新高考数学一轮复习专题八平面解析几何微专题一圆锥曲线中的定点与定值问题练习课件

这是一份新高考数学一轮复习专题八平面解析几何微专题一圆锥曲线中的定点与定值问题练习课件，共16页。

1.(2024山东聊城一模,15)已知抛物线C关于y轴对称,顶点在原点,且经过点P(2,2),动直 线l:y=kx+b不经过点P,与C相交于A、B两点,且直线PA和PB的斜率之积等于3.(1)求C的标准方程;(2)证明:直线l过定点,并求出定点坐标.
  解析    (1)由抛物线C关于y轴对称,可设C:x2=2py,由P(2,2)在抛物线C上,得4=2p×2,解得p=1,故C:x2=2y.(2)证明:设A(x1,y1)、B(x2,y2),则kPA= = = = ,同理可得kPB= ,由kPA·kPB=3,得 · =3,得x1x2+2(x1+x2)=8,联立 消去y得x2-2kx-2b=0,Δ=4k2+8b>0,x1+x2=2k,x1x2=-2b,
即有-2b+2×2k=8,化简得b=2k-4,此时Δ=4k2+8b=4k2+16k-32,则Δ>0有解,则l:y=k(x+2)-4,即直线l过定点(-2,-4).
2.(2024江西质量检测,17)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,且|AF1|+|AF2|=4,离心率为 .(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知M,N是C上两点(点M,N不同于点A),直线AM,AN分别交直线x=-1于P,Q两点,若  · =- ,证明:直线MN过定点.
  解析    (1)不妨设椭圆C的半焦距为c,因为|AF1|+|AF2|=4,离心率为 ,所以 解得 则C的方程为 + =1.(2)证明:由(1)知F1(-1,0),A(2,0),易知直线MN的斜率存在且不为0,不妨设MN的方程为x=sy+t(t≠2),M(x1,y1),N(x2,y2),联立 消去x并整理得(3s2+4)y2+6sty+3t2-12=0,由Δ=36s2t2-4(3s2+4)(3t2-12)>0,
得3s2+4-t2>0,由根与系数的关系得y1+y2=- ,y1y2= ,所以x1+x2=s(y1+y2)+2t= ,x1x2=(sy1+t)(sy2+t)=s2y1y2+st(y1+y2)+t2= ,易知直线AM的方程为y= (x-2),令x=-1,解得y=- ,即P ,同理得Q ,所以 = , = ,
因为 · =- ,所以-  =- ,即 =- ,可得 =- ,整理得 =-1,解得t=-1或t=2(舍去),则直线MN的方程为x=sy-1.故直线MN过定点(-1,0).
3.(2024广西南宁二模,18)双曲线C: - =1(a>0,b>0)上一点D(6, )到左、右焦点的距离之差为6.(1)求C的方程;(2)已知A(-3,0),B(3,0),过点(5,0)且与x轴不重合的直线l与C交于M,N两点,直线MA与NB 交于点P,试问点P到直线x=-2的距离是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理 由.
  解析    (1)依题意可得 解得 故C的方程为 -y2=1.(2)设l的方程为x=my+5,M(x1,y1),N(x2,y2),联立 消去x得(m2-9)y2+10my+16=0,则y1+y2= ,y1y2= .直线AM:y= (x+3),直线BN:y= (x-3).
联立 消去y得 = = .= = .= = =-4,解得x= ,所以点P在定直线x= 上.
因为直线x= 与直线x=-2之间的距离为 ,所以点P到直线x=-2的距离为定值,且定值为 .
4.(2024云南昆明一中,宁夏银川一中联考(一),18)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的短轴长等于2 ,离心率e= .(1)求椭圆C的方程;(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,证明:  为定值.
  解析    (1)由题意可得 解得a=2,b= ,c=1,所以椭圆C的方程为 + =1.(2)由(1)得F(1,0),当直线l的斜率不存在时,线段AB被x轴垂直平分,不符合题意;当直线l的斜率为0时, = = ;当直线l的斜率存在且不为0时,设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为Q(xQ,yQ),
联立 消去y,整理得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,可得Δ=64k4-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k2+1)>0,x1+x2= ,x1x2= ,所以xQ= = ,则yQ=k(xQ-1)=k = ,即Q ,则线段AB的中垂线的方程为y- =-  ,令y=0,可得x= ,