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新高考数学一轮复习专题三导数及其应用3-1导数的概念及运算练习课件
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这是一份新高考数学一轮复习专题三导数及其应用3-1导数的概念及运算练习课件，共46页。
1.(2024全国甲理,6,5分,易)设函数f(x)= ,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ( )A. B. C. D.
2.(2024新课标Ⅰ,13,5分,中)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切 线,则a= ln 2 .
考点 导数的运算及几何意义
1.(2020课标Ⅰ理,6,5分,易)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为 ( )A.y=-2x-1 B.y=-2x+1C.y=2x-3 D.y=2x+1
2.(2023全国甲文,8,5分,易)曲线y= 在点 处的切线方程为 ( )A.y= x B.y= xC.y= x+ D.y= x+
3.(2021新高考Ⅰ,7,5分,中)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 ( )A.eb
5.(2020课标Ⅲ文,15,5分,易)设函数f(x)= .若f '(1)= ,则a= 1 .
6.(2022新高考Ⅰ,15,5分,中)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范 围是 (-∞,-4)∪(0,+∞) .
7.(2022新高考Ⅱ,14,5分,中)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 y= x , y=- x(不分先后) .
8.(2021新高考Ⅱ,16,5分,难)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1, f(x1)) 和点B(x2, f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则 的取值范围是 (0,1) .
9.(2022全国甲文,20,12分,中)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的 切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.
解析 解法一:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x1)= -x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线方程为y-( -x1)=(3 -1)(x-x1),即y=(3 -1)x-2 .因为曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以 有且仅有一组解,即方程x2-(3 -1)x+2 +a=0有两个相等的实数根,从而Δ=(3 -1)2-4(2 +a)=0⇔4a=9 -8 -6 +1.(1)若x1=-1,则4a=12⇔a=3.(2)4a=9 -8 -6 +1,令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,
则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h'(x)>0,得-1,令h'(x)<0,得x<- 或0设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x2, +a),又g'(x2)=2x2,则切线可表示为y-( +a)=2x2(x-x2),即y=2x2x- +a②,因为①②表示同一直线方程,所以 则(3 -1)2-8 =4a⇔4a=9 -8 -6 +1.下面同解法一.
易错警示 不能认为两曲线的公切线切点相同.
10.(2020北京,19,15分,中)已知函数f(x)=12-x2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;(2)设曲线y=f(x)在点(t, f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小 值.
解析 (1)因为f(x)=12-x2,所以f '(x)=-2x,令-2x=-2,解得x=1,又f(1)=11,所以所求切线方程为y-11=-2(x-1),整理得2x+y-13=0.(2)由(1)可知f '(x)=-2x,所以曲线y=f(x)在点(t, f(t))处的切线斜率k=-2t,又f(t)=12-t2,所以 切线方程为y-(12-t2)=-2t(x-t),整理得2tx+y-(t2+12)=0,当x=0时,y=t2+12,所以切线与y轴的 交点为(0,t2+12),当y=0时,x= ,所以切线与x轴的交点为 .
①当t>0时,S(t)= · ·(t2+12)= ,则S'(t)= ,当02时,S'(t)>0,此时S(t)在(2,+∞)上单调递增,所以S(t)min=S(2)=32.②当t<0时,S(t)=- ,则S'(t)=- ,当t<-2时,S'(t)<0,此时S(t)在(-∞,-2)上单调递减;当-20,此时S(t)在(-2,0)上单调递增,
所以S(t)min=S(-2)=32.综上所述,当t=±2时,S(t)取最小值,为32.
名师点拨 本题主要考查导数在研究函数中的应用和导数的概念及几何意义.本题第(2)问先 求出切线与x轴和y轴的交点,再求出三角形的面积表达式,分t>0和t<0两种情况,也可以 只研究t>0时S(t)的最小值,由上面解析知当t=2时,S(t)取最小值,S(t)min=S(2)=32,利用f(x) =12-x2是偶函数,图象关于y轴对称,得出t<0时,S(t)min=S(-2)=32.
11.(2020新高考Ⅰ,21,12分,中)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
解析 f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=aex-1- .(1)当a=e时, f(x)=ex-ln x+1, f '(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e- 1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为 ,2.因此所求三角形的面积为 易错:容易忽略三角形的面积应大于0而把结果写成 .(2)解法一:当0
∵g(ln a+x-1)≥g(ln x),∴ln a+x-1≥ln x,即ln a≥ln x-x+1.令h(x)=ln x-x+1,∴h'(x)= -1= ,当00,函数h(x)单调递增,当x>1时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减,∴h(x)≤h(1)=0,∴ln a≥0,∴a≥1,故a的取值范围为[1,+∞).
思路导引(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程,可得三角形的面积;(2)解法一:对a进行分类讨论,看哪种情况下可使f(x)≥1;解法二:不等式等价于 +ln a+x-1≥ln x+x=eln x+ln x,令g(t)=et+t,根据函数单调性可得ln a≥ln x-x+1,再构造函数h(x)=ln x-x+1,利用导数求出函数的最值,即可求出a的取 值范围.
1.(2024福建厦门一模,3)已知直线l与曲线y=x3-x在原点处相切,则l的倾斜角为 ( )A. B. C. D.
2.(2024湖北八市联考,6)已知函数f(x)为偶函数,其图象在点(1, f(1))处的切线方程为x-2y+1=0,记f(x)的导函数为f '(x),则f '(-1)= ( )A.- B. C.-2 D.2
3.(2024广东茂名一模,4)曲线f(x)=ex+ax在点(0,1)处的切线与直线y=2x平行,则a= ( )A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.(2024山东名校考试联盟联考,6)若曲线f(x)=ex在x=1处的切线与曲线g(x)=ln x+a也相 切,则a= ( )A. B.1 C. D.2
5.(2024湖南衡阳一模,7)若函数f(x)=x3+4与g(x)=x2-2x图象的交点为A,则曲线y=f(x)在点 A处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ( )A.4 B.6 C. D.
6.(2024辽宁葫芦岛学业质量监测,8)已知直线y=ax-1与曲线y= 相切,则a的值为 ( )A.1 B. C. D.2e2
7.(多选)(2024河北质量监测,10)过点A(1,2)与曲线f(x)=x3+x相切的直线为 ( )A.2x+y-4=0 B.3x-y-1=0C.4x-y-2=0 D.7x-4y+1=0
1.(2024湖南长沙适应性考试,7)已知直线y=a与函数f(x)=ex,g(x)=ln x的图象分别相交于 A,B两点.设k1为曲线y=f(x)在点A处切线的斜率,k2为曲线y=g(x)在点B处切线的斜率,则k1k2的最大值为 ( )A. B.1 C.e D.ee
2.(2024河北唐山期末,7)已知函数f(x)=sin πx,x∈(0,2)的图象与直线y=a(x-1)有3个交点, 则实数a的取值范围为 ( )A.(-∞,0) B.(-1,0) C.(-∞,-π) D.(-π,0)
3.(2024福建部分地市质量检测,7)若直线y=ax+b与曲线y=ex相切,则a+b的取值范围为 ( )A.(-∞,e] B.[2,e] C.[e,+∞) D.[2,+∞)
4.(2024湘豫名校联考一模,15)已知曲线y=ex-1与曲线y=f(x)关于直线x-y=0对称,则与两 曲线均相切的直线的方程为 x-y=0 .
5.(2024山东日照联考)已知函数f(x)=x+sin x的图象上存在三个不同的点A,B,C,使得曲 线y=f(x)在A,B,C三点处的切线重合,则此切线的方程为 y=x+1(或y=x-1) .(写出 符合要求的一条切线即可)
6.(2024河北石家庄模拟,15)已知函数f(x)=eax-ex-b在x=0处的切线为x轴.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.
解析 (1)因为f(x)=eax-ex-b,所以f '(x)=aeax-e,依题意f(0)=0且f '(0)=0,所以 解得 (2)由(1)可得f(x)=eex-ex-1,定义域为R,又f '(x)=eex+1-e=e(eex-1),令g(x)=f '(x)=eex+1-e,则g'(x)=eex+2>0,所以g(x)在定义域R上单调递增,即f '(x)在R上单调递增.又f '(0)=0,所以当x<0时f '(x)<0, 当x>0时f '(x)>0,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
7.(2024湖北武汉四调,16)已知函数f(x)=ln x-ax+x2.(1)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;(2)讨论f(x)的单调性.
解析 (1)a=-1时, f(x)=ln x+x+x2, f '(x)= +1+2x,则f '(1)=4, f(1)=2,所以所求切线方程为y=4(x-1)+2,整理得y=4x-2.(2)f '(x)= -a+2x= ,因为x>0,所以a≤0时, f '(x)>0, f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a>0时,对于y=2x2-ax+1,Δ=a2-8,若02 ,令2x2-ax+1=0,得x= >0,00, f(x)单调递增;
x> 时, f '(x)>0, f(x)单调递增;2 时, f(x)在 , 上单调递增,在 上单调递减.
8.(2024河南新乡三模,15)已知函数f(x)=xln x.(1)求f(x)的极值;(2)若过点(a,b)可以作两条直线与曲线y=f(x)相切,证明:b
令g(x)=aln x-x+a,则g'(x)= . (10分)当a≤0时,g'(x)<0,g(x)单调递减,则方程b=aln x-x+a最多只有一个正根,不符合题意. (11分)当a>0时,若x∈(0,a),则g'(x)>0,g(x)单调递增,若x∈(a,+∞),则g'(x)<0,g(x)单调递减,则g(x)max=g(a)=aln a. (12分)故要使得方程b=aln x-x+a有两个不相等的正根,则b
1.(2024全国甲理,6,5分,易)设函数f(x)= ,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ( )A. B. C. D.
2.(2024新课标Ⅰ,13,5分,中)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切 线,则a= ln 2 .
考点 导数的运算及几何意义
1.(2020课标Ⅰ理,6,5分,易)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为 ( )A.y=-2x-1 B.y=-2x+1C.y=2x-3 D.y=2x+1
2.(2023全国甲文,8,5分,易)曲线y= 在点 处的切线方程为 ( )A.y= x B.y= xC.y= x+ D.y= x+
3.(2021新高考Ⅰ,7,5分,中)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 ( )A.eb
5.(2020课标Ⅲ文,15,5分,易)设函数f(x)= .若f '(1)= ,则a= 1 .
6.(2022新高考Ⅰ,15,5分,中)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范 围是 (-∞,-4)∪(0,+∞) .
7.(2022新高考Ⅱ,14,5分,中)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 y= x , y=- x(不分先后) .
8.(2021新高考Ⅱ,16,5分,难)已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1, f(x1)) 和点B(x2, f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则 的取值范围是 (0,1) .
9.(2022全国甲文,20,12分,中)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的 切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.
解析 解法一:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x1)= -x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线方程为y-( -x1)=(3 -1)(x-x1),即y=(3 -1)x-2 .因为曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以 有且仅有一组解,即方程x2-(3 -1)x+2 +a=0有两个相等的实数根,从而Δ=(3 -1)2-4(2 +a)=0⇔4a=9 -8 -6 +1.(1)若x1=-1,则4a=12⇔a=3.(2)4a=9 -8 -6 +1,令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,
则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h'(x)>0,得-
易错警示 不能认为两曲线的公切线切点相同.
10.(2020北京,19,15分,中)已知函数f(x)=12-x2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;(2)设曲线y=f(x)在点(t, f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小 值.
解析 (1)因为f(x)=12-x2,所以f '(x)=-2x,令-2x=-2,解得x=1,又f(1)=11,所以所求切线方程为y-11=-2(x-1),整理得2x+y-13=0.(2)由(1)可知f '(x)=-2x,所以曲线y=f(x)在点(t, f(t))处的切线斜率k=-2t,又f(t)=12-t2,所以 切线方程为y-(12-t2)=-2t(x-t),整理得2tx+y-(t2+12)=0,当x=0时,y=t2+12,所以切线与y轴的 交点为(0,t2+12),当y=0时,x= ,所以切线与x轴的交点为 .
①当t>0时,S(t)= · ·(t2+12)= ,则S'(t)= ,当0
所以S(t)min=S(-2)=32.综上所述,当t=±2时,S(t)取最小值,为32.
名师点拨 本题主要考查导数在研究函数中的应用和导数的概念及几何意义.本题第(2)问先 求出切线与x轴和y轴的交点,再求出三角形的面积表达式,分t>0和t<0两种情况,也可以 只研究t>0时S(t)的最小值,由上面解析知当t=2时,S(t)取最小值,S(t)min=S(2)=32,利用f(x) =12-x2是偶函数,图象关于y轴对称,得出t<0时,S(t)min=S(-2)=32.
11.(2020新高考Ⅰ,21,12分,中)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
解析 f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=aex-1- .(1)当a=e时, f(x)=ex-ln x+1, f '(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e- 1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为 ,2.因此所求三角形的面积为 易错:容易忽略三角形的面积应大于0而把结果写成 .(2)解法一:当0
∵g(ln a+x-1)≥g(ln x),∴ln a+x-1≥ln x,即ln a≥ln x-x+1.令h(x)=ln x-x+1,∴h'(x)= -1= ,当0
思路导引(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程,可得三角形的面积;(2)解法一:对a进行分类讨论,看哪种情况下可使f(x)≥1;解法二:不等式等价于 +ln a+x-1≥ln x+x=eln x+ln x,令g(t)=et+t,根据函数单调性可得ln a≥ln x-x+1,再构造函数h(x)=ln x-x+1,利用导数求出函数的最值,即可求出a的取 值范围.
1.(2024福建厦门一模,3)已知直线l与曲线y=x3-x在原点处相切,则l的倾斜角为 ( )A. B. C. D.
2.(2024湖北八市联考,6)已知函数f(x)为偶函数,其图象在点(1, f(1))处的切线方程为x-2y+1=0,记f(x)的导函数为f '(x),则f '(-1)= ( )A.- B. C.-2 D.2
3.(2024广东茂名一模,4)曲线f(x)=ex+ax在点(0,1)处的切线与直线y=2x平行,则a= ( )A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.(2024山东名校考试联盟联考,6)若曲线f(x)=ex在x=1处的切线与曲线g(x)=ln x+a也相 切,则a= ( )A. B.1 C. D.2
5.(2024湖南衡阳一模,7)若函数f(x)=x3+4与g(x)=x2-2x图象的交点为A,则曲线y=f(x)在点 A处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ( )A.4 B.6 C. D.
6.(2024辽宁葫芦岛学业质量监测,8)已知直线y=ax-1与曲线y= 相切,则a的值为 ( )A.1 B. C. D.2e2
7.(多选)(2024河北质量监测,10)过点A(1,2)与曲线f(x)=x3+x相切的直线为 ( )A.2x+y-4=0 B.3x-y-1=0C.4x-y-2=0 D.7x-4y+1=0
1.(2024湖南长沙适应性考试,7)已知直线y=a与函数f(x)=ex,g(x)=ln x的图象分别相交于 A,B两点.设k1为曲线y=f(x)在点A处切线的斜率,k2为曲线y=g(x)在点B处切线的斜率,则k1k2的最大值为 ( )A. B.1 C.e D.ee
2.(2024河北唐山期末,7)已知函数f(x)=sin πx,x∈(0,2)的图象与直线y=a(x-1)有3个交点, 则实数a的取值范围为 ( )A.(-∞,0) B.(-1,0) C.(-∞,-π) D.(-π,0)
3.(2024福建部分地市质量检测,7)若直线y=ax+b与曲线y=ex相切,则a+b的取值范围为 ( )A.(-∞,e] B.[2,e] C.[e,+∞) D.[2,+∞)
4.(2024湘豫名校联考一模,15)已知曲线y=ex-1与曲线y=f(x)关于直线x-y=0对称,则与两 曲线均相切的直线的方程为 x-y=0 .
5.(2024山东日照联考)已知函数f(x)=x+sin x的图象上存在三个不同的点A,B,C,使得曲 线y=f(x)在A,B,C三点处的切线重合,则此切线的方程为 y=x+1(或y=x-1) .(写出 符合要求的一条切线即可)
6.(2024河北石家庄模拟,15)已知函数f(x)=eax-ex-b在x=0处的切线为x轴.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.
解析 (1)因为f(x)=eax-ex-b,所以f '(x)=aeax-e,依题意f(0)=0且f '(0)=0,所以 解得 (2)由(1)可得f(x)=eex-ex-1,定义域为R,又f '(x)=eex+1-e=e(eex-1),令g(x)=f '(x)=eex+1-e,则g'(x)=eex+2>0,所以g(x)在定义域R上单调递增,即f '(x)在R上单调递增.又f '(0)=0,所以当x<0时f '(x)<0, 当x>0时f '(x)>0,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
7.(2024湖北武汉四调,16)已知函数f(x)=ln x-ax+x2.(1)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;(2)讨论f(x)的单调性.
解析 (1)a=-1时, f(x)=ln x+x+x2, f '(x)= +1+2x,则f '(1)=4, f(1)=2,所以所求切线方程为y=4(x-1)+2,整理得y=4x-2.(2)f '(x)= -a+2x= ,因为x>0,所以a≤0时, f '(x)>0, f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a>0时,对于y=2x2-ax+1,Δ=a2-8,若0
x> 时, f '(x)>0, f(x)单调递增;
8.(2024河南新乡三模,15)已知函数f(x)=xln x.(1)求f(x)的极值;(2)若过点(a,b)可以作两条直线与曲线y=f(x)相切,证明:b
令g(x)=aln x-x+a,则g'(x)= . (10分)当a≤0时,g'(x)<0,g(x)单调递减,则方程b=aln x-x+a最多只有一个正根,不符合题意. (11分)当a>0时,若x∈(0,a),则g'(x)>0,g(x)单调递增,若x∈(a,+∞),则g'(x)<0,g(x)单调递减,则g(x)max=g(a)=aln a. (12分)故要使得方程b=aln x-x+a有两个不相等的正根,则b
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