2023-2024学年黑龙江省绥化市绥化一中高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年黑龙江省绥化市绥化一中高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=2−i，则zz−z=( )
A. −12+iB. 12−iC. 12+iD. −12−i
2.某学校有小学生270人，初中生x人，高中生810人．为了调查学校学生的近视率，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本，且从初中生中抽取的人数为120人，则x为( )
A. 270B. 360C. 450D. 540
3.已知cs 2α+5sin α=3，则sin α=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
4.已知三条不重合的直线a，b，c和平面α，下列命题中是真命题的为( )
A. 若直线a，b和平面α所成的角相等，则a // b
B. 若a⊥c，b⊥c，则a // b
C. 若a⊥α，a⊥b，则b // α
D. 若a⊥α，b⊥α，则a // b
5.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7
则下列结论正确的是( )
A. 甲成绩的平均数较小B. 乙成绩的中位数较小
C. 乙成绩的极差较大D. 乙比甲的成绩稳定
6.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=30°，a=8，b=8 3，则△ABC的面积为( )
A. 32 3B. 16 3C. 32 3或16 3D. 12 3
7.在三棱锥D−ABC中，AD=2，BC=2 3，E，F分别是AB，CD的中点，EF= 6，则直线AD与BC所成的角的余弦值为( )
A. 33B. − 33C. 36D. − 36
8.已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AC|=1，点D是线段BC上一动点，则DA⋅DB的最小值是( )
A. −14B. −116C. −916D. −38
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z满足iz=1−i，下列说法正确的是( )
A. z的虚部为−iB. z=−1+iC. |z|= 2D. z⋅z=z2
10.关于函数f(x)=2sin2x−π3+1，下列结论正确的是( )
A. π6,0是f(x)的一个对称中心
B. 函数f(x)在0,π6上单调递增
C. 函数f(x)图像可由函数g(x)=2cs 2x+1的图像向右平移5π12个单位得到
D. 若方程2f(x)−m=0在区间π12,π2上有两个不相等的实根，则m∈[2 3+2,6]
11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中．F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，则下列四个结论正确的是( )
A. 不存在点E，使EF //平面ABCD
B. 三棱锥B1−ACE的体积不随动点E变化而变化
C. 直线EF与AD1所成的角可能等于30°
D. 不存在点E，使EF⊥平面AB1C1D
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知p：向量a=(−1,1)与b=(m,2)的夹角为锐角．则实数m的取值范围为________．
13.在对某中学高一年级学生身高(单位：cm)调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的平均数为 ，方差为 ．
14.已知三棱锥P−ABC四个顶点在球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为 2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则此球的半径是________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(12分)已知平面向量a=2sinx, 3csπ2−x，b=sinπ2+x,2sinx，且函数f(x)=a⋅b− 3．
(1)求fπ3的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期；
(3)求函数y=f(x)在0,π2上的最大值，并求出取得最大值时x的值．
16.(12分)某电力公司需要了解用户的用电情况(单位：度).现随机抽取了该片区100户进行调查，将数据分成6组：(0,100]，(100,200]，(200,300]，(300,400]，(400,500]，(500,600]，并整理得到如下频率分布直方图(用户的用电量均不超过600度)．
(1)求a；
(2)若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替，估算该片区住户平均用电量；
(3)每户用电量不超过m度的电费是0.5元/度，超出m度的部分按1元/度收取，若该公司为了保证至少80%的住户电费都不超过0.5元/度，则m至少应为多少(m为整数)？
17.(12分)在三棱锥P−ABC中，PA=PC=BA=BC，AC=PB．
(1)求证：AC⊥PB；
(2)若PA=3，PB=2，求点P到平面ABC的距离．
18.(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin2A=asinB.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c= 2a，△ABC的面积为 3，求△ABC的周长．
19.(12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，且∠DAB=60°，AC交BD于点O，PB=PD=3，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点．
(1)求证：MN//平面PCD；
(2)记二面角B−PC−D的平面角为θ，若csθ=−17．
①求PA与底面ABCD所成角的大小；
②求点N到平面CDP的距离．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.D
5.D
6.C
7.A
8.C
9.BC
10.BC
11.ABC
12.(−∞,−2)∪(−2,2)
13.168；46.8
14. 32
15.解：(1)因为a=(2sinx, 3sinx)，b=(csx,2sinx)，
所以f(x)=a⋅b− 3
=2sinx⋅csx+ 3sinx⋅2sinx− 3
=sin2x− 3(1−2sin2x)
=sin2x− 3cs2x
=2sin(2x−π3)，
f(π3)=2sinπ3= 3；
(2)由f(x)=2sin(2x−π3)，
故函数y=f(x)的最小正周期为π．
(3)解：当0≤x≤π2时，−π3≤2x−π3≤2π3，
当2x−π3=π2，即x=5π12时，函数y=sin(2x−π3)取最大值1，
此时f(x)max=2．
16.解：(1)由频率分布直方图中各组概率之和为1得，
100×(0.0013+0.0032+0.0034+0.0016+a+0.0002)=1，解得a=0.0003．
(2)根据频率分布直方图中平均值计算公式得平均值为50×0.13+150×0.32+250×0.34+350×0.16+450×0.03+550×0.02=220．
(3)由题意，第一组的频率为0.13，
第二组频率为0.32，
第三组频率为0.34，
所以m在第四组(300,400]之间，m为第80百分位数，
即0.13+0.32+0.34+(m−300)×0.0016=0.8，解得m=306.25，
故m至少应为307．
17.(1)证明：取AC的中点D，连接PD，BD，如图所示．
在ΔPAC中，PA=PC，D是AC的中点，所以PD⊥AC，在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC，
又PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，又PB⊂平面PBD，所以AC⊥PB;
(2)在ΔPAC中，PA=PC=3，AC=2，D是AC的中点，所以PD=2 2．
在△ABC中，BA=BC=3，AC=2，D是AC的中点，所以BD=2 2，S△ABC=12×2×2 2=2 2．
在△PBD中，PD=2 2，BD=2 2，PB=2，所以SΔPDB=12×2× 8−1= 7，
由(1)知，AC⊥平面PBD，所以VP−ABC=VA−PBD+VC−PBD=13AD⋅SΔPBD+13CD⋅SΔPBD=13AC⋅SΔPBD=2 73，
设点P到平面ABC的距离为ℎ，VP−ABC=13SΔABC⋅ℎ=2 23ℎ=2 73，解得ℎ= 142，
即点P到平面ABC的距离为 142．
18.解：因为bsin2A=asinB，
由正弦定理可得：sinB⋅sin2A=sinA⋅sinB，
即sinB⋅2sinAcsA=sinA⋅sinB，
又因为sinA>0，sinB>0，所以csA=12，
∵A∈(0,π)，
∴A=π3;
(2)由题意S△ABC=12bcsinA= 3，
由(1)知A=π3，∴bc=4．
又a2=b2+c2−2bccsA
所以a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc．
又因为b+c= 2a，a2=(b+c)2−3bc=2a2−12，
即a=2 3．
又因为b+c= 2a=2 6，
所以△ABC的周长为2 3+2 6．
19.(1)证明：取PB的中点E，连接ME，NE，
因为M，N分别为PA，BC的中点，
所以ME//AB//CD，NE/​/PC，
又ME∩NE=E，ME、NE⊂平面MNE，CD∩PC=C，CD、PC⊂平面PCD，
所以平面MNE/​/平面PCD，
因为MN⊂平面MNE，
所以MN/​/平面PCD．
(2)解：取PC的中点F，连接BF，DF，OP，
因为PB=PD=3，BC=CD=3，PC=PC，
所以△PBC≌△PDC，且BF⊥PC，DF⊥PC，
所以∠BFD就是二面角B−PC−D的平面角，即cs∠BFD=csθ=−17，
在△BDF中，BF=DF，BD=3，
由余弦定理知，cs∠BFD=BF2+DF2−BD22BF⋅DF，
所以−17=2BF2−92BF2，解得BF=3 74，
所以PC=2PF=2 PB2−BF2=92，
①作PG⊥AC于点G，
因为PB=PD，O是BD的中点，所以OP⊥BD，
因为菱形ABCD，所以AC⊥BD，
又OP∩AC=O，OP、AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，
因为PG⊂平面PAC，所以BD⊥PG，
又AC∩BD=O，AC、BD⊂平面ABCD，所以PG⊥平面ABCD，
所以∠PAC即为PA与底面ABCD所成角，
因为PA⊥PC，
所以sin∠PAC=PCAC=923 3= 32，
因为0°≤∠PAC≤90°，所以∠PAC=60°，
故PA与底面ABCD所成角的大小为60°．
②由①知，S△PCD=12PC⋅DF=12×92×3 74=27 716，
S△NCD=12CN⋅CDsin60°=12×32×3× 32=9 38，
因为PG⊥平面ABCD，
所以点P到平面NCD的距离为PG=PCsin∠PCA=92sin30°=94，
设点N到平面CDP的距离为d，
因为VN−PCD=VP−NCD，
所以13d⋅S△PCD=13PG⋅S△NCD，即13d⋅27 716=13⋅94⋅9 38，
解得d=3 2114，
故点N到平面CDP的距离为3 2114．