[数学]江苏省镇江市扬中市2024年九年级第二次中考模拟试题(解析版)

这是一份[数学]江苏省镇江市扬中市2024年九年级第二次中考模拟试题(解析版)，共17页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）
1. ﹣8的相反数是 _____．
【答案】8
【解析】﹣8的相反数是8，
故答案为：8．
2. 计算：_____．
【答案】1
【解析】
故答案为：1．
3. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
故答案为：．
4. 计算：______．
【答案】
【解析】，
故答案为：
5. 使式子有意义的x的取值范围是_________．
【答案】．
【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，则4﹣x≥0，即x≤4时．
则x的取值范围是x≤4．
6. 若圆锥底面圆的半径为1，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为____．
【答案】
【解析】圆锥的底面半径为，
圆锥的底面圆的周长，
圆锥的侧面积．
故答案为：．
7. 一组数据2，3，1，3，5的中位数是_____．
【答案】3
【解析】一组数据2，3，1，3，5从大到小排列为：1，2，3，3，5，
排在中间的数为第三位为3，
故中位数为3，
故答案为：3．
8. 反比例函数的图象经过点，则在每一个象限内，随的增大而_____．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【解析】把代入反比例函数，得，
∴，
∵，
∴在每一个象限内随的增大而增大，
故答案为：增大．
9. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_______．
【答案】
【解析】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
10. 如图，点D在以为直径的上，如果，那么_________．
【答案】．
【解析】∵，
∴；
∵为直径，
∴；
∴．
故答案为：．
11. 如图，已知菱形的边长为9，，点E在对角线上且，点F在边上，且，则______．
【答案】5
【解析】∵菱形的边长为9，
∴，，，
∴为等边三角形，，，，∴，
∵，
∴，∴，
∴，∴，∴，∴；
故答案为：
12. “格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图1，计算，将乘数计 入上行，乘数计入右行，然后以乘数的每位数字乘以乘数的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得．如图，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则的值为____________．
【答案】3
【解析】根据题意可得10（2a-2-a）+(-a+6-1)=4a
解得a=3
故答案为：3．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）
13. 若整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 10
【答案】C
【解析】∵表示的原数为，∴原数中“0”的个数为7，故选C．
14. 下列计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A． ，故原选项计算错误；
B． ，原选项计算错误；
C． ，故此选项错误；
D． ，故原选项计算正确．故选D．
15. 如图1所示的几何体是由8个大小相同的小正方体组合而成，现要得到一个几何体，它的主视图与左视图如图2，则至多还能拿走这样的小正方体（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】由题意可知，该几何体的底层至少需要3个小正方体，上层至少需要2个小正方体，所以至多还能拿走这样的小正方体3个．
故选：C．
16. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺，
在中，
，
∴，
故选B．
17. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”，它是由5个等腰直角三角形、1个正方形和1个平行四边形组成的．如图是由“七巧板”组成的边长为的正方形，若在正方形区域内随意取一点，则该点取到阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，阴影区域是一个正方形，
∵大正方形的边长为，
∴大正方形的对角线长为，面积为，
∴阴影部分的边长为，
∴S阴影cm2，
∴P（该点取到阴影部分）．
故选C
18. 如图，在中，，，点D是平面上一点，，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过作，且，连接，，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴当取最大值，则取最大值，
∵，
∴当时，的最大值为，
故选C
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. （1）计算：；
（2）化简：．
解：（1）.
（2）.
20. （1）解方程：；
（2）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：（1）
去分母得，
∴或
解得，；
检验：将，分别代入，
∴原方程的解为，；
（2）
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，．
数轴表示如下：
．
21. 小明和小莉做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体．
（1）小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是 ；
（2）小莉随机取了两个烧杯，滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率．
解：（1）小明和小莉两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体，将石蕊试剂滴入，食用碱溶液呈现蓝色，
小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色概率是；
（2）把分别倒入蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液的4个烧杯分别记为、、、，列表如下：
由表知，共有12种等可能的结果，将石蕊试剂滴入，食用碱溶液（C）呈现蓝色，白醋溶液（B）、柠檬水溶液（D）呈现红色，故其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果，
一杯变红、一杯变蓝的概率为．
22. 如图，E、F、G、H为菱形各边中点．
（1）求证：四边形为矩形．
（2）若，则___________．
解：（1）如图，连接菱形的对角线和，相交于点，与相交于点，
．
，，，为菱形各边中点，
，．
，．
．
同理可得，
四边形为矩形．
（2） ，，，为菱形各边中点，
，．
，
．
故答案为：12．
23. 材料一：
国内生产总值（，简称），是一个国家（或地区）所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果．是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区经济状况和发展水平的重要指标，人均的计算公式是：人均．
材料二：
扬中市近五年经济和人口发展情况统计表：（数据来源于百度）
根据以上材料回答下列问题：
（1）填空：材料二中 ；
（2）扬中市近五年人均的众数是 ；
（3）2024年年平均人口与2023年基本持平，预计2024年总量比2023年增长，求2024年扬中市人均是多少？
解：（1）由题意可得：（亿）；
（2）扬中市近五年人均的众数是万元；
（3）∵，
∴2024年扬中市人均是（万元）．
24. 如图① ，扬中塔（英语：）又称扬中新广播电视发射塔，昵称扬中小蛮腰．位于扬中市滨江公园内，距离市区，与镇江新区隔江相望，是扬中热门景点之一．

如图②，扬中塔建在背水坡坡比为，坡长米，塔底B 距离C点10米的环岛江堤上，小明在距离D点275米的E处测得塔顶A的仰角为，已知堤坝顶部与地面平行，求扬中塔的高度（参考数据，结果保留整数）．
解：延长交与点M，作，垂足为N
，，
又
四边形是矩形，
米，，
背水坡坡比为，设，则，
在中，米，
根据勾股定理可得：，
解得：，（舍去）
米，米，
米，
米，
在中，，
米，
米．
答：扬中塔的高度为158米．
25. 如图，矩形的对角线相交于点O，以A为坐标原点，、所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示平面直接坐标系，点C的坐标为，反比例函数的图像与矩形的边、分别交于点E、F，与对角线交于点G．
（1）若点G与点O重合，则 ；
（2）连接，求证：；
（3）当时，求的值．
解：（1）∵矩形，
∴，
∵，
∴点G与点O重合时，，
∴，
∴反比例函数为：；
（2）由题意得、
∴CE=；CF=；
∴，
，
∴，而，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，当时，而
则，
过作于，过作于，
∴，，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
26. 如图①，四边形是菱形，是的外接圆．
（1）求证：圆心O在直线上；
（2）如图②，当时，求证：与相切；
（3）当与菱形的边有五个公共点时，直接写出的取值范围．
（1）证明：如图①，连接，
∵菱形，
∴，，
∵是外接圆，
∴，
∴是线段的垂直平分线，即，
∵，
∴三点共线，即圆心O在直线上；
（2）证明：如图②，连接，
∵菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
同理（1）可知，是线段的垂直平分线，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴与相切；
（3）解：由（2）可知，当时，与菱形的边有3个公共点，
当四边形为正方形时，四边形的边与共有4个公共点，
∴当时，与菱形的边有五个公共点，
∴的取值范围为．
27. 中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示为（秦九韶公式）．
古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积 （海伦公式）．
请完成下列问题：
（1）一个三角形的三边长依次为5，5，6，则该三角形的面积为 ；
（2）请由秦九昭公式推导出海伦公式；
（3）若三角形的周长为，一边长为，求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状．
解：（1）∵一个三角形的三边长依次为5，5，6，
∴．
∴ ；
（2）
∵，
∴，
∴
；
（3）∵三角形的周长为，一边长为，
设另一边为，则第三边为，
∴，
∴
，
∴当时，的最大值为，
此时，三边分别为，，，
∴三角形是等腰三角形．
28. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点、和．
（1）用含 a的代数式表示b与 t；
（2）若直线 与此抛物线交于点 P， 平分，求点 P 坐标；
（3）若以 O 为位似中心，将 放大后得，其中 ，，抛物线过、、．
①直接用表示抛物线的表达式；
②抛物线与x轴的交点为，过点O的直线交x轴下方的抛物线，分别为、，若，直接写出点的坐标 ．
解：（1）把代入中，得，
，
把代入中，得，
解得，
．
把代入中，得，
解得，，∵和，∴．
（2）①如图，当P点比A点高时，
过O点作于E点，于F点，
∵ 平分，
，
，
，
．
，，
，
，
，
即，
∴平分．
过P点作，，
则，
，
，
，
．
②如图，当P点比A点低时
过O点作于E点，于F点，
∵ 平分，
，
又，
，
．
，
，
即．
四边形中，，
．
设，连接，
由，
得，
整理得，
解得，（舍去），
，
综上，p点坐标为：或．
（3）①，，，
，，，
，，
，，
∴位似比，
，
，
．
设抛物线的表达式为，
将代入得，
解得，
∴抛物线的表达式为：，
化成一般式为：，
∴抛物线的表达式为：或．
②如图，
，
，且，
，
又，，
，
，
又，
，
∴M点和都在y轴上，
又∵M点在抛物线上，
∴M点与A点重合，．年份
2019
2020
2021
2022
2023
总量（单位：亿）
487.8
489.6
550
a
630
年平均人口（单位：万人）
31.5
31.6
31.6
31.6
b
人均（单位：万元/人）
15.4
15.4
17.4
18.6
20