第05讲 有理数的乘方-2024年小升初暑假数学衔接试题（人教版）

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·模块一 有理数的乘方
·模块二 有理数的混合运算
·模块三 科学记数法
·模块四 近似数
·模块五 课后作业
模块一
有理数的乘方
有理数的乘方
（1）求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0.
（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b| =0a=0,b=0.
【考点1 乘方的概念】
【例1.1】−35的4次幂应记成（ ）
A．−345B．−(35)4C．−(−35)4D．(−35)4
【答案】D
【分析】根据乘方的定义可直接得出答案.
【详解】解：−35的4次幂应记成(−35)4，
故选D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方的书写，注意负数和分数的乘方都要用括号先括起来，再乘方．
【例1.2】比较−33与−33，下列说法正确的是（ ）
A．它们的底数相同，指数也相同B．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
C．它们底数相同，但指数不相同D．虽然他们底数不同，但是运算结果相同
【答案】D
【分析】根据有理数幂的概念解答即可．
【详解】解：−33的底数是3，指数是3，表示3个3的乘积的相反数，运算结果为−33=−27，
−33的底数是−3，指数是3，表示3个−3的乘积，运算结果为−33=−27，
故它们的底数不同，指数相同，所表示的意义不同，但运算结果相同，
所以，选项A、B、C说法错误，不符合题意，选项D说法正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的乘方，解答的关键是熟练掌握有理数幂的概念：an表示n个a的乘积，a为底数，n为指数．
【变式1.1】下列对于式子−32的说法，错误的是（ ）
A．指数是2B．底数是−3C．幂为−3D．表示2个−3相乘
【答案】C
【分析】根据乘方的定义解答即可．
【详解】A．指数是2，正确；
B．底数是−3，正确；
C．幂为9，故错误；
D．表示2个−3相乘，正确；．
故选C．
【点睛】此题考查了乘方的意义，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．乘方的定义为：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂．在an中，它表示n个a相乘，其中a叫做底数，n叫做指数．
【变式1.2】式子(−3)5表示( )
A．−3乘5B．5个−3相乘C．3个−5相乘D．3个−5相加
【答案】B
【分析】根据乘方的含义：am表示m个a相乘，即可解答．
【详解】解：(−3)5，表示5个−3相乘．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，充分理解乘方的含义即可，难度不大．
【变式1.3】把式子（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）写成乘方的形式 __．
【答案】(−2)4
【分析】根据乘方的定义运算即可．
【详解】解：（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）4，
故答案为：（﹣2）4.
【点睛】本题考查了乘方的定义：一般地，几个相同的因数a相乘，记作a，这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次幂．
【考点2 乘方的运算】
【例2.1】−12023的相反数是（ ）
A．－1B．1C．－2023D．2023
【答案】B
【分析】先计算−12023，然后根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：∵−12023=−1，
∴−12023的相反数是1．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方法则，相反数的定义，掌握乘方法则是解题的关键．
【例2.2】下面各组数中，相等的一组是（ ）
A．−33与−33B．233与233C．−−2与−−2D．−2与−22
【答案】A
【分析】根据有理数的乘方运算，绝对值的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、−33=−33，故本选项符合题意；
B、因为233=83,233=827，则233≠233，故本选项不符合题意；
C、因为−−2=−2，−−2=2，则−−2≠−−2，故本选项不符合题意；
D、因为−22=4，则−2≠−22，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，绝对值的性质，熟练掌握有理数的乘方运算，绝对值的性质是解题的关键．
【例2.3】某种细胞每过15秒便由1个分裂成2个．经过3分钟，这种细胞由2个分裂成（ ）个．
A．210B．211C．212D．213
【答案】C
【分析】根据题意可得3分钟有12个15秒，进而根据有理数乘方的意义即可求解．
【详解】解：∵3分钟=3×60=12×15秒，
∴经过3分钟，这种细胞由2个分裂成212个，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解题意是解题的关键．
【变式2.1】计算：
(1)−(32)2；
(2)−(−32)2；
(3)−53；
(4)−423．
【答案】(1)−94
(2)−94
(3)−125
(4)−163
【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可．
【详解】（1）−(32)2=−(32×32)=−94；
（2）−(−32)2=−(−32)×(−32)=−94；
（3）−53=−(5×5×5)=−125；
（4）−423=−4×43=−163．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键．
【变式2.2】数轴上A点表示的数是−32，将A向左平移2个单位得到点B，则B表示的数是__________．
【答案】7
【分析】点在数轴上平移时，向正方向移动要“+”，向负方向移动要“-”．
【详解】解：A点表示的数是（-3）2=9，向左平移2个单位得到的数字是9-2=7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要结合数轴来考查有理数的乘方和加减运算，难度较低，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
【变式2.3】最大的负整数的2014次方与绝对值最小的数的2015次方的和是（ ）
A．－1B．1C．0D．2
【答案】B
【详解】试题分析：根据数的意义知最大的负整数是-1，因此它的2014次方为1，而绝对值最小的数是0，0的任何次方都等于0，所以两者的和为1．
故选B
考点：数的意义
模块二
有理数的混合运算
有理数的混合运算
混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
【考点1 有理数的混合运算】
【例1.1】下列运算正确的是（ ）
A．−35+25=−35+25=−1B．−6−2×3=−8×3=−24
C．3÷34×43=3÷1=3D．−−23=8
【答案】D
【分析】根据有理数的加法法则、乘除法法则、减法法则即乘法等逐项进行计算即可做出判断．
【详解】解：A、−35+25=−35−25=−15，选项错误，不符合题意；
B、−6−2×3=−6−6=−12，选项错误，不符合题意；
C、3÷34×43=3×43×43=163，选项错误，不符合题意；
D、−−23=8，选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算；熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【例1.2】5米增加它的12后，再减少12米结果是（ ）
A．334米B．314米C．5米D．7米
【答案】D
【分析】根据题意进行列式计算即可．
【详解】∵5+5×12−12=7（米）
故选D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确区分“12”和“12米”的不同是解决本题的关键．
【例1.3】计算（−2）2+（4−7）÷32−|−1|所得结果是（ ）
A．−2B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】先算括号和乘方运算，再把除法化为乘法，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可．
【详解】解：原式=4+（−3）×23−1
=4−2−1
=1．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算：先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．
【变式1.1】下列各级数中，数值相等的是（ ）
A．6÷3×2和6÷3×2B．−5+2和−5+2
C．−3×（4−7）和−3×4−7D．−−5×2和−5×2
【答案】B
【分析】分别计算各选项中的算式，看是否相等即可．
【详解】A、6÷3×2=6÷6=1,6÷3×2=2×2=4，1≠4，故此选项不符合题意；
B、−5+2=−3，−5+2=−3，−3=−3，故此选项符合题意；
C、−3×（4−7）=−3×−3=9,−3×4−7=−12−7=−19,9≠−19，故此选项不符合题意；
D、−−5×2=−−10=10，−5×2=−10，10≠−10，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，掌握相关法则是解题的关键．
【变式1.2】计算：
(1)−21+14÷−7；
(2)17−8÷−2+4×−5；
(3)−4×−3−5×−7−24；
(4)−53×0.5−23÷−76；
(5)−32×−32×−233−2．
【答案】(1)−23
(2)1
(3)31
(4)−521
(5)−1
【分析】（1）先算除法，再算减法；
（2）先算除法和乘法，再算加减法；
（3）先算乘法和乘方，再算加减法；
（4）先算括号内的，将除法转化为乘法，再约分计算；
（5）先算乘方，再算括号内的，最后计算乘法．
【详解】（1）解：−21+14÷−7
=−21−2
=−23；
（2）17−8÷−2+4×−5
=17+4−20
=1；
（3）−4×−3−5×−7−24
=12+35−16
=31；
（4）−53×0.5−23÷−76
=−53×−16×−67
=−521；
（5）−32×−32×−233−2
=−32×−9×−827−2
=−32×83−2
=−32×23
=−1
【点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
【变式1.3】计算(134－78－712)÷78＋78÷(134－78－712)的结果是________．
【答案】103
【分析】先将原式化为74−78−712×87+78÷74−78−712，再利用乘法的分配律计算，即可求解．
【详解】解：(134－78－712)÷78＋78÷(134－78－712)
=74−78−712×87+78÷74−78−712
=74×87−78×87−712×87+78÷724
=2−1−23+3
=103 ．
故答案为：103
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，灵活利用乘法的分配律解答是解题的关键．
【考点2 有理数的混合运算中的数字规律】
【例2.1】下列一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…第2021个数是（ ）
A．22021B．22021−1
C．22020D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】通过计算得到1=20，是第1个数；2=21，是第2个数；4=22，是第3个数；8=23，是第4个数；16=24，是第5个数，则数的序号比指数大1，于是得到第2021个数是22020．
【详解】解：∵一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，
∴这些数变为：20,21,22,23,24，…，
∴第2021个数是22020．
故选：C．
【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
【例2.2】远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是______．
【答案】466
【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数，再列式计算即可．
【详解】解：1×73+2×72+3×7+4=466（天），
答：孩子自出生后的天数是466天．
故答案为：466．
【点睛】本题考查了根据图中的数学列式计算，掌握类比的方法列式计算是关键．
【例2.3】正整数按图中的规律排列．由图知，数字6在第二行，第三列．请写出数字2022在第____________行，第____________列．
【答案】 45 4
【分析】找出规律：第一列的数为自然数的平方，而452=2025，则第45行的第4列数为2022，从而完成解答．
【详解】观察图中知：每行的第一个数为该行行数的平方，而452=2025，则第45行的第4列数为2022；
故答案为：45，4
【点睛】本题是规律探索问题，考查了学生的观察归纳能力．关键是找出每行第一个数的规律．
【变式2.1】生活中常用的十进制是用0∼9这十个数字来表示数，满十进一，例：12=1×10+2，212=2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0∼F来表示0∼15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11=43，10C对应十进制的数为1×16×16+0×16+12=268，那么十六进制中14E对应十进制的数为________．
【答案】334
【分析】根据题意列出算式，再进一步计算即可．
【详解】解：十六进制中14E对应十进制的数为
1×16×16+4×16+14
=256+64+14
=334，
故答案为：334．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式．
【变式2.2】观察下列各数：1，43，97，1615，…，按你发现的规律计算这列数的第5个数为______．
【答案】2531
【分析】根据分子是序号数的平方，分母是2的序号次方减1，由此即可写出第5个数．
【详解】第一个数：1=121=1，
第二个数：43=2222-1，
第三个数：97=3223-1，
第5个数：5225-1=2531．
故填：2531．
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，解题的关键是掌握从一般到特殊的探究方法，找到规律，属于中考常考题型．
模块三
科学记数法
科学记数法
把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法；
用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数.
【考点1 用科学记数法表示绝对值较大的数】
【例1.1】我国自主研发的“北斗系统”在卫星导航、通信、遥感等多项核心技术方面取得了突破，已经在国民经济和国防建设等多个领域得到了广泛的应用．2023年2月，北斗终端数量在交通运输营运车辆领域超过8000000台．将8000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.8×106B．8×106C．8×107D．80×105
【答案】B
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，n为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：8000000用科学记数法表示应为8×106．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为a×10n，其中1≤a<10，n是正整数，正确确定a的值和n的值是解题的关键．
【例1.2】随着柳州成为网红城市，当地特色交通工具水上公交逐渐“出圈”，备受各地游客追捧，据统计，第一季度其接待游柳州水上公交运送乘客189100万人次，将189100用科学记数法表示应为（ ）
A．18.91×104B．1.891×105C．0.1891×1086D．0.1891×105
【答案】B
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成a×10n的形式即可．
【详解】解：189100=1.891×105，
故选B．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟练掌握把小数点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【例1.3】2023年1月19日，省统计局通报了2022年全省经济运行情况．去年，我省经济顶住了多重超预期因素冲击，继续保持在合理区间运行，主要指标增长快于全国，长三角靠前．根据地区生产总值统一核算结果，我省全年生产总值45045亿元，按不变价格计算，同比增长3.5％．45045亿元用科学记数法表示应为（ ）元．
A．4.545×1012B．4.5045×1011C．4.5045×1012D．45.045×1011
【答案】C
【分析】根据乘方运算，用科学记数法表示绝对值小于1的数，形式为a×10n，1≤a<10，n是小数点向左（或向右）移动的位数，当小数点向左移动时，n为正数；当小数点向右移动时，n为移动位数的相反数，由此即可求解．
【详解】解：45045亿=4504500000000=4.5045×1012，
故选：C．
【点睛】本题主要考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，掌握科学记数法表示形式，a,n的取值方法是解题的关键．
【变式1.1】国家统计局网站公布我国2022年年末总人口约141175万人．141175万人用科学记数法可以表示为______人．
【答案】1.41175×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．据此可得出结果．
【详解】解：141175万=1411750000=1.41175×109，
故答案为：1.41175×109．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定a的值以及n的值是本题的关键．
【变式1.2】今年“五一”小长假期间，丹江口市的“水都花月夜”民俗文化街与灯光秀吸引了全国各地的游客45.6万人前来观光旅游，“45.6万”用科学记数法表示为_________人．
【答案】4.56×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：45.6万用科学记数法表示为4.56×105．
故答案为：4.56×105．
【变式1.3】国家统计局网站显示，今年3月份，全国社会消费品零售总额为37855亿元，同比增长10.6%，37855亿用科学记数法表示为3.7855×10n，则n=___________．
【答案】12
【分析】根据科学记数法的概念，即可解答．
【详解】解：3785500000000=3.7855×1012，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了科学记数法的概念，科学记数法表示形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数，熟知概念是解题的关键．
【考点2 将用科学记数法表示的数还原】
【例2.1】用科学记数法写出的数−7.04×105原数是______．
【答案】−704000
【分析】数据−7.04×105中的a=7.04，指数n=5，需要把7.04的小数点向右移动5位即可得到原数．
【详解】解：−7.04×105=−704000，
故答案为：−704000．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示的原数，确定n的值是解题的关键．
【例2.2】一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为____________个．
【答案】6
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：由8.1555×1010=81555000000可知原数中“0”的个数为6个；
故答案为6．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
【变式2.1】一个数用科学记数法表示为−1.96×104，则这个数为__________．
【答案】-19600
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|< 10， n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位， n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时， n是正数；当原数的绝对值< 1时， n是负数．
【详解】解∶-1.96×104=-19600．
故答案为∶ -19600．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为“a×10n”的形式，其中1≤|a|< 10， n为整数，解题的关键是正确确定a的值以及n的值．
【变式2.2】填一填：
①6.74×105的原数有____位整数；
②－3.251×107原数有____位整数；
③9.6104×1012原数有____位整数．
【答案】 6 8 13
【分析】按照科学记数法a×10n(其中1≤a≤10，n为整数)中，原数的整数位数为n + 1，即可求解．
【详解】科学记数法a×10n(其中1≤|a|< 10， n为整数)中，原数的整数位数为n + 1；
故6.74×105的原数有5+1 = 6 (位)整数
-3.251×107的原数有7+1 =8(位)整数；
9.6104×1012的原数有12+1= 13 (位)整数
故答案为： 6； 8； 13
【点睛】本题主要考查科学记数法的逆用，即把用科学记数法表示的数转化为原数．掌握按照科学记数法a×10n(其中1≤a≤10，n为整数)中，原数的整数位数为n + 1是解题关键．
模块四
近似数
近似数的精确位
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位.
【考点1 近似数的相关概念】
【例1.1】下列四个数据中，是准确数的是（ ）
A．小莉所在的班级有45人B．某次地震中，伤亡10万人
C．小明测得数学书的长度约为21.0厘米D．吐鲁番盆地低于海平面约155米
【答案】A
【分析】由测量和统计得到的较大数字由于条件所限，一般为近似数．由此即可解答．
【详解】解：选项A是准确数；选项B、C、D都是测量得到的数据，是近似数．
故选：A．
【点睛】本题考查了近似数，掌握近似数的意义是解题的关键．
【例1.2】有下列数据：我国约有14亿人口；第一中学有68个教学班；直径10 cm的圆，它的周长约31.4 cm，其中是准确数的有_____，是近似数的有_____．
【答案】 68和10 14亿和31.4
【分析】准确数是指对事物进行计数时，能确切表示一个量的真正值的数；近似数是指跟一个数量的准确值相接近，并且用来代替准确值的数值；据此直接进行判断．
【详解】我国约有14亿人口；第一中学有68个教学班；直径10 cm的圆，它的周长约31.4 cm，其中准确数的有68和10；近似数的有14亿和31.4
故答案为：68和10；14亿和31.4
【点睛】理解“准确数”和“近似数”的意义是解决此题的关键．
【变式1.1】下列实际问题中出现的数据：①月球与地球之间得平均距离大约是38万公里；②某本书的定价是4.50元；③小明身高为1.57米；④我国有56个民族．其中，____中的数据是准确数，_____中的数据是近似数，填写(序号)
【答案】 ②④ ①③
【分析】根据近似数和准确数的概念进行解答即可.
【详解】解：①月球与地球之间得平均距离大约是38万公里，38万公里与实际接近，是近似数；②某本书的定价是4.50元，4.50元是准确数；③小明身高为1.57米，1.57米是一个测量值，可能存在一定的误差，是一个近似数；④我国有56个民族，是一个准确数．
故答案为：②④；①③.
【点睛】本题考查了近似数和准确数的识别，准确数是与实际完全符合的数，近似数是与实际接近的数.
【变式1.2】下面表述中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？
(1)实验室里有18盏日光灯；
(2)某人的身高是168厘米；
(3)多媒体教室共有45台电脑；
(4)世界著名海峡马六甲海峡长1080千米．
【答案】(1)准确数
(2)近似数
(3)准确数
(4)近似数
【分析】根据近似数和准确数的定义进行判断即可．
（1）解：实验室里有18盏日光灯，18是准确数．
（2）解：某人的身高是168厘米，其中168厘米是近似数．
（3）解：多媒体教室共有45台电脑，其中45是准确数．
（4）解：世界著名海峡马六甲海峡长1080千米，其中1080千米是近似数．
【点睛】此题主要考查对近似数和精确数的概念的理解，注意它们的区别，准确数就是真实准确的数，而近似数就是与准确数相接近，通过估计得到的数．
【考点2 近似数的范围】
【例2.1】近似数4.50所表示的a的取值范围是（ ）
A．4.495C．4.495【答案】B
【分析】根据近似数的精确度进行判断．
【详解】解：近似数4.50所表示的a的取值范围是4.495≤a<4.505．
故选：B．
【点睛】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．
【例2.2】数a四舍五入后的近似值为6.1，则a的取值范围是（ ）
A．6.05≤a<6.15B．6.14≤a<6.15
C．6.144≤a≤6.149D．6.0≤a≤6.2
【答案】A
【分析】近似值是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则应进1；若下一位小于5，则应舍去．
【详解】解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是6.05≤a<6.15．
故选：A．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字，注意：取近似数的时候，精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入．
【变式2.1】若a的近似值为3.7，求a的取值范围______．
【答案】3.65≤a<3.75
【分析】根据四舍五入的特点即可求解．
【详解】解：由题意得：3.7−0.5≤a<3.7+0.5，
∴3.65≤a<3.75，
故答案为：3.65≤a<3.75
【点睛】本题主要考查了近似数，解题的关键是熟知四舍五入的概念．
【变式2.2】某同学测得一本书的长、宽、厚分别为x=23.7cm、y=16.8cm、z=0.9cm，试推断x、y、z的取值范围．
【答案】23.65≤x＜23.75；16.75≤y＜16.85；0.85≤z＜0.95．
【详解】试题分析：根据四舍五入的方法可知23.77cm、16.8cm、0.9cm可能是后一位入1得到，也可能是舍去后一位得到，找到其最大值和最小值即可确定范围．
试题解析：当x舍去百分位得到23.7，则它的最大值不超过23.75；当x的百分位进1得到23.7，则它的最小值是23.65．
所以x的范围是：23.65≤x＜23.75；
当y舍去百分位得到16.8，则它的最大值不超过16.85；当y的百分位进1得到16.8，则它的最小值是16.75．
所以x的范围是：16.75≤y＜16.85；
当z舍去百分位得到0.9，则它的最大值不超过0.95；当z的百分位进1得到0.9，则它的最小值是0.85．
所以z的范围是：0.85≤z＜0.95．
故x、y、z的取值范围是：23.65≤x＜23.75；16.75≤y＜16.85；0.85≤z＜0.95．
【考点3 精确度】
【例3.1】下列说法中正确的是（ ）
A．近似数0.250精确到百分位B．近似数8.0精确到个位
C．近似数1.0与1.00精确度相同D．近似数8.00×106精确到万位
【答案】D
【分析】分别根据近似数的精确度进行判断．
【详解】解：A.近似数0.250是精确到千分位的数,所以A选项错误；
B.近似数8.0是精确到十分位的数,所以B选项错误；
C.近似数1.0精确到十分位,1.00精确到百分位,故C选项错误；
D.近似数8.00×106万位,故D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查近似数：经过四舍五入得到的数叫近似数,一个近似数四舍五入到哪一位,这个近似数精确到哪一位．
【例3.2】长城总长约为2.12×104千米，下列关于2.12×104的精确度说法正确的是（ ）．
A．精确到百分位B．精确到百位
C．精确到十分位D．精确到十位
【答案】B
【分析】直接根据精确度作答即可．
【详解】解：2.12×104精确到百位，
故选B．
【点睛】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．经过四舍五入得到的数为近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．
【例3.3】用四舍五入法把圆周率π=3.1415926…精确到千分位得到的近似值是（ ）
A．3.141B．3.142C．3.1415D．3.1416
【答案】B
【分析】千分位即为小数点后第3为，用四舍五入法求得近似数即可．
【详解】看千分位的后一位，是5，应该入1，四舍五入后，π≈3.142．
故选：B．
【变式3.1】对于四舍五入得到的近似数7.2×105，下列说法正确的是（ ）
A．精确到万位B．精确到千位C．精确到个位D．精确到百分位
【答案】A
【分析】根据近似数的精确度求解．
【详解】解：∵7.2×105=720000，2位于万位，
∴近似数7.2×105精确到万位．
故选：A．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
【变式3.2】用四舍五入法对0.5049（精确到千分位）取近似值是___________．
【答案】0.505
【分析】把万分位上的数字9进行四舍五入即可．
【详解】解：0.5049≈0.505（精确到千分位）．
故答案为：0.505．
【点睛】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．
【变式3.3】2020年来爆发的新冠疫情打乱了全球各国的发展节奏．我们中国在党中央的领导下，利用中国社会主义制度优势，以生命至上的人权理念，在无数医护人员的拼命奋战下取得举世抗疫成就．但在一些资主义国家消极抗疫政策下．截至2022年3月17日，全球累计确诊462058428人．用科学记数法表示为 _____人．（精确到0.01）
【答案】4.62×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：462058428≈4.62×108．
故答案为：4.62×108．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．正确确定a的值以及n的值是解题的关键．
模块五
课后作业
1．代数式2×2×2×⋅⋅⋅×2n个2可以表示为（ ）
A．2+nB．2nC．2nD．n2
【答案】C
【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.
【详解】解：代数式2×2×2×⋅⋅⋅×2n个2可以表示为2n；
故选：C.
【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键.
2．−32的相反数为（ ）
A．−3B．3C．−9D．9
【答案】C
【分析】根据乘方运算以及相反数的定义进行计算即可得到答案．
【详解】解：−32=9，
根据相反数的定义可知： 9的相反数是−9．
故选：C．
【点睛】本题考查了乘方运算以及相反数的定义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．
3．某市常住人口数约为1.33×106人，则数据1.33×106表示的原数是( )
A．13300B．133000C．1330000D．13300000
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．
【详解】解：1.33×106=1330000，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．
4．用四舍五入法对0.0571取近似值，精确到0.001的结果是（ ）
A．0.056B．0.05C．0.1D．0.057
【答案】D
【分析】把万分位上的数字1进行四舍五入即可．
【详解】解：0.0571取近似值，精确到0.001的结果是0.057．
故选：D．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
5．计算：18×−13−8÷−2=_________．
【答案】−2
【分析】直接根据有理数的四则混合运算法则计算即可．
【详解】解：18×−13−8÷−2
=−6+4
=−2．
故答案为−2．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算法则，灵活运用有理数的四则混合运算法则是解答本题的关键．
6．我市2021年GDP总量为14000亿元，14000这个数据用科学记数法可表示为_____．
【答案】1.4×104
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．
【详解】解：14000=1.4×104．
故答案为：1.4×104．
7．截止2019年末，刘集镇有户籍人口48376人，这一数据精确到千位表示约为_____．
【答案】4.8×104
【分析】用科学记数法a×10n(1≤a<10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
【详解】解：48376这一数据精确到千位表示为48000=4.8×104，
故答案为：4.8×104．
【点睛】本题考查近似数和有效数字以及科学记数法，解答本题的关键是明确近似数的含义．
8．近似数3.20所表示的准确数x的取值范围是_______．
【答案】3.195≤x＜3.205
【分析】利用近似数的精确度求解．
【详解】解：近似数3.20表示的数x的取值范围是3.195≤x＜3.205．
故答案为：3.195≤x＜3.205
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
9．某商场一件衣服的成本是x元，按成本的150%销售，后因换季打7折卖出，卖出时这件衣服120元，卖出后这件衣服的利润是________元．
【答案】6
【分析】根据题意可求出衣服的成本，再由利润＝售价−成本，即可求解．
【详解】解：由题意得，这件衣服的成本为120150%×0.7≈114元，
∴卖出后这件衣服的利润是120−114=6元，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解清楚题意找到等量关系．
10．已知|m＋3|与(n－2)2互为相反数，那么mn等于_______．
【答案】9
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵|m+3|与（n-2）2互为相反数，
∴|m+3|+（n-2）2=0，
∴m+3=0，n-2=0，
解得m=-3，n=2，
所以，mn=（-3）2=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
11．若(−a)5是正数，则a的值是______数(填“正”或“负”)．
【答案】负
【分析】根据有理数的乘方可进行求解．
【详解】解：由(−a)5=−a5是正数，所以根据负负得正可知a的值为负数；
故答案为：负．
【点睛】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键．
12．小明按如图所示的程序输入的数是1，最后输出的数为_____．
【答案】22
【分析】把x=1代入程序中计算即可求出所求．
【详解】解：把x=1代入得：1×2+6=2+6=8<10，
把x=8代入得：8×2+6=16+6=22>10，
则输出的数为22．
故答案为：22．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．计算：
(1)14+16−12×(−12)；
(2)−12022+(−5)×(−2)3+2−(−4)2÷−12．
(3)4+−22×2−−36÷4；
(4)−14+−23÷4×[5−−32]．
【答案】(1)1
(2)61
(3)21
(4)7
【分析】（1）根据有理数的乘法运算，加减法运算，乘法分配律即可求解；
（2）根据含有乘方的有理数运算法则即可求解；
（3）根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解；
（4）根据含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解．
【详解】（1）解：14+16−12×(−12)
=14×(−12)+16×(−12)−12×(−12)
=−3−2+6
=1．
（2）解：−12022+(−5)×(−2)3+2−(−4)2÷−12
=−1+(−5)×(−8+2)−16×(−2)
=−1+30+32
=61．
（3）解：4+−22×2−−36÷4
=4+8−(−9)
=21．
（4）解：−14+−23÷4×[5−−32]
=−1+−8×14×(−4)
=−1+8
=7．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握乘方的运算法则，有理数混合运算法则是解题的关键．
14．老师在课堂上展示了一个数学问题：
(1)佳佳：若“☆”表示−2，“※”表示−4，求算式的计算结果．
(2)琪琪：若“☆”表示3，且算式的计算结果为13，求“※”所表示的数．
【答案】(1)−19
(2)±3
【分析】（1）根据题意列出算式7+−2×5−−42，再进一步计算即可；
（2）根据题意列出方程7+3×5−※2=13，再进一步计算即可．
【详解】（1）由题意知7+−2×5−−42
=7−10−16
=−19；
（2）由题意知7+3×5−※2=13
※2=9
※=±3．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
15．用符号M表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下：
M−1=−3，M0=−2，M1=−1，M2=0，M3=1， … M12=−14，M13=−19，M14=−116，利用以上规律计算：
(1)M(−23)，M(15)
(2)−13÷M62÷−M14．
【答案】(1)−25，−125
(2)−415
【分析】（1）先找到运算规律M对整数n的运算规律为n-2，对分数1m的运算规律是−1m2，代入数值进行计算即可；
（2）−13÷M62÷−M14转化为−13÷62−2÷−−142，再按有理数除法和乘方运算法则计算即可；
（1）
M−23=−23−2=−25，M15=−152=−125
（2）
解：−13÷M62÷−M14
=−13÷62−2÷−−142
=−1÷60÷116
=−160×16
=−415
【点睛】本题考查新定义运算，认真阅读题干中的案例，从中找出规律，再用代数式表示规律，应用M运算法则将算式转化为常规有理数（含乘方）混合运算是解题关键．十进制
0
1
2
…
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
…
十六进制
0
1
2
…
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
…
请你利用式子“7+☆×5−※2”编题并解决问题．