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新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计9-4二项分布、超几何分布与正态分布练习含答案
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这是一份新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计9-4二项分布、超几何分布与正态分布练习含答案，共13页。试卷主要包含了1,样本方差s2=0，2 B，2 18，5 27，8 9，6 23，9,10等内容，欢迎下载使用。
高考新风向
(多选)(2024新课标Ⅰ,9,6分,中)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3)( BC )
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
考点1 二项分布和超几何分布
1.(2021浙江,15,6分,中)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n= 1 ,E(ξ)= 89 .
2.(2023全国甲理,19,12分,中)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望.
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异?
附:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
.
解析 (1)依题意得,X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=C200C202C402=1978,P(X=1)=C201C201C402=2039,
P(X=2)=C202C200C402=1978,
∴X的分布列为
∴E(X)=1978×0+2039×1+1978×2=1.
(2)(i)依题意可得m=23.2+23.62=23.4.
则对照组样本中小于m的数据的个数为6,
试验组样本中小于m的数据的个数为14,
则列联表为
(ii)由(i)中列联表可得
K2=40×(6×6−14×14)220×20×20×20=6.4>3.841,
∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
考点2 正态分布
1.(2021新高考Ⅱ,6,5分,中)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是( D )
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
2.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)= 0.14 .
三年模拟
练速度
1.(2024湖南师大附中月考六,4)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
2.(2024河北石家庄二模,2)某市教育局为了解高三学生的学习情况,组织了一次摸底考试,共有50 000名考生参加这次考试,数学成绩X近似服从正态分布,其正态密度函数为f(x)=1σ2πe(x−90)22σ2,x∈R且P(70≤X≤110)=0.8,则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为 ( D )
A.2 000 B.3 000 C.4 000 D.5 000
3.(2024浙江部分学校联考,3)下列说法正确的是( C )
A.若随机变量η~B12,14,则D(η)=3
B.若随机变量ξ~N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(2<ξ<4)=0.4
C.一组数据11,12,12,13,14,15,16,18,20,22的第80百分位数为19
D.若P(A∩B)=19,P(A)=23,P(B)=13,则事件A与事件B相互独立
4.(2024河南开封第三次质量检测,6)在某项测验中,假设测验数据服从正态分布N(78,16).如果按照16%,34%,34%,16%的比例将测验数据从大到小分为A,B,C,D四个等级,则等级为A的测验数据的最小值可能是( C )
(附:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤σ)≈0.682 7,P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 5)
A.94 B.86 C.82 D.78
5.(2024福建泉州质量检测三,6)中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理,若随机变量ξ~B(n,p),则当np>5且n(1-p)>5时,ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代,且ξ的期望与方差分别与η的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀的骰子2 500次,利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1 300的概率为( D )
附:若:η~N(μ,σ2),则P(μ-σ<η<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<η<μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<η<μ+3σ)≈
0.997 3.
7 B.0.5 4 3
6.(2024湖北黄冈二模,8)某校在校庆期间举办羽毛球比赛,某班派出甲、乙两名单打主力,为了提高两位主力的能力,体育老师安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局,当两人获胜局数不少于3局时,则认为这轮训练过关;否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1,p2,且满足p1+p2=43,每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X,若E(X)=16,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为( A )
A.27 B.24 C.32 D.28
7.(2024浙江温州三模,12)设随机变量ξ服从正态分布N(2,1),若P(ξ>a+1)=P(ξ8.(2024福建质检,12)某企业生产一种零部件,其质量指标介于(49.6,50.4)的为优品,技术改造前,该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布N(50,0.16);技术改造后,该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布N(50,0.04).那么,该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为 0.271 8 .(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<σ)=0.682 7,P(|X-μ|<2σ)=0.954 5,P(|X-μ|<3σ)=0.997 3)
练思维
1.(2024广东佛山质量检测二,17)如图,在一条无限长的轨道上,一个质点在随机外力的作用下,从位置0出发,每次等可能地向左或向右移动一个单位,设移动n次后质点位于位置Xn.
(1)求P(X4=-2);
(2)求E(Xn);
(3)指出质点最有可能位于哪个位置,并说明理由.
解析 设质点n次移动中向右移动的次数为Y,则Y~Bn,12,Xn=Y-(n-Y)=2Y-n.(3分)
(1)P(X4=-2)=P(Y=1)=C41121123=416=14.(7分)
(2)E(Xn)=2E(Y)-n=2n·12-n=0.(9分)
(3)P(Y=k)=Cnk12k12n−k=Cnk2n.(11分)
若n为偶数,Cnk中间的一项Cnn2取得最大值,即Y=n2概率最大,此时Xn=0,所以质点最有可能位于位置0;(13分)
若n为奇数,Cnk中间的两项Cnn+12,Cnn−12取得最大值,即Y=n+12或Y=n−12概率最大,此时Xn=1或
-1,所以质点最有可能位于位置1或-1.(15分)
2.(2024湖南衡阳第二次联考,16)某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛,一共收到500篇作品,由评委会给每篇作品打分,下面是从所有作品中随机抽取的9篇作品的得分:82,70,58,79,61,82,79,61,58.
(1)计算样本平均数x和样本方差s2;
(2)若这次征文比赛作品的得分X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ和σ2的估计值分别为样本平均数x和样本方差s2,该报社计划给得分在前50名的作品作者评奖,则评奖的分数线约为多少分?
参考数据:P(|X-μ|<1.3σ)≈0.8,P(|X-μ|<1.6σ)≈0.9.
解析 (1)由题意可得,x=19×(82+70+58+79+61+82+79+61+58)=70,s2=19×[(82-70)2+(70-70)2+(58-70)2+(79-70)2+(61-70)2+(82-70)2+(79-70)2+(61-70)2+(58-70)2]=100,
所以样本平均数为70,样本方差为100.
(2)因为得分X服从正态分布N(μ,σ2),且μ=x=70,σ2=s2=100,则σ=10,所以X~N(70,102),
又P(|X-μ|<1.3σ)≈0.8,|X-70|<13⇒57所以P(57又P(|X-μ|<1.6σ)≈0.9,|X-70|<16⇒54所以P(54由题知评奖作品总共50篇,获奖率为50500=0.1,
因为P(57所以P(X<57)=P(X>83)≈0.1,即分数线约为83分.
3.(2024山东泰安一轮检测,16)某学校为了缓解学生紧张的复习生活,决定举行一次游戏活动,游戏规则为:甲箱子里装有3个红球和2个黑球,乙箱子里装有2个红球和2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,且每次游戏结束将球放回原箱,摸出一个红球记2分,摸出一个黑球记-1分,得分在5分以上(含5分)则获奖.
(1)求在1次游戏中,获奖的概率;
(2)求在1次游戏中,得分X的分布列及均值.
解析 (1)设“在1次游戏中摸出i个红球”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),“在1次游戏中获奖”为事件B,则B=A3∪A4,且A3,A4互斥,
P(A3)=C32C21C21+C31C21C22C52C42=1860=310,P(A4)=C32C22C52C42=360=120,
所以在1次游戏中,获奖的概率P(B)=P(A3∪A4)=P(A3)+P(A4)=310+120=720.
(2)依题意,X的所有可能取值为-4,-1,2,5,8,由(1)知,
P(X=-4)=P(A0)=C22C22C52C42=160,
P(X=-1)=P(A1)=C31C21C22+C22C21C21C52C42=1060=16,
P(X=2)=P(A2)=C32C22+C22C22+C31C21C21C21C52C42=2860=715,
P(X=5)=P(A3)=310,P(X=8)=P(A4)=120,
所以X的分布列为
数学期望E(X)=(-4)×160+(-1)×16+2×715+5×310+8×120=135.
4.(2024江苏南京、盐城一模,17)已知某种机器的电源电压U(单位:V)服从正态分布N(220,202).其电压通常有3种状态:①不超过200 V;②在200 V~240 V之间;③超过240 V.在上述三种状态下,该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15,0.05,0.2.
(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率;
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n(n≥2)件,记其中恰有2件不合格品的概率为pn,求pn取得最大值时n的值.
附:若Z~N(μ,σ2),取P(μ-σ解析 (1)记电压“不超过200 V”“在200 V~240 V之间”“超过240 V”分别为事件A,B,C,“该机器生产的零件为不合格品”为事件D.
因为U~N(220,202),
所以P(A)=P(U≤200)=1−P(μ−σP(B)=P(200P(C)=P(U>240)=1−P(μ−σ所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.16×0.15+0.68×0.05+0.16×0.2=0.09,
即该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09.(7分)
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n件,设不合格品件数为X,则X~B(n,0.09),
所以pn=P(X=2)=Cn2·0.91n-2·0.092.(11分)
由pn+1pn=Cn+12·0.91n−1·0.092Cn2·0.91n−2·0.092=n+1n−1×0.91>1,解得n<1919.(13分)
所以当n≤21时,pnpn+1,所以p22最大.
因此当n=22时,pn最大.(15分)
5.(2024辽宁省三所重点中学第三次模拟,19)某自然保护区经过几十年的发展,某种濒临灭绝动物数量有大幅度增加.已知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了调查该区域中这两个亚种的数目,某动物研究小组计划在该区域中捕捉100只动物P,统计其中A种的数目后,将捕获的动物全部放回,作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次,记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i=1,2,…,20).设该区域中A种的数目为M,B种的数目为N(M,N均大于100),每一次试验均相互独立.
(1)求X1的分布列.
(2)记随机变量X=120i=120Xi.已知E(Xi+Xj)=E(Xi)+E(Xj),D(Xi+Xj)=D(Xi)+D(Xj).
(i)证明:E(X)=E(X1),D(X)=120D(X1);
(ii)该小组完成所有试验后,得到Xi的实际取值分别为xi(i=1,2,…,20).数据xi(i=1,2,…,20)的平均值x=30,方差s2=1.采用x和s2分别代替E(X)和D(X),给出M,N的估计值.
已知随机变量X服从超几何分布记为X~H(P,n,Q)(其中P为总数,Q为某类元素的个数,n为抽取的个数),则D(X)=nQP1−QPP−nP−1
解析 (1)依题意,X1服从超几何分布,故X1的分布列为P(X1=k)=CMkCN100−kCM+N100,k∈N,0≤k≤100.
(2)(i)证明:由题可知Xi(i=1,2,…,20)均服从完全相同的超几何分布,所以E(X1)=E(X2)=…=E(X20),E(X)=E120i=120Xi=120Ei=120Xi=120i=120E(Xi)=120×20E(X1)=E(X1),
D(X)=D120i=120Xi=1202Di=120Xi=1202i=120D(Xi)=1202×20D(X1)=120D(X1).
故E(X)=E(X1),D(X)=120D(X1).
(ii)由(i)可知X的均值E(X)=E(X1)=100MM+N.
由公式得X1的方差D(X1)=100MN(M+N−100)(M+N)2(M+N−1),
所以D(X)=5MN(M+N−100)(M+N)2(M+N−1).
依题意有100MM+N=30,5MN(M+N−100)(M+N)2(M+N−1)=1,
解得N=1 456,M=624,
所以可以估计M=624,N=1 456.
练风向
(新定义理解)(2024浙江金丽衢十二校联考二,17)某工厂生产某种元件,其质量按测试指标划分为指标大于或等于82为合格品,小于82为次品,现抽取这种元件100件进行检测,检测结果统计如下表:
(1)现从这100件样品中随机抽取2件,若其中一件为合格品,求另一件也为合格品的概率.
(2)关于随机变量,俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式:若随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,则对任意正数ε,均有P(|X-μ|≥ε)≤σ2ε2成立.
(i)若X~B100,12,证明:P(0≤X≤25)≤150;
(ii)该结论表示即使分布未知,随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%,那么根据所给样本数据,请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信.(注:当随机事件A发生的概率小于0.05时,可称事件A为小概率事件)
解析 (1)记事件A为其中一件是合格品(注意:并不一定只有一件合格品),事件B为抽到两个合格品,P(AB)=C702C1002=161330,P(A)=C1002−C302C1002=301330,
则P(B|A)=P(AB)P(A)=161301=2343.
(2)(i)证明:若X~B100,12,则E(X)=50,D(X)=25,
又P(X=k)=C100k12100=P(X=100-k),
所以P(0≤X≤25)=12P(0≤X≤25或75≤X≤100)=12P(|X-50|≥25),
由切比雪夫不等式可知P(|X-50|≥25)≤25252=125,
所以P(0≤X≤25)≤150.
(ii)设随机抽取100件产品中合格品的件数为X,
假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立,
则X~B(100,0.9),所以E(X)=90,D(X)=9,
由切比雪夫不等式知P(X=70)≤P(|X-90|≥20)≤9400=0.022 5,
即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.022 5,此概率极小,由小概率事件可知,一般来说,在一次试验中是不会发生的,据此我们有理由推断工厂声称的合格率不可信.≥m
对照组
试验组
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
X
0
1
2
P
1978
2039
1978
≥m
对照组
6
14
试验组
14
6
X
-4
-1
2
5
8
P
160
16
715
310
120
X1
0
1
…
99
100
P
CM0CN100CM+N100
CM1CN99CM+N100
…
CM99CN1CM+N100
CM100CN0CM+N100
测试
指标
[20,76)
[76,82)
[82,88)
[88,94)
[94,100]
元件
数(件)
12
18
36
30
4
高考新风向
(多选)(2024新课标Ⅰ,9,6分,中)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3)( BC )
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
考点1 二项分布和超几何分布
1.(2021浙江,15,6分,中)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n= 1 ,E(ξ)= 89 .
2.(2023全国甲理,19,12分,中)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).
(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望.
(2)试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:
(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异?
附:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
.
解析 (1)依题意得,X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=C200C202C402=1978,P(X=1)=C201C201C402=2039,
P(X=2)=C202C200C402=1978,
∴X的分布列为
∴E(X)=1978×0+2039×1+1978×2=1.
(2)(i)依题意可得m=23.2+23.62=23.4.
则对照组样本中小于m的数据的个数为6,
试验组样本中小于m的数据的个数为14,
则列联表为
(ii)由(i)中列联表可得
K2=40×(6×6−14×14)220×20×20×20=6.4>3.841,
∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
考点2 正态分布
1.(2021新高考Ⅱ,6,5分,中)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是( D )
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
2.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2
三年模拟
练速度
1.(2024湖南师大附中月考六,4)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)
2.(2024河北石家庄二模,2)某市教育局为了解高三学生的学习情况,组织了一次摸底考试,共有50 000名考生参加这次考试,数学成绩X近似服从正态分布,其正态密度函数为f(x)=1σ2πe(x−90)22σ2,x∈R且P(70≤X≤110)=0.8,则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为 ( D )
A.2 000 B.3 000 C.4 000 D.5 000
3.(2024浙江部分学校联考,3)下列说法正确的是( C )
A.若随机变量η~B12,14,则D(η)=3
B.若随机变量ξ~N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(2<ξ<4)=0.4
C.一组数据11,12,12,13,14,15,16,18,20,22的第80百分位数为19
D.若P(A∩B)=19,P(A)=23,P(B)=13,则事件A与事件B相互独立
4.(2024河南开封第三次质量检测,6)在某项测验中,假设测验数据服从正态分布N(78,16).如果按照16%,34%,34%,16%的比例将测验数据从大到小分为A,B,C,D四个等级,则等级为A的测验数据的最小值可能是( C )
(附:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤σ)≈0.682 7,P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 5)
A.94 B.86 C.82 D.78
5.(2024福建泉州质量检测三,6)中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理,若随机变量ξ~B(n,p),则当np>5且n(1-p)>5时,ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代,且ξ的期望与方差分别与η的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀的骰子2 500次,利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1 300的概率为( D )
附:若:η~N(μ,σ2),则P(μ-σ<η<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<η<μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<η<μ+3σ)≈
0.997 3.
7 B.0.5 4 3
6.(2024湖北黄冈二模,8)某校在校庆期间举办羽毛球比赛,某班派出甲、乙两名单打主力,为了提高两位主力的能力,体育老师安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局,当两人获胜局数不少于3局时,则认为这轮训练过关;否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1,p2,且满足p1+p2=43,每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X,若E(X)=16,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为( A )
A.27 B.24 C.32 D.28
7.(2024浙江温州三模,12)设随机变量ξ服从正态分布N(2,1),若P(ξ>a+1)=P(ξ
练思维
1.(2024广东佛山质量检测二,17)如图,在一条无限长的轨道上,一个质点在随机外力的作用下,从位置0出发,每次等可能地向左或向右移动一个单位,设移动n次后质点位于位置Xn.
(1)求P(X4=-2);
(2)求E(Xn);
(3)指出质点最有可能位于哪个位置,并说明理由.
解析 设质点n次移动中向右移动的次数为Y,则Y~Bn,12,Xn=Y-(n-Y)=2Y-n.(3分)
(1)P(X4=-2)=P(Y=1)=C41121123=416=14.(7分)
(2)E(Xn)=2E(Y)-n=2n·12-n=0.(9分)
(3)P(Y=k)=Cnk12k12n−k=Cnk2n.(11分)
若n为偶数,Cnk中间的一项Cnn2取得最大值,即Y=n2概率最大,此时Xn=0,所以质点最有可能位于位置0;(13分)
若n为奇数,Cnk中间的两项Cnn+12,Cnn−12取得最大值,即Y=n+12或Y=n−12概率最大,此时Xn=1或
-1,所以质点最有可能位于位置1或-1.(15分)
2.(2024湖南衡阳第二次联考,16)某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛,一共收到500篇作品,由评委会给每篇作品打分,下面是从所有作品中随机抽取的9篇作品的得分:82,70,58,79,61,82,79,61,58.
(1)计算样本平均数x和样本方差s2;
(2)若这次征文比赛作品的得分X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ和σ2的估计值分别为样本平均数x和样本方差s2,该报社计划给得分在前50名的作品作者评奖,则评奖的分数线约为多少分?
参考数据:P(|X-μ|<1.3σ)≈0.8,P(|X-μ|<1.6σ)≈0.9.
解析 (1)由题意可得,x=19×(82+70+58+79+61+82+79+61+58)=70,s2=19×[(82-70)2+(70-70)2+(58-70)2+(79-70)2+(61-70)2+(82-70)2+(79-70)2+(61-70)2+(58-70)2]=100,
所以样本平均数为70,样本方差为100.
(2)因为得分X服从正态分布N(μ,σ2),且μ=x=70,σ2=s2=100,则σ=10,所以X~N(70,102),
又P(|X-μ|<1.3σ)≈0.8,|X-70|<13⇒57
因为P(57
3.(2024山东泰安一轮检测,16)某学校为了缓解学生紧张的复习生活,决定举行一次游戏活动,游戏规则为:甲箱子里装有3个红球和2个黑球,乙箱子里装有2个红球和2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,且每次游戏结束将球放回原箱,摸出一个红球记2分,摸出一个黑球记-1分,得分在5分以上(含5分)则获奖.
(1)求在1次游戏中,获奖的概率;
(2)求在1次游戏中,得分X的分布列及均值.
解析 (1)设“在1次游戏中摸出i个红球”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),“在1次游戏中获奖”为事件B,则B=A3∪A4,且A3,A4互斥,
P(A3)=C32C21C21+C31C21C22C52C42=1860=310,P(A4)=C32C22C52C42=360=120,
所以在1次游戏中,获奖的概率P(B)=P(A3∪A4)=P(A3)+P(A4)=310+120=720.
(2)依题意,X的所有可能取值为-4,-1,2,5,8,由(1)知,
P(X=-4)=P(A0)=C22C22C52C42=160,
P(X=-1)=P(A1)=C31C21C22+C22C21C21C52C42=1060=16,
P(X=2)=P(A2)=C32C22+C22C22+C31C21C21C21C52C42=2860=715,
P(X=5)=P(A3)=310,P(X=8)=P(A4)=120,
所以X的分布列为
数学期望E(X)=(-4)×160+(-1)×16+2×715+5×310+8×120=135.
4.(2024江苏南京、盐城一模,17)已知某种机器的电源电压U(单位:V)服从正态分布N(220,202).其电压通常有3种状态:①不超过200 V;②在200 V~240 V之间;③超过240 V.在上述三种状态下,该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15,0.05,0.2.
(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率;
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n(n≥2)件,记其中恰有2件不合格品的概率为pn,求pn取得最大值时n的值.
附:若Z~N(μ,σ2),取P(μ-σ
因为U~N(220,202),
所以P(A)=P(U≤200)=1−P(μ−σ
即该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09.(7分)
(2)从该机器生产的零件中随机抽取n件,设不合格品件数为X,则X~B(n,0.09),
所以pn=P(X=2)=Cn2·0.91n-2·0.092.(11分)
由pn+1pn=Cn+12·0.91n−1·0.092Cn2·0.91n−2·0.092=n+1n−1×0.91>1,解得n<1919.(13分)
所以当n≤21时,pn
因此当n=22时,pn最大.(15分)
5.(2024辽宁省三所重点中学第三次模拟,19)某自然保护区经过几十年的发展,某种濒临灭绝动物数量有大幅度增加.已知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了调查该区域中这两个亚种的数目,某动物研究小组计划在该区域中捕捉100只动物P,统计其中A种的数目后,将捕获的动物全部放回,作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次,记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i=1,2,…,20).设该区域中A种的数目为M,B种的数目为N(M,N均大于100),每一次试验均相互独立.
(1)求X1的分布列.
(2)记随机变量X=120i=120Xi.已知E(Xi+Xj)=E(Xi)+E(Xj),D(Xi+Xj)=D(Xi)+D(Xj).
(i)证明:E(X)=E(X1),D(X)=120D(X1);
(ii)该小组完成所有试验后,得到Xi的实际取值分别为xi(i=1,2,…,20).数据xi(i=1,2,…,20)的平均值x=30,方差s2=1.采用x和s2分别代替E(X)和D(X),给出M,N的估计值.
已知随机变量X服从超几何分布记为X~H(P,n,Q)(其中P为总数,Q为某类元素的个数,n为抽取的个数),则D(X)=nQP1−QPP−nP−1
解析 (1)依题意,X1服从超几何分布,故X1的分布列为P(X1=k)=CMkCN100−kCM+N100,k∈N,0≤k≤100.
(2)(i)证明:由题可知Xi(i=1,2,…,20)均服从完全相同的超几何分布,所以E(X1)=E(X2)=…=E(X20),E(X)=E120i=120Xi=120Ei=120Xi=120i=120E(Xi)=120×20E(X1)=E(X1),
D(X)=D120i=120Xi=1202Di=120Xi=1202i=120D(Xi)=1202×20D(X1)=120D(X1).
故E(X)=E(X1),D(X)=120D(X1).
(ii)由(i)可知X的均值E(X)=E(X1)=100MM+N.
由公式得X1的方差D(X1)=100MN(M+N−100)(M+N)2(M+N−1),
所以D(X)=5MN(M+N−100)(M+N)2(M+N−1).
依题意有100MM+N=30,5MN(M+N−100)(M+N)2(M+N−1)=1,
解得N=1 456,M=624,
所以可以估计M=624,N=1 456.
练风向
(新定义理解)(2024浙江金丽衢十二校联考二,17)某工厂生产某种元件,其质量按测试指标划分为指标大于或等于82为合格品,小于82为次品,现抽取这种元件100件进行检测,检测结果统计如下表:
(1)现从这100件样品中随机抽取2件,若其中一件为合格品,求另一件也为合格品的概率.
(2)关于随机变量,俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式:若随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,则对任意正数ε,均有P(|X-μ|≥ε)≤σ2ε2成立.
(i)若X~B100,12,证明:P(0≤X≤25)≤150;
(ii)该结论表示即使分布未知,随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%,那么根据所给样本数据,请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信.(注:当随机事件A发生的概率小于0.05时,可称事件A为小概率事件)
解析 (1)记事件A为其中一件是合格品(注意:并不一定只有一件合格品),事件B为抽到两个合格品,P(AB)=C702C1002=161330,P(A)=C1002−C302C1002=301330,
则P(B|A)=P(AB)P(A)=161301=2343.
(2)(i)证明:若X~B100,12,则E(X)=50,D(X)=25,
又P(X=k)=C100k12100=P(X=100-k),
所以P(0≤X≤25)=12P(0≤X≤25或75≤X≤100)=12P(|X-50|≥25),
由切比雪夫不等式可知P(|X-50|≥25)≤25252=125,
所以P(0≤X≤25)≤150.
(ii)设随机抽取100件产品中合格品的件数为X,
假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立,
则X~B(100,0.9),所以E(X)=90,D(X)=9,
由切比雪夫不等式知P(X=70)≤P(|X-90|≥20)≤9400=0.022 5,
即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.022 5,此概率极小,由小概率事件可知,一般来说,在一次试验中是不会发生的,据此我们有理由推断工厂声称的合格率不可信.
对照组
试验组
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
X
0
1
2
P
1978
2039
1978
对照组
6
14
试验组
14
6
X
-4
-1
2
5
8
P
160
16
715
310
120
X1
0
1
…
99
100
P
CM0CN100CM+N100
CM1CN99CM+N100
…
CM99CN1CM+N100
CM100CN0CM+N100
测试
指标
[20,76)
[76,82)
[82,88)
[88,94)
[94,100]
元件
数(件)
12
18
36
30
4
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