2023-2024学年北京市东城区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市东城区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知点P的坐标是(5,−2)，则点P在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.在实数2、0、−2、−3中，最小的实数是( )
A. 2B. 0C. −2D. −3
3.下列调查方式，最适合全面调查的是( )
A. 检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准B. 了解某班学生一分钟跳绳成绩
C. 了解北京市中学生视力情况D. 调查某批次汽车的抗撞击能力
4.对于二元一次方程组y=x−1①x+2y=7②，将①式代入②式，消去y可以得到( )
A. x+2x−1=7B. x+2x−2=7C. x+x−1=7D. x+2x+2=7
5.已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是( )
A. ab>0B. a+b>2bC. −2b<−2aD. a26.不等式组3m−2≤12−m<3的解集在同一条数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，下列条件中，不能判断直线AD//BC的是( )
A. ∠1=∠3
B. ∠3=∠E
C. ∠2=∠B
D. ∠BCD+∠D=180°
8.如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲→A→D→乙；②甲→B→D→乙；③甲→B→C→乙，在这三条路线中，走哪条路线近？答案是( )
A. ①
B. ①②
C. ①③
D. ①②③
9.幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式.现将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是( )
A. a=−4，b=3 B. a=−4，b=−3 C. a=4，b=3 D. a=4，b=−3
10.某图书商场今年1−5月份的销售总额一共是186万元，图1、图2分别是商场图书销售总额统计图和文学类图书销售额占商场当月销售总额的百分比统计图.根据图中信息，下列判断中正确的是( )
①商场4月份销售总额为20万元； ②对比上一个月，4月份文学类图书销售额下降幅度最大；
③2月份和5月份文学类图书销售总额相同； ④文学类图书在5月份的销售额比4月份的销售额增加了．
A. ①③B. ①②③C. ②④D. ①④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.语句“a的三分之一与b的和是非负数”可以列不等式表示为______．
12.关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值为______．
13.点P(m−1,m+3)在平面直角坐标系的x轴上，则P点坐标是______．
14.将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1=25°，则∠2的度数为______°.
15.如图，在数轴上竖直摆放一个直径为4个单位长度的半圆，A是半圆的中点，半圆直径的一个端点位于原点O.该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动滚动，当点A第一次落在数轴上时，此时点A表示的数为______．
16.如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当∠EOF=90°，∠ODC=30°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数为______°.
17.为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球.已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个.若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，则学校购买篮球______个.
18.对于整式：x、3x+3、5x−1、7x+6，在每个式子前添加“+”或“−”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为M.例如：
|x+(3x+3)−(5x−1)−(7x+6)|=|−8x−2|，当x≤−14时，M=−8x−2；当x≥−14时，M=8x+2．
(1)若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数= ______；
(2)若一种“全绝对”操作的化简结果为M=−2x+k(k为常数)，则x的取值范围是______．
三、解答题：本题共10小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
计算： 9+| 3−2|−364．
20.(本小题4分)
解方程组：3x−y=−25x=2y−1
21.(本小题5分)
解不等式组2x≤5(x+2)x+13>2x−3，并写出它的整数解．
22.(本小题5分)
如图，直线AB与直线CD相交于点O，P是平面内一点，请根据下列语句画图并解答问题：
(1)过点P画PE/​/CD交AB于点E；
(2)过点P画AB的垂线，垂足为点F；
(3)比较线段PE与PF的长短______(用“<”连接)，并说明依据______．
23.(本小题5分)
如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子.已知光线经过镜子反射时，有∠1=∠2，∠3=∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？请把下列解题过程补充完整．
理由：
∵AB/​/CD，(已知)
∴ ______.(______)
∵∠1=∠2，∠3=∠4，(已知)
∴∠1=∠2=∠3=∠4.(等量代换)
∵∠1+∠2+∠5=180°，
∠3+∠4+∠6=180°(平角定义)
∴ ______．
∴ ______.(______)
24.(本小题5分)
一个数值转换器如图所示：

(1)满足输入条件的x的取值范围是______；
(2)输出y的最小值是______；
(3)若7≤y< 53，求满足题意的x值．
25.(本小题6分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形ABC(顶点是网格线的交点的三角形)的顶点B，C的坐标分别是(−1,1)，(0,3)．
(1)请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系；
(2)把△ABC先向右平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标；
(3)y轴上是否存在点P，使△PAC的面积是△ABC的面积的2倍，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．
26.(本小题6分)
2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，3月22日至28日是第三十七届“中国水周”.某学校积极响应“世界水日⋅中国水周”，组织开展主题为“节约用水，珍惜水资源”的社会实践活动．
七年级某班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理．
请解答以下问题：
(1)这里采用的调查方式是______(填“普查”或“抽样调查”)，样本容量是______；
(2)填空：m= ______，n= ______，并把频数分布直方图补充完整；
(3)若将抽取的部分家庭月均用水量的频数绘成扇形统计图，则月均用水量“15(4)若该小区有1000户家庭，求该小区月均用水量超过10t的家庭大约有多少户？
27.(本小题7分)
已知射线OM平分∠AOB，点C为OM上任意一点，过点C作直线l//OB交射线OA于点D．

(1)如图1，若∠OCD=30°，则∠AOB= ______°；
(2)点E是射线DC上一动点(不与点C，D重合)，OF平分∠DOE交CD于点F，过点F作FG//OM交OA于点G.①如图2，若∠OCD=60°，当OE⊥CD时，求∠OFG的度数；
②当点E在运动过程中，设∠OFG=α，∠OEC=β，直接写出α和β之间的数量关系．
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点P(a,b)，m>0，n>0，对点P进行如下操作：
将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移m|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移n|b|个单位长度，得到点P1，点P1横坐标不变，纵坐标变为其相反数得到点P′，称点P′为点P的“[m,n]倍对应点”.若图形W上存在一点Q，且点Q的“[m,n]倍对应点”Q′恰好也在图形W上，则称图形W为“[m,n]倍对应图形”．
已知点A(−3,−1)，B(−3,−2)．
(1)点A的“[1,2]倍对应点”的坐标为______，若点C的“[1,2]倍对应点”为B，则点C的坐标为______；
(2)若点D(a,b)(其中b为非零整数)与线段AB组成的图形记为图形W，图形W是“[2,12]倍对应图形”，直接写出点D的坐标．
(3)已知点E(t,−1)，F(t+4,−1)，G(t+4,2)，H(t,2)，顺次连接EFGH得到一个长方形EFGH，若长方形EFGH的边上存在点M(1,−1)的“[m,m]倍对应点”，直接写出t的取值范围．
答案解析
1.D
【解析】解：∵点P的横坐标5>0，纵坐标−2<0，
∴这个点在第四象限．
故选：D．
2.D
【解析】解：最小的实数是−3，
故选D．
3.B
【解析】解：A、检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准，最适合抽样调查，故A不符合题意；
B、了解某班学生一分钟跳绳成绩，最适合全面调查，故B符合题意；
C、了解北京市中学生视力情况，最适合抽样调查，故C不符合题意；
D、调查某批次汽车的抗撞击能力，最适合抽样调查，故D不符合题意；
故选：B．
4.B
【解析】解：y=x−1①x+2y=7②，将①式代入②式，
得x+2(x−1)=7，
∴x+2x−2=7，
故选：B．
将①式代入②式，得x+2(x−1)=7，去括号即可．
5.C
【解析】解：观察数轴可知：−2|b|，
∴aA.∵−2B.∵aC.∵a−2b，即−2b<−2a，∴此选项符合题意；
D.∵−2|b|，∴a2>b2，故此选项不符合题意；
故选：C．
6.B
【解析】解：3m−2≤1①2−m<3②，
解①得：m≤1，
解②得：m>−1，
∴不等式组的解集为−1将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，
故选：B．
7.A
【解析】解：由∠1=∠3，不能判定AD//BC，故A符合题意；
∵∠3=∠E，
∴AD//BC，
故B不符合题意；
∵∠2=∠B，
∴AD//BC，
故C不符合题意；
∵∠BCD+∠D=180°，
∴AD//BC，
故D不符合题意；
故选：A．
8.D
【解析】解：如图所示：
三条路线的长度都等于大长方形周长的一半．
故选：D．
9.C
【解析】解：根据题意可得，
4b−2+2a+1+2a=12+7+2a3b−3+2a+1+12=12+7+2a，
解得：a=4b=3．
故选：C．
10.D
【解析】解：商场4月份销售总额为：186−50−40−36−40=20(万元)，故①结论正确；
由题意可知，4月份文学类图书销售额为：20×20%=4(万元)，3月份文学类图书销售额为：36×10%=3.6(万元)，4月份文学类图书销售额比3月份增加了，故②结论错误；
由题意可知，2月份文学类图书销售额为：40×12%=4.8(万元)，5月份文学类图书销售额为：40×13%=5.2(万元)，故③结论正确；
由题意可知，4月份文学类图书销售额为：20×20%=4(万元)，5月份文学类图书销售额为：40×13%=5.2(万元)，所以文学类图书在5月份的销售额比4月份的销售额增加了，故④结论正确；
所以判断中正确的是①④．
故选：D．
11.13a+b≥0
【解析】解：∵“a的三分之一与b的和”表示为13a+b，
∴“a的三分之一与b的和是非负数”可以表示为13a+b≥0．
故答案为：13a+b≥0．
12.3
【解析】解：把x=1代入2x+m=5，
得：2×1+m=5，
解得：m=3，
故答案为：3．
13.(−4,0)
【解析】解：由题意，得
m+3=0，
解得m=−3，
∴m−1=−4，
∴点P的坐标为(−4,0)，
故答案为：(−4,0)．
14.70
【解析】解：如图，
由题意得：∠ABC=90°，∠BCD=45°，
∵∠1=25°，
∴∠CBE=∠ABC+∠1=115°，
∵BE/​/CF，
∴∠BCF=∠CBE=115°，
∴∠2=∠BCF−∠BCD=70°．
故答案为：70．
15.4+π
【解析】解：由题可得，当点A第一次落在数轴上时，此时点A表示的数为4+12×12×π×4=4+π，
故答案为：4+π．
16.120
【解析】解：∵DM//OE，
∴∠ODM=∠EOF，
∵∠EOF=90°，
∴∠ODM=90°，
∵∠ODC=30°，
∴∠CDM=∠ODM+∠ODC=90°+30°=120°，
∵AB/​/CD，
∴∠ANM=∠CDM=120°，
故答案为：120．
17.11
【解析】解：设学校购买x个篮球，则购买(20−x)个足球，
根据题意得：200x+150(20−x)≤3550x>20−x，
解得：10又∵x为正整数，
∴x=11，
∴学校购买篮球11个．
故答案为：11．
18.±4 x≤2
【解析】解：(1)∵操作后化简的结果是常数，即x的系数为0，
∴|x−(3x+3)−(5x−1)+(7x+6)|=|−3+1+6|=4或|−x+(3x+3)+(5x−1)−(7x+6)|=4，
故答案为：4；
(2)∵M=−2x+k(k为常数)，
∴M1=|x+(3x+3)+(5x−1)−(7x+6)|=|2x−4|，M2=∴|−x−(3x+3)−(5x−1)+(7x+6)|=|−2x+4|，
M1：当2x−4≤0，即x≤2时，M1=−2x+4，
M2：当−2x+4≥0，即x≤2时，M1=−2x+4，
∴x的取值范围为x≤2．
故答案为：x≤2．
19.解： 9+| 3−2|−364
=3+2− 3−4
=1− 3．
【解析】首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
20.解：原方程组整理得3x−y=−2①5x−2y=−1②，
①×2−②得：x=−3，
将x=−3代入①得：−9−y=−2，
解得：y=−7，
故原方程组的解为x=−3y=−7．
【解析】将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可．
21.解：解不等式2x≤5(x+2)得，
x≥−103，
解不等式x+13>2x−3得，
x<2，
所以不等式组的解集为：−103≤x<2．
【解析】根据解一元一次不等式组的步骤对所给不等式组进行求解即可．
22.PE>PF 垂线段最短
【解析】解：(1)如图，PE即为所求．
(2)如图，PF即为所求．
(3)由图可知，PE>PF，
依据：垂线段最短．
故答案为：PE>PF；垂线段最短．
23.∠2=∠3 两直线平行，内错角相等 ∠5=∠6 l/​/m 内错角相等，两直线平行
【解析】解：∵AB/​/CD，(已知)
∴∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)
∵∠1=∠2，∠3=∠4，(已知)
∴∠1=∠2=∠3=∠4.(等量代换)
∵∠1+∠2+∠5=180°，
∠3+∠4+∠6=180°(平角定义)
∴∠5=∠6．
∴l//m.(内错角相等，两直线平行)
故答案为：∠2=∠3；两直线平行，内错角相等；∠5=∠6；l/​/m；内错角相等，两直线平行．
24.x≥6且x为整数 17
【解析】解：(1)根据题意得： 2x+5≥4，
即2x+5≥16，
解得：x≥112，
又∵x为整数，
∴x≥6且x为整数，
∴满足输入条件的x的取值范围是x≥6且x为整数；
故答案为：x≥6且x为整数；
(2)∵x≥6且x为整数，
∴x的最小值为6，此时y= 2x+5= 2×6+5= 17，
∴输出y的最小值是 17．
故答案为： 17；
(3)根据题意得： 2x+5≥7 2x+5< 53，
即2x+5≥492x+5<53，
解得：22≤x<24，
又∵x为整数，
∴x可以为22或23．
25.解：(1)建坐标系如图所示：

(2)画出△A1B1C1如图所示．A1(0,3)，B1(3,−1)，C1(4,1)；
(3)y轴上存在点P，使△PBC的面积等于△ABC的面积的2倍，理由如下：
∵S△ABC=4×4−12×4×2−12×3×4−12×1×2=5，
∴S△ACP=2S△ABC=10=12×4×CP，
∴CP=5，
∵C(0,3)，
∴P(0,8)或(0,−2)．
【解析】(1)依据点B，C坐标分别为(−1,1)，(0,3)即可得到原点的位置，进而得出直角坐标系；
(2)依据平移的方向和距离，即可得到△A1B1C1；
(3)依据△PBC的面积等于△ABC的面积的2倍，即可得到点P的纵坐标的值，进一步解答即可得解．
26.“抽样调查” 50 12 0.08 72°
【解析】解：(1)这里采用的调查方式是抽样调查，∵被调查的总户数为6÷0.12=50(户)，
∴样本容量是50；
故答案为：抽样调查，50；
(2)m=50×0.24=12，n=4÷50=0.08；
故答案为：12，0.08；
补全频数分布直方图如下：
(3)月均用水量“15(4)该小区月均用水量超过10t的家庭大约有1000×(1−0.12−0.24)=640(户)．
27.60
【解析】解：(1)∵l//OB，∠OCD=30°，
∴∠COB=∠OCD=30°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠COB=∠COD=30°，
∴∠AOB=60°．
故答案为：60．
(2)①∵OE⊥CD，∠OCD=60°，
∴∠COE=30°，
∵MOB，
∴∠COB=∠OCD=60°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOE=60°−30°=30°，
∵OF平分∠DOE，
∴∠FOE=12∠AOE=15°，
∵FG//OM，
∴∠OFG=∠FOE+∠EOC=15°+30°=45°．
②如图，点E在线段CD上，
∵l//OB，
∴∠OEC+∠EOC+∠COB=180°，
∵OF平分∠DOE，OM平分∠AOB，
∴∠AOF=∠FOE，∠AOC=∠BOC，
∵FG//OM，
∴∠GFO=∠FOC∠OEC+∠EOC+∠COB=180°，
β+∠EOC+∠AOC=180°，
β+∠EOC+∠AOF+∠FOE+∠EOC=180°，
β+∠EOC+∠FOE+∠FOE+∠EOC=180°，
β+(∠EOC+∠FOE)+(∠FOE+∠EOC)=180°，
∴2α+β=180°，
如图，点E在OM下方，
∵l//OB，
∴∠OEC=∠EOB，OF平分∠DOE，OM平分∠AOB，
∴∠AOF=∠FOE，∠AOC=∠BOC，
∵FG//OM，
∴∠GFO=∠FOC，
∠OEC=∠EOB，
∠OEC=∠COB−∠COE，
∠OEC=∠AOF+∠FOC，
∠OEC=∠FOE−∠COE+∠FOC，
∠OEC=2∠FOC，即β=2α．
综上，2α+β=180°或β=2α．
28.(−6,3) (−32,23)
【解析】解：(1)由题意知，将A(−3,−1)点先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点A1(−6.−3)，
∴A(−3,−1)点的“[1,2]倍对应点“的坐标为(−6,3)，
∵若点C的“[1,2]倍对应点”为B(−3,−2)，
∴点C平移后的点C1(−3.2)，
设点C坐标为(a.b)，
∴a+a=−3，b+2b=2，
∴a=−32，b=23，
∴C坐标为(−32,23)，
故答案为：(−6,3)，(−32,23)；
(2)∵点A(−3,−1)，点B(−3,−2)，
∴AB⊥x轴，
∴直线AB的解析式为x=−3，AB=1，
若点D(a.b)“[2,12]倍对应点”在线段AB上，
∴a+2a=−3，−2≤−(b+12b)≤−1，
∴a=−1，23∵b为非零整数，
∴b=1，
∴D(−1,1)；
若线段AB上一点C′的“[2,12]倍距点“为点C(a,b )，
∴a=−3+2×(−3)=−9，−[−1+12×(−1)]≤b≤−[−2+12×(−2)]，
∴a=−9，32≤b≤3，
∵b为非零整数，
∴b=2或3，
∴D(−9,2)或(−9,3)，
综上，点D的坐标为(−1,1)，(−9,2)或(−9,3)；
(3)点E(t,−1)，F(t+4,−1)，G(1+4,2)，H(t,2)，
又∵长方形EFGH的边上存在点M(1,−1)的“[m,m]倍对应点“，
∴M′(1+m,1+m)，
∴当M′(1+m,1+m)在线段EF上时，
则1+m=−1t≤1+m≤t+4m>0，
解得：无解；
当M′(1+m,1+m)在线段EH上时，
1+m=t−1≤1+m≤2m>0，
解得：1≤t≤2，
当M′(1+m,1+m)在线段GH上时，
1+m=2t≤1+m≤t+4m>0，
解得：−2≤1≤2，
当M′(1+m,1+m)在线段FG上时，
1+m=t+4−1≤1+m≤2m>0，
解得：−3综上，若长方形EFGH的边上存在点M(1,−1)的“[m,m]倍对点”，t的取值范围为−312
2a+1
7
3b−3
2a
月均用水量x(t)
频数(户)
频率
06
0.12
5m
0.24
1016
0.32
1510
0.20
204
n
252
0.04