人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式精品随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式精品随堂练习题，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．不等式中，等号成立的条件是（ ）
A．B．C．D．
2．下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（ ）
A．先提价，再提价B．先提价，再提价
C．分两次，都提价D．分两次，都提价
8．已知a、b为正实数，，则（ ）
A．B．
C．D．
9．已知，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．6D．7
10．已知函数，则当时，有（ ）
A．最大值B．最小值
C．最大值D．最小值
11．已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知，则的最小值为（ ）
A．50B．40C．20D．10
13．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
14．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
15．已知两个正实数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．6D．9
16．若正实数，满足，则下列说法错误的是（ ）
A．有最大值B．有最小值4
C．有最小值D．有最大值
17．对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
18．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
20．已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．（∞，1）∪（9，+∞）B．（9，1）C．[9，1]D．（1，9）
21．取最小值时的取值为（ ）
A．1B．C．2D．
22．已知，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
23．若，，且，则下列不等式不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
24．下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是5
D．设，，且，则的最小值是
25．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．12D．13
26．函数在时有最大值为1，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
27．某公司一年购买某种货物500吨，每次购买吨，运费为5万元/次，一年的总存储费用为万元，则一年的总运费与总存储费用之和的最小值为（ ）
A．200万元B．300万元C．400万元D．500万元
28．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
29．已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
30．已知，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值是
C．的最小值是8D．的最小值是
三、填空题
31．已知且，则的最小值为 .
32．已知且恒成立，实数的最大值是 ．
四、解答题
33．已知，，且，证明：
(1)；
(2)．
34．已知正数a，b满足，证明：.
35．设，均为正实数．
(1)求证：
(2)若，证明：．
36．已知正数，，满足，证明：
(1)．
(2)．
37．某地欲修建一个的长方形休闲广场，如图所示，场地上､下两边要留空白，左､右两侧要留空白，为节约用地，应选用怎样尺寸的长方形用地？

38．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x(x为400的正因数)吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元.
(1)用x表示一年购买的总次数.
(2)每次购买多少吨，能使一年的总运费与总存储费用之和最小？最小值是多少？
39．第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本）
(1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？
(2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值.
40．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设．
(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；
(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．
41．若正数满足.
(1)求的最大值；
(2)求的最小值.
42．某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？
43．已知，求证:
(1);
(2).
44．已知x，y都是正数，且．
(1)求的最小值；
(2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解.
【详解】由基本不等式可知，当且仅当，
即时等号成立，
故选：.
2．C
【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.
【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；
对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；
对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；
对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.
故选：C.
3．A
【解析】本题可根据得出，然后根据得出，最后根据得出，即可得出结果.
【详解】因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
即，，当且仅当时取等号，
综上所述，，当且仅当时取等号，
故选：A.
【点睛】本题考查基本不等式的相关性质，主要考查基本不等式通过转化得出的其他形式，考查运算能力，考查转化与化归思想，是简单题.
4．D
【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论．
【详解】设，可得圆的半径为，
又由，
在中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故选：D.
5．B
【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案.
【详解】因为，由基本不等式得，
故，
因为，，两式相减得，
，
故，所以，
故，
所以.
故选：B
6．B
【分析】利用不等式性质判断ACD，利用基本不等式判断B.
【详解】对于A，因为，所以，错误；
对于B，因为，所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，又，所以，正确；
对于C，因为，所以，，所以，错误；
对于D，因为，所以，所以，
又，所以即，错误；
故选：B.
7．C
【分析】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项.
【详解】设原来的水价为，AB选项中，两次提价后的水价为，
C选项中，两次提价后的水价为，
D选项中，两次提价后的水价为，
因为，则，则，
所以，，则，
即，
由基本不等式可得，
所以，.
故选：C.
8．B
【分析】利用基本不等式计算出.
【详解】因为a、b为正实数，
所以，当且仅当时，等号成立，
，所以，当且仅当时，等号成立，
综上：.
故选：B
9．C
【分析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，
所以,
当且仅当，即时，取得等号，
故选:C.
10．B
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当.
故选：B.
11．C
【分析】利用基本不等式的变形求解出最大值.
【详解】由题意可知，当时，，
，
当且仅当，即时取等号，
最大值为，
故选：C.
12．C
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】由，则，当且仅当，即时，
等号成立，故的最小值为20．
故选：C
13．D
【分析】由条件变形可得，结合1的妙用即可求解.
【详解】因为，，所以由变形可得，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为，
故选：D
14．B
【分析】先得出，再根据基本不等式“1”的妙用求得结果.
【详解】设，
则且，解得.
所以，
因为，所以，
当时取等号，即且，
解得.
故选：B.
15．D
【分析】利用基本不等式常数代换技巧直接求解即可.
【详解】因为正实数x，y满足，
则，
当且仅当即时，等号成立.
故选：D
16．C
【分析】利用基本不等式一一判断求解即可.
【详解】因为正实数，满足，则有：
对A，因为，当且仅当时，等号成立，A正确；
对B，因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以有最小值4，B正确；
对C，因为，当且仅当时，等号成立，C错误；
对D，因为，
当且仅当时，等号成立，所以，D正确；
故选：C.
17．C
【分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解
【详解】不等式恒成立
，，且
当且仅当，即时取等号
，即
解得
故实数的取值范围是
故选：C
18．B
【分析】根据基本不等式"1"的替换进行求解即可.
【详解】因为正实数x，y满足，
所以，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，
因此要想有解，
只需，
故选：B
19．D
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得当时，，即可求得实数m的取值范围是.
【详解】易知
，
所以可得；
当且仅当，即时，等号成立；
依题意需满足，所以.
故选：D
20．A
【分析】由有解，可知只要大于的最小值即可，所以结合基本不等式求出的最小值，再解关于的不等式即可
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9，
因为有解，所以，即，
解得或，
故选：A
21．B
【分析】直接利用基本不等式求解即可．
【详解】由题意可知，，
，当且仅当，即时，等号成立，
即取最小值时的取值为．
故选：．
22．A
【分析】利用基本不等式凑和为定值直接求解.
【详解】已知，
则
.
当且仅当，即等号成立.
故的最大值是.
故选：A
23．D
【分析】利用，可得判断A；根据，利用基本不等式求得的最小值判断B；利用，可得可判断C；根据，利用基本不等式可求的最小值判断D.
【详解】对于A，由，可得，
又，所以，即，
当且仅当时等号成立，故A正确；
对于B，由，可得，即，所以，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，由，可得，
所以可得，即，
当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，易知，
即，当且仅当时等号成立，故D错误．
故选：D．
24．D
【分析】利用基本不等式与“1”的妙用逐一检验各选项即可得解.
【详解】对于A，当时，，
当且仅当，即时取等号，显然等号不成立，故A错误；
对于B，当时，，
当且仅当，即时取等号，显然等号不成立，故B错误；
对于C，当时，，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，故C 错误；
对于D，，，，
则，
当且仅当且，即，时取等号，故D正确.
故选：D．
25．D
【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.
【详解】
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
26．C
【分析】由，利用基本不等式求解.
【详解】解：函数，
因为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以，则，解得，
所以，
故选：C
27．B
【分析】根据题意列式利用基本不等式运算得解.
【详解】由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和为：，
当且仅当，即时取等号，
所以一年的总运费与总存储费用之和的最小值为300万元．
故选：B.
28．D
【分析】根据基本不等式求解最值即可求解.
【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立，
所以不等式恒成立，故，故，
故选：D
29．ACD
【分析】借助题目条件，结合基本不等式进行计算即可得，需注意不等号方向.
【详解】对A选项：由，，且，
故，
当且仅当时等号成立，
即，故A正确；
对B选项：由，，且，
故，
当且仅当时等号成立，
即，故B错误；
对C选项：由，，且，
故，
当且仅当时等号成立，
即，故C正确；
对D选项：由，，且，
故
，
当且仅当，即、时等号成立；
即，故D正确.
故选：ACD.
30．AC
【分析】利用基本不等式判断AC；利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用消元法与基本不等式判断D.
【详解】对于A，，所以，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，
当且仅当，即时，等号成立，故B错误；
对于C，，，
当且仅当且，即时，等号成立，故C正确；
对于D，由，得，由，得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，矛盾，故等号取不到，故错误，
故选：AC.
【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
31．
【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为且，所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
32．/
【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案.
【详解】由题意，，
所以转化为，
可得，即，
因为，当且仅当时等号成立，
所以实数的最大值是.
故答案为：
33．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由，利用基本不等式可得答案；
（2），利用基本不等式可得答案.
【详解】（1）因为，所以，
因为，，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，即，故；
（2）因为，所以，
因为，，所以，，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
则，即．
34．证明见详解
【分析】利用“1”的变形技巧，结合均值不等式求解.
【详解】，，，
，
当且仅当即时，等号成立.
35．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意只需证明，再利用作差法证明即可；
（2）由（1）得，则，即可得解.
【详解】（1），，，．
要证，即证．
，
，即，当且仅当时等号成立．
（2）因为，，且，
所以，且，则，，
由（1）得，
，
当且仅当，即时等号成立．
36．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】利用基本不等式即可依次证明
【详解】本题考查利用基本不等式证明不等式，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养．
（1）由，得，
当且仅当时，取得等号．
（2）由基本不等式可知，，，，
所以，
当且仅当时，取得等号．
37．长为，宽为
【分析】设出休闲广场用地的长和宽，写出长方形用地的面积，进而利用基本不等式求出最值即可.
【详解】设休闲广场用地的宽为，则长为，所以长方形用地的宽为，长为，
则长方形用地的面积为，
当且仅当，即时，等号成立，此时的长方形用地的长为，宽为.
所以应选择的长方形用地满足长为，宽为.
38．(1)
(2)20吨，160万元
【分析】（1）直接求解即可；
（2）求出函数解析式，然后利用基本不等式求解最值即可.
【详解】（1）由一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，知一年购买的总次数次；
（2）设一年的总运费与总存储费用之和为y万元，
则，当且仅当即时，等号成立，
因此，每次购买20吨，能使一年的总运费与总存储费用之和最小，最小值为160万元.
39．(1)320
(2)售价为145元，利润最大，最大值为80元
【分析】（1）代入数值，求出销售量与单价，即可得出答案；
（2）设单套售价为元，根据已知表示出单套利润，根据基本不等式求解，即可得出答案.
【详解】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时，
销售量为（万套），
供货单价为（元），
总利润为（万元）.
（2）设单套售价为元，此时销售量为万套，
供货价格为元，
同时，所以.
所以单套利润为
，
当且仅当，即时取等号.
所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元.
40．(1)
(2)AD=120cm，，
【分析】（1）根据题意列出总面积y表示为x的表达式即可.
（2）根据（1）利用基本不等式求可使用宣传栏总面积最大时和的值.
【详解】（1）根据题意，矩形海报纸面积为，
所以，
又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
所以四个宣传栏的总面积，
其中所以.
即.
（2）由（1）知，
则
，当且仅当时取等号，
则，当且仅当时取等号，
即,时，
可使用宣传栏总面积最大为.
41．(1)
(2)
【分析】（1）直接运用基本不等式进行求解即可；
（2）根据已知等式，进行常值代换、结合基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）因为正数满足，
所以有，当且仅当时取等号，
即当时，有最大值
（2）因为正数满足，
所以有，
于是有，
当且仅当时取等号，
即当且仅当时，有最小值.
42．当侧面的长度为4米时，总造价最低．最低总造价是13000元
【分析】根据题意得到函数表达式，利用基本不等式求出最小值即可.
【详解】由题可知
因为，当且仅当，即时取等号，
所以在时取最小值，
于是当侧面的长度为米时，总造价最低．最低总造价是元．
43．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解；
（2）作“1”代换，根据基本不等式求解.
【详解】（1），
，
当且仅当，即时等号成立.
（2），
.
当且仅当时，即时等号成立.
44．(1)9
(2)．
【分析】（1）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件.
（2）将问题化为恒成立，利用基本不等式求右侧的最小值，即可得参数范围.
【详解】（1），
当且仅当即时取等号，此时的最小值为9．
（2）解法一：由题意知的最小值．
因为，，所以
，
当且仅当，即，时，等号成立．
所以．
解法二：由，得，又恒成立，
所以的最小值，因为
，
当且仅当，且，即，时等号成立．所以．