苏科版八年级数学上册讲练专题训练轴对称30道压轴题训练(原卷版+解析)

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专题训练 轴对称30道压轴题训练【题型归纳】轴对称30道压轴题训练【重难点训练】一、单选题1．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（     ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．如图，E是BC延长线上的一点，AD∥BC，BD，CD，AP，DP分别平分∠ABC，∠ACE，∠BAC，∠BDC，则∠P的度数为（     ）A．30° B．42° C．45° D．50°3．如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（       ）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面积9，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（       ）A．5 B．6 C．8 D．105．若二元一次方程组的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为（   ）A．4 B．1.5或2 C．2 D．4或26．如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（       ）A．180° B．200° C．210° D．240°7．如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值值范围是（       ）A． B． C． D．8．如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（　　）A．190° B．195° C．200° D．210°9．如图，在中，，过点作于点，点是上一点，将沿着翻折得到，连接，若，，三点恰好在同一条直线上，则的度数是（       ）A． B． C． D．10．如图，在中，，以AC为底边向外作等腰，，在CD上截取，连接BE．若，则的度数为（       ）A．10° B．15° C．20° D．30°二、填空题11．如图，在中，，的平分线交于点，的平分线交于点，点在边上，，连接，则________．12．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 ___．（填序号）①平分；②；③；④．13．如图，在等腰中，，于点，以为边作等边三角形，与在直线的异侧，直线交直线于点，连接交于点．若，，则______．14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，且BD=AB，连接AD、DC．则∠BDC的度数为__________°．15．如图，等边中，，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段点B逆时针旋转60°得到，连接．在点M运动过程中，线段长度的最小值是___________．16．如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是__________．17．如图，已知∠MON=30点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=1，则△A2021B2021A2022的边长为______．18．如图，△ABD与△ACE都是等边三角形，且AB≠AC，下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO；④若∠BAC=90°，DA∥BC，则BC⊥EC．其中正确的是 _____（填序号）．19．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝2，D在BC上，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得AP，则CP的最小值为_____．20．如图，在四边形ABCD中，，E、F分别是AD、BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形C′D′EF．C′F交AD于点G，若是等腰三角形，则______．三、解答题21．如图，在Rt△ABC中，，，F为直线AB上一点，连接FC．作于点D，连接AD，过点A作交BD于点E．(1)如图1，求证：AD=AE(2)如图2，若点H是BD中点，连接AH、CE，求证：(3)如图3，当点F运动到线段AB上且不与A、B重合时，连接CE，过点A作交BD于点H，猜想CE与AH之间的数量关系并证明．22．知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．(1)如图1，当AB＝AD时①请直接写出BF与DF的数量关系：BF_________DF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求证：CE＝2AF(2)如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．23．探究与应用(1)【操作发现】如图1，为等边三角形，点D为边上的一点，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接、，请直接写出下列结果：①的度数为___________；②与之间的数量关系为______________；(2)【类比探究】如图2，为等腰直角三角形，，点D为边上的一点，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接、．则线段，，之间有什么数量关系？请说明理由；(3)【拓展应用】如图3，是一个三角形的余料，小张同学量得，，他在边上取了D、E两点，并量得、，这样、将分成三个小三角形，则________________．24．等边ΔABC的边BC上有一点E，点D在直线AB上，以DE为边作等边ΔDEF；(1)如图①当D与A重合时，在DE的左侧作等边ΔDEF，连接BF，求证：BF∥AC；(2)如图②当D在射线BA上时，在DE的左侧作等边ΔDEF，请直接写出：DA、BF、EC这三条线段之间的数量关系；(3)如图③当D是AB中点时，在DE的右侧作等边ΔDEF，连接CD，请直接写出点E在线段BC上运动时，∠CFD与∠CDE之间的关系．25．已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E，连接AD，AE，CE，DE．(1)如图1，当点D为线段BC的中点时，求证：△ADE是等边三角形；(2)当点D在线段BC的延长线上时，连接BE，F为线段BE的中点，连接CF．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD与CF的数量关系，并证明．26．（1）【探究发现】如图①，等腰△ACB，∠ACB =90°，D为 AB 的中点，∠MDN=90°，将∠MDN绕点D旋转，旋转过程中，∠MDN的两边分别与线段 AC、线段 BC交于点 E、F（点 F与点 B、C不重合），写出线段 CF、CE、BC 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）【类比应用】如图②，等腰△ACB，∠ACB=120°，D 为 AB 的中点，∠MDN=60°，将∠MDN 绕点 D 旋转，旋转过程中，∠MDN 的两边分别与线段 AC、线段 BC 交于点 E、F（点 F 与点 B、C 不重合），直接写出线段 CF、CE、 BC 之间的数量关系为______；（3）【拓展延伸】如图③，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BCD，∠BCD=120°，DAB=60°，过点 A 作 AE⊥AC， 交 CB 的延长线于点 E，若 CB=6，DC=2，则 BE 的长为 ．27．（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围是______；（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：；（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，点，分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．28．如图1，已知等边ABC边长为4cm，点P、Q分别是边AB、BC上的动点，点P、Q分别从点A、B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．连接AQ、CP交于点M．(1)求证：ABQ≌CAP；(2)在整个运动过种中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，求出它的度数．(3)连接PQ，何时PBQ是直角三角形？(4)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交于点M，求∠CMQ的度数．29．【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度大小进行比较，直观地得到线段之间的数量关系，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，，AC平分，求证：．【拓展】（2）如图2，其他条件不变，将图1中的绕点C逆时针旋转，CD交MA的延长线于点D，CB交射线AN于点B，写出线段AD，AB，AC之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．【应用】（3）如图3，为等边三角形，，P为BC边的中点，，将绕点P转动使射线PM交直线AC于点M，射线PN交直线AB于点N，当时，请直接写出AN的长．30．如果一个三角形能用一条直线将其分割出两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“活三角形”，这条直线称为该“活三角形”的“生命线”．(1)小明在研究“活三角形”问题时（如图），他发现，在△ABC中，若∠BAC＝3∠C时，这个△ABC一定是“活三角形”．点D在BC边上一点，连接AD，他猜测：当∠DAC＝∠C时，AD就是这个三角形的“生命线”，请你帮他说明AD是△ABC的“生命线”的理由；(2)如小明研究结果可以总结为：　 　，该三角形是一个“活三角形”．请通过自己操作研究，并根据上述结论，总结“活三角形”的其他特征；（注意从三角形边、角特征及相互间关系总结）(3)如果一个等腰三角形是一个“活三角形”那么它的顶角大小为　 　度．（直接写出结果即可）专题训练 轴对称30道压轴题训练 【题型归纳】轴对称30道压轴题训练【重难点训练】一、单选题1．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（     ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【详解】∵∠B、∠C的角平分线交于点F，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，设∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β，∵，∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β，∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△BDF与△CEF为等腰三角形，∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，∵只有当△ABC是等腰三角形时，△ADE是等腰三角形，且BF＝CF，∴②③正确，①④不正确，∵∠A＝80°，∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°，∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正确．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．2．如图，E是BC延长线上的一点，AD∥BC，BD，CD，AP，DP分别平分∠ABC，∠ACE，∠BAC，∠BDC，则∠P的度数为（     ）A．30° B．42° C．45° D．50°【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质、等角对等边得出AB＝AC．利用等腰三角形的性质得出AP⊥BC．∠PAD＝90°．设∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x，利用各角之间的数量关系求解即可得出结果．【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB．∴AB＝AD．同理：AC＝AD．∴AB＝AC．∵AP平分∠BAC，∴AP⊥BC．∵AD∥BC，∴AP⊥AD．∴∠PAD＝90°．设∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x，∴∠ABC＝2x．∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝2x．∴∠PAC＝90°﹣2x．∵DP平分∠BDC，∴设∠BDP＝∠CDP＝y，∴∠BDC＝2y．∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝x+2y．∵AC＝DA，∴∠ACD＝∠ADC＝x+2y．∴∠DAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣2（x+2y）．∵∠PAD＝90°，∴∠PAC+∠DAC＝90°．∴90°﹣2x+180°﹣2（x+2y）＝90°．整理得：x+y＝45°，∵∠ADP＝∠ADB+∠BDP＝x+y，∴∠ADP＝45°．∴∠P＝90°﹣∠ADP＝45°．故选：C．【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用等，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键．3．如图，直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则点的个数是（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】分AO=AB，BO=BA，OB=OA三种情况讨论．【详解】∵直线，相交于点，，点在直线上，直线上存在点，∴当OB=OA时，有两个B点是B1、B2，OB1=OA时，∠OB1A=∠OAB1= ∠1=25°，OB2=OA时，∠OB2A=∠OAB2= （180°-∠1）=65°；当AO=AB时，有一个B点是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°；当BO=BA时，有一个B点是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°．∴使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的个数是4个．故选C．【点睛】本题考查了因动点产生的等腰三角形问题，解决问题的关键是三角形的三边两两相等都有可能，有三种可能情况，分类讨论．4．如图，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面积9，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（       ）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，，当时，最短，此时的周长最小，最小值为的长．【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，，如图所示：由对称性可知，，，的周长，，，，，，，当时，最短，此时的周长最小，，的面积9，，的周长最小值为6，故选：B．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，三角形面积公式是解题的关键．5．若二元一次方程组的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为（   ）A．4 B．1.5或2 C．2 D．4或2【答案】C【解析】【分析】解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程求得m，并结合构成三角形的条件判断即可．【详解】①-②得：y=3-m把y=3-m代入②，得x=3m-3故方程组的解为 ①若x为腰，y为底，则2x+y=7，即2(3m-3)+3-m=7，解得：m=2，此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件②若y为腰，x为底，则2y+x=7，即2(3-m)+3m-3=7，解得：m=4，此时x=9，y=-1，不合题意；③若x=y，即3m-3=3-m，解得：，此时腰为，底为，但+