湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

这是一份湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷，共6页。试卷主要包含了已知复数，则，已知平面向量等内容，欢迎下载使用。
2024年7月
时量：120分钟 满分：150分 命题：高一数学组 审题：高一数学组
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
2.有一组互不相等的样本数据，平均数为.若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为，平均数为，则下列说法错误的是（ ）
A.新数据的极差可能等于原数据的极差
B.新数据的中位数不可能等于原数据的中位数
C.若，则新数据的方差一定大于原数据方差
D.若，则新数据的分位数一定大于原数据的分位数
3.设的内角所对边分别为，若，且不等式的解集为，则（ ）
A. B. C.或 D.
4.在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（ ）
A. B.4 C.6 D.10
5.设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.如图，在直三棱柱中，，点是的中点，则直线和平面所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
7.在正方体中边长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数，都有，则向量夹角的最大值的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9.一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件“”，事件“”，事件”，则（ ）
（ ）
A. B.
C.互斥 D.独立
10.已知函数的图象在区间上有且仅有三个对称中心，则（ ）
A.的取值范围是
B.的图象在区间上有2条或3条对称轴
C.在区间上的最大值不可能为3
D.在区间上为增函数
11.如图，已知正方体的棱长为分别为棱上的点，，则（ ）
A.
B.平面经过棱的中点
C.平面截该正方体，截面面积的最大值为
D.点到平面距离的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图，函数的图象与坐标轴交于点，直线交的图象于点（坐标原点）为的重心（三条边中线的交点），其中，则的面积为__________.
13.明德中学为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这200个样本中，所有学生评分样本的平均数为，方差为，所有教师评分样本的半均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为，若，抽取的学生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为__________.
14.正四棱锥的外接球半径为，内切球半径为，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在四棱锥中，平面平面为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
16.（15分）
在中，角的对边分别为，且满足.
（1）求的大小；
（2）若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长.
17.（15分）
袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲､乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，...，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.
（1）求取球2次即终止的概率：
（2）求甲取到白球的概率.
18.（17分）
如图，已知四边形为菱形，四边形为平行四边形，且，.
（1）证明：直线平面；
（2）设平面平面，且二面角的平面角为，设为线段的中点，求与平面所成角的正弦值.
19.（17分）
点是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：
若点在线段上，记；
若点在线段外，记.
（1）若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求的值：
（2）若在正方体的棱上，且，由对施以机角运算，得到，求的值；
（3）若是的边的等分点，由对施以视角运算，证明：.