2023-2024学年宁夏银川市第二中学高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年宁夏银川市第二中学高一下学期期末考试数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知z=−1−i，则|z|=( )．
A. 0B. 1C. 2D. 2
2.已知向量a=(2,1)，b=(−2,4)，则|a−b|=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.若m,n为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若m//α，n⊂α，则m//nB. 若m//α,n//α，则m//n
C. 若m//α,n⊥α，则m⊥nD. 若m//α,n⊥α，则m与n相交
4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理下表：
据表中数据，结论中正确的是( )
A. 100块稻田亩产量中位数小于1050 kg
B. 100块稻田中的亩产量低于1100 kg的稻田所占比例超过80%
C. 100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D. 100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1000 kg之间
5.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中O′A′=5,O′C′= 2，则原图形的面积为( )
A. 20B. 10C. 5 2D. 52
6.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为( )
A. 56B. 23C. 12D. 13
7.在▵ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，则∠C=( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
8.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a⇀=(m,n)与向量b⇀=(1,−1)的夹角为θ，则θ∈0,π2的概率是( )
A. 512B. 12C. 712D. 56
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是( )
A. B.
C. D.
10.已知数据x1,x2,…,x10的平均数为x，方差为s2.由这组数据得到新数据y1,y2,…,y10，其中yi=3xi+2i=1,2,…,10，则( )
A. 新数据的平均数是3x+2B. 新数据的方差是9s2+4
C. 新数据的平均数是3xD. 新数据的标准差是3s
11.在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件A“3件产品都是次品”，事件B“至少有1件是次品”，事件C“至少有1件是正品”，则下列结论正确的是( )
A. A与C为对立事件B. B与C不是互斥事件
C. A∩B=AD. PB+PC=1
12.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120∘,PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45∘，则( )
A. 该圆锥的体积为πB. 该圆锥的侧面积为4 3π
C. AC=2 2D. ΔPAC的面积为 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知某学校共有高中生2100名，为了解学生的视力情况，按男生､女生比例用分层随机抽样的方法从该校高中生中抽取一个容量为45的样本，其中男生有15人，根据样本可以估计该校高中生中女生的人数为 ．
14.甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为 ．
15.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1=2，则该棱台的体积为
16.设e1，e2为单位向量，满足2e1−e2≤2，a=e1+e2，b=2e1+e2，设a，b的夹角为θ，则cs2θ的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将10只小鼠均分为两组：对照组(不加药物)和实验组(加药物).测得10只小鼠体重(单位：g)如下：
对照组：20.1 20.1 20.5 20.3 20.5
实验组：20.0 19.9 19.8 20.1 20.2
对照组和实验组的小鼠体重的样本平均数分别记为x和，样本方差分别记为s12和s22．
(1)求x，y，s12，s22；
(2)判断该药物对小鼠的生长是否有显著的抑制作用(若x−y≥2 s12+s22，则认为该药物对小鼠的生长有显著的抑制作用，否则不认为有显著的抑制作用)．
18.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(a, 3b)，n=(csA,sinB)，且m//n．
(1)求角A；
(2)若a= 7，b=2，求△ABC的面积．
19.(本小题12分)
如图为正四棱锥P−ABCD,O为底面ABCD的中心．
(1)若AP=5,AD=3 2，求▵POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若AP=AD,E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．
20.(本小题12分)
2024年中国全名健身走(跑)大赛(四川射洪站)城市联动接力赛在射洪市举行，志愿者的服务工作是城市联动接力赛成功举办的重要保障，射洪市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组45,55，第二组55,65，第三组65,75，第四组75,85，第五组85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
(1)求a，b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
21.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB= 3．
(1)若AD⊥PB，证明：AD/​/平面PBC;
(2)若AD⊥DC，且二面角A−CP−D的正弦值为 427，求AD．
22.(本小题12分)
甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为12，乙、丙比赛乙胜概率为13，丙、甲比赛丙胜概率为23，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局．
(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；
(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率．
答案解析
1.C
【解析】解： |z|= −12+−12= 2 ．
2.D
【解析】解：∵a=(2,1)，b=(−2,4)，∴a−b=(4,−3)．
a−b=(4,−3)= 42+(−3)2=5．
3.C
【解析】解：对于A，若m//α，n⊂α，则m,n平行或异面，故 A错误．
对于B，若m//α,n//α，则m,n平行或异面或相交，故 B错误．
对于C，m//α,n⊥α，过m作平面β，使得β∩α=s，
因为m⊂β，故m//s，而s⊂α，故n⊥s，故m⊥n，故 C正确．
对于D，若m//α,n⊥α，则m与n相交或异面，故 D错误．
故选：C．
4.C
【解析】解：对于A：
6+12+18<50，6+12+18+30>50，
所以中位数位于区间[1050,1100)内，中位数不小于1050，A错误；
对于B：100块稻田中的亩产量低于1100 kg的稻田所占比例为(100−24−10)÷100=66%<80%，B错误；
对于C：设100块稻田亩产量的极差为a，则1150−950对于D：设100块稻田亩产量的极差为x，则
x≥1100(900×6+950×12+1000×18+1050×30+1100×24+1150×10)=1042>1000，D错误．
5.A
【解析】依题意，矩形O′A′B′C′的面积为S′=5 2，
而水平放置的平面图形的直观图面积是原图形面积的12 2，
所以原图形面积为2 2S′=20．
故选：A
6.A
【解析】解：设六个主题作文分别编号为a，b，c，d，e，f，
甲乙两位同学抽主题的情况有
(a,a)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，
(b,a),(b,b)，(b,c),⋯⋯,(f,a)，
(f,b)，(f,c)，(f,d)，(f,e)，(f,f)，
共有36种，
而甲乙主题不同的共有30种，
所以所求概率P=3036=56．
故选A.
7.B
【解析】解：因为(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，
所以由正弦定理得(a+c)(a−c)=b(a−b)，即a2−c2=ab−b2，
则a2+b2−c2=ab，故csC=a2+b2−c22ab=ab2ab=12，
又0故选：B．
8.C
【解析】∵θ∈0,π2,∴a⋅b=m−n≥0，即m≥n，
事件“θ∈0,π2”所包含的基本事件有：1,1、2,1、2,2、3,1、3,2、3,3、4,1、4,2、4,3、4,4、5,1、5,2、5,3、5,4、5,5、6,1、6,2、6,3、6,4、6,5、6,6，共21个，
所有的基本事件数为62=36，因此，事件“θ∈0,π2”的概率为2136=712．
故选：C．
9.BCD
【解析】解：对于A，如图，
O为底面对角线的交点，可得AB//OQ，
又OQ∩平面MNQ=Q，所以直线AB与平面MNQ不平行，错误；
对于B，由于AB//MQ，AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB//平面MNQ，正确；
对于C，由于AB//MQ，AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB//平面MNQ，正确；
对于D，由于AB//NQ，AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，所以AB//平面MNQ，正确；
故答案为：BCD．
10.AD
【解析】由题意得yi=3xi+2i=1,2,…,10，
由平均数与方差公式得y1,y2,…,y10的平均数是3x+2，
方差是9s2，标准差是3s，故 AD正确，BC错误
故选：AD
11.ABC
【解析】从中任意抽出3件产品，共有4种情况：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品．
事件B的可能情况有：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，
事件C的可能情况有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品．
A与C为对立事件，故 A正确；
B∩C={2件次品1件正品，1件次品2件正品}，则B与C不是互斥事件，故 B正确；
∵A⊆B，∴A∩B=A，故 C正确；
由上知PB+PC>1，故 D错误．
故选：ABC
12.AC
【解析】解：对于A：在ΔPAB中，PA=PB=2,∠APB=120∘，则PO=1，AB=2 3，
故圆锥的体积V=13⋅PO⋅π⋅OA2=13⋅1⋅π⋅3=π，故 A正确；
对于B：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为2，弧长为2 3π，
故圆锥的侧面积为S=12⋅2⋅2 3π=2 3π，故 B错误；
对于C：取AC中点D，连接PD,OD，则PD⊥AC,OD⊥AC，
则∠PDO为二面角P−AC−O的平面角，即∠PDO=45∘，
在RtΔPDO中，PO=1，故DO=1,PD= 2，
在RtΔODA中，AD= OA2−OD2= 3−1= 2，故AC=2 2，故 C正确；
对于D：SΔPAC=12⋅PD⋅AC=12⋅ 2⋅2 2=2，故 D错误
故选AC．
13.1400
【解析】根据题意，样本中女生有45−15=30人，
所以30x=452100，解得x=1400，
故估计该校高中生中女生的人数为1400．
故答案为：1400
14.12或0.5
【解析】依题意，取出的球是白球的事件A是取甲箱并取白球的事件A1与取乙箱并取白球的事件A2的和，
显然事件A1与A2互斥，P(A1)=12×26=16，P(A2)=12×46=13，
所以P(A)=P(A1)+P(A2)=12．
故答案为：12
15.766
【解析】解：如图，
将正四棱台ABCD−A1B1C1D1补成正四棱锥，则AO=2，
SA=22，OO1=62，故V=13(S1+S2+S1S2)ℎ，
V=13×(22+12+22×12)×62=766．
16.1516
【解析】解：e1，e2为单位向量，则|e1|=|e2|=1，即e12=e22=1，
|2e1−e2|= (2e1−e2)2= 5−4e1⋅e2⩽2，得e1⋅e2⩾14，
令t=e1⋅e2，∴t≥14.
a⋅b=(e1+e2)⋅(2e1+e2)=3+3e1⋅e2=3+3t，
|a|= (e1+e2)2= 2+2e1⋅e2= 2+2t，
|b|= (2e1+e2)2= 5+4e1⋅e2= 5+4t ，
∴cs θ=a⋅b|a||b|=3+3t 2+2t× 5+4t，
∴cs2θ=91+t22+2t5+4t=91+t25+4t=98−94×110+8t，
由t≥14，则10+8t≥12，即0<110+8t≤112，得0>−94×110+8t≥−316，
∴98−94×110+8t≥98−316=1516，即cs2θ≥1516．
故答案为：1516．
17.解：(1)
x=20.1+20.1+20.5+20.3+20.55=20.3g，
s12=20.1−20.32+20.1−20.32+20.5−20.32+20.3−20.32+20.5−20.325=0.165=0.032，
y=20.0+19.9+19.8+20.1+20.25=20.0g，
s22=20.0−20.02+19.9−20.02+19.8−20.02+20.1−20.02+20.2−20.025=0.15=0.02．
(2)
x−y=0.3,x−y2=0.09,2 s12+s22=2 0.032+0.02=2 0.052，
2 0.0522=4×0.052=0.208，
所以x−y<2 s12+s22，所以没有显著的抑制作用．
【解析】(1)根据平均数和方差等知识求得正确答案．
(2)由“x−y≥2 s12+s22”，结合(1)的结论进行判断．
18.解：(1)因为m/​/n，所以asinB− 3bcsA=0．
由正弦定理，得sinAsinB− 3sinBcsA=0，
因为sin B≠0，所以tanA= 3．
又A为△ABC的内角，
所以A=π3．
(2)由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccs A，即7=4+c2−2c，
解得c=3或−1(舍去)，
所以△ABC的面积S=12bcsinA=3 32．
【解析】(1)根据平行向量的运用法则建立关系，利用正弦定理即可求角A的大小．
(2)由余弦定理，得c，故由面积公式可得△ABC的面积．
19.解：(1)由题意可知PO⊥平面ABCD，由AO⊂平面ABCD，则PO⊥AO，
又正四棱锥底面ABCD是正方形，由AD=3 2可得，AO=3，
故PO= PA2−AO2= 52−32=4，
根据圆锥的定义，可知▵POA绕PO旋转一周形成的几何体是以PO为轴，AO为底面半径的圆锥，
即圆锥的高为PO=4，底面半径为AO=3，
根据圆锥的体积公式可知圆锥的体积为13×π×32×4=12π．
(2)连接EA,EO,EC，如图所示，
由AP=AD，并结合正四棱锥的性质可知，正四棱锥的每个侧面都是等边三角形，
由E是PB中点，则AE⊥PB，CE⊥PB，又AE∩CE=E，AE,CE⊂平面ACE，
故PB⊥平面ACE，即BE⊥平面ACE，
又BD∩平面ACE=O，于是直线BD与平面AEC所成角的大小即为∠BOE，
不妨设AP=AD=6，则BO=3 2，BE=3，所以sin∠BOE=BEBO=33 2= 22，
又直线与平面夹角的范围是0,π2，故∠BOE=π4，
所以直线BD与平面AEC所成角的大小为π4．
【解析】(1)由题意可知PO⊥平面ABCD，则PO⊥AO，可知▵POA绕PO旋转一周形成的几何体是以PO为轴，AO为底面半径的圆锥，先算出AO和PO的大小，再根据圆锥的体积公式即可得到答案；
(2)连接EA,EO,EC，可先证BE⊥平面ACE，于是直线BD与平面AEC所成角的大小即为∠BOE，然后结合sin∠BOE=BEBO即可得到答案．
20.解：(1)
10a+10b=+0.020+a=0.7，解得a=0.005b=0.025
(2)
可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5，
因为0.05+0.25=0.30>0.25，
设第25百分位数为x，则x∈55,65，则0.05+x−55×0.025=0.25，
解得x=63，故第25百分位数为63．
(3)
设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为x1,x2,s12,s22，且两组频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数x=5×62+4×809=70，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差
s2=59s12+x1−x2+49s22+x2−x2=5940+(62−70)2+4970+(80−70)2=4003．
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是4003．
【解析】(1)根据频率分布直方图分别表示出各组的频率，由第一、二组的频率之和为0.3及总的频率之和为1列方程组解出a，b的值；
(2)分别写出每一组的频率，由平均数计算公式得到平均数，根据频率和得到第25百分位数所在的组，由概率和为0.25解出第25百分位数的值；
(3)由第二组、第四组的频率之比得到分层抽样后两组人数所占比例，再结合两组各自的平均数和方差，由公式x=59x1+49x2、s2=59s12+x1−x2+49s22+x2−x2分别求出两组所有面试者的方差．
21.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，
又因为AD⊥PB，PA∩PB=P，PA,PB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，
又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB，
因为AB= 3，BC=1，AC=2，AB2+BC2=AC2，所以BC⊥AB，
于是AD/​/BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC．
所以AD/​/平面PBC．
(2)因为AD⊥DC，以D为原点，分别以DA，DC，为x，y轴，过点D作PA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
设AD=a>0，则DC= 4−a2，D(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0, 4−a2,0)，P(a,0,2)，
设平面DCP的一个法向量n1=(x1,y1,z1)，因为DC=0, 4−a2,0，DP=a,0,2，
所以由DC·n1=0DP·n1=0，即 4−a2⋅y1=0ax1+2z1=0，
可取n1=(2,0,−a)；
又AP=(0,0,2)，AC=(−a, 4−a2,0)，
设平面ACP的一个法向量n2=(x2,y2,z2)，所以AP·n2=0AC·n2=0由2z2=0−ax2+ 4−a2y2=0,
取n2=( 4−a2,a,0)，
因为二面角A−CP−D的正弦值为 427，所以余弦值的绝对值为1 7．
所以由csn1,n2=1 7=n1⋅n2|n1|·n2=2 4−a22 4+a2，得a2=3，a= 3，
因此，AD= 3．
【解析】(1)首先证明AD⊥平面PAB，可得AD⊥AB，进而证明AD/​/BC，再根据线面平行的判定定理即可完成证明;
(2)在已知条件下，可以D为原点，分别以DA，DC，为x，y轴，过点D作PA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题．
22.解：(1)
由题可知，甲、乙、丙各旁观1局只需讨论前两局的胜负情况，可分为：
甲胜乙、丙胜甲；乙胜甲，丙胜乙．
设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立，
设比赛完3局时，甲、乙、丙各旁观1局为事件M，则M=AC∪AB，
则PM=PAC+PAB=PAPC+PAPB=12×23+12×23=23，
所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为23．
(2)
设甲、乙、丙第i局比赛获胜分别为事件Ai，Bi，Ci，i=1,2,3,4,5，
设比赛完5局甲获得最终胜利为事件D，则
D=B1B2A3A4A5+B1C2A3A4A5+A1A2B3B4A5+A1A2B3C4A5+A1C2C3A4A5+A1C2B3A4A5,PB1B2A3A4A5=PB1PB2PA3PA4PA5=12×13×12×13×12=172，
PB1C2A3A4A5=PB1PC2PA3PA4PA5=12×23×13×12×13=154，
PA1A2B3B4A5=PA1PA2PB3PB4PA5=12×13×12×13×12=172，
PA1A2B3C4A5=PA1PA2PB3PC4PA5=12×13×12×23×13=154，
PA1C2C3A4A5=PA1PC2PC3PA4PA5=12×23×23×13×12=127，
PA1C2B3A4A5=PA1PC2PB3PA4PA5=12×23×13×12×13=154，
所以PD=172+154+172+154+127+154=13108．
所以，已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为13108．
【解析】(1)根据独立事件的概率公式进行求解即可；
(2)分析比赛情况，根据和事件的概率公式进行求解即可．
亩产量
[900,950)
[950,1000)
[1000,1050)
[1050,1100)
[1100,1150)
[1150,1200)
频数
6
12
18
30
24
10