2023-2024学年辽宁省辽阳市高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年辽宁省辽阳市高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数z=2+2i1−i的虚部为( )
A. 1B. 2C. iD. 2i
2.在▵ABC中，AB=6,sinB= 33,C=120∘，则AC=( )
A. 8B. 12C. 16D. 4
3.已知直线l，m及平面α，β，且α⊥β，a∩β=l，下列命题正确的是( )
A. 若m⊥l，则m⊥αB. 若m⊥α，则m⊥l
C. 若m//α，则m/​/lD. 若m//l，则m//α
4.已知单位向量a，b满足a+3b⋅a−2b=−92，则a与b的夹角为( )
A. 0B. π2C. π3D. π6
5.已知函数fx=sinωx+φω>0,φ<π2的部分图象如图所示，则f2π=( )
A. 12
B. 32
−12
D. − 32
6.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=3，AD=4，则该四棱锥外接球的表面积为( )
A. 34π
B. 2 34π
C. 34π
D. 136π
7.已知sinα−π5+csα−π5=2 2csπ20sinα，则sinα−π20=( )
A. 0B. 12C. 22D. 1
8.已知四边形ABCD的顶点都在半径为2的圆O上，且AD经过圆O的圆心，BC=2,CDA. 2B. 3C. 2 2D. 2 3
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数fx=sin2x+π4+1，则( )
A. fx的最小正周期为πB. fx的图象关于直线x=5π8对称
C. fx的图象关于点−π8,1中心对称D. fx的最大值为1
10.已知平面向量a=m,m+2,m∈R,b=3,4，则下列结论正确的是( )
A. a的最小值为 2
B. 若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是−87,+∞
C. 一定存在一个实数m，使得a+b=a−b
D. 若m=1，则b在a上的投影向量的坐标为32,92
11.有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1.也可由正方体切割而成，如图2.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若AB=2，则( )
A. 该几何体的表面积为12 3B. 该几何体的体积为4
C. 直线HM与直线GN所成的角为π3D. 二面角B−EF−H的余弦值为13
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=−i1+i，则z= ．
13.如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1的侧棱长均相等，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都是正方形，A1B1=2,AB=4,AA1=3 2，则该四棱台的体积为 ．
14.若函数fx=cs2x−msinx在π6,π上有2个零点，则m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量a=1,2，b=2,x．
(1)若a⊥a−b，求b；
(2)若向量c=−3,−2，a//b+c，求a与b夹角的余弦值．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥D−ABCE中，平面ADE⊥平面ABCE，AB//CE，AB=2CE，DA=DE，G为AE的中点，点P在线段BD上，CP//平面ADE．
(1)证明：DG⊥AB；
(2)求BPDP的值．
17.(本小题12分)
已知函数fx=sinωx+π6+12(0<ω<7)，且∀x0∈R,fx0≤fπ3．
(1)求ω的 值；
(2)求fx的单调递增区间；
(3)若x∈0,m,fx的值域是1,32，求m的取值范围．
18.(本小题12分)
如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，平面CDD1C1⊥平面A1B1C1D1，AB//CD，AD⊥CD，AB=B1C=3，AA1=2AD=2CD=2．
(1)证明：AA1⊥平面ABCD；
(2)求直线AB与平面AB1C所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上(点M与点P,Q任一点均不重合)，我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记P,Q;M=APsin∠PAMAQsin∠MAQ；若点M在线段PQ外，记P,Q;M=−APsin∠PAMAQsin∠MAQ.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，点D在射线BC上.
(1)若AD是角A的 平分线，且b=3c，由A点对BC施以视角运算，求B,C;D的值；
(2)若A=60∘,a=4,AB⊥AD，由A点对BC施以视角运算，B,C;D=2−2 3，求▵ABC的周长；
(3)若A=120∘，AD=4，由A点对BC施以视角运算，B,C;D=cb，求b+4c的最小值．
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.C
5.D
6.C
7.A
8.C
9.ABC
10.ACD
11.ABC
12. 2
13.1123
14.−1,1
15.解：(1)因为a=1,2，b=2,x，所以a−b=−1,2−x．
由a⊥a−b，可得a⋅a−b=0，
即−1×1+22−x=0，解得x=32，
所以b=2,32，故b=52．
(2)依题意得b+c=−1,x−2．
因为a//b+c，所以x−2+2=0
解得x=0，则b=2,0．
a⋅b=2，a= 5，b=2，
所以csa,b=a⋅bab= 55，
所以a与b夹角的余弦值为 55．
16.解：(1)因为DA=DE，G为AE的中点，
所以DG⊥AE．
因为平面ADE⊥平面ABCE，
平面ADE∩平面ABCE=AE，DG⊂平面ADE，
所以DG⊥平面ABCE．
因为AB⊂平面ABCE，
所以DG⊥AB．
(2)设F为AB的中点，连接CF，PF，如图所示，
因为AB//CE，CE=12AB=AF，
所以四边形AFCE是平行四边形，
所以CF//AE．
因为CF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，
所以CF//平面ADE．
因为CP//平面ADE，CF∩CP=C,CF,CP⊂平面PFC，
所以平面PFC//平面ADE．
因为PF⊂平面PFC，
所以PF//平面ADE．
因为平面ABD∩平面ADE=AD，PF⊂平面ABD，
所以PF//AD，
所以BPDP=BFAF=1．
17.解：(1)因为fx=sinωx+π6+12,∀x0∈R,fx0≤fπ3，所以fxmax=fπ3=1+12，
可得fπ3=sinωπ3+π6+12=1+12,sinωπ3+π6=1,ωπ3+π6=π2+2kπ，
所以ω=1+6k,k∈Z,0<ω<7，
所以ω=1．
(2)x+π6∈−π2+2kπ,π2+2kπk∈Z,x∈−2π3+2kπ,π3+2kπk∈Z,
fx=sinx+π6+12的单调增区间为−2π3+2kπ,π3+2kπk∈Z．
(3)因为x∈0,m,x+π6∈π6,π6+m，
又因为fx=sinx+π6+12∈1,32,sinx+π6∈12,1,，
所以π2≤π6+m≤5π6,即π3≤m≤2π3．
18.解：(1)如图：在线段AC上取一点M，使得AM=1，连接CM，
因为AM=AD=CD=1，AM//CD，AD⊥CD，所以四边AMCD为正方形，
所以CM//AD，CM⊥AD，CM=1，BC= BM2+CM2= 5，
又因为BB1=AA1=2，B1C=3，所以B1C2=BC2+BB12，所以CB⊥BB1，
又因为BC//B1C1，AA1//BB1，所以AA1⊥B1C1，
因为AD⊥CD，AD//A1D1，CD//C1D1，所以A1D1⊥C1D1，
又因为平面CDD1C1⊥平面A1B1C1D1，平面CDD1C1∩平面A1B1C1D1=C1D1，A1D1⊂平面A1B1C1D1，
所以A1D1⊥平面CDD1C1，
因为DD1⊂平面CDD1C1，所以A1D1⊥DD1，
又因为AA1//DD1，所以AA1⊥A1D1，
由于A1B1//AD//CD//C1D1且AA1=AB≠C1D1，A1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1且必相交与一点，
所以AA1⊥平面A1B1C1D1．
(2)由(1)可知AA1⊥A1D1，CM//AD//A1D1，所以AA1⊥CM，
又因为CM⊥ABAA1,AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB=A，所以CM⊥平面ABB1A1，
设点B到平面AB1C的距离为d，AB与平面AB1C的夹角为θ，
在▵AB1C中，AC= 2AD= 2，B1C=3，AB1= AB2+BB12= 13，
cs∠CAB1=AC2+AB12−B1C22AC⋅AB1=2+13−92 2× 13=3 26，sin∠CAB1= 1−926= 44226，
所以S▵AB1C=12AB1⋅AC⋅sin∠CAB1=12× 13× 2× 44226= 172，
而S▵AB1B=12AB⋅BB1=12×3×2=3，
由VB−AB1C=VC−AB1B可得：13d⋅S▵AB1C=13CM⋅S▵AB1B⇒d=CM⋅S▵AB1BS▵AB1C=1×3 172=6 1717，
所以sinθ=dAB=617 173=2 1717，所以AB与平面AB1C夹角的正弦值为2 1717．
19.解：(1)因为AD是角A的平分线，所以∠BAD=∠DAC且D在线段BC上，
所以B,C;D=ABsin∠BADACsin∠DAC=cb，
又b=3c，所以B,C;D=cb=13；
(2)因为点D在射线BC上，∠BAC=60∘，且AB⊥AD，所以D在线段BC外，且∠DAC=30∘，
所以B,C;D=−ABsin∠BADACsin∠DAC=−csin90∘bsin30∘=−2cb=2−2 3，
所以b= 3+12c，
在▵ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA，
即4+2 34c2+c2− 3+12c2=32c2=16，解得c=4 63(负值已舍去)，
所以b=6 2+2 63，
所以▵ABC的周长为C▵ABC=a+b+c=4+2 2+2 6．
【小问3详解】
因为B,C;D=cb>0，所以ABsin∠BADACsin∠DAC=cb，则∠BAD=∠DAC，
因为A=120∘，所以∠BAD=∠DAC=60∘，
又S▵ABC=S▵ABD+S▵ADC，所以12bcsin120∘=12b⋅ADsin60∘+12c⋅ADsin60∘，
又AD=4，所以bc=4b+c，所以4b+4c=1，
所以b+4c=b+4c4b+4c=16cb+4bc+20≥2 16cb⋅4bc+20=36，
当且仅当16cb=4bc，即b=12，c=6时等号成立，
所以b+4c的最小值为36．