高一数学【人教A版2019】必修第一册第三章函数的概念与性质全章综合检测卷试题含解析答案

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第三章�函数的概念与性质全章综合检测卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（    ）A． B．C． D．2．下列各组函数是同一个函数的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与3．下列函数中是偶函数且在区间上是增函数的是（    ）A． B．C． D．4．已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则实数的值（    ）A．2 B． C．2或 D．不存在5．已知是上的奇函数且，当时，，则（    ）A．-2 B．2 C．0 D．20236．如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（　　）  A．   B．  C．   D．  7．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ）A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元8．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（　　）A． B．C． D．二、多选题9．已知函数 则（    ）A． B．的最小值为C．的定义域为 D． 的值域为10．某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（ ）A．当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱B．当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可C．打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多D．甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元11．已知幂函数，则下列说法正确的是（    ）A．若，则在上单调递减 B．若，则是奇函数C．函数过定点 D．若，则12．已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（    ）A．是偶函数 B．C．的图象关于对称 D．三、填空题13．函数的定义域是 .14．若函数是幂函数，且满足，则的值为 .15．一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米．  16．设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为 .四、解答题17．已知函数满足，函数满足．(1)求函数和的解析式；(2)求函数的值域．18．已知函数.(1)画出函数的图象；(2)当时，求实数的取值范围，19．已知是幂函数.(1)求、的值；(2)若，求实数的取值范围.20．已知是定义在上的奇函数，且时有．(1)写出函数的单调区间（不要证明）；(2)解不等式；(3)求函数在,上的最大值和最小值．21．新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本）(2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.22．已知定义在上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又．(1)求证为奇函数；(2)求证：为上的减函数；(3)解关于的不等式：．（其中）参考答案：1．C【分析】由函数对应关系可得,对于集合M中的每个数,集合N中都有唯一且确定的数与之对应.【详解】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误;对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误;对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确;对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误,故选:C.2．A【分析】根据相同函数的定义，依次判断选项即可.【详解】A：函数和的定义域为R，解析式一样，故A符合题意；B：函数与的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意；C：函数的定义域为，的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意；D：函数的定义域为，的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意.故选：A3．B【分析】由题意对于AC，举出反例说明其不是偶函数即可；对于D，举出反例说明其在区间上不是增函数即可；对于B，按偶函数的定义证明并且由幂函数的单调性判断即可.【详解】对于A，，故不是偶函数，不符题意；对于B，因为幂函数满足，且其定义域为关于原点对称，所以是偶函数，且，所以在区间上是增函数，符合题意；对于C，，故不是偶函数，不符题意；对于D，，所以在区间上不是增函数，不符题意.故选：B.4．B【分析】由幂函数的图像特征及函数的奇偶性，单调性可求解.【详解】由幂函数为偶函数，即且为偶数，解得，所以，且在上单调递减，满足题意，故选：B.5．B【分析】利用条件求出函数的周期，结合奇函数求出，从而得到答案.【详解】,则，则函数的周期，则，又函数为奇函数，所以，所以.故选：B.6．A【分析】先分点P在AB上时，点P在BC上时，点P在CD上时求得函数，再利用函数的性质来判断．【详解】点P在AB上时,；点P在BC上时，；点P在CD上时，；所以画出分段函数的大致图象，如图所示． 故选：A．7．D【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论.【详解】由题意可得，故当时，取得最大值，，当且仅当时，等号成立，因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元，当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元.故选：D.8．A【分析】利用的奇偶性与单调性求得与的解，从而分类讨论即可得解.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，又在上是增函数，，当时，不成立；当时，由，得，则，故或；由，得，则，故或；而由，得或，解得或，即的解集为.故选：A.9．CD【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得.【详解】依题意，，则，A错误；当时，，当且仅当时取等号，B错误；在中，，解得，因此的定义域为，C正确；显然，，于是，因此 的值域为，D正确.故选：CD10．ABC【分析】根据题意，结合给定的函数关系的图象，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱，所以A正确；对于B中，当打车里程为10km时，甲、乙方案的费用均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，所以B正确；对于C中，打车3km以上时，甲方案每千米增加的费用为（元），乙方案每千米增加的费用为（元），故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，所以C正确；对于D中，由图可知，甲方案3km内（含3km）付费5元，3km以上时，甲方案每千米增加的费用为1（元），所以D错误.故选：ABC.11．BD【分析】由为幂函数，可得，求出的值，然后逐个分析判断即可.【详解】因为为幂函数，所以，得或，对于A，当时，，则在上单调增，所以A错误，对于B，当时，，则（），因为，所以是奇函数，当时，，则，因为，所以是奇函数，所以时， 是奇函数，所以B正确，对于C，因为，所以，当时，，所以函数过定点，所以C错误，对于D，当时，，则，所以D正确，故选：BD12．ABD【分析】首先由题意得到的图象关于点对称且关于直线对称，进一步是以4为周期的函数，且在是单调递增，对于A，直接由偶函数的定义以及对称性验证即可；对于B，由周期性结合验算即可；对于C，由对称性可知即可判断；对于D，由单调性结合对称性、周期性即可判断.【详解】为奇函数，为偶函数，所以的图象关于点对称且关于直线对称，所以，，所以是周期函数，4是它的一个周期.，，В正确；是偶函数，A正确；因此的图象关于点对称，其中为奇数，得不到C；对任意的，且，都有，即时，，所以在是单调递增，，，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：由题意首先得到是以4为周期的函数，且在是单调递增，从而即可顺利得解.13．【分析】保证分母不为零，被开方式大于等于零即可.【详解】由题意得，解得且，∴函数的定义域为.故答案为：.14．16【分析】设，根据【详解】设，由可得可得.故，则.故答案为：1615．2080【分析】设小明原速度为x每分钟，则拿到书后的速度为1.25x米/分钟，家校距离为．设爸爸行进速度为y米/分钟，由题意及图形得方程组，求出x、y的值即可解答．【详解】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为，设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：，解得：∴小明家到学校的路程为：（米）.故答案为：2080．16．【分析】先得到在上单调递增，且为偶函数，故在上单调递减，分与、三种情况，结合，得到不等式的解集.【详解】不妨设，由得，即，故在上单调递增，因为为R上的奇函数，所以，的定义域为，且，故为偶函数，在上单调递减，当时，，因为，所以，故，即，解得，当时，，因为，所以，故，解得；当时，，符合题意；故不等式的解集为.故答案为：17．(1)，(2)【分析】（1）利用换元法求出的解析式，利用解方程组法求出的解析式；（2）利用换元法求函数的值域.【详解】（1）令，即，所以，即，因为①，②，由①②解得，.（2）因为，令，所以，因为，所以，所以该函数的值域为.18．(1)作图见解析；(2)【分析】（1）根据函数解析式直接画出函数图象；（2）结合函数解析式分段得到不等式组，解得即可.【详解】（1）因为，所以的图象如图所示：（2）由题可得或或，解得或或，所以实数的取值范围为19．(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义列出关于的方程组，由此求解出的值；（2）分析的定义域和单调性，然后列出关于的不等式组，由此求解出结果.【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得；（2）由（1）可知，定义域为，且，所以是上的单调递增函数，又因为，所以，解得，所以的取值范围是.20．(1)单调递增区间为,,,，递减区间为,(2)(3)答案见解析【分析】（1）根据题意，由函数的解析式结合函数的奇偶性可得的单调区间；（2）根据题意，由函数的奇偶性可得函数的解析式，则有或，解可得不等式的解集，即可得答案；（3）由函数的解析式可得在区间上为增函数，在上为减函数，在为增函数；对的值进行分情况讨论，求出函数的最值，即可得答案【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数，且时有；则的单调递增区间为,,,，递减区间为,；（2）是定义在上的奇函数，且时有，设，则，则，则，综合可得：，若或，解可得：或，则不等式的解集为（3）由（2）的结论，，在区间上为增函数，在上为减函数，在为增函数；对于区间，，必有，解可得；故当时，，，当，时，，（2），当时，，，21．(1) (2)年产量为90百辆时利润最大，最大利润为2820万元.【分析】（1）根据利润销售量售价成本，表示出利润关于产量的关系式即可，注意单位的统一；（2）分段函数的最值问题，先分别求出两个范围内的最大值，然后比较哪个最大哪个就是整个分段函数的最大值.【详解】（1）每辆车售价5万元，年产量（百辆）时销售收入为万元，总成本为，所以.所以年利润.（2）由（1）当时，（百辆）时（万元），当时，当且仅当（百辆）时，等号成立，因为2820万元万元,所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元.22．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）由赋值法利用奇函数定义即可证明函数为奇函数；（2）利用函数单调性定义由即可得出证明；（3）由将不等式化简可得，再由函数单调性以及即可得.【详解】（1）由题意，令得，可得；再令得，即对于任意都满足，所以为奇函数（2）令，则，因此，可得所以为上的减函数；（3）不等式化为：即可得，又为上的减函数，所以，整理的，又，即，解得．则不等式的解集为.