新高考数学一轮复习专题三导数及其应用微专题三导数中的双变量问题练习含答案

这是一份新高考数学一轮复习专题三导数及其应用微专题三导数中的双变量问题练习含答案，共9页。试卷主要包含了已知函数f=x2等内容，欢迎下载使用。
(1)求f(x)的单调区间;
(2)函数f(x)的图象上是否存在两点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2),使得直线AB与函数f(x)的图象在x0=x1+x22处的切线平行?若存在,请求出直线AB;若不存在,请说明理由.
解析 (1)由题得函数f(x)的定义域为(0,+∞),(1分)
求导得f '(x)=ax+1-2a-2x=ax2+(1−2a)x−2x=(x−2)(ax+1)x,(4分)
因为a>0,
所以由f '(x)>0,得x>2;由f '(x)0恒成立,
所以g(t)在(0,1),(1,+∞)上单调递增,(14分)
因为g(1)=0,
所以g(t)≠0在t∈(0,1)∪(1,+∞)上恒成立,
所以不存在这样的两点A,B.(15分)
2.(2024湖南长沙雅礼中学月考七,18)已知函数f(x)=xln x-ax2-3x(a∈R).
(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求实数a的值.
(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,其中x13k+1恒成立,求实数k的取值范围.
解析 (1)易知f '(x)=ln x+1-2ax-3=ln x-2ax-2,
因为x=1是函数f(x)的一个极值点,
所以f '(1)=0,即-2a-2=0,∴a=-1.
此时f '(x)=ln x+2x-2,易知当x∈(0,1)时, f '(x)0,
故f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,有f '(x)=2(1−ax2)x=2(1+xa)(1−xa)x=2a(1+xa)x1a−x,而当x>0时,2a(1+xa)x>0,故当00,F(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,F'(x)0,g(t)单调递增,
∴g(t)min=g(1)=0,
又00恒成立,
又∵a>0,x2-x1>0,∴h(x1)>0.
h(x2)=2x2−x11−x1x2−lnx2x1+a(x1-x2),
令m(t)=1-1t-ln t(t>1),则m'(t)=1t2-1t=1−tt2,当t∈(1,+∞)时,m'(t)0,
令φ(x)=2ln x+2a+1,则φ'(x)=2x>0,
∴φ(x)在(0,+∞)上单调递增,
由φ(x)=2ln x+2a+1=0得x=e−a−12,
∴f(x)在(0,e−a−12)上单调递减,在(e−a−12,+∞)上单调递增.
(3)证明:∵f(e-a)=0,∴x∈(0,e-a)时, f(x)G(-1)=0,从而得证,
故2(ln x1+a)+2(ln x2+a)