江苏省南通市2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷（含答案解析）

这是一份江苏省南通市2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了下面的三个问题中都有两个变量等内容，欢迎下载使用。
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置。
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．如图，YABCD中，∠B=25°，则∠D等于（ ）
A．25°B．50°C．35°D．65°
4．下列所给的事件中，是必然事件的是（ ）
A．某彩票的中奖概率是1%，买100注彩票一定会中奖
B．某校400名学生中，至少有2名学生的生日是同一天
C．连续4次投掷一枚质地均匀的硬币，会有1次硬币正面朝上
D．2025年的春节假期南通会下雪
5．在一次英语测试中，小明的听力成绩为90分，笔试成绩为96分，如果听力和笔试按1:3的权重计入总成绩，则小明这次测试的总成绩为（ ）
A．94.5分B．93分C．92分D．91.5分
6．已知一次函数y= k x+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且，则函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．某企业2021年职工人均收入10万元，2023年职工人均收入12.1万元，则人均收入的年平均增长率为（ ）
A．B．C．D．
8．下面的三个问题中都有两个变量：①从甲地匀速向乙地行驶，距离乙地的路程与时间；②冷冻一个0℃的物体，温度匀速下降，物体的温度与冷冻时间；③电话卡中有30元话费，每分钟通话费用固定，卡中余额与通话时间．其中，变量与变量之间的函数关系可以大致用如图所示的图象表示的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（ ）
A．14B．7C．D．1
10．如图，线段是等腰与的公共边，，，点为线段的中点，连接，则长的最大值为（ ）
A．B．3C．D．
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为．
12．已知一次函数，当其函数值大于0时，自变量的取值范围是．
13．若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为．
14．已知一组数据，，，，的方差等于6，则另一组数据，，，，的方差等于．
15．如图，直线：与直线：相交于点，则关于x的不等式的解集为．
16．如图，菱形的对角线相交于点O，点E边的中点，连接．若，，则长为．

17．如图，在矩形中，点为边上一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转到，旋转角等于，延长线段交矩形的边于点，若，，当点是矩形边的中点时，的长为．
18．在平面直角坐标系中，已知点，，，其中．若在线段上存在点，使得点，关于正比例函数的图象对称，则的取值范围是．

三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解方程：
（1）；（2）．
20．下面是证明平行四边形判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的两种思路，选择其中一种，完成证明．
21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点分别为，，．
（1）画，使它与关于点C成中心对称；
（2）平移，使点A的对应点坐标为画出平移后对应的；
（3）若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为．
22．2024年4月21日，南通马拉松重磅回归，总参赛人员约2.5万人，比赛项目分为全程马拉松、半程马拉松、5.5公里欢乐跑，共三项．为了了解参赛人员的年龄，从三个项目中各随机抽取了20名参赛人员，并对他们的年龄进行了整理、描述和分析如下（年龄用表示，共分成4组：．，．，．，．）
①全程马拉松20名参赛人员的年龄按序排列：15，18，18，21，25，26，26，26，28，28，28，29，31，32，39，40，42，46，50，52；
半程马拉松20名参赛人员的年龄按序排列：18，26，27，28，28，30，31，31，32，34，36，36，41，42，42，42，42，50，52，52；
②5.5公里欢乐跑的20名参赛人员在C组中的数据是：36，36，37，38，40，42，42，44；
③全程与半程马拉松的参赛人员年龄的平均数、中位数、众数如下：
④5.5公里欢乐跑抽取的参赛人员年龄扇形统计图如图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：，，抽取的5.5公里欢乐跑D组人数为；
（2）若此次马拉松比赛中欢乐跑共5000人参加，请估计5.5公里欢乐跑中年龄不小于35岁的人数．
23．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．
（1）请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；
（2）求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．
24．【综合与实践】
任务主题：某校数学活动小组探究“西瓜购买、销售方案的选择”．
数据信息：A超市和B水果店售卖同品种西瓜．
信息1：A超市西瓜的售价为4元/千克，无论购买多少均不打折；
信息2：B水果店西瓜的售价为5元/千克，若一次购买3千克以上，超过3千克的部分打折销售；
信息3：B水果店销售西瓜的部分小票统计如下表（精确到1千克）：
问题解决：
任务1：请分别直接写出在A超市与B水果店购买西瓜的付款金额（元）与购买量（千克）之间的函数关系式：
任务2：某酒店承办活动需购买一批西瓜，请通过计算说明选择哪家更合算：
任务3：已知西瓜的进货成本为3元/千克，市场调研发现：如果A超市以4元/千克销售，平均每天可以售出200千克．为了减少库存，超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，销售单价每降低元，销售量就会增加20千克，在尽可能减少库存的情况下，该超市将售价定为多少元时，每天的销售利润为168元？
25．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线：与轴、轴分别交于点，．
（1）求点，的坐标；
（2）如图2，将沿方向平移个单位得到，则点的坐标为．将绕点逆时针旋转得到直线，点是上一点，到轴的距离为2且在第二象限，则点的坐标为
（3）在（2）的条件下，若是平面内一点，是直线上一点，是否存在以，，，为顶点的菱形，且为该菱形的一边？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
26．【初步探究】
（1）如图1，在中，，，，将边绕点逆时针旋转得，连接．小明同学为求的长，提供了以下思路，请你完成其中两处填空：
将绕点顺时针旋转得，连接，，则，，再利用勾股定理求得的长．继续得到，通过全等三角形的性质发现，则边的长为．
【变式拓展】
请你利用第（1）问的思路方法，解答如下问题：
（2）在正方形中，点为正方形内一点，且满足．
①如图2，若，，求的度数．
②如图3，以为边向右按顺时针方向作正方形．在正方形绕点旋转过程中，边交对角线于点，边与边交于点．的周长是否为定值？如果是，求出的周长；如果不是，请说明理由
已知：如图，四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．
思路一：条件中已有，只需证明即可．
证明：如图，连接．
思路二：条件中已有，只需证明即可．
证明：如图，连接．
项目
平均数
中位数
众数
全程马拉松
31
28
半程马拉松
36
35
购买量/千克
1
2
3
4
5
6
…
付款金额/元
5
10
15
18.5
22
25.5
…
参考答案
1．C
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了根的判别式，利用根的判别式的意义得到，然后解方程即可，根据当时，方程有两个相等的实数根来解答．
【详解】解：根据题意得，
解得，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质和平行线的性质即可得到结论，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件是在一定条件下，一定会发生的事件；不可能事件是在一定条件下，不可能发生的事件；随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【详解】解：A. 某彩票的中奖概率是，买100注彩票会中奖是随机事件，选项不符合题意；
B. 某校的400名学生中，至少有2名学生的生日是同一天是必然事件，选项符合题意；
C. 连续4次投掷质地均匀的硬币，会有1次硬币正面朝上是随机事件，选项不符合题意；
D. 2025年的春节假期南通会下雪是随机事件，选项不符合题意；
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的定义求解，若个数，，，，的权分别是，，，，，则叫做这个数的加权平均数．
【详解】解：小明这次测试的成绩（分．
故选：A．
6．B
【分析】根据一次函数的图象特点即可判断，解题的关键是熟知一次函数，随着的增大而减小时．
【详解】∵一次函数，y随着x的增大而减小，，
∴一次函数的图象经过第二、四象限；
∵，∴，∴图象与y轴的交点在x轴下方，
∴一次函数的图象经过第二、三、四象限．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设人均收入的年平均增长率为，根据“某企业2021年职工人均收入10万元，2023年职工人均收入12.1万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：设人均收入的年平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴人均收入的年平均增长率为，
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查了利用函数的图像的实际应用，①根据距离乙地的路程随时间的增加不断减小，直到停止可判断，②根据，物体的温度与冷冻时间的增加而减小，且可判断，③根据卡中余额随时间的增加不断减小，直到可判断．
【详解】解：①从甲地匀速向乙地行驶，距离乙地的路程随时间的增加不断减小，直到停止，故该选项可以用如图所示的图象表示．
②冷冻一个0℃的物体，温度匀速下降，物体的温度与冷冻时间的增加而减小，且，故该选项不可以用如图所示的图象表示．
③．电话卡中有30元话费，每分钟通话费用固定，卡中余额随时间的增加不断减小，直到故该选项可以用如图所示的图象表示．
综上①③可以用如图所示的图象表示．
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，根据，，可得，可得是一元二次方程的两个根，根据跟与系数的关系即可解答，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键．
【详解】解：，，
，
是一元二次方程的两个根，
可得，
，
故选：B．
10．D
【分析】作，使得，连接和，以点E为圆心长为半径画圆E，由题意可得，结合和，可证明，则有，当点C运动到点F、E和点C共线时，取得最大值，此时长也为最大，此时，有题意可得，，即可求得答案．
【详解】解：作，使得，连接和，以点E为圆心长为半径画圆E，如图，
∵，
∴，
∴，
∵等腰，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点C运动到点F、点E和点C三点共线时，取得最大值，此时长也为最大，此时，
∵，点为线段的中点，
∴，
∵，，，
∴，
则，
那么，长的最大值为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查动点的最值问题，涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是构造全等三角形，利用三点共线取最大值即可求解．
11．
【分析】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：点关于原点的对称点坐标为，
故答案为：．
12．##
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据，随的增大而增大，即可求得的取值范围，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
【详解】解：当其函数值大于0时，可得，
可得，
故答案为：．
13．10
【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方．
【详解】解：由题意得：，
即：
即．
故．
故答案为：10．
14．
【分析】本题考查了求平均数和方差，根据平均数和方差的计算公式，计算即可得出答案．
【详解】解：设这组数据，，，，的平均数为，
则，
∴另一组数据，，，，的平均数为：，
∵数据，，，，的方差等于6，
∴，
∴另一组数据，，，，的方差为，
故答案为：．
15．
【分析】根据函数图象交点右侧直线图象在直线：图象的上面，即可得出不等式的解集．此题主要考查了一次函数与不等式，利用数形结合得出不等式的解集是考试重点．
【详解】解：结合图象信息：直线与直线交于点，
不等式为：．
故答案为：
16．
【分析】根据菱形的性质和勾股定理求出的长，利用斜边上的中线即可得解．
【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，
∴，，
∴，
∴，
∵点E边的中点，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，斜边上的中线．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．
17．
【分析】本题考查矩形，角平分线，勾股定理的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理的运用，过点作交于点，根据点是矩形边的中点，则，根据勾股定理求出，根据，则是的角平分线，则，根据三角形的面积，即可．
【详解】过点作交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点是矩形边的中点，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
18．
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中一次函数图象的有关内容，根据平面直角坐标系中一次函数图象的有关知识进行分析，熟练掌握一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征是本题的解题关键．
【详解】因为，则点在函数的图象上，
当时，点在第二象限．

若，则的图象关于直线的对称图象与线段没有交点，
所以．
①当与轴正半轴的夹角是时，点A关于的对称点在上．
且，设
可得，
解得（舍去），
则，此时．
②当与轴正半轴的夹角大于时，关于的对称图象与线段没有交点．
③当与轴正半轴的夹角小于时，关于的对称图象与线段有交点，
所以当与轴正半轴的夹角大于，且小于等于时，
的图象关于的对称图象与线段有交点，即在线段上存在点，
此时的取值范围是：，
故答案为：．
19．（1），；（2），
【分析】本题考查一元二次方程的解法问题，掌握一元二次方程的解法，会根据给定的方程选取恰当的方法解一元二次方程是解题关键．
（1）利用公式法解方程即可；
（2）先展开合并，再因式分解，让每个因式为求解即可．
【详解】（1）解：
∵，，
∴方程有两个不等的实数根
，
则方程的解为：，
（2）解：，
去括号得：，
移项得：
因式分解得：
解得：，
则方程的解为：，
20．见解析
【分析】思路一：连接，由，得，即可根据全等三角形的判定定理“SAS" 证明，得，则，即可根据平行四边形的定义证明四边形是平行四边形；
思路二：连接，可证明，得，而，即可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形；
【详解】证明：思路一：
如图，连接．
∵,
∴.
又∵,
∴
∴,
∴.
又∵，
∴四边形是平行四边形．
思路二：如图，连接．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题重点考查平行四边形的定义和判定定理，适当选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形是平行四边形是解题的关键．
21．（1）图见解析；（2）图见解析；（3）
【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点即可．
（2）根据的坐标变化，利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可．
（3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：，，
向左平移2个单位，再向下平移8个单位，
如图所示：即为所求；
（3）解：将绕某一点旋转可得到，
则旋转中心的坐标P的横坐标为：，纵坐标为，即．
故答案为：．
22．（1），，
（2）估计5.5公里欢乐跑中年龄不小于35岁的人数为
【分析】本题考查了中位数、众数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义即可得出的值，先求出5.5公里欢乐跑的组、组人数，即可得出答案；
（2）由样本估计总体的计算方法计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：
全程马拉松20名参赛人员的年龄处在第、位的年龄为、，
故，
半程马拉松20名参赛人员的年龄为的出现的次数最多，
故，
5.5公里欢乐跑的组人数为：（人），组人数为（人），
故抽取的5.5公里欢乐跑D组人数为（人）；
故答案为：28，42，4
（2）解：（人），
∴估计5.5公里欢乐跑中年龄不小于35岁的人数为．
23．（1）所有可能出现的结果共6种：，，，，，
（2）小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率是
【分析】本题主要考查了列举法求概率，解题的关键是写出所有可能出现的结果．
（1）按照先抽到A、再抽到其他的，先抽到B、再抽到C或D，然后抽到C，再抽到D，写出所有可能的结果即可；
（2）根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：所有可能出现的结果共6种：，，，，，．
（2）解：记抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M，M包含的结果有3种，即，，，且6种可能的结果出现的可能性相等，
∴．
24．任务1：A超市：，B水果店：
任务2：当时，选择A超市更合算；当时，选择选择A超市和B水果一样；当时选择B水果店更合算．
任务3：该超市将售价定为元时，每天的销售利润为168元．
【分析】任务1∶根据题意可直接列出A超市的函数关系式，对B水果店分类讨论，当时，可直接列出函数关系式，当时，用待定系数法求解即可．
任务2：分情况讨论，分别列出一元一次不等式以及一元一次方程求解即可．
任务3：设每个售价为x元，根据题意列出关于x的一元二次方程求解即可．
【详解】解：任务1：依题意，A超市：，
B水果店：当时，，
当时，设付款金额与购买量之间的函数关系式为：，
把，代入得：
，
解得：，
∴．
∴B水果店：．
任务2：∵，
∴当时，选择A超市更合算；
由，得．
∴时，选择A超市更合算∶
由，得．
∴当时，选择A超市和B水果店付款金额相同；
由，得．
∴当时，选择乙商店更合算．
综上，当时，选择A超市更合算；当时，选择选择A超市和B水果一样；当时选择B水果店更合算．
任务3：设每个售价为x元，
则销售量为：，
则，
整理得：，
解得：，（舍去）
∴该超市将售价定为元时，每天的销售利润为168元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式以及一元一次方程，一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．
25．（1）；
（2）；
（3），，
【分析】本题考查了一次函数的解析式的求解，交点坐标的求解，菱形的性质与判定和存在性问题，解决本题的关键熟练运用转化的思想以及运用联立方程的方法求解函数交点坐标．
（1）根据一次函数解析式求得交点；
（2）根据勾股定理可得，将沿方向平移个单位得到，即沿方向平移长度得到，据此即可解答；根据旋转的性质得到的解析式即可解答；
（3）先根据题意做出图形，再根据菱形的性质得到点之间的关系，即可解答．
【详解】（1）解：当时，，故，
当时，可得，解得，故；
（2）解：如图，
根据勾股定理可得，
将沿方向平移个单位得到，即沿方向平移长度得到，
即为向左平移1个单位，向下平移2个单位，
；
如图，截取，过点作交与点，
将绕点逆时针旋转得到直线，点是上一点，
，
，
，
，
，
，
，
，
设的解析式为，
把代入解析式可得，
解得，
故的解析式为，
到轴的距离为2且在第二象限，
把代入，
解得，
，
故答案为：；；
（3）解：当为对角线时，如图，
菱形对角线互相垂直且平分，
经过点，
，
；
当为对角线时，
，
设，
四边形是菱形，
，
可得，
解得，
当，如图所示，
根据中点公式可得，
；
当，如图所示，
同理可得，
综上，的坐标为，，．
26．（1）；；（2）①，②周长是定值，
【分析】（1）根据旋转的性质，则，；根据勾股定理求出，，再根据全等三角形的判定和性质，即可；
（2）把绕点旋转得，根据旋转的性质，等腰三角形的判定，则是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理，则是直角三角形，即可；延长到点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，等量代换，即可．
【详解】（1）∵绕点逆时针旋转得，
∴，，
∵绕点顺时针旋转得，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；．
（2）①把绕点旋转得，
∴，，，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
周长是定值，理由如下：
延长到点，使得，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形，全等三角形，勾股定理，旋转的知识，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的运用．