6，2）；
(2)t的值为8．
【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于点D，令x=0和y=0分别代入y=-2x+4中即可求出A与B的坐标，利用△ABO≌△CAD，求出点C的坐标；
（2）根据题意CPAB，设直线CP为y=-2x+b,代入C的坐标即可求得b=14，得到直线CP为y=-2x+14，代入P（3，t）即可求得t的值．
【详解】（1）解：令x=0代入y=-2x+4中，
∴y=4，
∴B（0，4），
令y=0代入y=-2x+4中，
∴x=2，
∴A（2，0），
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠DAC，
在△ABO与△CAD中，
，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴CD=OA=2，AD=OB=4，
∴OD=6，
∴C（6，2）；
（2）解：∵在第一象限内有一点P（3，t），使，
∴CPAB，
设直线CP为y=-2x+b，
代入C的坐标得，2=-2×6+b，解得b=14，
∴直线CP为y=-2x+14，
把点P（3，t）代入得，t=-2×3+14=8，
∴t的值为8．
【点睛】本题是一次函数的综合问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，明确CPAB，则是解题的关键．
13．已知一次函数y＝kx﹣10的图象经过点(﹣3，﹣4）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若点(m，)、(m+1，)在（1）中所得函数的图象上，试比较与的大小．
【答案】(1)y＝﹣2x﹣10；
(2)>．
【分析】（1）由一次函数y＝kx﹣10的图象经过点(﹣3，﹣4)，代入点的坐标即可求得k的值，即可得到y与x之间的函数关系式；
（2）根据一次函数的性质得到y随着x的增大而减小，即可比较与的大小．
【详解】（1）解：∵一次函数y＝kx﹣10的图象经过点(﹣3，﹣4)，
∴﹣4＝﹣3k－10，
解得k＝﹣2，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x﹣10；
（2）对于一次函数y＝﹣2x﹣10来说，k＝﹣2＜0，
∴y随着x的增大而减小，
∵点（m，）、（m+1，）在y＝﹣2x﹣10的图象上，且m＜m＋1，
∴＞．
【点睛】此题考查了求一次函数的解析式、一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
14．已知一次函数．
(1)画出这个函数的图象；
(2)求坐标轴所围成的三角形的面积；
(3)图象上有两点，，当时，则______填、或．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出该一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，描点、连线，即可画出一次函数的图象；
（2）由（1）的结论结合三角形的面积计算公式，即可求出一次函数y=-x+3的图象与坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）由k=-1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合＞可得出＜．
（1）
解：当x=0时，y=-1×0+3=3，
∴一次函数y=-x+3的图象与y轴交于点（0，3）；
当y=0时，-x+3=0，
解得：x=3，
∴一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点（3，0）．
描点、连线，画出函数图象如图所示．
．
（2）
解：∵一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点（3，0），与y轴交于点（0，3），
∴一次函数y=-x+3的图象与坐标轴所围成的三角形的面积=×3×3=；
（3）
解：∵k=-1＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵图象上有两点（，），（，），且＞，
∴＜．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出该一次函数图象与两坐标轴的交点坐标；（2）利用三角形的面积计算公式，求出一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积；（3）牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”．
15．如图，直线：y＝2x+1与直线：y＝mx+4相交于点P（1，b）．
(1)求b，m的值；
(2)垂直于x轴的直线x＝a与直线分别交于点C，D，
①求出点C、点D的纵坐标（用含字母a的代数式表示）；
②若线段CD长为6，求a的值．
【答案】(1)3；1
(2)①C纵坐标为2a+1，D纵坐标为4-a；②3或﹣1
【分析】（1）先把P点坐标代入直线解析式中求出点P的坐标，再把点P的坐标代入直线解析式中即可求出m的值；
（2）①令x＝a，分别求出＝2a+1，＝4﹣a即可得到答案；②根据①所求列式求解即可．
（1）
解：∵点P（1，b）在直线：y＝2x+1上，
∴b＝2×1+1＝3；
∵点P（1，3）在直线：y＝mx+4上，
∴3＝m+4，
∴m＝﹣1．
（2）
解：①当x＝a时，＝2a+1；
当x＝a时，＝4﹣a．
∴点C的纵坐标为2a+1，点D的纵坐标为4-a；
②∵CD＝6，
∴|2a+1﹣（4﹣a）|＝6，
解得：a＝3或a＝﹣1．
∴a的值为3或﹣1．
【点睛】本题主要考查了求一次函数函数值和待定系数法求一次函数解析式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
【培优检测】
1．一次函数的图象过点，， 则和的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质，即可判定．
【详解】解：在一次函数中，，
随x的增大而减小，
一次函数的图象过点，，且，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题的关键．
2．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在下表所示的关系：
设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计当时，y的值约为（ ）
A．56B．43C．54D．46
【答案】D
【分析】该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，所以可以分析出销售量y与销售价x符合一次函数关系，再设出函数解析式，代入表格中的数据求出解析式，再把代入求y的值即可．
【详解】解：由图表可以看出y与x符合一次函数关系，设（k≠0），
把，和，代入，
可得，解得，
则，
当时，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的表示方法以及待定系数法求函数解析式，解题关键是根据题目中的条件分析函数关系，并且要熟练掌握待定系数法求解析式．
3．如图所示，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，则过B、C两点直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．y＝﹣2x+2
【答案】B
【分析】过点作轴，可证得，从而得到，，可得到，再由和，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴，则，
对于直线，令x＝0，得到y＝2，即B（0，2），OB＝2，
令y＝0，得到x＝﹣3，即A（﹣3，0），OA＝3，
∠ACM+∠CAM＝90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC＝90°，AC＝BA，
∴∠CAM+∠BAO＝90°，∴∠ACM＝∠BAO，
在△CAM和△ABO中，，∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴AM＝OB＝2，CM＝OA＝3，即OM＝OA+AM＝3+2＝5，∴C（﹣5，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（0，2），，解得 ，
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是，
故选：B．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些知识是解题的关键．
4．如图，已知直线a：y＝x，直线b：y＝﹣x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，求得，于是得到结论．
【详解】解：点，在直线上，
，
轴，
的纵坐标的纵坐标，
在直线上，
，
，
，即的横坐标为，
同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，
，
的横坐标为，
故选：C
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的作出规律是解题的关键．
5．如图，直线与轴，轴分别交于点，，且，点的坐标为，经过点的直线平分的面积，与轴交于点，将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，点的坐标为，经过点的直线平分的面积得出，得出OC=2，则直线向上平移2个单位长度后的新直线经过原点，算出平移后的的坐标，算出k即可得出答案．
【详解】根据，点的坐标为，经过点的直线平分的面积，得：=2
则直线向上平移2个单位长度后的新直线经过原点，
且经过点
故选：C
【点睛】本题考查三角形面积等分的性质与一次函数的平移问题，根据平移条件求出新直线的解析式是关键．
二、填空题
6．如图，将直线向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为______．
【答案】
【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，根据一次函数图象的平移规律求出平移后的一次函数的表达式．
【详解】设直线的解析式为,
∵直线经过点，
∴,
解得：，
∴直线的解析式为,
直线向上平移2个单位，得到一次函数的表达式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移、待定系数法求一次函数解析式的一般步骤，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
7．老师给出一个函数，甲、乙、丙各指出了这个函数的一个性质：
甲：这个函数的图象是一条直线，且与直线y＝－x+5平行．
乙：这个函数的图象不经过第一象限．
丙：我能计算出这个函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2．
请你根据他们的叙述构造满足上述性质的函数关系式：_____．
【答案】y＝－x－2
【分析】先根据甲设出函数解析式，再根据乙求出b＜0，最后根据丙求出b的值即可求出函数关系式．
【详解】∵这个函数的图象是一条直线，且与直线y＝－x+5平行，
∴这个函数为一次函数且k=－1，
设函数为y＝－x+b，则函数图象与坐标轴的交点为（b，0）和（0，b），
∵函数的图象不经过第一象限．
∴b＜0，
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，
∴（－b）•（－b）＝2，
解得b＝－2，
∴函数关系式为y＝－x－2，
故答案为：y＝－x－2
【点睛】本题考查了一次函数的性质和一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
8．正方形，…按如图所示方式放置，点…和，…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点的坐标是 _____， 的纵坐标是 _____．
【答案】 （15，8）
【分析】利用一次函数，求得每个点的纵坐标，即可求得横坐标．从而求得点的坐标．
【详解】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，
∴点的坐标为（0，1），
∵四边形为正方形，
∴点的坐标为（1，1），点的坐标为（1，0），
当x＝1时，y＝x+1＝2，
∴点的坐标为（1，2），
∵四边形为正方形，
∴点的坐标为（3，2），点的坐标为（3，0），
同理可知，
点的坐标为（7，4），
点的坐标为（15，8），
点的坐标为（31，16），
……，
∴点Bn的坐标为（）（n为正整数），
∴点的纵坐标为．
故答案为：（15，8）；．
【点睛】本题考查的是一次函数的应用及点的规律，解题的关键是利用一次函数求纵坐标，然后找到规律．
9．如图，已知四边形四个顶点的坐标为、、、，当四边形的周长最小时，的值为___________．
【答案】####2.5
【分析】根据题意，可得、的长度是固定的，故要想让四边形的周长最小，只需的长度最小，将点向左平移2个单位长度与点重合，将点向左平移2个单位长度，得到，作关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质，可得：点，再根据待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，截取，此时的长度最小，即四边形的周长最小，令，即可得出的值．
【详解】解：∵，，，，
∴、的长度是固定的，
∴要想让四边形的周长最小，只需的长度最小，
如图，将点向左平移2个单位长度与点重合，将点向左平移2个单位长度，得到，作关于轴的对称点，连接，根据轴对称的性质，可得：点，
设直线的解析式为，
可得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
令直线与轴交于点，截取，此时的长度最小，即四边形的周长最小，
∴当时，，
即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称—最短问题，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，解本题的关键在理解四边形的周长最小，即的长度最小．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_______．
【答案】
【分析】根据已知条件得到，，，求得，，过作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，，设直线的函数表达式为：，解方程组于是得到结论．
【详解】解：一次函数的图像分别交、轴于点、，
令，得，令，则，
，，，
，，
过作交于，过作轴于，如图所示：
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，，
设直线的函数表达式为：，
，解得，
直线的函数表达式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
11．已知函数(，k为常数)：
(1)若函数值y随自变量的增大面减小，则函数的图象是经过 象限的直线．
(2)若函数图象经过点．
①求函数解析式．
②在轴上是否存在点B使的面积为1，若存在求出B的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)第二、四
(2)①；② 存在，或
【分析】(1)根据正比例函数的性质，即可解答；
(2)①把点A的坐标代入解析式，即可求得；②设点B的坐标为，则，再根据的面积为1，列式计算即可求得．
（1）
解：函数值y随自变量的增大面减小，
，
函数的图象是经过第二、四象限的直线，
故答案为：第二、四；
（2）
解：①把点A的坐标代入解析式，得，
解得，
故函数解析式为；
②存在；
设点B的坐标为，则，
，
，
解得或，
故点B的坐标为或．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，求正比例函数的解析式，坐标与图形，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
12．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点，点在直线上，连接OC．
(1)求直线的解析式和的面积；
(2)点P为直线上一动点，的面积与的面积相等，求点P的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为，
(2)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，根据三角形面积公式可得，即可求出其面积；
（2）设，由直线AB的解析式，易求出A点坐标，再根据三角形面积公式结合题意列出关于t的等式，解出t即可求出P点坐标．
（1）
设直线AB的解析式为，
把，代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
；
（2）
设，
当时，，
解得，
∴．
∵，
∴，即，
解得或，
∴P点坐标为或．
【点睛】本题为一次函数与几何的综合，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
13．已知：如图1，线段AB＝14cm，的顶点P从点A出发沿折线A-O-B运动时，的面积随着点P运动路程的变化，发生了变化．图2表示这种变化规律．
(1)在P点运动5cm时，的面积为______；当P点运动路程为______cm时，的面积最大为______；
(2)求图1中线段AO、OB的长，以及O到AB的距离；
(3)直接写出a的值为______．
【答案】(1)28，15，84
(2)OA=15cm，OB=13cm，点O到AB的距离为12cm
(3)21.5
【分析】（1）根据图2所示即可得出．
（2）根据三角形面积公式求解即可．
（3）求出一次函数解析式，进而即可求解．
（1）
当在P点运动5cm时，根据图2可得△PAB的面积为28 ，当P点运动路程为15cm时，△PAB的面积最大为84；
故答案为：28，15，84；
（2）
由题意得，AO＝15cm，OB＝28-15=13cm，
设O到AB的距离为h，则，解得h＝12，
∴O到AB的距离为12cm；
（3）
解：设一次函数为y=kx+b，
把（15，84），（28，0）代入一次函数函数可得，
解得
∴
当y=42时，解得：a=21.5
【点睛】此题考查了动点与函数图像，一次函数的性质，解题的关键是把图看懂，得出需要的信息，求出一次函数解析式．
14．如图，平面直角坐标系中，，A、B在x轴上，连接，点E在上，连接．
(1)请直接写出与的位置关系；
(2)请应用（1）中结论求证：；
(3)连接，若点，请直接写出三角形的面积．
【答案】(1)，证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)10．
【分析】（1）根据纵坐标相同的两点的连线平行于x轴，即可证明；
（2）根据和平行线的性质，利用三角形内角和定理即可证明；
（3）设CE的函数关系式为y=kx+b，求出点B的坐标，根据求解即可．
（1）
解：，
证明：∵，C、D两点的纵坐标相同，
∴CD平行x轴，即；
（2）
证明：∵，
∴，
∵，∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DCE+∠CED=180°，
∴；
（3）
设CE的函数关系式为y=kx+b，
代入点C（0，5），E（2，1），
得：，
解得：，
∴CE的函数关系式为，
当y=0时，x=，
即点B（，0），AB=，
∴．
【点睛】本题考查一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
(1)求和的值；
(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．设点的运动时间为秒．
①若点在线段上，且的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②存在的值，使为等腰三角形，的值为或或4
【分析】（1）将点代入，求出m的值，再将确定的点C代入中，即可求b的值；
（2）①由题意可知P点的坐标为，则，再由，求出t的值即可；
②由①分别求出，再根据等腰三角形的边的关系分三种情况建立方程，求出t的值即可．
【详解】（1）解：将点代入，
∴，
∵直线过点C，
∴，
解得；
（2）解：①∵，
∴直线解析式为，
∴，
直线与x轴交点A为，与y轴交点B，
由题意可知P点的坐标为，
∴，
∴，
解得；
②存在t的值，使为等腰三角形，理由如下：
∵A，，P，
∴，
当时，，
解得或；
当时，，
解得（舍或（舍；
当时，，
解得；
综上所述：的值为或或4．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
-1
0
1
2
-2
-1
0
印数（册）
5000
8000
10000
15000
……
成本（元）
28500
36000
41000
53500
……
销售价/元
90
100
110
120
130
140
销售量/件
90
80
70
60
50
40
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