2023-2024学年四川省资阳市高二下学期期末质量监测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省资阳市高二下学期期末质量监测数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.根据物理中的胡克定律，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比．测得一根弹簧伸长长度x和相应所受外力F的一组数据如下：
据此给出以下结论：
①这两变量不相关；②这两个变量负相关；③这两个变量正相关．
其中所有正确结论的个数是( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
2.已知PBA=13，PAB=215，则PA=( )
A. 245B. 35C. 25D. 13
3.一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书全部放在一个单层的书架上，且同科目的书不分开，则不同的放法种数为( )
A. A33A44A55B. A44A55A66C. (A44)2A55A33D. A44A55(A33)2
4.某种生态鱼在某个池塘一年的生长量X(单位：克)服从正态分布N300,25，则概率P285A. 0.8186B. 0.84C. 0.8785D. 0.9759
5.已知函数fx=xex+a，a∈R有大于−1的极值点，则a的取值范围为( )
A. −1e2,+∞B. −∞,−1e2C. 0,+∞D. −∞,0
6.1+x2+1+x3+1+x4+⋯+1+x11的展开式中，各项系数和与含x3项的系数分别是( )
A. 4092，495B. 8188，220C. 4092，220D. 8188，495
7.已知函数y=xex的最大值为a，令b=lgsinπ7，c=ln 2，则a，b，c的大小关系是( )
A. a>c>bB. a>b>cC. c>b>aD. c>a>b
8.一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成( )对异面直线
A. 174B. 180C. 210D. 368
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关样本相关系数r，叙述正确的是( )
A. r的取值范围是−1,1
B. r的取值范围是0,1
C. r越接近1，表示两变量的线性相关程度越强
D. r越接近0，表示两变量的线性相关程度越强
10.在一个大型公司中，技术部门员工占40%，非技术部门员工占60%.在技术部门中，有80%的员工持有硕士学位，而在非技术部门中，只有60%的员工持有硕士学位．现从该公司随机抽取一名员工．则下列结论正确的是( )
A. 抽到的员工是技术部门且持有硕士学位的概率为825
B. 抽到的员工持有硕士学位的概率为710
C. 若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是技术部门的概率为1017
D. 若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是非技术部门的概率为917
11.对于可以求导的函数y=fx，如果它的导函数y=f′x也是可导函数，那么将y=f′x的导函数记为y=f′′x.如果y=f′x有零点，则称其为y=fx的“驻点”；如果y=f′′x有零点x=x0，则称点x0,fx0为y=fx的“拐点”.某同学对三次函数fx=13x3−12x2−2x+1和gx=ax3+bx2+cx+da≠0进行探究发现，得到如下命题，其中真命题为：( )
A. fx在“驻点”处取得最值
B. gx一定有“拐点”，但gx不一定有“驻点”
C. 若y=fx−t有3个零点，则−73D. 存在实数m，nm三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知x，y之间的一组数据：
若y与x满足回归方程y=b x+6，则b的值为 ．
13.第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校欲从4名男生、5名女生中选派5名大学生到奥运会的3个项目当志愿者(每个项目必须有志愿者)，则志愿者中至少有4名女生的分配方法共有 种(用数作答)．
14.已知函数fx=csx,x∈0,π2,f′x−π2,x∈π2,+∞,则关于x的方程fx+lg95x=0根的个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知(x+2x2)n(n∈N∗)的展开式中所有的二项式系数之和为64．
(1)求n的值；
(2)求该展开式的常数项．
16.(本小题12分)
设x>0，fx=lnx，gx=1−1x，两个函数的图象如下图所示．
(1)过点0,−1作fx的切线l，求l的方程；
(2)判断fx，gx的图象与C1，C2之间的对应关系，根据这些关系，写出一个不等式，并证明．
17.(本小题12分)
竹编是某地的地方特色，某地区相关部门对该地居民在过去两年内学习竹编次数进行了详尽统计，然后随机抽取了80名居民的学习数据，现将整理后的结果呈现如下表：
(1)若将这两年学习竹编的次数为3次及3次以上的，称为学习竹编“先锋”，其余的称为学习竹编“后起之秀”.请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学习竹编有关系；
(2)若将这两年内学习竹编6次的居民称为竹编“爱好者”，为进一步优化竹编技术，在样本的“爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男性人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d
18.(本小题12分)
随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3.已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．
(1)求一次数据能被软件准确分析的概率；
(2)在连续nn≥8次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X．
①求X的方差；
②当n为何值时，PX=8的值最大?
19.(本小题12分)
已知函数fx=ex+12ax2−x，记gx=f′x．
(1)判断gx的单调性；
(2)若fx存在极值点x0，且x0>0，
①求a的取值范围；
②求证：fx0<3−x02．
答案解析
1.C
【解析】画出弹簧伸长长度x和相应所受外力F的散点图，
可以判断这两变量相关，且为正相关，故①②错误，③正确．
故选：C
2.C
【解析】因为PBA=PABPA=13，
所以PA=PABPBA=21513=25．
故选：C
3.D
【解析】将同科目的书视为一个整体，排列3个科目的书有A33种方法，
再分别排列同科目的书，分别有A44,A55,A33种方法，
所以不同的放法种数为A44A55(A33)2．
故选：D
4.B
【解析】因为μ=300,σ=5，则P295所以P285故选：B．
5.D
【解析】因为fx的定义域为R，且f′x=ex+a+xex=x+1ex+a，
令f′x=0，可得x+1ex=−a，
构建gx=x+1ex，
由题意可知：y=gx与y=−a在−1,+∞有交点，
则g′x=x+2ex>0对任意x∈−1,+∞内恒成立，
可知y=gx在−1,+∞内单调递增，则gx>g−1=0，
可得−a>0，即a<0，
所以a的取值范围为−∞,0．
故选：D．
6.A
【解析】令x=1，则22+23+24+⋅⋅⋅+211=4(1−210)1−2=4×(1024−1)=4092，
所以各项系数和为4092，
含x3项的系数为C33+C43+C53+⋅⋅⋅+C113
=C44+C43+C53+⋅⋅⋅+C113
=C54+C53+⋅⋅⋅+C113
=C64+C63+⋅⋅⋅+C113
……
=C114+C113=C124=495．
故选：A
7.A
【解析】由y′=1−xex，当x<1时，y′>0，当x>1时，y′<0，
即函数y=xex在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，则当x=1时，a=ymax=1e，
令函数f(x)=lnx−xe(10，函数f(x)在(1,e)上单调递增，
则f(x)12ln2=ln 2=c>0，
由0所以a，b，c的大小关系是a>c>b．
故选：A
8.B
【解析】每对异面直线，需4个顶点并且这4个顶点不共面，而不共面的4个点顺次连接构造一个四面体，
一个四面体的3组相对棱都是异面直线，底面是梯形的直四棱柱有8个顶点，
从8个顶点中任取4个有C84种方法，其中6个表面四边形4个顶点共面，
对角面ACC1A1,BDD1B1,ABC1D1,A1B1CD都是平面四边形，4个顶点共面，
因此从底面是梯形的直四棱柱的8个顶点中任取4个顶点，构成四面体的个数最多有C84−6−4=60，
所以最多能组成异面直线对数是3×60=180．
故选：B
9.AC
【解析】对于AB，样本相关系数r的取值范围是[−1,1]， A正确，B错误；
对于CD，|r|越大，越接近于1，两变量的线性相关程度越强，
|r|越小，越接近于0，两变量的线性相关程度越弱，C正确，D错误．
故选：AC
10.AD
【解析】用A1,A2分别表示抽到的技术部门员工､非技术部门员工，用B表示抽到的员工持有硕士学位，
依题意，PA1=40%,PA2=60%,PBA1=80%,PBA2=60%，
对于A，PA1B=PA1PBA1=32%=825， A正确；
对于B，PB=PA1PBA1+PA2PBA2=40%×80%+60%×60%=1725， B错误；
对于C，P(A1B)=P(A1B)P(B)=P(A1)P(BA1)P(B)=40%×80%68%=817， C错误；
对于D，P(A2B)=P(A2B)P(B)=P(A2)P(BA2)P(B)=60%×60%68%=917， D正确．
故选：AD
11.BC
【解析】对于A，由fx=13x3−12x2−2x+1，得f′x=x2−x−2，
由f′x=x2−x−2=0，得x=2或x=−1，所以x=2和x=−1是fx的“驻点”，
当x<−1或x>2时，f′(x)>0，当−1所以fx在(−∞,−1)和(2,+∞)，在(−1,2)上递减，
所以fx在“驻点”处没有取得最值，所以 A错误，
对于B，由gx=ax3+bx2+cx+da≠0，得g′x=3ax2+2bx+ca≠0，
由g′x=3ax2+2bx+ca≠0=0，方程不一定有根，所以gx不一定有“驻点”，
由g′′x=6ax+2ba≠0=0，得x=−b3a，所以gx一定有“拐点”，所以 B正确，
对于C，由y=fx−t=0，得fx=t，由选项 A可知fx在(−∞,−1)和(2,+∞)，在(−1,2)上递减，
所以fx的极大值为f−1=−13−12+2+1=136，极小值为f2=83−2−4+1=−73，
所以fx的大致图象如图，
由图可知当−73所以y=fx−t有3个零点，则−73对于D，若gx=x3，则gx在R上单调递增，
所以不存在实数m，nm故选：BC
12.−0.8或−45
【解析】依题意， x的平均数为1+2+3+44=2.5，
y的平均数为5.5+4+3.5+34=4，
所以此曲线必过点(2.5,4)，代入方程得4=2.5b+6，
解得b=−0.8．
故答案 ：−0.8．
13.5040
【解析】根据题意，选派的5人中，志愿者中至少有4名女生，可分为为两类：
当4女1男时，有C54C41=20种，当5女时，有C55=1种，共有20+1=21种选法，
再把选出的5人分成3组，可分为3,1,1或2,2,1的两组，有C53+C52C42A22=40种，
共有20+1×40×6=840×6=5040种不同的分配方法．
故答案为：5040．
14.31
【解析】根据题意，
x∈0,π2时，f(x)=csx，
x∈π2,+∞时，f(x)=f′x−π2=csx−π2′=−sinx−π2=csx，
所以f(x)=csx,x∈0,+∞，
画出函数f(x)和y=−lg95x的图象，
可知，x∈0,π2时，两函数图象有一个交点，
x∈π2,3π2,5π2,7π2,9π2,11π2,⋯4k+1π2,4k+3π2,k=0,1,2⋯时，
两函数图象各有两个交点，
且−lg95x≥−1，得0根据f(x)=csx的周期性，最后一个交点所在区间为4×14+1π2,4×14+3π2,
所以两函数图象交点个数为，1+2×15=31个，
则关于x的方程fx+lg95x=0根的个数为31．
故答案为：31．
15.(1)
由(x+2x2)n(n∈N∗)的展开式中所有的二项式系数之和为64，得2n=64，所以n=6．
(2)
由(1)知，(x+2x2)6展开式的通项公式为Tr+1=C6rx6−r(2x2)r=2rC6rx6−3r,r≤6,r∈N，
由6−3r=0，得r=2，T3=22C62，
所以展开式的常数项为22C62=60．
【解析】(1)利用二项式系数的性质，列式计算即得．
(2)求出展开式的通项公式，再由幂指数确定常数项即得解．
16.(1)
因为fx=lnx,gx=1−1x，所以f′x=1x,g′x=1x2．
设切点为x0,lnx0，则l:y=1x0x−x0+lnx0，
代入0,−1得，−1=1x00−x0+lnx0，解得x0=1，
所以l:y=x−1．
(2)
当x=1时，f′x=g′x=1；当0f′x>1；当x>1时，0所以，fx,gx在0,+∞上都是增函数．在区间0,1上，gx的图象比fx的图象要“陡峭”；
在区间1,+∞上，gx的图象比fx的图象要“平缓”．
所以，fx,gx的图象依次是图中的C2,C1．
如图，根据函数图象和第(1)题的切线方程l:y=x−1，可以写出以下几个不等式：
①lnx≥1−1x；②x−1≥lnx；③x−1≥1−1x(x>0)；
下面证明①lnx≥1−1x．
设ux=lnx−1−1x，则u′x=1x−1x2=x−1x2(x>0)
当0当x>1时，u′x=x−1x2>0，所以ux为增函数，
所以ux≥u1=0，即lnx≥1−1x，命题得证．
下面证明②x−1≥lnx；
ℎx=lnx−x+1，
ℎ′x=1x−1=1−xx,x>0，
当00，所以ℎx为增函数，
当x>1时，ℎ′x<0，所以ℎx为减函数，
所以ℎx≤ℎ1=0，即lnx≤x−1，命题得证．
下面证明③x−1≥1−1x(x>0)．
即证x2−2x+1≥0(x>0)，
而x2−2x+1=(x−1)2≥0恒成立，
所以x−1≥1−1x(x>0)得证．
【解析】(1)设切点，利用导数的几何意义写出切线方程，代入点0,−1求出参数即得；
(2)结合图象和(1)求得的切线方程，不难得到三个不等式，借助于构造函数的单调性即可依次得证．
17.(1)
根据统计表格数据可得列联表如下：
零假设为H0：性别与学习竹编情况独立，即性别因素与学习竹编无关，
根据列联表的数据计算得χ2=809×22−18×31227×53×40×40=24053≈4.528>2.706=x0.1，
根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H0不成立，
即该地区性别因素与学习竹编有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．
(2)
样本中“爱好者”共10名，其中6名男生，4名女生，
则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
PY=0=C60C43C103=130,PY=1=C61C42C103=930，
PY=2=C62C41C103=1530,PY=3=C63C40C103=20120=530，
所以所求分布列为：
数学期望EY=0×130+1×930+2×1530+3×530=1810=1.8．
【解析】(1)完善2×2列联表，再计算χ2的观测值，与临界值比对作答．
(2)求出Y的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望．
18.(1)
记“输入的数据集质量高”为事件A，“一次数据能被软件准确分析”为事件B，由题意可知：PA=0.1,PB∣A=0.8,PBA=0.3，则PA=1−PA=0.9，
所以PB=PBAPA+PB∣APA=0.75．
所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75．
(2)
由(1)可知：PB=0.75=34，
①依题意，X∼Bn,34，所以X的方差DX=3n16；
②可知PX=8=Cn83481−34n−8=Cn834814n−8，
令an=Cn834814n−8，则an+1an=Cn+1834814n−7Cn834814n−8=n+14n−7，
令n+14n−7>1，解得n≤9，可知当n≤9，可得an+1>an；
令n+14n−7<1，解得n≥10，可知当n≥10，可得an+1于是a1a11>a12>⋯
所以当n=10时，an最大，即n=10时，PX=8的值最大．
【解析】(1)根据题意结合全概率公式运算求解；
(2)由题意可知：X∼Bn,34，①直接由二项分别的方差公式求解；
②PX=8=Cn83481−34n−8=Cn834814n−8，结合数列单调性分析求解．
19.(1)
由题知f′x=ex+ax−1，即gx=ex+ax−1，则g′x=ex+a，为增函数，
当a≥0时，g′x>0,gx在−∞,+∞为增函数，
当a<0时，函数g′x=ex+a的零点x=ln−a，
在区间−∞,ln−a上，g′x=ex+a<0，则gx为减函数，
在区间ln−a,+∞上，g′x=ex+a>0，则gx为增函数．
(2)
f′0=e0+a×0−1=0，
当a≥0时，f′x=ex+ax−1在区间0,+∞为增函数，
所以f′x>f′0=0,fx为区间0,+∞上的增函数，不符合题意．
当a<0时，f′x=ex+ax−1在区间−∞,ln−a为减函数，在区间ln−a,+∞为增函数，
所以f′(x)min=f′ln−a=−a+aln−a−1=aln−a−1a−1，
当a=−1时，f′(x)min=0，此时f′x≥0,fx增函数，无极值点，不合题意，舍去．
当a≠−1时，
令ux=ln−x−1x−1(x<0),u′x=1x+1x2=x+1x2，
当x<−1时，u′x<0,ux为减函数，
当x>−1时，u′x>0,ux为增函数，
所以ux>u−1=0，故f′(x)min=f′ln−a<0，
若−1由ln−a<0且f′x在区间ln−a,+∞为增函数，则f′x在0,+∞为增函数，
所以f′x>f′0=0，故f′x在0,+∞无零点，即fx无正数极值点．
若a<−1，
由x→+∞得f′x→+∞，又ln−a>0且f′(x)min=f′ln−a<0，
所以存在x0>0，使得f′x=0，
当0x0,f′x>0,fx为增函数，
所以x0是极小值点，即fx存在正数极值点x0．
综上所述，a的取值范围是−∞,−1．
②由(1)知，f′x0=ex0+ax0−1=0，则a=1−ex0x0，其中x0>0，
fx0−3−x02=ex0+12ax 02−x0+x0−32=ex0+12x 021−ex0x0−x0+32=1−12x0ex0−32，
令ℎx=1−x2ex−32(x>0),ℎ′x=1−xex2，
于是00,ℎx单调递增，x>1时，ℎ′x<0,ℎx单调递减，
故ℎx在x=1处取得最大值，故ℎx≤ℎ1=e−32<0，所以ℎx0<0，
所以，fx0<3−x02．
【解析】(1)先求导函数，在对a分类讨论，即可求解．
(2)根据gx的单调性，分类讨论，即可求解，②构造函数ℎx=1−x2ex−32(x>0)，根据单调性，即可证明．编号
1
2
3
4
5
6
x/cm
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
F/N
3.08
3.76
4.31
5.02
5.51
6.25
x
1
4
9
16
y
5.5
4
3.5
3
学习竹编次数
0
1
2
3
4
5
6
合计
男
1
3
5
7
9
9
6
40
女
5
6
7
7
6
5
4
40
合计
6
9
12
14
15
14
10
80
性别
学习竹编
合计
后起之秀
先锋
男生
女生
合计
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
性别
学习竹编
合计
后起之秀
先锋
男生
9
31
40
女生
18
22
40
合计
27
53
80
Y
0
1
2
3
P
130
930
1530
530