高一数学【人教A版2019】必修第一册期末模拟试题（提高篇）试题含解析答案

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（提高篇）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则下列结论不正确的是（    ）A． B． C． D．2．已知下列命题：①命题“，”的否定是“，”；②“”是“”的充分不必要条件；③“若，则且”为真命题；其中真命题的个数为（    ）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个3．已知，，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．4．命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．5．已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ）A． B． C． D．6．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ）A． B． C． D．7．设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（    ）A． B．C． D．8．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的有（    ）A．是的必要不充分条件B．“”是‘’成立的充分条件C．命题，则D．为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件10．已知实数a，b，c，则下列结论中正确的是（    ）A．B．若，则C．若，则D．若，则有最大值11．对任意两个实数，定义,若，，下列关于函数的说法正确的是（    ）A．函数是奇函数 B．方程有三个解C．函数在区间上单调递减 D．函数有4个单调区间12．已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（    ）A．是偶函数 B．C．的图象关于对称 D．三、填空题13．，或，且，则的取值范围是 .14．已知函数是定义在上的周期为2的偶函数，，，则函数的图象与函数的图象交点个数为 ．15．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．16．函数，给出下列四个结论：①的值域是；②且，使得；③任意且，都有；④规定，其中，则．其中，所有正确结论的序号是 ．四、解答题17．已知集合，.(1)若，求；(2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.18．已知集合.(1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合；(2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围.19．基本不等式是高中数学的重要内容之一，我们可以应用其解决数学中的最值问题．(1)已知，R，证明；(2)已知，，，R，证明，并指出等号成立的条件；(3)已知，，，，证明：，并指出等号成立的条件.(4)应用（2）（3）两个结论解决以下两个问题：①已知，证明：；②已知，，且，求的最小值.20．定义在上的函数满足，且当时，．(1)求，的值，并判断函数的奇偶性；(2)判断并用定义证明函数在上的单调性；(3)解不等式．21．设．(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；(2)在（1）的条件下，求的最小值；(3)解关于x的不等式．22．已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．(1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．参考答案：1．D【分析】根据交集、并集的定义求出，，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.【详解】因为，，所以，，所以，，，故A、B、C正确，D错误；故选：D2．D【分析】根据特称命题的否定得到①是假命题；“”是“”的必要不充分条件，则②是假命题；若，得或，所以③是假命题；则得到真命题的个数.【详解】对于①，命题“，”的否定是“，”，所以①是假命题；对于②，“”是“”的必要不充分条件，所以②是假命题；对于③，因为，得或，所以 “若，则且”是假命题，所以③是假命题；综上所述，真命题的个数为0个.故选：D．3．A【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围．【详解】设，所以，解得，即可得，因为，，所以，故选：A．4．C【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解.【详解】由使得不等式成立是真命题，即不等式在有解，因为，当时，，所以，即实数的取值范围为.故选：C.5．B【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解.【详解】因为函数，在上单调递增，当时，由于和均在单调递增函数，故在上单调递增，所以，解得，当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增，则，解得，当时，，此时，显然满足在上单调递增，综上，．故选：B6．C【分析】注意到原题条件等价于当时，恒成立，当时，恒成立，故当时，，从而得，由此结合基本不等式即可求解.【详解】设，，因为，所以当时，；当时，；时，；由不等式恒成立，得或，即当时，恒成立，当时，恒成立，所以当时，，则，即，则当时，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．故选：C．7．C【分析】根据偶函数的性质，以及单调性直接判断大小即可.【详解】因为是偶函数，所以，所以，，又时，是增函数，且，所以，即.故选：C8．D【分析】先通过求出，然后确定函数单调性，利用单调性解不等式即可.【详解】为定义在上的奇函数，因为当时，，所以，故在上单调递增，根据奇函数的性质可知在上单调递增，因为，所以，由不等式可得，，解得，，故解集为.故选：D.9．BD【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断ABD，根据全称量词命题的否定为特称量词命题的否定判断C.【详解】对于A，若，则，但由不能推出，所以是的充分不必要条件，故A错误；对于B，时，一定成立，所以是成立的充分条件，故B正确；对于C，命题，则，故C错误；对于D，当时，，当时，为无理数，所以为无理数是为无理数的既不充分也不必要条件，故D正确.故选：BD.10．ACD【分析】举反例判断B，根据基本不等式判断ACD.【详解】对于A，，当且仅当时等式成立，A正确；对于B，当时，，满足，但是，B错误；对于C，因为，所以，所以，所以，C正确；对于D，因为，所以有，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，即有最大值，D正确．故选：ACD．11．BD【分析】根据新定义的函数及函数的单调性与奇偶性结合函数的图象一一分析选项即可.【详解】令，解得，所以当时，；当或时，；所以,作出函数的图象，如图所示，对于A，由图象可得关于轴对称，所以为偶函数，故A错误；对于B，因为的图象与轴有3个交点，所以方程有三个解，故B正确；对于C，由图象可知函数在上不单调递减，故C错误；对于D，由图象可知函数在和上单调递增，在和上单调递减，所以函数有4个单调区间，故D正确，故选:BD.12．ABD【分析】首先由题意得到的图象关于点对称且关于直线对称，进一步是以4为周期的函数，且在是单调递增，对于A，直接由偶函数的定义以及对称性验证即可；对于B，由周期性结合验算即可；对于C，由对称性可知即可判断；对于D，由单调性结合对称性、周期性即可判断.【详解】为奇函数，为偶函数，所以的图象关于点对称且关于直线对称，所以，，所以是周期函数，4是它的一个周期.，，В正确；是偶函数，A正确；因此的图象关于点对称，其中为奇数，得不到C；对任意的，且，都有，即时，，所以在是单调递增，，，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：由题意首先得到是以4为周期的函数，且在是单调递增，从而即可顺利得解.13．或【分析】根据条件及集合的运算，借助数轴，即可求出结果.【详解】因为，或，且，由图知或，得到或，故答案为：或.14．【分析】根据题意，画出时，函数和的图象，结合图象与对称性的图象的交点个数，即可求解.【详解】由时，函数，画出函数在上的图象， 因为函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，可得的图象，如图所示，又由也是偶函数，作出函数的图象，由图象可得，当时，函数与的交点个数为3个，又由对称性，可得与的交点个数为6个.故答案为：.15．【分析】根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得.【详解】因为两个正实数 满足，则，故，当且仅当时取等号，因不等式恒成立，则，故.故答案为：.16．①④【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可；【详解】对于①：因为的定义域为，关于原点对称，且，可知为奇函数，当时， ，可知函数在内单调递增，且，可得，则，结合为奇函数，可知：当时， 函数在内单调递增，且,所以的值域是，故①正确；对于②：由①可知： 可知函数是上的增函数，所以对任意且，均有，故②错误；对于③：当任意且时，令，，，显然，因此不成立，故③不正确；对于④：当时， ，可得，，，，以此类推可得，因此，故④正确；故答案为：①④.【点睛】关键点点睛：对于分式型函数常利用分离常数法结合单调性的性质分析求解.17．(1)(2)【分析】（1）解指数不等式，一元二次不等式化简集合，然后由交集定义计算；（2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解；【详解】（1）因，则.当时，，所以.（2）因“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集.所以，经检验“=”满足.所以实数m的取值范围是.18．(1)(2)【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得；（2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可．【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以.又，故.由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集，用列举法可得这样的集合共有6个，分别为.（2）当时，是的一个子集，此时对于方程，有，所以.当时，因为，所以当时，，即，此时，因为，所以不是的子集；同理当时，，，也不是的子集；当时，，，也不是的子集.综上，满足条件的的取值范围是.19．(1)证明见解析(2)证明见解析，当且仅当时取“”(3)证明见解析，当且仅当时取“”(4)①证明见解析；②.【分析】（1）由展开即可得结果；（2）根据题意结合（1）中结论分析证明；（3）根据题意结合（1）中结论分析证明；（4）①根据题意结合（2）中结论分析证明；②根据题意结合（3）中结论分析求解.【详解】（1）由可知，，当且仅当时取“” ，所以.（2）因为，由（1）可得，当且仅当时取“”，则，所以，当且仅当时取“”.（3）当，，，时，因为，由（1）可得，当且仅当时取“”则，所以，当且仅当时取“”.（4）①由（2）可知，当且仅当时取“”，即，所以②因为，由（3）可得：，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.20．(1)，，偶函数(2)函数在上单调递增，证明见解析(3)．【分析】由，且当时，可求得，的值，利用定义可判断函数的奇偶性；分离常数得，在上单调递增，利用单调性的定义证明即可；依题意，不等式可等价转化为，解之可得答案．【详解】（1），，，又，即，，，其定义域为，且满足，函数为偶函数；（2）函数在上单调递增．证明：令，则，，，在上单调递增．（3）由知偶函数在上单调递增，，解得或．原不等式的解集为．21．(1)(2)4(3)答案见解析【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解；（2）变形为，利用基本不等式求解可得；（3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可.【详解】（1）由恒成立得：对一切实数x恒成立.当时，不等式为，不合题意；当时，，解得：；综上所述：实数m的取值范围为．（2），，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为4．（3）由得：；①当时，，解得：，即不等式解集为；②当时，令，解得：，；1）当，即时，不等式解集为；2）当，即时，不等式解集为；3）当，即时，不等式可化为，，不等式解集为；4）当，即时，不等式解集为；综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．22．(1)为奇函数；(2)在上的单调递减，证明见解析；(3).【分析】（1）通过特殊值以及函数的奇偶性的定义判断即可；（2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可；（3）结合已知利用函数的单调性化简不等式，分离参数，转化为最值求解即可．【详解】（1）结合题意：由函数的定义域为,且，取，则，即，取，则，所以，所以为奇函数.（2）在R上的单调递减，证明如下：任取，且，则，令，则，因为为奇函数，所以，因为当时，，所以，即，所以在上的单调递减.（3）由，得，因为，所以，因为在上的单调递减，所以，即时，恒成立，等价于对任意时，恒成立，令，则，所以，所以，故实数的取值范围为.【点睛】关键点睛：解题关键是利用进行恰当的赋值,转化为函数的单调性与奇偶性问题,最后一问主要是借助单调性，并进行分参，将恒成立问题转化为最值问题.