广东省吴川市第三中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省吴川市第三中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本试卷22小题，满分150分，考试用时120分钟）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中有一项是符合题目要求的．）
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题：“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
6．设偶函数的定义域为，当时是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足，且恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全对得5分，部分选对得2分，有错得0分）
9．已知集合，集合，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，则
11．下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的单调递增区间为，
C．当时，
D．的解集为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数，若，则a的值是______．
14．已知幂函数的图象过点，则______．
15．已知不等式的解集是，则______．
16．关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是______．
四、解答题（共6道小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知函数，
（1）求函的定义域；
（2）求，的的值．
18．设全集为R，集合，．
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数a的取值范围．
19．已知幂函数在上单调递增．
（1）求的解析式；
（2）若在上恒成立，求实数k的取值范围．
20．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且．
（1）确定函数的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式．
21．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进，把二氧化碳化为某种化工产品，经测算，该处理成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．
（1）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
（2）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？
22．已知函数．
（1）请在如图所示的直角坐标系中作出时的图象，并根据图象写出函数的单调区间；
（2）设函数在上的最小值为；
①求的表达式；
②若，求的最大值．
吴川市第三中学2022-2023学年上学期期中考试
高一数学参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中有一项是符合题目要求的．）
1．【分析】根据并集的定义即可求解．
【解答】解：∵，，则，
故选：D
【点评】本题考查全称命题的否定定义，属于基础题．
2．【分析】根据全称命题的否定定义可解．
【解答】解：根据全称命题的否定定义得，，的否定为：，，
故选：D．
3．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由得或，
即“”是“”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，是基础题．
4．【分析】由题意利用指数函数、幂函数的单调性，得出结论．
【解答】解：，，，
函数是减函数，，，．
又函数是上的增函数，，，即，
综上可得，，
故选：B．
【点评】本题主要考查指数函数、幂函数的单调性，属于基础题．
5．【分析】结合函数奇偶性的定义及幂函数性质分别检验各选项．
【解答】解：根据幂函数的性质可知，为奇函数，为偶函数，A正确，B错误，
为非奇非偶函数，C错误；
为非奇非偶函数，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的判断，属于基础题．
6．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行判断即可．
【解答】解：是偶函数且当时是增函数，
，
即，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
7．【分析】利用“乘1法”，可得，从而得解．
【解答】解：，当且仅当，即时，等号成立，
因为，所以，
又恒成立，所以．
故选：A．
【点评】本题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式中的“乘1法”是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
8．【分析】既然在上是减函数，根据时解析式为，其过定点，且时是减函数，所以对称轴，又时，，是减函数，所以，解答即可．
【解答】解：由题意，在上是减函数，
时，其过定点，且时是减函数，
对称轴，①
又时，，是减函数，函数是上的减函数，
，②
又①②得．
故选：A．
【点评】本题考查了已知函数的单调性求参数范围的问题，考查学生对函数单调性的理解，属于中档题．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全对得5分，部分选对得2分，有错得0分）
9．【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系可解．
【解答】解：因为集合，集合，，
根据元素与集合、集合与集合间的关系可得，，，，，
故选：ACD．
【点评】本题考查元素与集合、集合与集合间的关系，属于基础题．
10．【分析】可代入特例判断选项错，可由性质定理判断AB对．
【解答】解：若，则，A对，
由不等式同向可加性，若，，则，B对，
当令，，，，则，C错，
令，，则，D错．
故选：AB．
【点评】本题考查对不等式的判断，可代入特例判断选项错，属于基础题．
11．【分析】根据选项逐一求函数的最小值即可．
【解答】解：A．因为，由双勾函数的性质可知值域为；
B．，故值域为；
C．，
，
，
故值域为；
D．，
当，即时取等号，
故值域为；
故选：BCD．
【点评】本题考查了求函数的值域，也考查了双勾函数、二次函数的性质及基本不等式的应用，属于基础题．
12．【分析】由奇函数在处有定义，可得，可判断A；由的函数的解析式，结合奇函数的定义可得时的函数解析式，可判断C；判断时的的单调性，可得时的的单调性，不等式等价为且，且，结合，解不等式可判断D；由的图象与的图象特点，结合单调性可判断B．
【解答】解：函数是定义在上的奇函数，可得，故A错误；
当时，，设，则，，
又，所以时，，故C正确；
由时，，可得，
又和在递增，可得在递增，
由奇函数的图象关于原点对称，可得在递增，且，
所以等价为或，
解得或，故D错误；
由的图象可看作的图象位于轴上方的图象不变，将轴下方的图象翻折到轴上方得到，
所以的递增区间为，，故B正确．
故选：BC．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及函数的图象的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【分析】利用分类讨论，分和两种情况，分别表示出，求解即可．
【解答】解：函数，
当时，，解得，
当时，，解得．
综上所述，a的值是或4．
【点评】本题考查了分段函数的应用，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题．
14．【分析】设出幂函数的解析式，由图象过确定出解析式，然后令即可得到的值．
【解答】解：设，因为幂函数图象过，
则有，，即，
．
故答案为：．
【点评】考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．
15．【分析】根据已知可得，为方程的两个根，根据韦达定理求出a，b，然后根据一元二次不等式求出结果．
【解答】解：不等式的解集是，
，2是方程的两个根，且，
由韦达定理得，解得，，
．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法以及一元二次方程根与系数关系，属基础题．
16．【分析】讨论，，，结合二次函数的图象和判别式的符号，解不等式可得所求范围．
【解答】解：由题意，当时，恒成立；
当时，设，
若时，的图象为开口向上的拋物线，不恒成立；
若时，要使不等式恒成立，只需，即，
解得，
综上可得，．
故答案为：．
【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力，属于基础题．
四、解答题（共6道小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．【分析】（1）利用根式函数和分式函数的定义域求法求函数的定义域．（2）利用函数关系式直接代入求值．
【解答】解：（1）要使函数的有意义，则，
即，所以且．
所以函数的定义域为
（2），
．
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数的定义域的求法．
18．【分析】（1）根据交集的定义求出，求出B的补集，从而求出其和A的并集即可；
（2）得到，得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1），，
，
，
；
（2），，
，
，
解得：．
【点评】本题考查了交集、并集、补集的运算，是一道基础题．
19．【分析】（1）由幂函数的定义可知，再结合幂函数在上单调递增，即可求出的值．
（2）等价于函数在上的最小值大于0即可，再利用二次函数的性质即可求出实数的取值范围．
【解答】解：（1）是幂函数，则，
或，
又在上单调递增，则，
所以．
（2）即，要使此不等式在上恒成立，只需使函数在上的最小值大于0即可，
在上单调递减，
，
由，得，
因此满足条件的实数k的取值范围是．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义，考查了不等式恒成立问题，同时考查了二次函数的性质，是中档题．
20．【分析】（1）根据，，待定系数即可求得函数解析式；
（2）利用单调性的定义，结合函数解析式，即可判断和证明；
（3）利用函数奇偶性和单调性求解不等式即可．
【解答】解：（1）根据题意，是上的奇函数，故；
又，故，则；
（2）在单调递增，证明如下：
在上任取，
则，
因为，故可得，即，
又，则，结合，
可得：，即，
故在单调递增；
（3）等价于，
又在是单调增函数，故可得，
解得，即不等式的解集为：．
【点评】本题考查了函数单调性的性质与判断，属于中档题．
21．【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
（2）当时，该工厂获利S，则，再结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，二氧化碳的平均处理成本，，
当时，，
当且仅当，即等号成立，
故取得最小值为，
故当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．
（2）当时，
该工厂获利S，
则，
当时，，
故该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂不会亏损．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于基础题．
22．【分析】（1）代入a的值，函数解析式即可求出，进而可以作出函数图象，单调区间即可求出；
（2）①讨论对称轴与区间的三种位置关系，即可求解；②分析出函数在定义域上的单调性，即可求出最大值．
【解答】解：（1）当时，，
函数的图象如图所示：
增区间为，，减区间为，；
（2）①因为，所以，，
因为，所以，
若，即时，在上单调递增，所以；
若，即时，在上递减，在上递增，
所以；
若，即时，在上单调递减，所以，
综上：，
②时，，因为，在上单调递增，
所以在单调递增，
所以的最大值为．
【点评】本题考查了分段函数的图象以及的单调性，考查了含参数二次函数闭区间上求最值的问题，属于中档题．