江苏省南京市玄武区2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷（含答案解析）

这是一份江苏省南京市玄武区2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷（含答案解析），共21页。试卷主要包含了分解因式，若，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共6页，全卷满分100分，考试时间为100分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效。
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．若x＜y，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列命题中，真命题是（ ）
A．三角形的外角和等于180°B．有两个角互余的三角形是直角三角形
C．两个相等的角是对顶角D．同位角相等
4．甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃~5℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃~8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（ ）
A．1℃~3℃B．3℃~5℃C．5℃~8℃D．1℃~8℃
5．已知方程组的解是，则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是的中线，是上一点，，连接并延长交于点．若的面积为2，则的面积是（ ）
A．10B．11C．12D．13
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．神舟十八号载人飞船控制台的导线直径约为．将数据用科学记数法表示为．
8．分解因式：．
9．已知一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数是．
10．若，，则．
11．若关于，的方程组的解互为相反数，则的值为．
12．如图，在中，平分，过点作．若，，则．
13．若关于的不等式只有4个正整数解，则的取值范围为．
14．如图，，，，，，则．

15．点在数轴上的位置如图所示，若点表示的数分别是，，则的取值范围为．
16．如图，，的平分线相交于点．点分别在上，，交于点．设，则．（用含有的代数式表示）
三、解答题（本大题共68分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；（2）．
18．按要求完成下列各题：
（1）因式分解：；（2）计算：．
19．解方程组：．
20．解不等式组并写出它的整数解．
21．完成下面的证明过程．
已知：如图，在四边形中，，，点，分别在边，上，平分交于点，平分交于点．

求证：．
证明：在四边形中，
∵（已知）
∴①（两直线平行，同旁内角互补）
，（已知）
（②）
③．（同旁内角互补，两直线平行）
④．（两直线平行，内错角相等）
平分平分．（已知）
（⑤）
（等量代换）
．（内错角相等，两直线平行）
22．如图，的方格纸，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将平移后得到，图中标出了点的对应点．
（1）画出；
（2）在中，画出边上的高，垂足为；
（3）点为方格纸上的格点（点与点不重合），若和的面积相等，则格点共有______个．
23．如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形空地．为美化环境，计划在这块空地上修建一个长为；宽为的长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成通道．
（1）请用含有的代数式表示通道的面积；
（2）比较通道面积与长方形花圃面积的大小关系．
24．如图，在中，点分别在边上，与交于点．
（1）若，，则_____；
（2）若，求证：．
25．某地天然气收费方案如下：
（1）某家庭当年用气量为．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用______元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用______元．
（2）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，求甲、乙两户年用气量分别是多少？
（3）某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，收费标准按上表进行收费．假定每位员工的年用气量为，要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为______间．
26．如图①，在中，；点在边上．将点绕点按逆时针方向旋转一定角度得到点，连接，，作，的角平分线交于点．
（1）如图②，若，则______°；
（2）如图③，当点恰好落在边上时，探索之间的关系，并说明理由；
（3）随着点的旋转，当点不在边上时，探索之间的关系，直接写出结论．
阶梯
年用气量
价格
补充说明
第一阶梯
（含400）的部分
3元/m3
当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变．
第二阶梯
（含800）的部分
4元/m3
第三阶梯
以上的部分
5元/m3
参考答案
1．C
【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方．分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项法则逐一选项判断即可．
【详解】解：A、a4与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B、a4.a2=a6≠a8，故本选项不合题意；C、a4÷a2=a2，故本选项符合题意；D、（a4）2=a8≠a6，故本选项不合题意。
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了不等式性质，本根据不等式的性质的内容不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解答本题即可．
【详解】解：A、若，则，原不等式不成立，不符合题意；
B、若，则，原不等式不成立，不符合题意；
C、若，则，原不等式不成立，不符合题意；
D、若，则，原不等式成立，符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据三角形外角和是、直角三角形的判定、对顶角的定义、平行线的性质判断即可．
【详解】解：A、三角形的外角和等于，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题，符合题意；
C、两个相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
4．B
【分析】根据“1℃～5℃”，“3℃～8℃”组成不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：设温度为x℃，
根据题意可知
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
5．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．根据已知条件和二元一次方程组的解的定义得到，求出，即可．
【详解】解：方程组的解是，
，
解得：，
方程组的解为：，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质．连接，由得出，，设，则，即可得出的面积，由是的中线得出，，求出的面积，即可列出关于的方程求解，从而求出的面积．
【详解】解：如图，连接，
，
，，
的面积为2，
，
设，
则，
，
是的中线，
，，
，
，
，
，
解得，
，
，
故选：C．
7．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将数据用科学记数法表示为．
故答案为：．
8．
【分析】本题考查利用提公因式法因式分解．利用提公因式法因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
9．12
【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角是这一关键．
设这个多边形的边数为n，根据多边形的外角和是求出n的值即可．
【详解】解：多边形的各个内角都等于，
每个外角为，
设这个多边形的边数为，则
，
解得．
故答案为：12．
10．##
【分析】此题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方．直接利用同底数幂的乘除运算法则和幂的乘方和积的乘方法则计算得出答案．
【详解】解：，，
．
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．根据已知条件可知，然后把代入求出，从而求出，最后把，代入，求出即可．
【详解】解：关于，的方程组的解互为相反数，
，
把代入得：，
，
，
，
把，代入得：
，
故答案为：．
12．##70度
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，角平分线的相关求解，先根据两直线平行同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数，根据角平分线以及三角形内角和即可得出结果．
【详解】解：，，
，
，
平分，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了不等式的整数解，首先确定不等式的正整数解，则a的范围，根据a的取值范围正确确定a与4和5的关系是关键．
【详解】解：关于x的不等式只有4个正整数解，
则正整数解是：1，2，3，4，
则a的取值范围：，
故答案为：．
14．##70度
【分析】此题考查了平行线的判定与性质．分别过点、、作、、，结合垂直定义，根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】解：如图，分别过点、、作、、，

∵，
∴，
，，，，
，，
，，
，，
，，
，，
，
，
故答案为：．
15．##
【分析】本题考查了由数轴判断式子的正负，不等式组的求解，根据数轴可知A位于B的左侧，且同时两点都位于原点右侧，得到，求出结果即可．
【详解】解：由点在数轴上的位置，可知A位于B的左侧，且同时两点都位于原点右侧，
，
解得：，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了列代数式及三角形的内角和定理．根据角平分线的定义，令，，结合三角形的内角和定理即可解决问题．
【详解】解：连接，
因为，的平分线相交于点，
则令，，
因为，
所以，
同理可得，，
所以，
则，
即．
因为，
所以，
所以
，
所以．
故答案为：．
17．（1）5；
（2）．
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、整式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
（1）先运用零次幂、负整数次幂、乘方的知识化简，然后再计算即可；
（2）直接运用整式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
18．（1）
（2）5
【分析】本题考查了因式分解，实数的混合运算，涉及零指数幂，负整数指数幂等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据提公因式与公式法综合因式分解即可；
（2）根据零指数幂，负整数指数幂，乘方的运算等逐项计算再算减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
19．
【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】
由②得，
将代入①，得，解得，
将代入，得，
所以方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．
20．，该不等式组的整数解是0，1．
【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解．先解出每个不等式的解集，再取其公共部分，即可得到不等式组的解集，然后写出该不等式组的整数解．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
该不等式组的解集是，
该不等式组的整数解是0，1．
21．；等量代换；；；角平分线定义
【分析】此题考查了平行线的判定与性质．根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】证明：在四边形中，
∵，（已知）
．（两直线平行，同旁内角互补）
，（已知）
，（等量代换）
∴，（同旁内角互补，两直线平行）
，（两直线平行，内错角相等）
平分，平分，（已知）
，，（角平分线定义）
，（等量代换）
∴．（内错角相等，两直线平行），
故答案为：；等量代换；；；角平分线定义．
22．（1）见解析
（2）见解析
（3）2
【分析】（1）由题意知，向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到，根据平移的性质作图即可．
（2）利用网格，结合三角形的高的定义画图即可．
（3）过点作的平行线，分别过格点，，则点，均满足题意，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到，
如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：过点作的平行线，分别过格点，，
则点，均满足题意，
满足题意的格点共有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题考查作图平移变换、三角形的高、平行线的性质，熟练掌握平移的性质、三角形的高的定义、平行线的性质是解答本题的关键．
23．（1）；
（2）通道面积大于长方形花圃面积．
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键理解题意，列出算式．
（1）根据通道的面积长方形空地的面积长方形花圃的面积，列出算式，根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算即可；
（2）求出通道面积与长方形花圃面积的差，从而比较大小即可．
【详解】（1）解：
=．
答：通道的面积为；
（2）解：
．
因为，所以．
答：通道面积大于长方形花圃面积．
24．（1）
（2）证明见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
（1）由内角和定理可得，再根据可计算出结果；
（2）根据三角形外角性质可得，利用角度间的关系得出，推出，再利用外角性质得到，从而得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：70．
（2）证明：是的外角，
．
又，，
．
，
．
，
．
．
．
是的外角，
．
又，
．
25．（1）1600，1500
（2）甲、乙两户分别用天然气
（3）6
【分析】本题考查一元一次方程的应用．理解阶梯收费的计算方法是解决本题的关键．
（1）若该家庭人口为3人，需要缴纳费用为：超过400立方米的立方数；若该家庭人口为4人，需要缴纳费用为：；
（2）设甲户年用气量为，则乙户年用气量为（，根据甲户年用气量大于乙户年用气量可得甲户年用气量超过，那么乙户年用气量不足，进而根据甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，列出方程求解即可；
（3）设3人间有间，则4人间有间．根据为正整数，可得可能的整数值，那么可得3人间房间数和4人间房间数，根据用气标准得到3人间的年用气量和4人间的年用气量，进而判断出不同情况下的付费情况，比较后可得费用最低的宿舍分配方案．
【详解】（1）解：∵某家庭当年用气量为．该家庭人口为3人，
∴需缴纳燃气费用：（元）．
∵某家庭当年用气量为．该家庭人口为4人，
∴需缴纳燃气费用：（元）．
故答案为：1600，1500；
（2）设甲用户的用气量为，则乙用户的用气量为．
∵甲户年用气量大于乙户年用气量，
，
解得：．
，
，
解得：．
，
答：甲、乙两户年用气量分别是；
（3）设3人间有间，则4人间有间．
∵为正整数，
∴或．
∴人间有4间或1间．
3人间煤气用量为：，
4人间煤气用量为：．
3人间2间，4人间4间．
需缴纳燃气费用：（元）．
3人间6间，4人间1间．
需缴纳燃气费用：（元）．
，
∴要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为6间．
故答案为：6．
26．（1）
（2）；
（3）或．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，四边形内角和定理，注意角的转换是解题的关键．
（1）直接利用三角形内角和定理结合角平分线的定义求解即可；
（2）直接利用直角三角形内角和定理结合角平分线的定义求解即可；
（3）分两种情况讨论，当点在外时，利用四边形内角和定理结合角平分线的定义求解；当点在内时，利用三角形内角和定理结合角平分线的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，∴
；
（3）解：当点在外时，如图，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴，
整理得；
当点在内时，如图，
同理，
在中，，
在中，，
∴，
∴
，
整理得；
综上，或．