新高考数学一轮复习专题三导数及其应用3-1导数的概念及运算课件

这是一份新高考数学一轮复习专题三导数及其应用3-1导数的概念及运算课件，共18页。

题型一　利用导数的几何意义求曲线的切线方程及参数1.若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0,y0)是切点和不 是切点两种情况求解.(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f '(x0)·(x-x0).(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:第一步:设切点坐标为P'(x1, f(x1));第二步:写出在点P'(x1, f(x1))处的切线方程,即y-f(x1)=f '(x1)(x-x1);第三步:将点P(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f '(x1)·(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.
2.已知切线方程求参数当曲线的切线方程是已知条件时,常选择以下三个条件的表达式解题:(1)切点在切线上;(2)切点在曲线上;(3)在切点横坐标处的导数等于切线的斜率.
例1    (1)函数f(x)=xex-2ex+x+e的图象在(1, f(1))处的切线方程为 (　    )A.y=x　    B.y=2x-1C.y=ex-e+1　    D.y=-ex+e+1(2)直线l经过点 ,且与曲线y=x2(x+1)相切,写出l的一个方程　 　　　　    .
y=0(或5x-y-3=0或15x+125y-9=0)
  解析    (1)f '(x)=ex+xex-2ex+1=(x-1)ex+1,则f '(1)=1(切点处的导数即为切线的斜率),又f(1)=1,所以所求切线方程为y-1=x-1,即y=x.故选A.(2)令f(x)=y=x2(x+1)=x3+x2,则f '(x)=3x2+2x,设直线l与曲线f(x)相切的切点为(x0,y0),斜率为k.则 
(根据切点处的导数值等于切线斜率,直线上任意两点可表示直线斜率,切点在曲线上3 个条件列出方程组)解得 或 或 当x0=0,y0=0,k=0时,直线l为y=0;当x0=1,y0=2,k=5时,直线l为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0;当x0=- ,y0= ,k=- 时,
直线l为y- =-  ,即15x+125y-9=0.综上,直线l的方程为y=0或5x-y-3=0或15x+125y-9=0.
题型二　曲线的公切线问题1.求曲线的公切线的方法设公切线l与曲线y=f(x)和y=g(x)的切点分别是P1(x1, f(x1))和P2(x2,g(x2)),求出切线方程分 别为y=f '(x1)x+f(x1)-x1 f '(x1)和y=g'(x2)x+g(x2)-x2g'(x2),则这两条直线的斜率和纵截距分别 相等,即 解得x1和x2,代入切线方程求得公切线.2.已知公切线求参数值(范围)的步骤(1)分别设切点坐标,求出两曲线的切线方程;(2)根据斜率和纵截距相等列关于切点横坐标的方程组;(3)消元得含参数的方程;
(4)分离参数,通过求函数的值域求参数的取值范围.3.判断或证明公切线条数的步骤(1)分别设切点,求出切线方程;(2)利用两切线重合,建立关于切点横坐标的方程组;(3)消元得某一切点横坐标的方程;(4)通过判断方程在规定范围内解的个数判断公切线的条数.
例2　已知函数f(x)=aln x,g(x)= ,若总存在两条不同的直线与曲线y=f(x),y=g(x)均相切,则实数a的取值范围是 (　    )A. 　    B. 　    C. 　    D. 
  解析    设曲线f(x)=aln x与其中一条切线的切点坐标为(x1,aln x1),且x1>0,曲线g(x)= 与该切线的切点坐标为(x2, ),且x2≥0,又f '(x)= ,g'(x)= ,所以公切线的斜率k= = ,则a>0,4a2x2= ,公切线方程为y-aln x1= (x-x1),即y= x+aln x1-a,由题意知(x2, )在切线y= x+aln x1-a上,则 = ·x2+aln x1-a,将x2= 代入整理得 = .若总存在两条不同的直线与曲线y=f(x),y=g(x)均相切,则方程 = 在(0,+∞)上有两个不等实根(将公切线条数问题转化为方程根的个数问题,进而转化为图象交点
个数问题)设h(x)= ,x>0,则h'(x)= = ,令h'(x)=0,得x=e2,当x∈(0,e2)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x∈(e2,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)在x=e2处取得极大值即最大值,即h(x)max=h(e2)= = >0,由h(x)=0可得x=e,且h(x)有且只有一个零点,故h(x)的大致图象如图,
 所以当 时满足题意,解得a> ,故实数a的取值范围为 .故选A.
例    (2024浙江温州期末,8)已知0 C.x1+x3<2x2　    D.x1+x3>2x2
  解析    由题意知f '(x)=cs x,则曲线在点(xi,sin xi)处的切线斜率ki=cs xi= ,(注意切线过原点)即xi= =tan xi,所以 =1,故A,B错误;同时xi可看作直线y=x与曲线y=tan x在(0,4π)内的3个交点的横坐标.对于C、D,解法一:作函数y=tan x与y=x的图象,如图1,设A(x1,tan x1),B(x2,tan x2),C(x3,tan x3),易知D(x2-π,tan x2),E(x2+π,tan x2),由正切函数图象性质知kADCN,如图2所示,
又因为xM+xN=2x2,所以x1+x3<2x2,故选C. 　     解法二:设A(x1,tan x1),B(x2,tan x2),C(x3,tan x3),如图1,易知D(x2-π,tan x2),E(x2+π,tan x2),由正切函数图象性质知kAD得 < ,即 < ,又x2-π-x1>0,x3-x2-π>0,所以(x2-x1)(x3-x2-π)<(x3-x2)(x2-π-x1),即x1π+x3π<2πx2,即x1+x3<2x2,故C正确,D错误.故选C.