新高考数学一轮复习专题三导数及其应用微专题四对称化构造解极值点偏移问题练习含答案

这是一份新高考数学一轮复习专题三导数及其应用微专题四对称化构造解极值点偏移问题练习含答案，共5页。试卷主要包含了已知函数f=eln1ax，已知函数f=2ex+ax等内容，欢迎下载使用。
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若方程f(x)=1有两个根x1,x2,求实数a的取值范围,并证明:x1x2>1.
解析 (1)由题意可得x>0,1ax>0,所以a>0,
f(x)=(1+ln x)eln1ax=1+lnxax的定义域为(0,+∞),
f '(x)=1x·ax−(1+lnx)·a(ax)2=-lnxax2,
由f '(x)=0,得x=1,
当00,
故g(x)=1+lnxx的图象如图所示,
由图知当01.
由题意知AB⊥x轴.设A(x,0),则Bx,lnxx,所得圆锥体积V=13·πlnxx2·x=π3·ln2xx(x>1).
设m(x)=ln2xx(x>1),则m'(x)=2lnx−ln2xx2,
由m'(x)>0⇒2ln x-ln2x>0⇒ln x(2-ln x)>0.
因为x>1,所以2-ln x>0⇒x0,h(x)单调递增;
当x∈1e,+∞时,h'(x)1,
则G'(x)=1x-4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0,
故G(x)在(1,+∞)上单调递增,故G(x)>G(1)=0,即当x>1时,ln x>2(x−1)x+1,又x2>x1>0,故ln x22x12>2x22x12−1x22x12+1,故x12+x222>x12−x22lnx12−lnx22,故x12+x222>12a,由(i)知02e.