新高考数学一轮复习专题六数列6-2等差数列课件

这是一份新高考数学一轮复习专题六数列6-2等差数列课件，共12页。

题型一　等差数列的判定方法
例1    (2024广东深圳调研,15)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=4,S4=20,且 为等差数列.(1)求证:数列{an}为等差数列;(2)若数列{bn}满足b1=6,且 = ,设Tn为数列{bn}的前n项和,集合M={Tn|Tn∈N*},求M(用列举法表示).
  解析    (1)证明:设等差数列 的公差为d,则 = +3d,即S1+3d=5,① (1分)因为S2=a1+a2=S1+4,所以由 = +d,得S1+2d=4.② (2分)由①②解得S1=2,d=1,所以 =n+1,即Sn=n(n+1), (3分)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,当n=1时,a1=S1=2,适合上式,所以an=2n(n∈N*), (5分)
因为n≥2时,an-an-1=2(定义法),所以数列{an}是等差数列. (6分)(2)由(1)可知 = = = , (7分)当n≥2时,bn= · ·…· ·b1= × ×…× ×6= ,因为b1=6满足上式,(提示:不要忘记检验n=1的情况)所以bn= (n∈N*). (9分)则Tn=12  + +…+  =12× =12- ,(裂项相消法求和)(11分)因为 ∈N*时,n=1,2,3,5,11,所以M={6,8,9,10,11}. (13分)
题型二　等差数列前n项和的最值问题求等差数列前n项和Sn最值的方法:
例2    (2022全国甲,文18,理17,12分)记Sn为数列{an}的前n项和.已知 +n=2an+1.(1)证明:{an}是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.
  解析    (1)证明:当n≥2且n∈N*时, ①-②,整理得(2n-2)an-(2n-2)an-1=2n-2,∴an-an-1=1,n≥2且n∈N*,∴{an}是以1为公差的等差数列.(2)∵a4,a7,a9成等比数列,且{an}是以1为公差的等差数列,∴(a1+3×1)·(a1+8×1)=(a1+6×1)2,即(a1+3)(a1+8)=(a1+6)2,解得a1=-12.解法一(二次函数法):数列{an}是首项为-12,公差为1的等差数列,
∴Sn=n×(-12)+ ×1= ,∴当n=12或n=13时,Sn取最小值,为 =-78.解法二(邻项变号法):an=-12+(n-1)×1=n-13,当n≤12且n∈N*时,an<0;当n=13时,an=0;当n≥14且n∈N*时,an>0.∴n=12或n=13时,Sn取最小值,为-12×12+ ×1=-78.
例    (2024安徽合肥一六八中学期末,8)已知等差数列{an}(公差不为0)和等差数列{bn} 的前n项和分别为Sn、Tn,如果关于x的实系数方程1 003x2-S1 003x+T1 003=0有实数解,那么 以下1 003个方程x2-aix+bi=0(i=1,2,…,1 003)中,有实数解的方程至少有 (　    )A.499个　    B.500个　    C.501个　    D.502个
  解析    由题意得 -4×1 003T1 003≥0,(※)其中S1 003= =1 003a502,T1 003= =1 003b502,代入(※)得 -4b502≥0,显然第502个方程有解.设方程x2-a1x+b1=0与方程x2-a1 003x+b1 003=0的判别式分别为Δ1,Δ1 003,则Δ1+Δ1 003=( -4b1)+( -4b1 003)= + -4(b1+b1 003)≥ -4×2b502= -8b502=2( -4b502)≥0,因为Δ1+Δ1 003≥0,所以Δ1<0,Δ1 003<0至多有一个成立,同理可证:Δ2<0,Δ1 002<0至多有一个成立,……,Δ501<0,Δ503<0至多有一个成立.综上,在所给的1 003个方程中,有实数解的方程至少有502个.故选D.