必修 第一册3.2 函数的基本性质测试题

这是一份必修 第一册3.2 函数的基本性质测试题，共34页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列函数中的奇函数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A．B．C．1D．2
7．函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．若奇函数和偶函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
9．若为偶函数，则（ ）
A．0B．5C．7D．9
10．已知函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．4B．6C．8D．0
11．已知函数是定义在区间上的奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
12．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（ ）
A．1B．3
C．D．
13．设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．已知奇函数的定义域为，且在上单调递减．若，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
15．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
16．定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
17．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
18．函数部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
19．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
20．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
21．函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是R上的减函数
C．在上的最小值为D．若，则实数x的取值范围为
22．已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数的图象关于点对称
C．D．若，则
23．函数为定义在上的偶函数，则实数等于（ ）
A． B．1C．0D．无法确定
24．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
25．如果函数是奇函数，那么（ ）
A．B．
C．D．
26．下列函数中，既是奇函数又在上是减函数的为（ ）
A．B．
C．D．
27．已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．4B．2C．D．
28．定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
29．已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（ ）
A．0B．C．3D．4
30．若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
31．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．D．是周期为4的周期函数
32．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且也是偶函数，则（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的图象关于直线对称
三、填空题
33．已知是奇函数，当时，，则 .
34．设是定义在上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为 .
四、解答题
35．已知定义在上的函数满足，当时，，且．
(1)求；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)判断在上的单调性，并说明理由．
36．已知定义在上的函数满足，且当时，.
(1)求的值；
(2)证明为奇函数；
(3)猜想函数的单调性并求的解集.
37．已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)用定义法证明：函数在上单调递增；
(3)求不等式的解集.
38．已知函数是定义域上的奇函数，且．
(1)判断并证明函数在上的单调性；
(2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围．
39．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义证明；
(3)解关于的不等式.
40．已知函数对任意的x，，都有，且当时，，．
(1)判断函数的奇偶性，并证明当时，；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明；
(3)设实数，求关于x的不等式的解集．
41．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
42．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. 现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示：
(1)请补全函数的图象；
(2)根据图象写出函数的单调递增区间；
(3)求出函数在上的解析式．
43．已知是定义在R上的奇函数，且时有．
(1)写出函数的单调区间（不要证明）；
(2)求函数的解析式；
(3)解不等式．
44．已知定义在上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又．
(1)求证为奇函数；
(2)求证：为上的减函数；
(3)解关于的不等式：．（其中）
参考答案：
1．B
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性的定义和判定方法，即可求解.
【详解】对于A中，函数的定义域为，且，
所以函数为偶函数，不符合题意；
对于B中，函数的定义域为，
且，所以函数为奇函数，符合题意；
对于B中，函数的定义域为，且，
所以函数为偶函数，不符合题意；
对于B中，函数，所以函数为非奇非偶函数函数，不符合题意.
故选：B.
2．D
【分析】利用基本初等函数的奇偶性和单调性逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，设，该函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，且当时，，即函数在上是增函数，A不满足要求；
对于B选项，函数为奇函数，且该函数在上为增函数，B不满足要求；
对于C选项，函数为偶函数，且该函数在上为增函数，C不满足要求；
对于D选项，函数为奇函数，且该函数在上为减函数，D满足要求.
故选：D.
3．B
【分析】由函数图象的平移变换结合奇函数定义可解.
【详解】关于点对称，
故将的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，图像关于原点对称，
（事实上为奇函数），
故选：B.
4．B
【分析】根据判断函数为奇偶函数的定义及奇偶函数的性质逐项判断即可求解.
【详解】对A：不知奇偶性，因此与的关系不确定，与关系不确定，故A错误；
对B：由题意知函数的定义域为，且，得为偶函数，故B正确；
对B：也不知其奇偶性，因此与的关系不确定，故C错误；
对D：，所以不是偶函数，故D错误.
故选：B．
5．A
【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】是定义域为的奇函数，
当时，，所以.
故选：A
6．A
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】根据题意，由①得，
因为为奇函数，为偶函数，所以，，
所以②，
由①②得，所以，
则.
故选：A.
7．A
【分析】由可得出，结合函数的奇偶性可得出关于、的等式组，由此可解得函数的解析式.
【详解】因为函数是偶函数，函数为奇函数，则，，
由可得，即，
所以，，解得，其中，
故选：A.
8．D
【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，求得的解析式，进而求得的值.
【详解】由，用代替，可得，
因为是奇函数，是偶函数，所以，
联立，解得，，
所以，，则．
故选：D．
9．C
【分析】求出的表达式，根据偶函数定义即可求出的值.
【详解】由题意，
为偶函数，
∴，，
∴，解得：，
故选：C.
10．B
【分析】根据函数奇偶性的性质列出方程组求解即可得到答案.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数
所以函数定义域关于原点对称，且.
则，解得.
所以.
故选：B
11．C
【分析】根据奇函数得到，，解得答案，再验证即可.
【详解】函数是定义在区间上的奇函数，
则，解得，定义域为，，则，
，定义域为，，函数为奇函数，满足，
故.
故选：C
12．D
【分析】由偶函数的性质得列式求解．
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，
所以，解得．
故选：D
13．A
【分析】根据偶函数性质将负值的函数值转化为正值的函数值，再利用在上的单调性即得.
【详解】因是偶函数，故，
又因当时，是增函数，由可得：，
即.
故选：A.
14．B
【分析】利用奇函数的性质结合单调性计算即可.
【详解】根据奇函数的性质可知在和上单调递减，
且，
所以的解集为.
故选：B
15．A
【分析】由题意得到 在上是减函数，再根据判断.
【详解】解：是定义在上的偶函数，且在上单调递增，
在上是减函数.
而，
，
，
即.
故选：A.
16．D
【分析】根据函数的奇偶性和得到在单调递减，且，再分类讨论，得到不等式的解集.
【详解】定义在上的偶函数在上单调递增，且，
故在单调递减，且，
当时，，故，此时满足；
当时，，此时，满足；
当时，，此时，满足；
当时，，此时，此时，不合要求，
综上，的解集为.
故选：D
17．A
【分析】根据函数的定义域以及奇偶性即可求得答案．
【详解】因为函数的定义域为，排除CD，
又，即为偶函数，图象关于轴对称，排除B．
故选：A．
18．B
【分析】根据函数奇偶性单调性和值域，排除法得正确选项..
【详解】函数的定义域为，为偶函数，故C不正确，
函数在上单调递减，当时，最大值为5，故D不正确；
因为，所以，故A不正确，
故选：B.
19．B
【分析】由函数的定义域，奇偶性可排除C，D；再求的值，可排除A，即可得出答案.
【详解】的定义域为，排除选项D.
因为，
所以为奇函数，排除选项C.
因为，所以排除选项A.
故选：B.
20．C
【分析】根据题意，得到函数的定义域及函数为奇函数，利用时，和时，，结合选项，即可求解.
【详解】解：由，可得，解得，即的定义域为，
又由满足，所以函数为奇函数，
当时，，可排除A项；
当时，，故排除B、D项.
故选：C.
21．C
【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A；
根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B；
根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C；
不等式转化为，利用函数的单调性，即可判断D.
【详解】解：取，，则，解得，，
则．即，函数是奇函数，所以选项A错误；
令，，且，则，因为当时，，所以．
则．即，
函数是R上的增函数，所以选项B错误；
因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为，
，，．
故，在的最小值为-2，所以选项C正确；
，即，
因为函数是R上的增函数，所以，所以，
所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确．
故选：C．
22．D
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.
【详解】解：对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误；
对于B，取，满足及，
因为，所以的图象不关于点对称，
所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，令，，代入已知等式得，
可得，结合得，，
再令，代入已知等式得，
将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
令，，代入已知等式，得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，故C错误；
对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，
两式相加易得，所以有，
即：，
有：，
即：，所以为周期函数，且周期为3，
因为，所以，所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.
23．C
【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称即可得解.
【详解】因为为定义在上的偶函数，
所以，解得.
故选：C.
24．A
【分析】先运用奇偶性排除CD选项，然后再运用特殊值（范围）排除B选项，从而得出答案.
【详解】解：函数的定义域为，
因为，
故函数为奇函数，关于原点对称，故排除C、D两个选项；
又因为当时，，
故此时，
故排除B选项.
故选：A.
25．A
【分析】运用奇函数定义求解即可.
【详解】当时，，
所以，
又因为为奇函数，所以，
所以，即，
所以当时，.
故选：A.
26．D
【分析】画出对应选项中常见函数的图象，即可数形结合判断函数奇偶性和单调性.
【详解】对于选项A:
数形结合可知：是奇函数，且在单调递增，故选项A错误；
对于选项B:
数形结合可知：是偶函数，且在单调递增，在单调递减，故选项B错误；
对于选项C:
数形结合可知：是奇函数，且在,单调递减，故选项C错误；
对于选项D:
数形结合可知：该函数在是奇函数，在上是减函数，符合题意，故选项D正确；
故选：D.
27．C
【分析】根据条件得出函数的周期为，再利用，即可求出结果.
【详解】因为为奇函数，所以，又为偶函数，得到，
由，得到，所以，
即有，所以，故函数的周期为，
又，所以，
故选：C.
28．A
【分析】根据题设知为偶函数且在上单调递增，利用奇偶性、单调性比较函数值大小即可.
【详解】由题设为偶函数且在上单调递增，
所以，即.
故选：A
29．B
【分析】由题设易知关于原点对称，将代入条件得，结合奇函数性质得，即，进而推出是周期为16的奇函数，利用周期性、奇函数性质求函数值.
【详解】由的图象关于点对称，则关于原点对称，
故又，，则，
由，则，
所以，故，
所以，即，
则，
综上，是周期为16的奇函数，
所以，而，
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据题设得到是周期为16的奇函数为关键.
30．D
【分析】根据题意，得到的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可得出答案.
【详解】因为在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，
所以当时，，
当时，.
所以由可得：或或,
解得或或，即或.
所以满足的的取值范围是.
故选：D.
31．AC
【分析】先由题意可得且函数的最小正周期为，然后结合条件逐项判断即可.
【详解】由函数是定义在R上的奇函数，得且.
由，得，即，
于是函数的最小正周期为.
对于A：，故A正确；
对于B：因为，的定义域是全体实数，
所以是偶函数，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：是周期为8的周期函数，故D错误.
故选：AC.
32．ACD
【分析】利用函数奇偶性，对称性和单调性逐项判断即可
【详解】因为是偶函数，所以，即，
所以的图象关于直线对称.
因为是偶函数，所以的图象关于轴对称.
所以，.
因为在上单调递增，所以.
即.A正确，B错误.
因为是偶函数，所以的图象关于轴对称，将的图象向左平移3个单位长度可得的图象，所以的图象关于直线对称，C正确.
令函数，则，即，
所以函数的图象关于直线对称.D正确.
故选：ACD
33．
【分析】根据奇函数的性质，，则可求得答案.
【详解】因为是奇函数，所以，
当时，，所以.
故答案为：
34．
【分析】先得到在上单调递增，且为偶函数，故在上单调递减，分与、三种情况，结合，得到不等式的解集.
【详解】不妨设，由得，
即，
故在上单调递增，
因为为R上的奇函数，所以，
的定义域为，且，
故为偶函数，在上单调递减，
当时，，
因为，所以，故，
即，解得，
当时，，
因为，所以，故，解得；
当时，，符合题意；
故不等式的解集为.
故答案为：
35．(1)；
(2)奇函数；理由见详解
(3)单调递减，理由见详解
【分析】（1）利用赋值法即可求得；（2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性；（3）赋值构造出表达式，再运用定义证明函数单调性.
【详解】（1）令，，可得，
解得；
令，，可得，解得.
（2）为奇函数，理由如下：
，
而，
得
故在上是奇函数
（3）当时，，所以当，则，得，
又在上是奇函数，所以当，则，
设，则，所以，，故 ，
在上单调递减.
【点睛】方法点睛：抽象函数求解证明时，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还能得出函数的奇偶性、周期性、单调性．
36．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法即可求解，
（2）结合奇函数的定义证明即可；
（3）利用函数单调性的定义证明单调性，即可由单调性求解；
【详解】（1）令，则有，解得．
（2）证明：令，则有，
所以，故函数为奇函数；
（3）是R上的减函数．证明如下：
设，所以，
由，
因为当时，，所以，
即，所以是R上的减函数；
，则，故，
故不等式的解为
37．(1)为奇函数
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据与定义域关于原点对称判断即可；
（2）任取，且，作差，再判号得到相应结论；
（3）先得到，为奇函数，从而根据奇偶性和第一问求出的单调性解不等式，得到答案.
【详解】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数.
（2）任取，且，
，
因为，且，
故，，，，，
所以，，
故函数在上单调递增；
（3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增，
变形为，
则要满足，解得：，
故不等式的解集为
38．(1)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，得到和，列出方程组求得的值，结合单调性的定义和判定方法，即可求解；
（2）由函数，令，可得，且，结合二次函数的图象与性质，求得的最大值和最小值，结合，即可求解.
【详解】（1）解：由函数为奇函数，且，
可得，则，解得，可得，
经检验，有解析式可知，定义域，关于原点对称，
可得，所以是奇函数，满足题意
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
因为，且，所以，，
所以，所以，即，
所以函数在上单调递减，同理可证明函数在上单调递增．
（2）解：由题意，函数，令，可得，
由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为函数的对称轴方程为，
所以函数在上单调递增，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，．
所以，，
又因为对任意的都有恒成立，
所以，即，解得，
又因为，所以，所以实数的取值范围是．
39．(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得以及，列出方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由函数单调性的定义即可证明；
（3）由函数的奇偶性与单调性列出不等式，即可得到结果.
【详解】（1）由奇函数的性质可知，，
，
.
.
经验证，满足题设.
（2）函数在上单调递增，
证明：令，
，
，
即，
函数在上单调递增.
（3）由已知：，
由（2）知在上单调递增，
，
不等式的解集为.
40．(1)为奇函数，证明见解析；
(2)函数在区间上为单调递增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；
（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可；
（3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式，即可求解.
【详解】（1）为奇函数.证明如下：
因为函数对任意的x，，都有，
所以令，可得，代入，
可得，
所以为奇函数；
所以，
由奇函数的性质可知奇函数在定义域内是单调的，且当时，，
所以当时，
（2）函数在区间上为单调递增函数.
证明如下：
设，
则，
因为，且当时，，
所以，
所以当时，，
所以函数在区间上为单调递增函数.
（3）因为，设，
所以
因为，且函数在区间上为单调递增函数，
所以不等式等价于，等价于，
方程的根为，
即，
所以不等式的解集为.
41．(1)偶函数
(2)奇函数
(3)奇函数.
【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断.
【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称.
，故为偶函数.
（2）的定义域为，它关于原点对称.
，故为奇函数.
（3）的定义域为，它关于原点对称.
，故为奇函数.
42．(1)作图见解析
(2)和
(3)
【分析】（1）利用偶函数的关于图像关于轴对称，即可作出函数的图象；
（2）根据图像写出单调区间即可；
（3）利用时，，求得，再根据偶函数即可求解.
【详解】（1）如图所示:
（2）结合图象可得：函数的单调递增区间为和；
（3）当时，，
若时，则，
所以，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
所以，
故函数在上的解析式为.
43．(1)递增区间为和，递减区间为
(2)
(3)
【分析】（1）利用二次函数的图像和性质，结合奇函数的图像特征，写出的函数单调区间；
（2）由函数的奇偶性，求解析式；
（3）利用解析式分段讨论，解不等式.
【详解】（1）时有，由二次函数的图像和性质可知在上单调递减，在单调递增，
是定义在R上的奇函数，图像关于原点对称，
所以的单调递增区间为和，递减区间为；
（2）是定义在R上的奇函数，且时有，
当，则，，
综合可得：.
（3）若，则或，
解可得：或，
则不等式的解集为.
44．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由赋值法利用奇函数定义即可证明函数为奇函数；
（2）利用函数单调性定义由即可得出证明；
（3）由将不等式化简可得，再由函数单调性以及即可得.
【详解】（1）由题意，
令得，可得；
再令得，
即对于任意都满足，
所以为奇函数
（2）令，则，
因此，
可得
所以为上的减函数；
（3）不等式化为：
即可得，
又为上的减函数，所以，
整理的，又，即，
解得．则不等式的解集为.