2023-2024学年河南省安阳市第一中学高二下学期7月期末考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省安阳市第一中学高二下学期7月期末考试数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A=x∣2xPB
C. P(B|A)+P(B|A)=1D. P(B|A)+P(B|A)=1
11.已知定义域为R的函数f(x)满足f(−x)=f(x)+2x，f(0)=2，且y=f(x+1)−1为奇函数，则( )
A. f(−1)=−3B. 函数y=f(x)+x的一个周期为4
C. f(2024)=−2022D. i=119f(i)=−150
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.x2+2yx2−y7的展开式中x4y6的系数为 (用数字作答)
13.已知x>1，y>0，且x+2y=2，则1x−1+y的最小值是 ．
14.阅读材料：“在成功概率为p的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为E2，现提供一种求E2的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是E2，即总的试验次数为E2+1；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为E2+2.”请根据上述材料解决以下问题：设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个；现每次从袋子里取出一个球，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为ξ，则ξ的数学期望为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数fx=x2−ax−aex在0,f0处的切线平行于直线2x+y+3=0．
(1)求a的值；
(2)求fx的极值．
16.(本小题12分)
陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目．要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
(1)根据表中的数据，判断是否有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关；
(2)从选择物理类的40名学生中按照分层抽样，任意抽取5名同学成立学习小组，该小组设正、副组长各一名，求正、副组长中至少有一名女同学的概率．
17.(本小题12分)
为迎接杭州亚运会，甲、乙两名同学进行羽毛球练习，规定当有一人比对方多胜2局或打满6局时终止.甲在每局比赛中获胜的概率为pp>0.5，前两局中甲和乙各胜一局的概率为49．
(1)求p的值；
(2)设终止时比赛局数为X，求X的分布列与期望．
18.(本小题12分)
2024年3月15日的“3·15”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两．经检查，发现有10家商贩出现缺斤少两问题．执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改．以下是执法人员公布的10家“缺斤少两”商贩的部分数据：商贩称重重量为xi、执法人员称重重量为yi(单位：kg)，i=110xi=9.9,i=110yi=7.1.其他数据如下：i=110xi2=12.408,i=110xiyi=9.146．
(1)利用最小二乘法，求执法人员称重重量y与商贩称重重量x之间的线性回归方程l1(a,b精确到小数点后2位，下同)；
(2)经核实，数据点(0.99,0.305)严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算线性回归方程l2，证明：直线l1与直线l2斜率相等，并求直线l2的线性回归方程．
参考公式与数据：线性回归方程y=bx+a中斜率的最小二乘法估计公式为b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，且a=y−bx,21172607≈0.812．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−ax2−x，f′(x)为f(x)的导数．
(1)讨论f′(x)的单调性;
(2)若x=0是f(x)的极大值点，求a的取值范围;
(3)若θ∈(0,π2)，证明：esinθ−1+ecsθ−1+ln(sinθcsθ)g(2)，
又由函数g(x)在R上为增函数，
则有x>2，即不等式fx>e2x−3的解集为{x|x>2};
故选：C．
8.D
【解析】∵f(x+4)−f(x)≥5⋅2x，即f(x+4)−f(x+2)+f(x+2)−f(x)≥5⋅2x，
由f(x+2)−f(x)≤2x得，
f(x+4)−f(x+2)+f(x+2)−f(x)≤2x+2+2x=5⋅2x，即f(x+4)−f(x)≤5⋅2x，
∴f(x+4)−f(x)=5⋅2x，
∴f(10)−f(6)=5⋅26=320，f(6)−f(2)=5⋅22=20，
∴f(10)=f(6)+320=f(2)+20+320=f(2)+340，
又f(2)−f(0)≤20=1，且f0=1，即f(2)≤2，
∴f(10)≤342，故AB错误；
∵f(12)−f(8)=5⋅28=1280，f(8)−f(4)=5⋅24=80，f(4)−f(0)=5⋅20=5，
又f0=1，∴f(4)=5+1=6，f(8)=80+6=86，f(12)=1280+86=1366，故C错误，D正确．
故选：D．
9.BCD
【解析】对于A，命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”是真命题，
则其否定是假命题，故A错误；
对于B，命题“对∀x∈Z，x2的个位数不等于3”是真命题，
因为0到9这10个数字的平方数的个位都不会是3，则其否定是假命题，故B正确；
对于C，必要性：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，
又因为BC=CB，所以▵BAC≅▵CDB，所以AC=BD．
充分性：如图，过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E．
因为AD//BE，DE//AC，所以四边形ACED是平行四边形，所以DE=AC．
因为AC=BD，所以BD=DE，所以∠E=∠1．
又因为AC//DE，所以∠2=∠E，所以∠1=∠2．
在▵ABC和△DCB中，AC=DB,∠2=∠1,BC=CB,
所以▵ABC≅▵DCB，所以AB=DC．
所以梯形ABCD 为等腰梯形．
所以梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC=BD，故 C正确；
对于D，充分性：若a=b=c，则a−b2+b−c2+a−c2=0，
即2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc=0，所以a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc，
故充分性成立；
必要性：若a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc，则2a2+2b2+2c2−2ab−2ac−2bc=0，
即a−b2+b−c2+a−c2=0，所以a−b=0,b−c=0,a−c=0，
所以a=b=c，故必要性成立；
所以a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c，故 D正确；
故选：BCD
10.AC
【解析】由题意可得，PA=452=113，PB=1352=14，PAB=152，
则PBA=PABPA=14>PA=113，故 A正确；
且PBA=14=PB，故 B错误；
因为PB=1−14=34，PAB=352，则PBA=PABPA=34，
则PBA+PBA=1，故 C正确；
且PA=1213，PAB=1252=313，则PBA=PABPA=14，
所以PBA+PBA=14+14=12，故 D错误；
故选：AC
11.BC
【解析】解：因为函数y=f(x+1)−1为奇函数，所以f(1)−1=0，即f(1)=1．
在f(−x)=f(x)+2x中，令x=1，得f(−1)=f(1)+2=3，故A错误;
令g(x)=f(x)+x，因为f(−x)=f(x)+2x，所以f(−x)−x=f(x)+x，
所以g(−x)=g(x) ①，即g(x)为偶函数．
又y=f(x+1)−1为奇函数，所以f(x+1)−1+f(−x+1)−1=0，
即f(x+1)+f(−x+1)=2，所以f(−x)+f(x+2)=2，
所以f(−x)−x+f(x+2)+x+2=4，
所以g(−x)+g(x+2)=4 ②．
由 ① ②得g(x)+g(x+2)=4，所以g(x+2)+g(x+4)=4，
所以g(x+4)=g(x)，所以g(x)是周期为4的函数，
所以f(2024)+2024=g(2024)=g(0)=f(0)=2，
所以f(2024)=−2022，故B，C正确;
由f(−x)=f(x)+2x与f(−x)+f(x+2)=2，
得f(x)+2x+f(x+2)=2，所以f(x)+f(x+2)=2(1−x)，
所以f(0)+f(2)=2×1，
f(1)+f(3)=2×0，f(4)+f(6)=2×(−3)，
f(5)+f(7)=2×(−4)，f(8)+f(10)=2×(−7)，
f(9)+f(11)=2×(−8)，f(12)+f(14)=2×(−11)，
f(13)+f(15)=2×(−12)，f(16)+f(18)=2×(−15)，
f(17)+f(19)=2×(−16)，
所以i=119f(i)=−f(0)+i=019f(i)
=−2+2×(1+0−3−4−7−8−11−12−15−16)
=−152，故D错误．
故选BC．
12.−35
【解析】由题意，多项式x2+2yx2−y7的展开式中含有x4y6的项为：
x2⋅C76x2⋅−y6+2y⋅C75x22−y5=−35x4y6，
所以x4y6的系数为−35．
故答案为：−35．
13.3+2 2 或2 2+3
【解析】由x+2y=2，得x−1+2y=1，
因为x>1，y>0，
所以x−1>0,y>0，
所以1x−1+y=x−1+2y1x−1+y=3+(x−1)y+2(x−1)y≥3+2 (x−1)y⋅2(x−1)y=3+2 2，
当且仅当(x−1)y=2(x−1)y，即x= 2，y=2+ 2时，等号成立，
所以1x−1+y的最小值是3+2 2．
故答案为：3+2 2．
14.12
【解析】由题意可得，期待在En−1次试验后，首次出现连续n−1次成功，
若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为En−1+1，
若下一次试验失败，相当于重新试验，后期望仍是En，
此时总的试验次数为En−1+1+En，
即En=p⋅En−1+1+1−p⋅En−1+1+En，
整理可得En=1pEn−1+1，即En+11−p=1pEn−1+11−p，
即En+11−p是公比为1p的等比数列，
所以En+11−p=1pn−1E1+11−p，其中E1=1p，
所以En=1−pn1−p⋅pn．
由问题可知，p=13,n=2，则Eξ=1−1321−13⋅132=12．
故答案为：12
15.解：(1)由已知可得f′x=2x−aex+x2−ax−aex=x2+2x−ax−2aex，
而直线2x+y+3=0的斜率为k=−2，
所以f′0=−2a=−2⇒a=1；
(2)由(1)得fx=x2−x−1⋅ex⇒f′x=ex⋅x2+x−2=ex⋅x−1x+2，
当x∈−∞,−2时，f′x>0，函数fx单调递增；
当x∈−2,1时，f′x0，函数fx单调递增；
故极大值为f−2=5e2，极小值为f1=−e．
【解析】(1)由导数的几何意义计算即可；
(2)利用导数研究函数的极值即可．
16.解：(1)将表中的数据带入，得到
χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d=50×216−16225×25×10×40=8>7.879．
所以有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关．
(2)由题意知，抽取的5名同学中，男生有3名，设为A，B，C，女生2名，设为D，E，
从这5名同学中选取2名同学担任正副组长，所有的可能情况有：
AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共计10种基本情况，且每种情况的发生是等可能的，
其中至少有一名女生的情况有AD，AE，BD，BE，CD，CE，DE，共计有7种情况，
所以P(至少有一名女生)=710．
【解析】(1)根据列联表中的数据，计算χ2的值，与7.879比较可得结果；
(2)问题转化成古典概型，利用古典概型的概率计算公式计算可得．
17.解：(1)由题意可得，甲在每局比赛中获胜的概率为p，则乙在每局比赛中获胜的概率为1−p，所以2p1−p=49，
解得p=23或p=13，又p>0.5，所以p=23．
(2)依题意X的所有可能值为2，4，6．
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为232+132=59，
该轮结束时比赛继续的概率为1−59=49．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各胜一局，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有PX=2=59，PX=4=49×59=2081，PX=6=492=1681，
故X的分布列如下：
所以EX=2×59+4×2081+6×1681=26681．
【解析】(1)根据相互独立事件的概率公式得到方程，解得即可；
(2)依题意X的所有可能值为2，4，6，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望．
18.解：(1)由题意，知x=110i=110xi=0.99,y=110i=110yi=0.71，
b^= 10i=1 xiyi−10xy 10i=1 xi2−10x2=9.146−10×0.99×−10×(9.910)2=≈0.812，a=y−bx=0.71−0.812×0.99≈−0.094，
所以l1：y=0.81x−0.09．
(2)去除0.99,0.305后的b^= 9i=1 xiyi−9xy 9i=1 xi2−9x2= 10i=1 xiyi−0.99×0.305−9×0.99×7.1−0.3059 10i=1 xi2−(0.99)2−9x2=i=110xiyi−x×y2−9x×10y−y29i=110xi2−10x2=i=110xiyi−10xyi=110xi2−10x2≈0.81，
所以直线l1与直线l2斜率相等，
a=y−bx=7.1−0.3059−0.81×0.99≈−0.05，
所以l2：y=0.81x−0.05．
【解析】(1)根据公式计算得到l1；
(2)根据公式计算得到去除0.99,0.305后的b与去除前的相等，即可证明直线l1与直线l2斜率相等，然后求l2即可．
19.解：(1)由题知：f′(x)=ex−2ax−1，
令g(x)=f′(x)，则g′(x)=ex−2a，
当a≤0时，g′(x)>0，f′(x)在区间(−∞,+∞)单调递增，
当a>0时，令g′(x)=0，解得x=ln2a，
x∈(−∞,ln2a)时，g′(x)0，
所以f′(x)在区间(−∞,ln2a)单调递减，在区间(ln2a,+∞)单调递增．
综上所述，当a≤0时，f′(x)在区间(−∞,+∞)单调递增;
当a>0时，f′(x)在区间(−∞,ln2a)单调递减，在区间(ln2a,+∞)单调递增．
(2)当a≤0时，f′(0)=0，
由(1)知，x∈(−∞,0)时，f′(x)0，f(x)在(0,+∞)单调递增;
所以，x=0是函数f(x)的极小值点，不符合题意;
当00，f(x)在(−∞,0)单调递增;
当x∈(0,ln2a)时，f′(x)12．
(3)要证esinθ−1+ecsθ−1+ln(sinθcsθ)